同济第六版高数课件.ppt

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1、一一 几个例子几个例子 1 1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念第第12章章 常微分方程常微分方程二二 微分方程的基本概念微分方程的基本概念定义定义阶阶 方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数二阶及二阶以上的微分方程称为二阶及二阶以上的微分方程称为高高 阶阶微分方程微分方程只讨论显式形式的常微分方程只讨论显式形式的常微分方程,且且 f 连续的情况连续的情况n阶常微分方程的形式阶常微分方程的形式常微分方程常微分方程:一元一元+导数导数 偏偏 微分方程微分方程:多元多元+偏导数偏导数 微分方程的解微分方程的解 代入方程使成为代入方程使成为恒等式恒等式的的函数函

2、数 通解通解 含有任意常数的解含有任意常数的解,且且常数的个数常数的个数=阶数阶数 特解特解 通解中满足问题所给的特定条件的解通解中满足问题所给的特定条件的解 1)除了极个别情况除了极个别情况,通解包含所有的解通解包含所有的解2)几何上几何上,通解表示平面曲线族通解表示平面曲线族,特解为曲线族中的一条曲线特解为曲线族中的一条曲线 注注初值问题初值问题 求微分方程特解的问题求微分方程特解的问题 注注1)只介绍某些类型的常微分方程的求解方法只介绍某些类型的常微分方程的求解方法 不讨论相关的理论问题不讨论相关的理论问题(存在性存在性 唯一性唯一性 稳定性稳定性)2)解法具有针对性解法具有针对性,不同

3、类型方程用不同的解法不同类型方程用不同的解法.初始条件初始条件 特解中的特定条件特解中的特定条件初始条件要适当给定初始条件要适当给定:称为称为适定适定 解方程解方程 回代常数回代常数 一一 可分离变量的方程可分离变量的方程解法解法例例1 1解解证证 2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程例例2 2解解例例3 3解解注注二二 例题例题例例5 5解解例例4 4解解可分离变量可分离变量例例6 6解解隐隐一一 齐次方程齐次方程解法解法 3 齐次方齐次方程程例例1 1解解例例2 2解解二二 可化为齐次方程可化为齐次方程解法解法 进行变换进行变换,化为齐次或可分离变量方程化为齐次或可分离变量方程例例

4、3 3解解解解解解解解例例4 4三三 用变量代换求微分方程的解用变量代换求微分方程的解例例5 5例例6 6一一 一阶线性方程一阶线性方程齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的通解非齐次方程的通解 常数变易法常数变易法 4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程=齐通齐通+特解特解例例1 1解解解解例例2 2例例3 3解解解法解法二二 伯努利方程伯努利方程例例5 5解解解解例例6 6例例4 4解解定义定义一一 全微分方程全微分方程解法解法 5 全微分方程全微分方程2)直接凑直接凑全微分全微分常用常用常用常用凑微凑微凑微凑微公式公式公式公式例例1 1解解1 1解解2 2二二 积分因子积分因子例例2 2

5、解解例例3 3解解解法解法例例1解解 逐次积分逐次积分例例2解解 6 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程例例3解解解解例例4解法解法解法解法例例5解解例例6解解1通解通解解解2一一 n阶线性微分方程一般形式阶线性微分方程一般形式有很多实际问题中的方程是高阶线性微分方程有很多实际问题中的方程是高阶线性微分方程二阶二阶 7 高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构二二 函数组的线性相关与无关概念函数组的线性相关与无关概念线性相关线性相关线性无关线性无关定义定义齐次方程齐次方程三三 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构非齐次方程非齐次方程证证例例1解解线性线性微分方程的微分

6、方程的迭加原理迭加原理注注例例2 2解解四四 解非齐次方程解非齐次方程(2)的降阶法的降阶法 p299代入方程代入方程(2)方程方程(2)通通解解例例3 3解解齐次通解齐次通解非齐特解非齐特解另一无关的齐解另一无关的齐解已知对应齐次方程通解已知对应齐次方程通解设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为(4)(5)(4),(5)联立方程联立方程组组 *五五 解非齐次方程解非齐次方程(2)的常数变易法的常数变易法例例4解解方程通解为方程通解为积分得积分得一一 解解 的特征方程法的特征方程法特征方程特征方程通解通解通解通解 8 8 二阶常系数齐次线性方程的解法二阶常系数齐次线性方程的解法通解通解例例1 1

7、解解例例2 2解解例例3 3解解特征方程为特征方程为每个特征根都对应着通解中一项每个特征根都对应着通解中一项,带有一个任意常数带有一个任意常数.注注例例4 4解解例例5 5解解设设 9 9 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程例例1 1解解例例2 2解解例例3解解例例4解解例例5解解例例6解解例例7解解齐次方程齐次方程可化为齐次可化为齐次可分离变量可分离变量线性方程线性方程伯努利方程伯努利方程全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程例例1解解解解1例例2例例3解解齐次方程或齐次方程或B方程方程一阶线性方程一阶线性方程解解2例例5解解1一阶线性方程一阶线性方程解解2全微分方程全微分方程解解例例4B方程方程例例6B方程方程解解例例8解解例例7解解x(y)一阶线性方程一阶线性方程例例9解解解解例例10例例11解解例例13例例12解解解解一一 判别类型判别类型二二 解方程解方程课堂练习课堂练习二阶线性微分方程二阶线性微分方程例例2解解解解例例1例例4解解1解解2例例3解解例例5解解例例6 6解解例例7 7例例8解解解解得得解解例例9例例10解解例例11解解例例12解解例例13解解(02考研考研)6.6.课堂练习课堂练习例例17解解(03考研考研)