直角三角形的性质与判定 (10).ppt

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1、第一章第一章 三角形的证明三角形的证明 1.1.如图，在高为米，坡角为如图，在高为米，坡角为3030的楼梯表的楼梯表面铺毯，地毯长度约为多米？面铺毯，地毯长度约为多米？3030米米 2.2.我我们们曾曾经经探探索索过过直直角角三三角角形形的的哪哪些些性性质和判定方法？质和判定方法？3.3.直角三角形的边有哪些性质？直角三角形的边有哪些性质？一般性质：直角三角形的边具有一般三角一般性质：直角三角形的边具有一般三角 形的所有性质形的所有性质.特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐 角等于角等于3030，那么它所对的直角，那么它所对的直角 边等于斜边的一半边等于斜边

2、的一半.1 1.直角三角形的角有哪些性质？直角三角形的角有哪些性质？想一想想一想2 2.直角三角形的边有哪些性质？直角三角形的边有哪些性质？3.3.如果一个三角形有两个锐角互余，那么如果一个三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？这个三角形是直角三角形吗？为什么？阅读课本阅读课本14-1814-18页，回答问题：页，回答问题：1 1.什么是直角三角形？什么是直角三角形？2 2.直角三角形的角有哪些性质？反之，任意一个直角三角形的角有哪些性质？反之，任意一个三角形的两锐角具备这种关系就是直角三角形么三角形的两锐角具备这种关系就是直角三角形么？请说明理由。？请说明理由。3 3.

3、直角三角形的边有哪些性质？勾股定理内容是直角三角形的边有哪些性质？勾股定理内容是什么？反之，在一个三角形中，当两边的平方和什么？反之，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形么？请说明理由。么？请说明理由。4 4.逆命题、逆定理的概念是什么？两个互逆命题、逆命题、逆定理的概念是什么？两个互逆命题、互逆定理的关系是什么？真命题的逆命题是真命互逆定理的关系是什么？真命题的逆命题是真命题么？定理的逆命题也是定理么？题么？定理的逆命题也是定理么？勾勾股股定定理理:如如果果直直角角三三角角形形两两直直角角边边分分别别为为a a、b

4、 b，斜斜边边为为c c，那那么么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2.即即直直角角三三角角形形两两直直角角边边的的平平方方和和等等于于斜斜边边的的平平方方.勾勾股股定定理理在在西西方方文文献献中中又又称称为为毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理c ca ab bc ca ab bc ca ab bc ca ab b(a+b)(a+b)2 2=c c2 2+4+4 ab/2ab/2a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=c c2 2+2ab+2abaa2 2+b+b2 2=c=c2 2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 也可以表示为也可以表示为(a+b)(a+b)2 2c c2

5、2+4+4 ab/2ab/2c ca a c ca a c cb b c ca a c c2 2=4=4 ab/2+(b-a)ab/2+(b-a)2 2 c c2 2=2ab+b=2ab+b2 2-2ab+a-2ab+a2 2 c c2 2=a=a2 2+b+b2 2aa2 2+b+b2 2=c=c2 2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 也可以表示为也可以表示为c c2 24 4 ab/2+(b-a)ab/2+(b-a)2 2 1 1.直角三角形的性质：直角三角形的性质：定理：直角三角形两锐角互余定理：直角三角形两锐角互余.定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形定理：有两个锐

6、角互余的三角形是直角三角形.勾勾股股定定理理:直直角角三三角角形形两两直直角角边边的的平平方方和和等等于于 斜边的平方斜边的平方.勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。于斜边的平方。反过来：反过来：反过来：反过来：如果一个三角形两边的平方和等于第三如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方边的平方,那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。提问：这个命题的条件是什么？结论是什么？提问：这个命题的条件是什么？结论是什么？请你根据条件和结论写出已知和求证请你根据条件和结论写出已知和求证.已已 知知：如如 图图（1

7、1），在在 ABCABC中中，ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2。求证：求证：ABCABC是直角三角形是直角三角形.A AB BC C图（图（1 1）A AB BC C图（图（1 1）AABBCC图（图（2 2）证明：如图（证明：如图（2 2）作）作RtABCRtABC,使使A=90A=90，AB=AB,AC=AC,AB=AB,AC=AC,ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2（勾股定理）（勾股定理）.ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2,BCBC2 2=BC=BC2 2.BC=BC.BC=BC.ABCABC(SSS).ABCABC(SSS).A=A=

8、90A=A=90(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).).即，即，ABCABC是直角三角形是直角三角形.定理定理:直角三角形两条直角边的平方直角三角形两条直角边的平方 和等于斜边的平方。和等于斜边的平方。定理定理:如果三角形两边的平方和等于第三如果三角形两边的平方和等于第三边的平方边的平方,那么这个三形是直角三角形。那么这个三形是直角三角形。两个定理的条件和结论有什么样的关系？两个定理的条件和结论有什么样的关系？议一议议一议观观 察察如果两个角是对顶角，那么他们相等；如果两个角是对顶角，那么他们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角。如果两个角相等，那么它们是对顶角。一个三角形中相

9、等的边所对的角相等；一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等。一个三角形中相等的角所对的边相等。如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。以上两个命题的条件和结论有类似的关系吗？以上两个命题的条件和结论有类似的关系吗？以上两个命题的条件和结论有类似的关系吗？以上两个命题的条件和结论有类似的关系吗？在两个命题中在两个命题中,如果一个命题的条件和结如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件论分别是另一个命题的结论和条件,那么这那么这两个命题称为两个命题称为互逆命题互

10、逆命题,其中一个命题称为其中一个命题称为另一个命题的另一个命题的逆命题逆命题.互逆命题互逆命题 你能写出命题你能写出命题“如果两个有理数相等如果两个有理数相等,那那么它们的平方相等么它们的平方相等”的逆命题吗的逆命题吗?它们都是真命题吗它们都是真命题吗?想一想想一想 说说出出下下列列命命题题的的逆逆命命题题，并并判判断断每每对对命命题题的真假：的真假：（1 1）四边形是多边形；）四边形是多边形；（2 2）两直线平行，同旁内角互补；）两直线平行，同旁内角互补；（3 3）如果）如果abab=0=0，那么，那么a=0,b=0.a=0,b=0.提提问问：一一个个命命题题是是真真命命题题，它它的的逆逆命

11、命题题一一定是真命题吗？定是真命题吗？一个命题是真命题一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题它逆命题却不一定是真命题.你还能举出一些例子吗你还能举出一些例子吗?想一想想一想:互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理那么它是一个定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个定理称另一个定理的其中一个定理称另一个定理的逆定理逆定理.互逆定理互逆定理 判断正误：判断正误：（1 1）互逆命题一定是互逆定理；）互逆命题一定是互逆定理；（2 2）互逆定理一定是互逆命题）互逆定理一定是互

12、逆命题.我我们们已已经经学学习习了了一一些些互互逆逆定定理理，如如勾勾股股定定理理及及其其逆逆定定理理、“两两直直线线平平行行，内内错错角角相相等等与与“内内错错角角相相等等，两两直直线线平平行行”等等.请请你你再举出一些互逆定理的例子再举出一些互逆定理的例子.互逆命题互逆命题定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形定理：有两个锐角互余的三角形是直角三角形.勾勾股股定定理理:直直角角三三角角形形两两直直角角边边的的平平方方和和等等于于 斜边的平方斜边的平方.定理定理:如果三角形两边的平方和等于第三如果三角形两边的平方和等于第三边的平方边的平方,那么这个三形是直角三角形。那么这个三形是直角三角形

13、。定理：直角三角形两锐角互余定理：直角三角形两锐角互余.互逆定理互逆定理 1 1.写写出出下下列列命命题题的的逆逆命命题题，并并判判断断每每对对命命题的真假：题的真假：(2)(2)矩形是正方形；矩形是正方形；(3)(3)如果如果x x2 200，那么，那么x0;x0;(4)(4)直角都相等直角都相等.2 2.已已知知：线线段段abcabc的的值值如如下下，则则能能够够组成直角三角形的是（组成直角三角形的是（）(A)346 (B)51213(A)346 (B)51213(C)124 (4)135(C)124 (4)135B3 3.在在ABCABC中，已知，中，已知，AB=13cmAB=13cm，BC=10cmBC=10cm，BCBC边上的中线边上的中线AD=12cm AD=12cm，求证：求证：AB=AC AB=AC 4.已知：在已知：在ABCABC中，中，C=90C=900 0，ADAD是是BCBC边上的中线，边上的中线，DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，求证：求证：ACAC2 2=AE=AE2 2-BE-BE2 2解后反思解后反思 证明线段的平方和或差，常常考虑运用勾股定证明线段的平方和或差，常常考虑运用勾股定理，若无直角三角形，可通过作垂线构造直角三理，若无直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形，以便运用勾股定理。角形，以便运用勾股定理。