管理运筹学-第2章-线性规划的图解法课件.ppt

《管理运筹学-第2章-线性规划的图解法课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《管理运筹学-第2章-线性规划的图解法课件.ppt（36页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、管管 理理 运运 筹筹 学学第二章第二章 线性规划的图解法线性规划的图解法1 1 问题的提出问题的提出2 2 图解法图解法3 3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析1管管 理理 运运 筹筹 学学第二章第二章 线性规划的图解法线性规划的图解法在管理中一些典型的线性规划应用在管理中一些典型的线性规划应用合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小线性规划的组成：线性规

2、划的组成：目标函数 Max F 或 Min F约束条件 s.t.(subject to)满足于决策变量 用符号来表示可控制的因素2管管 理理 运运 筹筹 学学1 1 问题的提出问题的提出例例1.某工厂在计划期内要安排、两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位、产品才能使工厂获利最多？线性规划模型：线性规划模型：目标函数：Maxz=50 x1+100 x2（利润）约束条件：s.t.x1+x2300（设备数量约束）2x1+x2400（原料A数量约束）x2250（原料B数量约束）x1,x203管管 理理 运运 筹筹 学学

3、1 1 问题的提出问题的提出建模过程建模过程1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；2.定义决策变量（x1，x2，xn），每一组值表示一个方案；3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标；4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件一般形式一般形式目标函数：Max（Min）z=c1x1+c2x2+cnxn约束条件：s.t.a11x1+a12x2+a1nxn（=,）b1a21x1+a22x2+a2nxn（=,）b2am1x1+am2x2+amnxn（=,）bm x1，x2，xn04管管 理理 运运 筹筹 学学管管 理理 运运 筹筹 学学2 图图

4、解解 法法 (1)分别取决策变量X1,X2 为坐标向量建立直角坐标系。在直角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。x2x1X20X2=0 x2x1X10X1=06管管 理理 运运 筹筹 学学2 图图 解解 法法（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直线，然后确定不等式所决定的半平面。100200300100200300 x1+x2300 x1+x2=3001001002002x1+x24002x1+x2=400300200300400 x1x1x2x27管管 理理 运运 筹筹 学学2 图图 解解 法法（3）把五个图合并成一个图，

5、取各约束条件的公共部分，如图2-1所示。100100 x2250 x2=250200300200300 x1x2x2=0 x1=0 x2=250 x1+x2=3002x1+x2=400图2-1x2x1CBADE8管管 理理 运运 筹筹 学学管管 理理 运运 筹筹 学学2 图图 解解 法法线性规划的标准化内容之一：线性规划的标准化内容之一：引入松驰变量（含义是资源的剩余量）例1 中引入 s1，s2，s3 模型化为目标函数：Maxz=50 x1+100 x2+0s1+0s2+0s3约束条件：s.t.x1+x2+s1=3002x1+x2+s2=400 x2+s3=250 x1,x2,s1,s2,s3

6、0 对于最优解 x1=50 x2=250，s1=0s2=50s3=0说明：生产50单位产品和250单位产品将消耗完所有可能的设备台时数及原料B，但原料A则还剩余50千克。10管管 理理 运运 筹筹 学学2 图图 解解 法法重要结论：如果线性规划有唯一最优解，则一定有一个可行域的顶点对应最优解；无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为maxz=50 x1+50 x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；11管管 理理 运运 筹筹 学学管管 理理 运运 筹筹 学学2 图图 解解 法法重要结论：无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要

7、的约束条件；无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件4x1+3x21200，则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。13管管 理理 运运 筹筹 学学管管 理理 运运 筹筹 学学进进 一一 步步 讨讨 论论 例例2 2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司

8、加工能力的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成本最低？15管管 理理 运运 筹筹 学学进进 一一 步步 讨讨 论论解：目标函数：Minf=2x1+3x2（购买成本）约束条件：s.t.x1+x2350（总量约束）x1125（A量的约束）2x1+x2600（加工工时的约束）x1,x2016管管 理理 运运 筹筹 学学管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析线性规划的标准化线性规划的标准化一般形式一般形式目标函数：Max（Min）z=c1x1+c2x2+cnxn约束条件：s.t.a11x1+a12x2+a1nxn（=,）b1a21x1+a22x2+a2nxn（=,）

9、b2am1x1+am2x2+amnxn（=,）bm x1，x2，xn0标准形式标准形式目标函数：Maxz=c1x1+c2x2+cnxn约束条件：s.t.a11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2am1x1+am2x2+amnxn=bm x1，x2，xn0，bi018管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析 可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特点：目标最大化；约束为等式；决策变量均非负；右端项非负。对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通过以下变换，将其转化为标准形式:19管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分

10、析图解法的灵敏度分析1.极小化目标函数的问题：设目标函数为 Min f=c1x1+c2x2+cnxn (可以)令 z -f，则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，即 Max z=-c1x1-c2x2-cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们最优解的目标函数值却相差一个符号，即 Min f -Max z20管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析2、约束条件不是等式的问题：设约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ain xn bi 可以引进一个新的变量s，使它等于约束右边与左边之差 s=bi(ai1 x1+ai2 x2+ain xn)显然

11、，s 也具有非负约束，即s0，这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ain xn+s=bi21管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析 当约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ain xn bi 时，类似地令 s=(ai1 x1+ai2 x2+ain xn)-bi 显然，s 也具有非负约束，即s0，这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ain xn-s=bi22管管 理理 运运 筹筹 学学管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析例：将以下线性规划问题转化为标准形式Minf=2x1-3x2+4x3s.t.3x1+4

12、x2-5x362x1+x38x1+x2+x3=-9x1,x2,x3 0解：首先,将目标函数转换成极大化：令 z=-f=-2x1+3x2-4x3 其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松弛变量x4，x5 0。第三个约束条件的右端值为负，在等式两边同时乘-1。24管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析通过以上变换，可以得到以下标准形式的线性规划问题：Max z=-2x1+3 x2-4x3 s.t.3x1+4x2-5x3+x4 =6 2x1 +x3 -x5=8 -x1 -x2 -x3 =9 x1,x2,x3,x4,x5 025管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度

13、分析图解法的灵敏度分析4.*变量无符号限制的问题*：在标准形式中，必须每一个变量均有非负约束。当某一个变量xj没有非负约束时，可以令 xj=xj-xj”其中 xj0，xj”0 即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量，当然xj的符号取决于xj和xj”的大小。26管管 理理 运运 筹筹 学学管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析通过以上变换，可以得到以下标准形式的线性规划问题：Max z=-2x1+3 x2+4 x3 s.t.3x1+4x2+5 x3+x4 =6 2x1 -x3 -x5=8 -x1 -x2 +x3 =9 x1,x2,x3,x4,x5 028管管

14、 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析例：将以下线性规划问题转化为标准形式Minf=2x1-3x2+4x3s.t.3x1+4x2-5x362x1+x38x1+x2+x3=-9x1,x20解：首先,将目标函数转换成极大化：令 z=-f=-2x1+3x2-4x3 其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松弛变量 x4，x5 0。第三个约束条件的右端值为负，在等式两边同时乘-1。变量x3没有非负约束，可以令 x3=x3-x3”其中 x30，x3”029管管 理理 运运 筹筹 学学管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析 灵敏度分析灵敏度分析：建立数学

15、模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）ci,aij,bj变化时，对最优解产生的影响。3.1 目标函数中的系数目标函数中的系数 ci 的灵敏度分析的灵敏度分析考虑例1的情况，ci的变化只影响目标函数等值线的斜率，目标函数z=50 x1+100 x2在z=x2(x2=z斜率为0)到z=x1+x2(x2=-x1+z斜率为-1)之间时，原最优解x1=50，x2=100仍是最优解。一般情况：z=c1x1+c2x2写成斜截式x2=-(c1/c2)x1+z/c2目标函数等值线的斜率为-(c1/c2)，当-1-(c1/c2)0（*）时，原最优解仍是最优解。31管管 理理 运运 筹筹 学学x1

16、x2z=20000=50 x1+100 x2图2-2z=27500=50 x1+100 x2z=0=50 x1+100 x2z=10000=50 x1+100 x2CBADE32管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析假设产品的利润100元不变，即c2=100，代到式（*）并整理得0c1100假设产品的利润50元不变，即c1=50，代到式（*）并整理得50c2+假若产品、的利润均改变，则可直接用式（*）来判断。假设产品、的利润分别为60元、55元，则-2-(60/55)-1那么，最优解为z=x1+x2和z=2x1+x2的交点x1=100，x2=200。33管管 理理

17、 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析3.2约束条件中右边系数bj的灵敏度分析当约束条件中右边系数bj变化时，线性规划的可行域发生变化，可能引起最优解的变化。考虑例1的情况：假设设备台时增加10个台时，即b1变化为310，这时可行域扩大，最优解为x2=250和x1+x2=310的交点，最优解为x1=60，x2=250。变化后的总利润-变化前的总利润=增加的利润(5060+100250)-(5050+100250)=500每个台时的价值为500/10=50元说明在一定范围内每增加（减少）1个台时的设备能力就可增加（减少）50元利润，称为该约束条件的对偶价格。34管管 理理 运

18、运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析假设原料A增加10千克时，即b2变化为410，这时可行域扩大，但最优解仍为x2=250和x1+x2=300的交点x1=50，x2=250。此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶价格为0。解释：原最优解没有把原料A用尽，有50千克的剩余，因此增加10千克值增加了库存，而不会增加利润。35管管 理理 运运 筹筹 学学3 图解法的灵敏度分析图解法的灵敏度分析在一定范围内，当约束条件右边常数增加1个单位时（1）若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改善（变好）；（2）若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函数值受到影响（变坏）；（3）若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数值不变。36