2021年中考数学复习题考点37：锐角三角函数和解直角三角形.pdf

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1、2021 年中考数学复习题：考点37 锐角三角函数和解直角三角形一选择题（共15小题）1（柳州）如图，在 RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，则 sinB=（）ABC D【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算 sinB即可【解答】解：C=90 ，BC=4，AC=3，AB=5，sinB=，故选：A2（孝感）如图，在 RtABC中，C=90，AB=10，AC=8，则 sinA等于（）ABC D【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得【解答】解：在 RtABC中，AB=10、AC=8，BC=6，sinA=，故选：A3（大庆）2cos60=（）A1 BC D【分析】

2、直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案【解答】解：2cos60=2=1故选：A4（天津）cos30的值等于（）ABC 1 D【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可【解答】解：cos30=故选：B5（贵阳）如图，A、B、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则 tanBAC的值为（）AB1 C D【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到ABC为等腰直角三角形，即可求出所求【解答】解：连接BC，由网格可得 AB=BC=，AC=，即 AB2+BC2=AC2，ABC为等腰直角三角形，BAC=45 ，则 tanBAC=1，故选：B6（金华）如图，两根

3、竹竿AB和 AD斜靠在墙 CE上，量得 ABC=，ADC=，则竹竿 AB与 AD的长度之比为（）ABCD【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【解答】解：在 RtABC中，AB=，在 RtACD中，AD=，AB：AD=：=，故选：B7（宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A 的距离，可以在小河边取PA的垂线 PB上的一点 C，测得 PC=100米，PCA=35 ，则小河宽 PA等于（）A100sin35 米 B100sin55 米 C 100tan35 米 D100tan55 米【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度【解答】解：PA PB，PC=100米，PCA=3

4、5 ，小河宽 PA=PCtan PCA=100tan35 米故选：C8（威海）如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 y=4xx2刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画，下列结论错误的是（）A当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距 O点水平距离为 3mB小球距 O点水平距离超过 4 米呈下降趋势C小球落地点距O点水平距离为 7 米D斜坡的坡度为 1：2【分析】求出当y=7.5 时，x 的值，判定 A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D【解答】解：当 y=7.5时，7.5=4xx2，

5、整理得 x28x+15=0，解得，x1=3，x2=5，当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距 O 点水平距离为 3m 或 5 侧面 cm，A错误，符合题意；y=4xx2=（x4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，当 x4 时，y 随 x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势，B正确，不符合题意；，解得，则小球落地点距 O点水平距离为 7 米，C正确，不符合题意；斜坡可以用一次函数y=x 刻画，斜坡的坡度为 1：2，D 正确，不符合题意；故选：A9（淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100 米，其铅直高度上升了 15 米在用科学计算器求坡角的度数时，具体按键顺序

6、是（）ABCD【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角【解答】解：sinA=0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A10（重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58 ，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度 i=1：0.75，坡长 CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离 BC=1米，则旗杆 AB的高度约为（）（参考数据：sin58 0.85，cos58 0.53，tan58 1.6）A12.6 米 B13.1 米C14.7 米 D1

7、6.3 米【分析】如图延长AB交 ED的延长线于 M，作 CJ DM 于 J则四边形 BMJC是矩形在 RtCDJ中求出 CJ、DJ，再根据，tanAEM=构建方程即可解决问题；【解答】解：如图延长 AB交 ED的延长线于 M，作 CJ DM 于 J 则四边形 BMJC是矩形在 RtCJD中，=，设 CJ=4k，DJ=3k，则有 9k2+16k2=4，k=，BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，在 RtAEM中，tanAEM=，1.6=，解得 AB13.1（米），故选：B11（重庆）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走2

8、0 米到达点 C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为 10 米的斜坡 CD到达点 D，然后再沿水平方向向右行走40 米到达点 E（A，B，C，D，E均在同一平面内）在 E处测得建筑物顶端A 的仰角为 24，则建筑物 AB的高度约为（参考数据：sin24 0.41，cos24 0.91，tan24=0.45）（）A21.7 米 B22.4 米C27.4 米 D28.8 米【分析】作 BMED交 ED的延长线于 M，CN DM 于 N首先解直角三角形RtCDN，求出 CN，DN，再根据 tan24=，构建方程即可解决问题；【解答】解：作 BMED交 ED的延长线于 M，CNDM 于

9、 N在 RtCDN中，=，设 CN=4k，DN=3k，CD=10，（3k）2+（4k）2=100，k=2，CN=8，DN=6，四边形 BMNC是矩形，BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在 RtAEM中，tan24=，0.45=，AB=21.7（米），故选：A12（长春）如图，某地修建高速公路，要从A 地向 B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量 A、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地出发，垂直上升 800 米到达 C处，在 C处观察 B地的俯角为 ，则 A、B两地之间的距离为（）A800sin 米B800tan 米C 米D米【分析】在 RtABC中

10、，CAB=90 ，B=，AC=800米，根据 tan=，即可解决问题；【解答】解：在 RtABC中，CAB=90 ，B=，AC=800米，tan=，AB=故选：D13（香坊区）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋楼顶部 B 的仰角为 30，看这栋楼底部C的俯角为 60，热气球 A 与楼的水平距离为120 米，这栋楼的高度 BC为（）A160 米B（60+160）C 160米D360 米【分析】首先过点A 作 ADBC于点 D，根据题意得 BAD=30 ，CAD=60 ，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案【解答】解：过点A 作 ADBC于点 D，则 BAD=30 ，CAD=

11、60 ，AD=120m，在 RtABD中，BD=AD?tan30=120=40（m），在 RtACD中，CD=AD?tan60=120=120（m），BC=BD+CD=160（m）故选：C14（绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30 方向，继续向南航行 30 海里到达 C点时，测得海岛 B在 C点的北偏东 15方向，那么海岛 B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：1.732，1.414）A4.64 海里B5.49 海里C 6.12 海里D6.21 海里【分析】根据题意画出图形，结合图形知BAC=30 、ACB=15 ，作 BDA

12、C于点 D，以点 B为顶点、BC为边，在 ABC内部作 CBE=ACB=15 ，设 BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出 AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得【解答】解：如图所示，由题意知，BAC=30 、ACB=15 ，作 BDAC于点 D，以点 B为顶点、BC为边，在ABC内部作 CBE=ACB=15 ，则BED=30 ，BE=CE，设 BD=x，则 AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，AC=AD+DE+CE=2x+2x，AC=30，2x+2x=30，解得：x=5.49，故选：B15（苏州）如图，某海监船以20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海

13、监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿 P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达 B处，测得岛屿 P在其北偏西 30 方向，保持航向不变又航行2 小时到达 C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A40 海里 B60 海里 C20海里D40海里【分析】首先证明 PB=BC，推出 C=30 ，可得 PC=2PA，求出 PA即可解决问题；【解答】解：在 RtPAB中，APB=30 ，PB=2AB，由题意 BC=2AB，PB=BC，C=CPB，ABP=C+CPB=60 ，C=30 ，PC=2PA，PA=AB?tan60 ，PC=2 20=40（海里），故选：D二填空题（共17小题）16

14、（北京）如图所示的网格是正方形网格，BACDAE （填“”，“=”或“”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求 BAC、DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断【解答】解：连接NH，BC，过 N 作 NPAD于 P，SANH=2211=AH?NP，=PN，PN=，RtANP中，sinNAP=0.6，RtABC中，sinBAC=0.6，正弦值随着角度的增大而增大，BAC DAE，故答案为：17（滨州）在 ABC中，C=90，若 tanA=，则 sinB=【分析】直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：如图所示：

15、C=90 ，tanA=，设 BC=x，则 AC=2x，故 AB=x，则 sinB=故答案为：18（泰安）如图，在 ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点 D 是 AC边上的动点（不与点 C重合），过 D 作 DE BC，垂足为 E，点 F是 BD的中点，连接 EF，设 CD=x，DEF的面积为 S，则 S与 x 之间的函数关系式为S=x2【分析】可在直角三角形CED中，根据 DE、CE的长，求出 BED的面积即可解决问题【解答】解：（1）在 RtCDE中，tanC=，CD=xDE=x，CE=x，BE=10 x，SBED=（10 x）?x=x2+3xDF=BF，S=SBED=x2，故答案

16、为 S=x219（无锡）已知 ABC 中，AB=10，AC=2，B=30，则 ABC 的面积等于15或 10【分析】作 ADBC交 BC（或 BC延长线）于点 D，分 AB、AC位于 AD异侧和同侧两种情况，先在 RtABD中求得 AD、BD的值，再在 RtACD中利用勾股定理求得 CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得【解答】解：作 ADBC交 BC（或 BC延长线）于点 D，如图 1，当 AB、AC位于 AD异侧时，在 RtABD中，B=30 ，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在 RtACD中，AC=2，CD=，则 BC=BD+C

17、D=6，SABC=?BC?A D=65=15；如图 2，当 AB、AC在 AD的同侧时，由知，BD=5，CD=，则 BC=BD CD=4，SABC=?BC?AD=45=10综上，ABC的面积是 15或 10，故答案为 15或 1020（香坊区）如图，在 ABC中，AB=AC，tanACB=2，D 在ABC内部，且AD=CD，ADC=90 ，连接 BD，若 BCD的面积为 10，则 AD的长为5【分析】作辅助线，构建全等三角形和高线DH，设 CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC和 AM 的长，根据三角形面积表示DH 的长，证明ADG CDH（AAS），可得 DG=DH=MG=，A

18、G=CH=a+，根据 AM=AG+MG，列方程可得结论【解答】解：过 D 作 DHBC于 H，过 A 作 AMBC于 M，过 D 作 DGAM 于 G，设 CM=a，AB=AC，BC=2CM=2a，tanACB=2，=2，AM=2a，由勾股定理得：AC=a，SBDC=BC?DH=10，=10，DH=，DHM=HMG=MGD=90，四边形 DHMG为矩形，HDG=90=HDC+CDG，DG=HM，DH=MG，ADC=90 =ADG+CDG，ADG=CDH，在ADG和CDH中，ADG CDH（AAS），DG=DH=MG=，AG=CH=a+，AM=AG+MG，即 2a=a+，a2=20，在 RtAD

19、C中，AD2+CD2=AC2，AD=CD，2AD2=5a2=100，AD=5或5（舍），故答案为：521（眉山）如图，在边长为1 的小正方形网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点 O，则 tanAOD=2【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，ACO BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得 OF：CF=OF：BF=1：2，在 RtOBF中，即可求得 tanBOF的值，继而求得答案【解答】解：如图，连接BE，四边形 BCEK 是正方形，KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE CK，BF=CF，根据题意得：ACBK，ACO

20、 BKO，KO：CO=BK：AC=1：3，KO：KF=1：2，KO=OF=CF=BF，在 RtPBF中，tanBOF=2，AOD=BOF，tanAOD=2 故答案为：222（德州）如图，在44 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上，则BAC的正弦值是【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，AC2+BC2=AB2，ABC为直角三角形，且 ACB=90 ，则 sinBAC=，故答案为：23（齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD 是对角线，AB

21、C=90 ，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段 CD=17【分析】作 AHBD于 H，CG BD于 G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出 HD，得到 BD，根据勾股定理计算即可【解答】解：作 AHBD于 H，CG BD于 G，tanABD=，=，设 AH=3x，则 BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则 AH=12，BH=16，在 RtAHD中，HD=5，BD=BH+HD=21，ABD+CBD=90 ，BCH+CBD=90 ，ABD=CBH，=，又 BC=10，BG=6，CG=8，DG=BD BG=15，CD=17，

22、故答案为：1724（广州）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则 tanC=【分析】根据直角三角形的性质解答即可【解答】解：旗杆高AB=8m，旗杆影子长 BC=16m，tanC=，故答案为：25（枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为 31，AB的长为 12米，则大厅两层之间的高度为6.2米（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31=0.515，cos31=0.857，tan31=0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题【解答】解：在 RtABC中，ACB=90 ，BC=AB?sin BAC=12 0.5156.2（米），

23、答：大厅两层之间的距离BC的长约为 6.2 米故答案为：6.226（广西）如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部 C处的仰角是 30，从甲楼顶部 B处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45，已知甲楼的高 AB是 120m，则乙楼的高CD是40m（结果保留根号）【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系得出答案【解答】解：由题意可得：BDA=45 ，则 AB=AD=120m，又 CAD=30 ，在 RtADC中，tanCDA=tan30=，解得：CD=40（m），故答案为：4027（宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在 C处测得 A，B 两

24、点的俯角分别为45 和 30 若飞机离地面的高度CH为 1200 米，且点 H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（1）米（结果保留根号）【分析】在 RtACH和 RtHCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出 AH、BH的长，然后计算出AB的长【解答】解：由于CDHB，CAH=ACD=45 ，B=BCD=30 在 RtACH中，CAH=45 AH=CH=1200 米，在 RtHCB，tanB=HB=1200（米）AB=HB HA=12001200=1200（1）米故答案为：1200（1）28（黄石）如图，无人机在空中C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为60、45，如果无人

25、机距地面高度CD为米，点 A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+）米（结果保留根号）【分析】如图，利用平行线的性质得A=60 ，B=45 ，在 RtACD中利用正切定 义 可 计 算 出 AD=100，在 Rt BCD 中 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得BD=CD=100，然后计算 AD+BD即可【解答】解：如图，无人机在空中 C处测得地面 A、B两点的俯角分别为60、45，A=60 ，B=45 ，在 RtACD中，tanA=，AD=100，在 RtBCD中，BD=CD=100，AB=AD+BD=100+100=100（1+）答：A、B两点间的距离为

26、100（1+）米故答案为 100（1+）29（咸宁）如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B的仰角为 45，测得底部 C的俯角为 60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为 110m，那么该建筑物的高度BC约为300m（结果保留整数，1.73）【分析】在 RtABD中，根据正切函数求得BD=AD?tan BAD，在 RtACD中，求得 CD=AD?tan CAD，再根据 BC=BD+CD，代入数据计算即可【解答】解：如图，在RtABD中，AD=90，BAD=45 ，BD=AD=110（m），在 RtACD中，CAD=60 ，CD=AD?ta n60=110=190（m），BC=BD+C

27、D=110+190=300（m）答：该建筑物的高度BC约为 300 米故答案为 30030（天门）我国海域辽阔，渔业资源丰富如图，现有渔船B 在海岛 A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛 A 的北偏东 45 方向上在渔船 B上测得海岛A位于渔船 B的北偏西 30 的方向上，此时海岛 C恰好位于渔船 B的正北方向 18（1+）n mile 处，则海岛 A，C之间的距离为18n mile【分析】作 ADBC于 D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD，根据题意列式计算即可【解答】解：作 ADBC于 D，设 AC=x海里，在 RtACD中，AD=AC sinACD=x，则 CD=x，在 R

28、tABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为 18海里故答案为：1831（潍坊）如图，一艘渔船正以60 海里/小时的速度向正东方向航行，在A 处测得岛礁 P在东北方向上，继续航行1.5 小时后到达 B处，此时测得岛礁 P在北偏东 30 方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M 在北偏东 60 方向为了在台风到来之前用最短时间到达M 处，渔船立刻加速以75 海里/小时的速度继续航行小时即可到达（结果保留根号）【分析】如图，过点P 作 PQAB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MNAB 交AB延长线于点 N，通过解直角 AQP、直角 BPQ求得 PQ

29、的长度，即 MN 的长度，然后通过解直角 BMN 求得 BM 的长度，则易得所需时间【解答】解：如图，过点P作 PQAB交 AB延长线于点 Q，过点 M 作 MNAB交 AB延长线于点 N，在直角 AQP中，PAQ=45 ，则 AQ=PQ=60 1.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ 90在直角 BPQ中，BPQ=30 ，则 BQ=PQ?tan30=PQ（海里），所以 PQ 90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角 BMN 中，MBN=30，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以=（小时）故答案是：32（济宁）如图，在一笔直的海

30、岸线l 上有相距 2km 的 A，B 两个观测站，B站在 A 站的正东方向上，从A站测得船 C在北偏东 60 的方向上，从 B 站测得船C在北偏东 30 的方向上，则船 C到海岸线 l 的距离是km【分析】首先由题意可证得：ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在 RtCBD中，CD=BC?sin60 ，求得答案【解答】解：过点C作 CD AB于点 D，根据题意得：CAD=90 60=30，CBD=90 30=60，ACB=CBD CAD=30 ，CAB=ACB，BC=AB=2km，在 RtCBD中，CD=BC?sin60=2=（km）故答案为：三解答题（共18小题）33（贵阳）如图，在

31、RtABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：sinA=，sinB=c=，c=根据你掌握的三角函数知识在图的锐角ABC中，探究、之间的关系，并写出探究过程【分析】三式相等，理由为：过A 作 ADBC，BEAC，在直角三角形 ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形 ADC中，利用锐角三角函数定义表示出 AD，两者相等即可得证【解答】解：=，理由为：过 A 作 ADBC，BEAC，在 RtABD中，sinB=，即 AD=csinB，在 RtADC中，sinC=，即 AD=bsinC，csinB=bsinC，即=，同理可得=，则=34（上海）如图，已知 ABC中，AB=BC=5，ta

32、nABC=（1）求边 AC的长；（2）设边 BC的垂直平分线与边AB的交点为 D，求的值【分析】（1）过 A 作 AEBC，在直角三角形 ABE中，利用锐角三角函数定义求出 AC的长即可；（2）由 DF垂直平分 BC，求出 BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出 AD的长，即可求出所求【解答】解：（1）作 A 作 AE BC，在 RtABE中，tanABC=，AB=5，AE=3，BE=4，CE=BC BE=5 4=1，在 RtAEC中，根据勾股定理得：AC=；（2）DF垂直平分 BC，BD=CD，BF=CF=，tanDBF=，DF=，在 RtBFD中，根

33、据勾股定理得：BD=，AD=5=，则=35（自贡）如图，在 ABC中，BC=12，tanA=，B=30；求 AC和 AB的长【分析】如图作 CH AB于 H在 Rt求出 CH、BH，这种 RtACH中求出 AH、AC即可解决问题；【解答】解：如图作CHAB于 H在 RtBCH中，BC=12，B=30 ，CH=BC=6，BH=6，在 RtACH中，tanA=，AH=8，AC=10，AB=AH+BH=8+636（烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40 千米/小时数学

34、实践活动小组设计了如下活动：在 l 上确定 A，B 两点，并在 AB路段进行区间测速在l 外取一点 P，作 PC l，垂足为点 C测得 PC=30米，APC=71 ，BPC=35 上午 9 时测得一汽车从点 A 到点 B用时 6 秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速（参考数据：sin35 0.57，cos35 0.82，tan35 0.70，sin71 0.95，cos71 0.33，tan71 2.90）【分析】先求得 AC=PCtan APC=87、BC=PCtan BPC=21，据此得出 AB=AC BC=8721=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得【解答】解：在 R

35、tAPC中，AC=PCtan APC=30tan71 302.90=87，在 RtBPC中，BC=PCtan BPC=30tan35 300.70=21，则 AB=AC BC=87 21=66，该汽车的实际速度为=11m/s，又40km/h11.1m/s，该车没有超速37（绍兴）如图 1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图 3 是图 2 中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN 安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D 始终在一直线上，延长DE交 MN 于点 F已知 AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm（1）窗扇完全打开，张角C

36、AB=85 ，求此时窗扇与窗框的夹角DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角 CAB=60 ，求此时点 A，B之间的距离（精确到 0.1cm）（参考数据：1.732，2.449）【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题【解答】解：（1）AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，四边形 ACDE是平行四边形，AC DE，DFB=CAB，CAB=85 ，DFB=85 ；（2）作 CG AB于点 G，AC=20，CGA=90 ，CAB=60 ，CG=，AG=10，BD=40，CD=10，CB=30，BG=，AB=AG+BG=

37、10+1010+102.449=34.4934.5cm，即 A、B 之间的距离为 34.5cm38（临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，A=30，C=45，AC=2（+1）m请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m 的圆形门？【分析】过 B作 BD AC于 D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可【解答】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门，理由是：过 B作 BDAC于 D，ABBD，BC BD，AC AB，求出 DB长和 2.1m 比较即可，设 BD=xm，A=30 ，C=45 ，DC=BD=xm，AD=BD=xm，A

38、C=2（+1）m，x+x=2（+1），x=2，即 BD=2m2.1m，工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门39（长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建如图，A、B 两地之间有一座山汽车原来从A 地到 B 地需途径 C地沿折线 ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶已知 BC=80千米，A=45 ，B=30 （1）开通隧道前，汽车从A 地到 B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1千米）（参考数据：141，1.73）【分析】（1）过点 C作 AB的垂线 CD，垂足为 D

39、，在直角 ACD中，解直角三角形求出 CD，进而解答即可；（2）在直角 CBD中，解直角三角形求出BD，再求出 AD，进而求出汽车从A地到 B地比原来少走多少路程【解 答】解：（1）过 点C 作AB的 垂 线CD，垂 足 为D，ABCD，sin30=，BC=80千米，CD=BC?sin30=80（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40401.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A 地到 B地大约要走 136.4 千米；（2）cos30=，BC=80（千米），BD=BC?cos30=80（千米），tan45=，CD=40（千米），AD=（千米），AB=AD+BD=40+

40、4040+401.73=109.2（千米），汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BC AB=136.4 109.2=27.2（千米）答：汽车从 A 地到 B地比原来少走的路程为27.2 千米40（白银）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式如图，A，B 两地被大山阻隔，由 A 地到 B地需要绕行 C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从 A 地到 B地的路程已知：CAB=30 ，CBA=45 ，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到 B 地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：

41、1.7，1.4）【分析】过点 C作 CD AB于点 D，利用锐角三角函数的定义求出CD及 AD的长，进而可得出结论【解答】解：过点C作 CD AB于点 D，在 RtADC和 RtBCD中，CAB=30 ，CBA=45 ，AC=640，CD=320，AD=320，BD=CD=320，BC=320，AC+BC=640+3201088，AB=AD+BD=320+320864，1088864=224（公里），答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到 B地的路程将约缩短224 公里41（随州）随州市新?水一桥（如图 1）设计灵感来源于市花兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258 米，宽 32 米，为双

42、向六车道，2018 年 4 月3 日通车斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成某座斜拉桥的部分截面图如图2 所示，索塔 AB 和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索 AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上已知 ABC=DEB=45 ，ACB=30 ，BE=6米，AB=5BD（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质计算DE的长；（2）作 AHBC于 H，如图 2，由于 BD=DE=3，则 AB=3BD=15，在 RtABH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=AH=15，然后在 RtACH中利用含30 度的直角三角

43、形三边的关系即可得到AC的长【解答】解：（1）ABC=DEB=45 ，BDE为等腰直角三角形，DE=BE=6=3答：最短的斜拉索DE的长为 3m；（2）作 AHBC于 H，如图 2，BD=DE=3，AB=3BD=5 3=15，在 RtABH中，B=45 ，BH=AH=AB=15=15，在 RtACH中，C=30 ，AC=2AH=30 答：最长的斜拉索AC的长为 30m42（遵义）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂 AB与水平线的夹角为64，吊臂底部 A距地面 1.5m（计算结果精确到 0.1m，参考数据 sin64 0.90，cos64 0.44，tan64 2.0

44、5）（1）当吊臂底部 A 与货物的水平距离AC为 5m 时，吊臂 AB的长为11.4m（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD 为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；（2）过点 D 作 DH地面于 H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可【解答】解：（1）在 RtABC中，BAC=64 ，AC=5m，AB=（m）；故答案为：11.4；（2）过点 D 作 DH地面于 H，交水平线于点E，在 RtADE中，AD=20m，DAE=64 ，EH=1.5m，DE=sin64AD200.918（m），即 DH=

45、DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是 19.5m43（资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 A 处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30 角，线段 AA1表示小红身高 1.5 米（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD 的长度；（2）当她从点 A 跑动 9米到达点 B 处时，风筝线与水平线构成45 角，此时风筝到达点 E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D【分析】（1）在 RtACD中，由 AD=可得答案；

46、（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x，在Rt BEF 中 求 得AD=BE=18+x，由 cosCAD=可建立关于 x 的方程，解之求得x的值，即可得出 AD的长，继而根据 CD=ADsin CAD求得 CD从而得出答案【解答】解：（1）在 RtACD中，cosCAD=，AC=18、CAD=30 ，AD=12（米），答：此时风筝线 AD的长度为 12米；（2）设 AF=x米，则 BF=AB+AF=9+x（米），在 RtBEF中，BE=18+x（米），由题意知 AD=BE=18+x（米），CF=10，AC=AF+CF=10+x，由 cosCAD=可得=，解得：x=3+2，则 AD=18

47、+（3+2）=24+3，CD=ADsin CAD=（24+3）=，则 C1D=CD+C1C=+=，答：风筝原来的高度C1D为米44（山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设 13 对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量测量结果如下表项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索 AC，BC相交于点 C，分别与桥面交于 A，B两点，且点 A，B，C在同一竖直平面内测量数据A 的度数B的度数A

48、B的长度3828234 米（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到 AB的距离（参考数据：sin38 0.6，cos38 0.8，tan38 0.8，sin28 0.5，cos280.9，tan280.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）【分析】（1）过点 C作 CD AB于点 D解直角三角形求出DC即可；（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等【解答】解：（1）过点 C作 CD AB于点 D设 CD=x米，在 RtADC中，ADC=90 ，A=38 ，在 RtBDC中，B

49、DC=90 ，B=28 ，AD+BD=AB=234，解得 x=72答：斜拉索顶端点C到 AB的距离为 72 米（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等（答案不唯一）45（常德）图 1 是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即 AB=CD），将左边的门 ABB1A1绕门轴 AA1向里面旋转 37，将右边的门CDD1C1绕门轴 DD1向外面旋转 45，其示意图如图 2，求此时 B与 C之间的距离（结果保留一位小数）（参考数据：sin37 0.6，cos37 0.8，1.4）【分析】作 BEAD于点 E，作 CF AD于点 F，延长 FC

50、到点 M，使得 BE=CM，则 EM=BC，在 RtABE、RtCDF中可求出 AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出 EF的长度，再在 RtMEF中利用勾股定理即可求出EM 的长，此题得解【解答】解：作 BE AD于点 E，作 CF AD于点 F，延长 FC到点 M，使得 BE=CM，如图所示AB=CD，AB+CD=AD=2，AB=CD=1 在 RtABE中，AB=1，A=37 ，BE=AB?sin A0.6，AE=AB?cos A0.8在 RtCDF中，CD=1，D=45 ，CF=CD?sin D0.7，DF=CD?cos D0.7BE AD，CF AD，BE CM，又BE=CM，四边形