2020年四川省成都市崇州市中考数学二诊试卷(解析版).pdf

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1、2020 年四川省成都市崇州市中考数学二诊试卷一、选择题（共10 小题）.1 4 的倒数是（）A 4B4CD2崇州（古称蜀州），老子思想创立发扬地，崇州市历史悠久，汉代称蜀川，唐代称蜀州，其建制历史长达4300 年，公元316 年设立县制，1994 年撤县设市崇州市全市幅员面积 1090 平方公里，呈“四山一水五分田”格局，是距离成都天府广场最近的郊区区域，是四川省首批命名的历史悠久名城，辖6 个街道办事处，9 个镇，户籍人口66.48 万（其中城镇人口31.6 万），常住人口75 万，用科学记数法表示75 万为（）A7.5104B75104C0.75106D7.51053如图是由四个相同的小

2、正方体组成的立体图形，它的左视图为（）ABCD4下列运算正确的是（）Ax6x3x2Bx?x4 x5C3x2x23D（2x2）3 6x65下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A等边三角形B平行四边形C梯形D矩形6为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85 分，且 S甲2100、S乙2 110、S丙2120、S丁290根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（）A甲、乙B甲、丙C甲、丁D乙、丙7一次函数y 2x+4 的图象与y 轴交点的坐标是（）A（0，4）B（0，4）C（2，0）D（2，0）8如图，把一块含有45

3、角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果 120，那么 2 的度数是（）A30B25C20D159按图1 的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径OA3，圆心角 AOB 120，则的长为（）AB2C3D410对于二次函数y2（x1）28，下列说法正确的是（）A图象开口向下B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小C当 x1 时，y 随 x 的增大而减小D图象的对称轴是直线x 1二、填空题11因式分解：x2y9y12若关于x 的方程 x2+2x+k10 的一个根是0，则 k13函数中，自变量x 的取值范围是14如图，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：分别以点A 和 C 为圆心，以大于AC的长

4、为半径作弧，两弧相交于点M 和 N；作直线 MN 交 CD 于点 E若 DE2，CE3，则矩形的对角线AC 的长为三、解答题15（1）计算：|4|+（）1（1）0cos45（2）解方程：+116先化简再求值：，其中 x 满足 x2+x2017如图，我市常璩广场一灯柱AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成40夹角，且DB 5m，在 C 点上方 E 处加固另一条钢缆ED，钢缆 ED 与地面夹角为60，现在要在EC处放置一个广告牌，请问广告牌EC 的高度为多少？（sin40 0.6，cos40 0.8，tan40 0.8）18“知识改变命运，科技繁荣祖国”杭州市中小学每年都要举办一届科技运动会如

5、图为某校2011 年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：（1）该校参加航模比赛的总人数是人，空模所在扇形的圆心角的度数是，并把条形统计图补充完整；（2）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80 人，其中有 32 人获奖 今年杭州市中小学参加航模比赛人数共有2485 人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？19如图，已知正比例函数y2x 和反比例函数的图象交于点A（m，2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿 OA 方向平移个单位长度得到点B，

6、判断四边形OABC的形状并证明你的结论20如图，ABC 内接于 O，且 AB 为O 的直径 ACB 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F（1）求证：DPAB；（2）试猜想线段AE，EF，BF 之间有何数量关系，并加以证明；（3）若 AC6，BC8，求线段PD 的长21若实数a 满足 a22a10，则 2a24a+522有 6 张正面分别标有数字2，1，0，2，4，6 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于

7、x 的不等式有实数解的概率为23如图，AC 是O 的直径，弦BD AO，垂足为点E，连接 BC，过点 O 作 OF BC，垂足为 F，若 BD 8cm，AE2cm，则 OF 的长度是cm24如果点P 是 ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫 ABC的费马点 已经证明：在三个内角均小于120的 ABC 中，当 APB APC BPC120时，P 就是 ABC 的费马点若点P 是腰长为的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD+PE+PF25一副含 30和 45角的三角板ABC 和 DEF 叠合在一起，边 BC 与 EF 重合，BCEF12cm（如图 1），点 G 为边 B

8、C（EF）的中点，边FD 与 AB 相交于点H，此时线段BH 的长是现将三角板DEF 绕点 G 按顺时针方向旋转（如图2），在 CGF从 0到 60的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为（结果保留根号）26在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6 元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）在（2）的

9、前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900 元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润27如图 1，共直角边AB 的两个直角三角形中，ABC BAD 90，AC 交 BD 于 P，且 tan C（1）求证：AD AB；（2）如图 2，BECD 于 E 交 AC 于 F 若 F 为 AC 的中点，求的值；当 BDC 75时，请直接写出的值28在平面直角坐标系中，抛物线y x2+（k1）xk 与直线 ykx+1 交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧（1）如图 1，当 k1 时，直接写出A，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直

10、线AB 下方，试求出 ABP面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图 2，抛物线yx2+（k1）xk（k 0）与 x 轴交于点 C、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线ykx+1 上是否存在唯一一点Q，使得 OQC90？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题1 4 的倒数是（）A 4B4CD【分析】根据乘积为1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数解：4 的倒数是，故选：C2崇州（古称蜀州），老子思想创立发扬地，崇州市历史悠久，汉代称蜀川，唐代称蜀州，其建制历史长达4300 年，公元316 年设立县制，1994 年撤县设市崇州市全市幅员面积 1090 平方公里，

11、呈“四山一水五分田”格局，是距离成都天府广场最近的郊区区域，是四川省首批命名的历史悠久名城，辖6 个街道办事处，9 个镇，户籍人口66.48 万（其中城镇人口31.6 万），常住人口75 万，用科学记数法表示75 万为（）A7.5104B75104C0.75106D7.5105【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n 为整数确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解：75 万 7500007.5105，故选：D3如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，

12、它的左视图为（）ABCD【分析】找到从左侧面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形故选：A4下列运算正确的是（）Ax6x3x2Bx?x4 x5C3x2x23D（2x2）3 6x6【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可解：Ax6x3x3，故本选项不合题意；B x?x4 x5，故本选项符合题意；C.3x2 x2 2x2，故本选项不合题意；D（2x2）38x6，故本选项不合题意故选：B5下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A等边

13、三角形B平行四边形C梯形D矩形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，四个选项中，只有D 选项既为中心对称图形又是轴对称图形解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形故本选项正确故选：D6为了从甲、乙、丙、丁四位同学中选派两位选手参加数学竞赛，老师对他们的五次数学测验成绩进行统计，得出他们的平均分均为85 分，且 S甲2100、S乙2 110、S丙2120、S丁290根据统计结果，派去参加竞赛的两位同学是（）A甲、乙B甲、丙C甲、丁D乙、丙【分析

14、】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越小选派方差较小的两位解：从四个方差看，甲，丁的方差在四个同学中是较小的，方差小成绩发挥稳定，所以应选他们两人去参加比赛故选：C7一次函数y 2x+4 的图象与y 轴交点的坐标是（）A（0，4）B（0，4）C（2，0）D（2，0）【分析】在解析式中令x0，即可求得与y 轴的交点的纵坐标解：令 x0，得 y20+44，则函数与y 轴的交点坐标是（0，4）故选：B8如图，把一块含有45角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上如果 120，那么 2 的度数是（）A30B25C20D15【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答解

15、：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，1 3，3+245，1+245 120，225故选：B9按图1 的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径OA3，圆心角 AOB 120，则的长为（）AB2C3D4【分析】弧长的计算公式为，把半径和圆心角代入公式可以求出弧长解：2 故选：B10对于二次函数y2（x1）28，下列说法正确的是（）A图象开口向下B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小C当 x1 时，y 随 x 的增大而减小D图象的对称轴是直线x 1【分析】根据二次函数的性质对比四个选项即可得出结论解：A、y2（x1）28，a20，图象的开口向上，故本选项错误；B、当 x1 时，y 随 x 的增

16、大而增大；故本选项错误；C、当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故本选项正确；D、图象的对称轴是直线x1，故本选项错误故选：C二、填空题11因式分解：x2y9yy（x+3）（x3）【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解解：x2y9y，y（x29），y（x+3）（x3）12若关于x 的方程 x2+2x+k10 的一个根是0，则 k1【分析】欲求k 的值，将该方程的已知根0 代入两根之积公式即可求出k 值解：设方程的另一根为x1，又 x2+2x+k10 的一个根是0，x1?0k1，解得 k113函数中，自变量x 的取值范围是x3【分析】根据二次根式有意义的条件是a0，即

17、可求解解：根据题意得：x30，解得：x3故答案是：x314如图，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：分别以点A 和 C 为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M 和 N；作直线 MN 交 CD 于点 E若 DE2，CE3，则矩形的对角线AC 的长为【分析】连接AE，如图，利用基本作图得到MN 垂直平分AC，则 EAEC3，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC解：连接AE，如图，由作法得MN 垂直平分AC，EA EC3，在 Rt ADE 中，AD，在 Rt ADC 中，AC故答案为三、解答题15（1）计算：|4|+（）1（1）0cos45（2）解方程：+1【分析】（1）原式利用绝对

18、值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解解：（1）原式 4+2124+21 23；（2）去分母得：x（x+1）+x x2 1，解得：x，经检验 x是分式方程的解16先化简再求值：，其中 x 满足 x2+x20【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值解：原式?x（x+1）x2+x，x2+x20，x2+x2，则原式 217如图，我市常璩广场一灯柱AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成

19、40夹角，且DB 5m，在 C 点上方 E 处加固另一条钢缆ED，钢缆 ED 与地面夹角为60，现在要在EC处放置一个广告牌，请问广告牌EC 的高度为多少？（sin40 0.6，cos40 0.8，tan40 0.8）【分析】根据锐角三角函数的定义可求出BC 与 BE 的长度解：在 RtCDB 中，tan BDC，BC BDtan40 4，在 Rt BDE 中，tanBDE，BE BDtan BDE 5，CE BEBC4.66（m），答：广告牌EC 的高度约为4.66m18“知识改变命运，科技繁荣祖国”杭州市中小学每年都要举办一届科技运动会如图为某校2011 年参加科技运动会航模比赛（包括空模

20、、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图：（1）该校参加航模比赛的总人数是24人，空模所在扇形的圆心角的度数是120，并把条形统计图补充完整；（2）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80 人，其中有 32 人获奖 今年杭州市中小学参加航模比赛人数共有2485 人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人？【分析】（1）用参加海模比赛的人数除以参加海模比赛的人数所占的百分比即可求出参加航模比赛的总人数，用360乘以参加空模比赛的人数所占的百分比即可（2）用今年杭州市中小学参加航模比赛的总人数乘以获奖人数所占的比例即可求出答案解：（1）该校参加航模比赛的总人数625%24，空模所在扇形

21、的圆心角的度数是360120如图所示：（2）今年参加航模比赛的获奖人数2485994答：今年参加航模比赛的获奖人数约是994 人故答案为：24，12019如图，已知正比例函数y2x 和反比例函数的图象交于点A（m，2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿 OA 方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论【分析】（1）设反比例函数的解析式为y（k0），然后根据条件求出A 点坐标，再求出 k 的值，进而求出反比例函数的解析式；（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时

22、自变量x 的取值范围；（3）首先求出OA 的长度，结合题意CBOA 且 CB，判断出四边形OABC 是平行四边形，再证明OAOC 即可判定出四边形OABC 的形状解：（1）设反比例函数的解析式为y（k 0），A（m，2）在 y2x 上，22m，m 1，A（1，2），又点 A 在 y上，k2，反比例函数的解析式为y；（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围为1x0或 x1；（3）四边形 OABC 是菱形证明：A（1，2），OA，由题意知：CBOA 且 CB，CB OA，四边形OABC 是平行四边形，C（2，n）在 y上，n1，C（2，1），OC，OCOA，四边形OAB

23、C 是菱形20如图，ABC 内接于 O，且 AB 为O 的直径 ACB 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F（1）求证：DPAB；（2）试猜想线段AE，EF，BF 之间有何数量关系，并加以证明；（3）若 AC6，BC8，求线段PD 的长【分析】（1）连结 OD，由 AB 为O 的直径，根据圆周角定理得AB 为O 的直径得ACB90，再由ACD BCD 45，则 DAB ABD 45，所以 DAB 为等腰直角三角形，所以DOAB，根据切线的性质得ODPD，于是可得到DPAB；（2）根

24、据圆周角定理易得ADE+BDF 90 FBD+BDF 90，从而得到FBD ADE，易得ADBD，从而得出ADE DBF，得到BFDE，AEDF，从而得出结论BF AEEF（3）先根据勾股定理计算出AB10，由于 DAB 为等腰直角三角形，可得到 AD 5；由 ACE 为等腰直角三角形，得到AECE3，在 Rt AED 中利用勾股定理计算出DE 4，则 CD7，易证得 PDA PCD，得到，所以 PAPD，PCPD，然后利用PC PA+AC 可计算出PD【解答】（1）证明：连结OD，如图，AB 为O 的直径，ACB 90，ACB 的平分线交 O 于点 D，ACD BCD45，DAB ABD 4

25、5，DAB 为等腰直角三角形，DOAB，PD 为O 的切线，ODPD，DP AB；（2）答：BF AEEF，证明如下：AB 是O 的直径，ADB ADE+BDF 90，AE CD，BF CD，AED BFD 90，FBD+BDF 90，FBD ADE，AOD BOD，AD BD，在 ADE 和 DBF 中 ADE DBF（AAS），BF DE，AEDF，BF AEDEDF，即 BF AEEF 问题二法2：ACD CAE 45，所以 AECE，DCB FBC 45，所以 BFCF，CFCE+EF AE+EF 所以 AE+FE BF（3）解：在 Rt ACB 中，AB 10，DAB 为等腰直角三角

26、形，AD 5，AE CD，ACE 为等腰直角三角形，AE CE3，在 Rt AED 中，DE 4，CDCE+DE 3+47，PDA PCD，P P，PDA PCD，PAPD，PCPD，而 PCPA+AC，PD+6PD，PD21若实数a 满足 a22a10，则 2a24a+57【分析】根据 a22a10 得出 a22a1，然后等式的左右两边同乘以2 即可得到2a24a2，再求 2a24a+5 的值就容易了解：a22a 10，a22a1，2a2 4a2，2a2 4a+52+57故答案为722有 6 张正面分别标有数字2，1，0，2，4，6 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝

27、上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于 x 的不等式有实数解的概率为【分析】首先求得关于x 的不等式有实数解时，a 的取值范围，再利用概率公式即可求得答案解：，由 得：x3，由 得：x，当 3，即 a4 时，关于x 的不等式有实数解，使关于x 的不等式有实数解的概率为：故答案为：23如图，AC 是O 的直径，弦BD AO，垂足为点E，连接 BC，过点 O 作 OF BC，垂足为 F，若 BD 8cm，AE2cm，则 OF 的长度是cm【分析】连接AB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理计算，得到答案解：连接AB，BD AO，BE EDBD 4，由

28、勾股定理得，AB2，OF BC，CF FB，又 COOA，OF AB（cm），故答案为：24如果点P 是 ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫 ABC的费马点 已经证明：在三个内角均小于120的 ABC 中，当 APB APC BPC120时，P 就是 ABC 的费马点若点P 是腰长为的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD+PE+PF+1【分析】过点D 作 DM EF 于点 M，在 BDE 内部过 E、F 分别作 MEP MFP 30，则 EPF FPD EPD120，点P 就是费马点，求出PE，PF，DP 的长即可解决问题；解：如图：过点D 作 DM EF 于点

29、M，在 BDE 内部过 E、F 分别作 MEP MFP30，则 EPF FPD EPD 120，点 P 就是费马点，在等腰 RtDEF 中，DE DF，DM EF，EFDE 2EM DM 1，故 cos30，解得：PE，则 PM，故 DP1，同法可得PF则 PD+PE+PF2+1+1故答案为+125一副含 30和 45角的三角板ABC 和 DEF 叠合在一起，边 BC 与 EF 重合，BCEF12cm（如图 1），点 G 为边 BC（EF）的中点，边FD 与 AB 相交于点H，此时线段BH 的长是（1212）cm现将三角板DEF 绕点 G 按顺时针方向旋转（如图 2），在 CGF 从 0到60

30、的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为（1218）cm（结果保留根号）【分析】如图1 中，作 HM BC 于 M，设 HM CM a在 Rt BHM 中，BH 2HM2a，BM a，根据BM+MF BC，可得a+a12，推出a66，推出BH2a1212如图 2 中，当 DGAB 时，易证GH1DF，此时 BH1的值最小，易知 BH1BK+KH13+3，当旋转角为60时，F 与 H2重合，易知BH26，观察图象可知，在 CGF 从 0到 60的变化过程中，点 H 相应移动的路径长2HH1+HH2，由此即可解决问题解：如图1 中，作 HM BC 于 M，设 HM a，则 CMHM a在 Rt A

31、BC 中，ABC 30，BC12，在 Rt BHM 中，BH 2HM 2a，BMa，BM+FM BC，a+a 12，a66，BH 2a1212如图 2 中，当 DGAB 时，易证GH1DF，此时BH1的值最小，易知BH1BK+KH13+3，HH1BH BH19 15，当旋转角为60时，F 与 H2重合，易知BH2 6，观察图象可知，在CGF从 0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长2HH1+HH21830+6（1212）1218故答案为（1212）cm，（1218）cm26在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种

32、许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6 元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900 元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润【分析】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；（2）销售利润每个许愿瓶的利润销售量；（3）根据进货成本可

33、得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润解：（1）y 是 x 的一次函数，设ykx+b 图象过点（10，300），（12，240），解得故 y 与 x 之间的函数关系为：y 30 x+600，当 x14 时，y180；当 x16 时，y120，即点（14，180），（16，120）均在函数y 30 x+600 的图象上y 与 x 之间的函数关系式为y 30 x+600；（2）w（x 6）（30 x+600）30 x2+780 x3600即 w 与 x 之间的函数关系式为w 30 x2+780 x 3600；（3）由题意得6（30 x+600）900，解得 x15w 30 x2

34、+780 x3600 图象对称轴为x 13，a 300，抛物线开口向下，当x15 时，w 随 x 增大而减小，当 x15 时，w最大1350即以 15 元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350 元27如图 1，共直角边AB 的两个直角三角形中，ABC BAD 90，AC 交 BD 于 P，且 tan C（1）求证：AD AB；（2）如图 2，BECD 于 E 交 AC 于 F 若 F 为 AC 的中点，求的值；当 BDC 75时，请直接写出的值【分析】（1）根据 AD BC 得，又 tanC故故 AD AB（2）在图 2 中，过 D 作 DH BC 于 H，延长 BE 交 AD 延长线

35、于 G，易证 ABHD 为正方形，设其边长为a，DGb，根据 ABC DGC，得到 a、b 的关系即可解决问题 根据条件推出HDC DCG 30即可解决问题解：（1）DAB+ABC 180，AD BC，tan C，AD AB（2）在图 2 中，过 D 作 DH BC 于 H，延长 BE 交 AD 延长线于 G，易证 ABHD 为正方形，设其边长为a，DGb，AGBC，AF FC，AGBC，四边形ABCG 是平行四边形，ABC 90四边形ABCG 是矩形，FB FC，BCG AGC 90，FBC FCB，FBC+BC，E90，BCE+ECG90，ECG FBC，DCG ACB，ABC DGC90

36、 ABC DGC，a2abb20，a（或 a舍弃），DGBC，由 1 可知四边形ABHD 是正方形，BDC 75，BDH 45，HDC DCG30，DGC90，CDG60，DGE 30，设 CH m，则 DC2CH 2m，BH DH mECBC（m+m），DE DCCE2m（m+m），28在平面直角坐标系中，抛物线y x2+（k1）xk 与直线 ykx+1 交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧（1）如图 1，当 k1 时，直接写出A，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出 ABP面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图 2，抛

37、物线yx2+（k1）xk（k 0）与 x 轴交于点 C、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线ykx+1 上是否存在唯一一点Q，使得 OQC90？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由【分析】方法一：（1）当 k1 时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B 的坐标；（2）如答图 2，作辅助线，求出ABP 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P 的坐标；（3）“存在唯一一点Q，使得 OQC90”的含义是，以OC 为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时OQC90且点 Q 为唯一以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k 的值需要另外注意

38、一点是考虑直线AB 是否与抛物线交于C 点，此时亦存在唯一一点Q，使得 OQC90方法二：（1）联立直线与抛物线方程求出点A，B 坐标（2）利用面积公式求出P 点坐标（3）列出定点 O 坐标，用参数表示C，Q 点坐标，利用两直线垂直的性质构建方程求出k 的值【解答】方法一：解：（1）当 k1 时，抛物线解析式为yx21，直线解析式为yx+1联立两个解析式，得：x21x+1，解得：x 1 或 x2，当 x 1 时，yx+10；当 x2 时，y x+1 3，A（1，0），B（2，3）（2）设 P（x，x21）如答图 2所示，过点P 作 PF y 轴，交直线AB 于点 F，则 F（x，x+1）PF

39、yFyP（x+1）（x21）x2+x+2SABP SPFA+SPFBPF（xFxA）+PF（xB xF）PF（xBxA）PFSABP（x2+x+2）（x）2+当 x时，yPx2 1 ABP 面积最大值为，此时点P 坐标为（，）（3）设直线 AB：ykx+1 与 x 轴、y 轴分别交于点E、F，则 E（，0），F（0，1），OE，OF 1在 Rt EOF 中，由勾股定理得：EF令 yx2+（k1）xk0，即（x+k）（x1）0，解得：x k 或 x1C（k，0），OCk、假设存在唯一一点Q，使得 OQC 90，如答图3 所示，则以 OC 为直径的圆与直线AB 相切于点 Q，根据圆周角定理，此时O

40、QC90设点 N 为 OC 中点，连接NQ，则 NQEF，NQCNONEN OEON NEQ FEO，EQN EOF 90，EQN EOF，即：，解得：k，k0，k存在唯一一点Q，使得 OQC90，此时k、若直线 AB 过点 C 时，此时直线与圆的交点只有另一点Q 点，故亦存在唯一一点Q，使得 OQC90，将 C（k，0）代入 ykx+1 中，可得 k1，k 1（舍去），故存在唯一一点Q，使得 OQC90，此时k1综上所述，k或 1 时，存在唯一一点Q，使得 OQC90方法二：（1）略（2）过点 P 作 x 轴垂线，叫直线AB 于 F，设 P（t，t21），则 F（t，t+1）SABP（FYP

41、Y）（BXAX），SABP（t+1t2+1）（2+1），SABPt2+t+3，当 t时，SABP有最大值，SABP（3）yx2+（k1）xk，y（x+k）（x 1），当 y0 时，x1 k，x21，C（k，0），D（1，0），当点 A 和点 C 重合时，将C（k，0）代入 ykx+1 中，可得 k1，k 1（舍去），故存在唯一一点Q，使得 OQC90，此时k1当点 A 和点 C 不重合时，点 Q 在 y kx+1 上，设 Q（t，kt+1），O（0，0），OQC90，CQOQ，KCQKOQ 1，（k2+1）t2+3kt+1 0 有唯一解，（3k）24（k2+1）0，k1，k2（k0 故舍去），k综上所述，k或 1 时，存在唯一一点Q，使得 OQC90