【最新】北师大版数学八年级下册《期末测试题》(附答案解析).pdf

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1、北师大版八年级下学期期末考试数学试题时间：120分钟总分：120 分一、选择题（本大题共12小题，共 36.0分）1.下列图形中，中心对称图形有()A.B.C.D.2.若 mn，下列不等式不一定成立的是（）A.m+2n+2 B.2m 2n C.D.m2n23.下列分式中，最简分式是()A23x4xyB.2x2x4C.22xyxyD.22xx4x44.如图，Rt ABCV沿直线边BC 所在的直线向右平移得到DEFV，下列结论中不一定正确的是()A.DEF90oB.BECFC.CECFD.ABEHDHCFSS四边形四边形5.如图，在 ABC 中，AB=AC，A=40，AB的垂直平分线交AB 于点

2、D，交 AC 于点 E，连接 BE，则CBE 的度数为A.80 B.70 C.40 D.30 6.如图，四边形 ABCD 中，对角线相交于点O，E、F、G、H 分别是 AD、BD、BC、AC 的中点，要使四边形 EFGH 是矩形，则四边形ABCD 需要满足的条件是()A.ABCDB.ABCDC.ABADD.ACBD7.如图，ABCV中，ABAC16，AD 平分BAC，点 E 为 AC的中点，连接DE，若CDEV的周长为26，则 BC 的长为()A.20 B.16 C.10 D.8 8.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，若AF、BE 分别是DAB、CBA的平分线，AB4，BC3，则 EF

3、的长是()A.1 B.2 C.3 D.4 9.若关于x的分式方程31-44xmxx有增根，则m的值是（）A.0mB.1mC.0m或3mD.3m10.如图，直线y=x+32与 y=kx-1 相交于点 P，点 P的纵坐标为12，则关于 x 的不等式x+32kx-1 的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.11.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相较于点O，BD 8，BC5，AEBC 于点 E，则 AE 的长为()A.5 B.125C.245D.18512.如图，?ABCD 中，AD2AB，F 是 BC 的中点，作AECD，垂足 E 在线段 CD 上，连接EF、AF，下列结论：2BA

4、FC；EFAF；ABFAEFSSVV；BFE3CEF中，一定成立的是()A.只有B.只有C.只有D.二、填空题（本大题共8 小题，共 24.0分）13.分解因式：2x y4y14.如果分式23xx有意义，那么x的取值范围是 _15.正多边形的每个内角等于150，则这个正多边形的边数为_条16.为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000 元若每个篮球80 元，每个足球50 元，则篮球最多可购买_个17.如图，已知点P是 AOB 角平分线上的一点，AOB=60，PDOA，M 是 OP 的中点，DM=4cm，如果点 C 是 OB 上一个动点，则PC的最小值为

5、_cm18.如图，已知ABCV中，902CACBC，将ABCV绕点 A 逆时针方向旋转60到AB CV的位置，连接CB，则CB的长为 _19.当m_时，关于x的分式方程223242mxxxx无解20.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点1B在 y 轴上，顶点1C、1E、2E、2C、3E、4E、在x 轴上，已知正方形1111A B C D的边长为1，11B C O60o，112233B C/B C/B C/，则正方形2018201820182018ABCD的边长是 _三、解答题21.解不等式组2x1125x23x，并将它的解集在数轴上表示出来22.先化简，再求值：22x4x2x2x4，其中x

6、523.如图，已知E，F分别是?ABCD边 BC、AD 上的点，且BE=DF 求证：四边形AECF 是平行四边形24.北京到济南的距离约为500km，一辆高铁和一辆特快列车都从北京去济南，高铁比特快列车晚出发3 小时，最后两车同时到达济南，已知高铁的速度是特快列车速度的2.5倍.求高铁和特快列车的速度各是多少？(列方程解答)25.如图，平面直角坐标系中，已知点A0,3，ABO60.o若对于平面内一点C，当ABCV是以 AB为腰的等腰三角形时，称点C 时线段 AB 的“等长点”1请判断点1C1,2 3，点2C0,23是否是线段AB 的“等长点”，并说明理由；2若点D m,n是线段 AB 的“等长

7、点”，且DAB60o，求 m 和 n 的值26.为贯彻党的“绿水青山就是金山银山”的理念，我市计划购买甲、乙两种树苗共7000 株用于城市绿化，甲种树苗每株24 元，一种树苗每株30 元.相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%1若购买这两种树苗共用去180000 元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？2若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？3在2的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用27.如图，在矩形ABCD 中，AB2cm，BC4cm.点 P从点 D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运

8、动，运动到点 C 即停止，点 P、Q 的速度都是1cm/s，连接 PQ、AQ、CP.设点 P、Q 运动的时间为ts1当 t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；2当 t 为何值时，四边形AQCP 是菱形28.问题的提出：如果点P是锐角ABCV内一动点，如何确定一个位置，使点P到ABCV的三顶点的距离之和PAPBPC的值为最小？1问题的转化：把APCV绕点 A 逆时针旋转60o得到APCV，连接PP，这样就把确定PAPBPC的最小值的问题转化成确定BPPPPC的最小值的问题了，请你利用图1 证明：PAPBPCBPPPPC；2问题的解决：当点P到锐角ABCV的三顶点的距离之和PAPBPC的值为最小时

9、，求APB和APC的度数；3问题的延伸：如图2 是有一个锐角为30o的直角三角形，如果斜边为2，点 P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值29.如图，已知菱形ABCD 边长为 4，BD4，点 E 从点 A 出发沿着AD、DC 方向运动，同时点F 从点 D出发以相同的速度沿着DC、CB 的方向运动1如图 1，当点 E 在 AD 上时，连接BE、BF，试探究BE 与 BF 的数量关系，并证明你的结论；2在1的前提下，求EF的最小值和此时BEFV的面积；3当点 E 运动到 DC 边上时，如图 2，连接 BE、DF，交点为点M，连接 AM，则AMD大小是否

10、变化？请说明理由30.如图，APBV中，AB2，APB90o，在 AB 的同侧作正ABDV、正APEV和正BPCV，求四边形 PCDE 面积的最大值答案与解析一、选择题（本大题共12小题，共 36.0分）1.下列图形中，中心对称图形有()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误故选 B【点睛】本题考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合2.若 m n，下列不等

11、式不一定成立的是（）A.m+2 n+2 B.2m 2n C.D.m2n2【答案】D【解析】试题分析：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A 正确；B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B 正确；C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C 正确；D、当 0m n 时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D 错误；故选 D【考点】不等式的性质3.下列分式中，最简分式是()A.23x4xyB.2x2x4C.22xyxyD.22xx4x4【答案】C【解析】【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反

12、数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分【详解】A、23x3x4xy4y，不符合题意；B、2x2x21x4x2x2x2，不符合题意；C、22xyxy是最简分式，符合题意；D、222x2x1x4x4(2x)2x，不符合题意；故选 C【点睛】本题考查了最简分式的定义及求法.一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式.分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题.在解题中一定要引起注意4.如图，Rt ABCV沿直线边BC 所在的直线向右平移得到DEFV，下列结论中不一定正确的是()A.DEF90oB.BECFC.CECFD.ABEHDHCFSS

13、四边形四边形【答案】C【解析】【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案【详解】Rt ABCQV沿直线边BC 所在的直线向右平移得到DEFV，DEFABC90o，BCEF，ABCDEFSSVV，BCECEFEC，ABCHECDEFHECSSSSVVVV，BECF，ABEHDHCFSS四边形四边形，但不能得出CECF，故选 C【点睛】本题考查了平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等5.如图，在 ABC 中，AB=AC，A=40，AB的垂直平分线交AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则CBE

14、 的度数为A.80B.70C.40D.30【答案】D【解析】【分析】由等腰 ABC 中，AB=AC，A=40，即可求得 ABC的度数，又由线段AB 的垂直平分线交AB 于 D，交AC 于 E，可得 AE=BE，继而求得ABE 的度数，则可求得答案【详解】AB=AC，A=40，ABC=C=（180-A）2=70，线段 AB 的垂直平分线交AB 于 D，交 AC 于 E，AE=BE，ABE=A=40，CBE=ABC-ABE=30 ，故选 D【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想是解题的关键.6.如图，四边形ABCD 中，对角线相交于点O，E、

15、F、G、H 分别是 AD、BD、BC、AC 的中点，要使四边形 EFGH 是矩形，则四边形ABCD 需要满足的条件是()A.ABCDB.ABCDC.ABADD.ACBD【答案】B【解析】【分析】根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断.由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形 EFGH 是平行四边形，若FEEH或者EGFH就可以判定四边形EFGH 是矩形【详解】当ABCD时，四边形EFGH 是矩形，ABCDQ，GH/AB，EH/CD，EHGH，即EHG90o，四边形 EFGH 是矩形；故选 B【点睛】此题考查了中点四边形的性质、矩形的判定以及三角形中位线的性质.此题难度适中，

16、注意掌握数形结合思想的应用7.如图，ABCV中，ABAC16，AD 平分BAC，点 E 为 AC 的中点，连接DE，若CDEV的周长为26，则 BC 的长为()A.20B.16C.10D.8【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得ADBC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案【详解】ABACQ，AD 平分BAC，ADBC，ADC90o，Q点 E 为 AC 的中点，1DECEAC82CDEQV的周长为26，CD10，BC2CD20故选 A【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半8.如图，已知四

17、边形ABCD 是平行四边形，若 AF、BE 分别是DAB、CBA的平分线，AB4，BC3，则 EF 的长是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，若AF、BE 分别是DAB、CBA的平分线，易得ADFV与BCEV是等腰三角形，继而求得DFCEBC3，则可求得答案【详解】Q四边形 ABCD 是平行四边形，AB/CD，CDAB4，ADBC3，AFDBAF，ABEBEC，AFQ、BE 分别是DAB、CBA的平分线，DAFBAF，CBEABE，DAFAFD，CBEBEC，ADDF3，CEBC3，EFDFCECD2故选 B【点睛】此题考查了平行四边形的性质以

18、及等腰三角形的判定与性质.注意证得ADFV与BCEV是等腰三角形是关键9.若关于x的分式方程31-44xmxx有增根，则m的值是（）A.0mB.1mC.0m或3mD.3m【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-4=0，求出 x 的值，代入整式方程求出m 的值即可【详解】去分母得：3-x-m=x-4，由分式方程有增根，得到x-4=0，即 x=4，把 x=4 代入整式方程得：3-4-m=0，解得：m=-1，故选 B.【点睛】此题考查分式方程的增根，解题关键在于掌握运算法则10.如图，直线y=x+32与 y=kx-1 相交于点 P，点 P的纵坐标为12，则关

19、于 x 的不等式x+32kx-1 的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先把1y2代入3yx2，得出x1，再观察函数图象得到当x1时，直线3yx2都在直线ykx1的上方，即不等式3xkx12的解集为x1，然后用数轴表示解集【详解】把1y2代入3yx2，得13x22，解得x1当x1时，3xkx12，所以关于 x 的不等式3xkx12的解集为x1，用数轴表示为：故选 A【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数ykxb的值大于(或小于)0的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线ykxb在 x 轴上(或下)方部分

20、所有的点的横坐标所构成的集合11.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相较于点O，BD 8，BC5，AEBC 于点 E，则 AE 的长为()A.5B.125C.245D.185【答案】C【解析】【分析】在Rt OBCV中，根据22OCBCOB求出 OC，再利用面积法可得11AEBCBOAC22，由此求出 AE 即可【详解】Q四边形 ABCD 是菱形，BD8，BODO4，BOC90o，在Rt OBCV中，2222OCBCOB543，AC2OC6，ABC11SAEBCBOAC22V故5AE24，解得：24AE5故选 C【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出AE

21、 的长是解题关键12.如图，?ABCD 中，AD2AB，F 是 BC 的中点，作AECD，垂足 E 在线段 CD 上，连接EF、AF，下列结论：2BAFC；EFAF；ABFAEFSSVV；BFE3CEF中，一定成立的是()A.只有B.只有C.只有D.【答案】C【解析】【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出MBFVECFV，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案【详解】FQ是 BC 的中点，BFFC，Q在?ABCD 中，AD2AB，BC2AB2CD，BFFCAB，AFBBAF，AD/BCQ，AFBDAF，BAFFAB，2BAFBAD，BA

22、DCQ，BAF2C故正确；延长 EF，交 AB 延长线于 M，Q四边形 ABCD 是平行四边形，AB/CD，MBFC，FQ为 BC 中点，BFCF，在MBFV和ECFV中，MBFCBFCFBFMCFE，MBFVECF ASAV，FEMF，CEFM，CEAEQ，AEC90o，AECBAE90o，FMEFQ，EFAF，故正确；EFFMQ，AEFAFMSSVV，ABFAEFSSVV，故错误；设FEAx，则FAEx，BAFAFB90 xo，EFA1802xo，EFB90 x1802x2703xooo，CEF90 xoQ，BFE3CEF，故正确，故选 C【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角

23、形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出AEFVDMEV二、填空题（本大题共8 小题，共 24.0分）13.分解因式：2x y4y【答案】y x2x2【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式因此，先提取公因式y后继续应用平方差公式分解即可：22x y4yy x4y x2x2考点：提公因式法和应用公式法因式分解14.如果分式23xx有意义，那么x的取值范围是 _【答案】3x【解析】试题分析：分式有意义的条件是分母不为零，故30 x，解得3x考点：分式有意义的条件15.正

24、多边形的每个内角等于150，则这个正多边形的边数为_条【答案】12【解析】多边形内角和为180o（n-2）,则每个内角为180o（n-2）n150,n=12,所以应填12.16.为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000 元若每个篮球80 元，每个足球50 元，则篮球最多可购买_个【答案】16【解析】【分析】设购买篮球x 个，则购买足球50 x个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过3000 元，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可【详解】设购买篮球x 个，则购买足球50 x个，根据题意得：80 x50 50 x3000，解得：

25、50 x3xQ为整数，x最大值为 16故答案为16【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键17.如图，已知点P是 AOB 角平分线上的一点，AOB=60，PD OA，M 是 OP 的中点，DM=4cm，如果点 C 是 OB 上一个动点，则PC的最小值为 _cm【答案】4【解析】【分析】根据角平分线的定义可得1AOPAOB302o，再根据直角三角形的性质求得1PDOP42，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到答案【详解】PQ是AOB角平分线上的一点，AOB60o，1AOPAOB302o，PDOAQ，M 是 OP的中点，DM4cm，OP2DM

26、8，1PDOP42，Q点 C 是 OB 上一个动点，PC的最小值为P到 OB 距离，PC的最小值PD4，故答案为4【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键18.如图，已知ABCV中，902CACBC，将ABCV绕点 A 逆时针方向旋转60到AB CV的位置，连接CB，则CB的长为 _【答案】13【解析】【分析】连接BBBC，交AB于 D，ABCV中，根据勾股定理得，2222ABAC，根据旋转的性质得：BC垂直平分ABABB，为等边三角形，分别求出,C D BD，根据C BC DBD计算即可.【详解】如图，连接B

27、BBC，交AB于 D，如图，ABCV中，902CACBC，2222ABAC，ABCV绕点 A 逆时针方向旋转60到AB CV的位置，90260ACBACBAC=AC=BC=BCAB=ABBAB，BC垂直平分ABABB，为等边三角形，131322CDABBDAB，13CB=CD+BD=故答案为13【点睛】考查等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质等，19.当m_时，关于x的分式方程223242mxxxx无解【答案】m=1、m=-4 或 m=6.【解析】【分析】方程两边都乘以（x+2）（x-2）把分式方程化为整式方程，当分式方程有增根或分式方程化成的整式方程无解时原分式方程无解，

28、根据这两种情形即可计算出m 的值【详解】解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）去分母得，2（x+2）+mx=3（x-2），整理得（1-m）x=10，当 m=1 时，此整式方程无解，所以原分式方程也无解.又当原分式方程有增根时，分式方程也无解，当 x=2 或-2 时原分式方程无解，2（1-m）=10 或-2（1-m）=10，解得：m=-4 或 m=6，当 m=1、m=-4 或 m=6 时，关于x 的方程223242mxxxx无解【点睛】本题考查了分式方程的无解条件.分式方程无解有两种情形：一是分式方程有增根；二是分式方程化成的整式方程无解.20.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点1B在 y

29、 轴上，顶点1C、1E、2E、2C、3E、4E、在x 轴上，已知正方形1111A B C D的边长为1，11B C O60o，112233B C/B C/B C/，则正方形2018201820182018ABCD的边长是 _【答案】20173()3【解析】【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案【详解】Q正方形1111A B C D的边长为1，11B C O60o，112233B C/B C/B C，1122D EB E，2334D EB E，111222334D C EC B EC B E30o，11111D EC D sin302o，则12

30、222B E3B C()cos303o，同理可得：23313B C()33，故正方形nnnnA B C D的边长是：n 13()3，则正方形2018201820182018ABCD的边长为：20173()3，故答案为20173()3【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键三、解答题21.解不等式组2x1125x23x，并将它的解集在数轴上表示出来【答案】不等式组的解集为31x2【解析】【分析】首先解每个不等式，然后把每个解集在数轴上表示出来，确定不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集【详解】解不等式2x112，得：3x2，解不等式5x23x，

31、得：x1，将不等式的解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为31x2【点睛】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(,向右画；，向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示22.先化简，再求值：22x4x2x2x4，其中x5【答案】x2，3【解析】【分析】首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式进而化简得出答案【详解】原式2x2x2x2x2xx2x24x2x24x24,x2，当x5时，原式523【点睛】此题主

32、要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键23.如图，已知E，F分别是?ABCD 的边 BC、AD 上的点，且BE=DF 求证：四边形AECF 是平行四边形【答案】证明见解析【解析】【分析】首先由已知证明AFEC，BE=DF，推出四边形AECF 是平行四边形【详解】解：ABCD，AD=BC，AD BC，又 BE=DF，AF=CE，四边形 AECF 为平行四边形【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质，解题的关键是运用平行四边形的性质推出结论24.北京到济南的距离约为500km，一辆高铁和一辆特快列车都从北京去济南，高铁比特快列车晚出发3 小时，最后两车同时到达济南，已知高铁的速度是

33、特快列车速度的2.5倍.求高铁和特快列车的速度各是多少？(列方程解答)【答案】特快列车的速度为100 千米/时，高铁的速度为250 千米/时【解析】【分析】设特快列车的速度为x 千米/时，则高铁的速度为2.5x千米/时，根据时间路程速度结合高铁比特快列车少用 3 小时，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论【详解】设特快列车的速度为x 千米/时，则高铁的速度为2.5x千米/时，根据题意得：5005003x2.5x，解得：x100，经检验，x100是原分式方程的解，2.5x2.5 100250答：特快列车的速度为100 千米/时，高铁的速度为250千米/时【点睛】本题考查了分式方程

34、的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键25.如图，平面直角坐标系中，已知点A0,3，ABO60.o若对于平面内一点C，当ABCV是以 AB为腰的等腰三角形时，称点C 时线段 AB 的“等长点”1请判断点1C1,2 3，点2C0,23是否是线段AB 的“等长点”，并说明理由；2若点D m,n是线段 AB 的“等长点”，且DAB60o，求 m 和 n 的值【答案】11 C是线段 AB 的“等长点”，2C不是线段AB 的“等长点”，理由见解析；2 m1，n0或m2，n3【解析】【分析】1先求出 AB 的长与 B 点坐标，再根据线段AB 的“等长点”的定义判断即可；2分两种情况讨论，利用对

35、称性和垂直的性质即可求出m，n【详解】1 Q点A 0,3，ABO60o，OA3，OA3AB2sinABO32，22OBABOA1，B 1,0Q点1C1,2 3，221AC1(2 33)2，1ACAB，1C是线段 AB 的“等长点”，Q点2C0,23，2AC3，222BC1(2 3)13，2ACAB，2BCAB，2C不是线段AB的“等长点”；2如图，Rt AOBV中，AB2，OB1，OB1sinOABAB2，OAB30o分两种情况：当点 D 在 y 轴左侧时，DAB60oQ，DAODABBAO30o，Q点D m,n是线段 AB 的“等长点”，ADAB，D1,0，m1，n0；当点 D 在 y 轴右

36、侧时，DAB60oQ，DAOBAODAB90o，n3，Q点D m,n是线段 AB 的“等长点”，ADAB2，m2综上所述，m1，n0或m2，n3【点睛】本题考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质.解1的关键是理解新定义，解2的关键是画出图形，是一道中等难度的中考常考题26.为贯彻党的“绿水青山就是金山银山”的理念，我市计划购买甲、乙两种树苗共7000 株用于城市绿化，甲种树苗每株24 元，一种树苗每株30 元.相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%1若购买这两种树苗共用去180000 元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？2若要使这批树苗的总

37、成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？3在2的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用【答案】1甲、乙两种树苗各购买5000、2000 株；2甲种树苗至多购买2800株；3最少费用为193200元.【解析】【分析】1列方程求解即可；2根据题意，甲乙两种树苗的存货量大于等于树苗总量的88%列出不等式；3用 x 表示购买树苗的总费用，根据一次函数增减性讨论最小值【详解】1设购买甲种树苗x 株，则购买乙种树苗7000 x株，由题意得：24x30 7000 x180000解得x5000，则7000 x2000答：甲、乙两种树苗各购买5000、2000 株；2根据题意得：85

38、%x95%7000 x7000 88%解得x2800则甲种树苗至多购买2800 株3设购买树苗的费用为W，根据题意得：W24x30 7000 x6x210000k60QW随 x 的增大而减小当x28时，W62800210000193200最小【点睛】本题为一次函数实际应用问题，综合考察一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的增减性27.如图，在矩形ABCD 中，AB2cm，BC4cm.点 P从点 D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点C 即停止，点 P、Q 的速度都是1cm/s，连接 PQ、AQ、CP.设点 P、Q 运动的时间为ts1当

39、t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；2当 t 为何值时，四边形AQCP 是菱形【答案】1当t2s时，四边形ABQP 为矩形；2当t1.5s时，四边形AQCP 为菱形【解析】【分析】1当四边形ABQP 是矩形时，BQAP，据此求得t的值；2当四边形AQCP 是菱形时，AQAC，列方程求得运动的时间t；【详解】1由已知可得，BQDPt，APCQ4t在矩形 ABCD 中，B90o，AD/BC，当BQAP时，四边形ABQP 为矩形，t4t，得t2故当t2s时，四边形ABQP 为矩形2由1可知，四边形AQCP 为平行四边形当AQCQ时，四边形AQCP 为菱形即222t4t时，四边形AQCP 为菱形，解

40、得t1.5，故当t1.5s时，四边形AQCP 为菱形【点睛】本题考查了菱形、矩形的判定与性质.解决此题注意结合方程的思想解题28.问题的提出：如果点P是锐角ABCV内一动点，如何确定一个位置，使点P到ABCV的三顶点的距离之和PAPBPC的值为最小？1问题的转化：把APCV绕点 A 逆时针旋转60o得到APCV，连接PP，这样就把确定PAPBPC的最小值的问题转化成确定BPPPPC的最小值的问题了，请你利用图1 证明：PAPBPCBPPPPC；2问题的解决：当点P到锐角ABCV的三顶点的距离之和PAPBPC的值为最小时，求APB和APC的度数；3问题的延伸：如图2 是有一个锐角为30o的直角三

41、角形，如果斜边为2，点 P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值【答案】（1）证明见解析；（2）满足：APBAPC120o时，PAPBPC的值为最小；（3）点 P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为7【解析】【分析】1问题的转化：根据旋转的性质证明 APP 是等边三角形，则PP=PA，可得结论；2问题的解决：运用类比的思想，把APCV绕点 A 逆时针旋转60 度得到APCV，连接PP，由“问题的转化”可知：当 B、P、P、C 在同一直线上时，PAPBPC的值为最小，确定当：APBAPC120o时，满足三点共线；3问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直

42、角 ABC，利用勾股定理求AC 的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值【详解】问题的转化：如图 1，由旋转得：PAP =60，PA=P A，APP 是等边三角形，PP =PA，PC=P C，PAPBPCBPPPPC问题的解决：满足：APBAPC120o时，PAPBPC的值为最小；理由是：如图2，把APCV绕点 A 逆时针旋转60 度得到APCV，连接PP，由“问题的转化”可知：当B、P、P、C 在同一直线上时，PAPBPC的值为最小，APB120oQ，APP =60，APB+APP =180，B、P、P 在同一直线上，由旋转得：AP C=APC=120 ，AP P=60 ，AP C

43、+A P P=180 ，P、P、C 在同一直线上，B、P、P、C 在同一直线上，此时PAPBPC的值为最小，故答案为APBAPC120o；问题的延伸：如图 3，Rt ACBV中，AB2Q，ABC30o，AC1，BC3，把BPCV绕点 B 逆时针旋转60 度得到BPCV，连接PP，当 A、P、P、C 在同一直线上时，PAPBPC的值为最小，由旋转得：BP=BP，PBP=60，PC=P C，BC=B C，BPPV是等边三角形，PP =PB，ABC=APB+CBP=APB+C BP =30，ABC=90，由勾股定理得：AC=22222(3)7ABC B，PA+PB+PC=PA+PP+P C=AC=7

44、，则点 P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为7【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题29.如图，已知菱形ABCD 边长为 4，BD4，点 E 从点 A 出发沿着AD、DC 方向运动，同时点F 从点 D出发以相同的速度沿着DC、CB 的方向运动1如图 1，当点 E 在 AD 上时，连接BE、BF，试探究BE 与 BF 的数量关系，并证明你的结论；2在1的前提下，求EF的最小值和此时BEFV的面积；3当点 E 运动

45、到 DC 边上时，如图 2，连接 BE、DF，交点为点M，连接 AM，则AMD大小是否变化？请说明理由【答案】1 BEBF，证明见解析；2 EF的最小值是2 3，BEFS3 3V；3如图 3，当点 E运动到DC 边上时，AMD大小不发生变化，理由见解析.【解析】【分析】1先证明ABDV和BDCV是等边三角形，再证明ABEVDBF SASV，可得结论；2由ABEVDBFV，易证得BEFV是正三角形，继而可得当动点E 运动到当BEAD，即 E 为 AD的中点时，BE 的最小，根据等边三角形三线合一的性质可得BE 和 EF 的长，并求此时BEFV的面积；3同理得：BEDVDFC SASV，则可得FM

46、EBMD120o，所以BADBMD60120180ooo，则 A、B、M、D 四点共圆，可得AMDABD60o【详解】1 BEBF，证明：EQ、F 的速度相同，且同时运动，AEDF，又Q四边形 ABCD 是菱形，ADAB4，BD4Q，ADABBD，ABDV是等边三角形，同理BDCV也是等边三角形，ABDC60o，在ABEV和DBFV中，ABBDABDFAEDF，ABEVDBF SASV，BEBF；2由1得：ABEVDBFV，ABEDBF，EBFEBDDBFEBDABEABD60o，BEBFQ，BEFV是等边三角形，EFBE，如图 2，当动点 E 运动到BEAD，即 E 为 AD 的中点时，BE

47、 的最小，此时EF最小，AE2Q，AB4，22EFBE422 3，EF的最小值是2 3，BEPV中，EBP30o，BEF60o，BPE90o，22BP(2 3)(3)3，BEF11SEF BP2 333 322V；3如图 3，当点 E 运动到 DC 边上时，AMD大小不发生变化，在BEDV和DFCV中，60BDCDBDECDECFoQ，BEDVDFC SASV，BEDDFC，BEDBEC180oQ，BECDFC180o，C60oQ，FMEBMD120o，BADBMD60120180ooo，A、B、M、D 四点共圆，AMDABD60o【点睛】此题是四边形的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的判

48、定与性质、四点共圆的判定和性质、垂线段最短以及全等三角形的判定与性质.注意证得ABEVDBFV是解此题的关键30.如图，APBV中，AB2，APB90o，在 AB 的同侧作正ABDV、正APEV和正BPCV，求四边形 PCDE 面积的最大值【答案】四边形 PCDE 面积的最大值为1【解析】【分析】先延长 EP交 BC 于点 F，得出PFBC，再判定四边形CDEP 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形 CDEP 的面积11EPCFabab22，最后根据22ab4，判断1ab2的最大值即可【详解】延长EP交 BC 于点 F，APB90oQ，APEBPC60o，EPC150o，CPF180

49、15030ooo，PF平分BPC，又PBPCQ，PFBC，设Rt ABPV中，APa，BPb，则11CFCPb22，222ab24，APEQV和ABDV都是等边三角形，AEAP，ADAB，EAPDAB60o，EADPAB，EADVPAB SASV，EDPBCP，同理可得：APBVDCB SASV，EPAPCD，四边形 CDEP 是平行四边形，四边形 CDEP 的面积11EPCFabab22，又222(ab)a2abb0Q，222abab4，1ab12，即四边形 PCDE 面积的最大值为1【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线