2020届北京市顺义区高三上学期期末数学试题.pdf

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1、试卷第 1 页，总 5 页绝密启用前2020 届北京市顺义区高三上学期期末数学试题考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题1设集合=310Mx xx，04Nxx，则MNI（）A0,3B1,4C()0,1D1,32设复数121izi，则 z 在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3若3log 0.2a，0.22b，20.2c，则（）A acbBabcCcabDbca4若1ba，则下列不等式

2、一定正确的是（）A2abB2abC11abD2baab5抛物线220ypx p的焦点是双曲线22xyp的一个焦点，则p（）A2 2B8 C4 D1 6如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2 的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是试卷第 2 页，总 5 页A44 3B12 C4 3D8 7 设非零向量,a br r满足2abarrr，则“abrr”是“ar与br的夹角为3”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8当0,1x时,若函数21fxmx的图象与2mg xx的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是（）A2,+

3、B50,2,+2UC5,2D20,1,+U第 II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题9sin6_.10 设nS为公比1q的等比数列na的前n项和,且13a，22a，3a成等差数列，则q_,42SS_.11若函数2,01,0 xexfxxx，则函数1yfx的零点是 _.12在ABC中，若8ac，7ac，3B，则b_.试卷第 3 页，总 5 页13 直线:1lykx与圆22:1Oxy相交于,A B两点,当AOB的面积达到最大时,k_.评卷人得分三、解答题14某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该

4、片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象.给出下列四种说法:图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是 _.（填写所有正确说法的编号）15函数23()sincos3sin2f xxxx（0）的部分图象如图所示.（1）求的值；（2）求()f x 在区间,3 3的最大值与最小值.16已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PD平面ABCD,PDAB,E是PB的中点.试卷第 4

5、 页，总 5 页（1）求证：平面PBC平面PCD;（2）求二面角EADB的大小;（3）试判断AE所在直线与平面PCD是否平行,并说明理由.17某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7 组：30,40),40,50),90,100L，整理得到如下频率分布直方图：（1）若该样本中男生有55 人，试估计该学校高三年级女生总人数；（2）若规定小于60 分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（3）若规定分数在80,90)为“良好”,90,100为“优秀”.用频率估计概

6、率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.18已知函数2()2 lnf xxax,其中aR（1）当2a时,求曲线yfx在点1,1Af处的切线方程；（2）若函数fx存在最小值Q,求证:1Q.试卷第 5 页，总 5 页19已知椭圆C：223412xy.（1）求椭圆C的离心率；（2）设,A B分别为椭圆C 的左右顶点,点 P 在椭圆 C 上,直线 AP,BP 分别与直线4x相交于点M,N.当点 P 运动时,以 M,N 为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论.20若无穷数列na满足：只要*(,)pqaap qN,必有11pqaa,则称

7、na具有性质P.（1）若na具有性质P,且1241,3,1,aaa67819aaa,求3a；（2）若无穷数列nb是等差数列,无穷数列nc是等比数列,141bc,4164bc,nnnabc.判断na是否具有性质P,并说明理由；（3）设nb是无穷数列,已知*1sin()nnnabanN.求证：“对任意1,naa都具有性质P”的充要条件为“nb是常数列”.答案第 1 页，总 18 页参考答案1A【解析】【分析】先化简M,再和N求交集.【详解】解：=310|13Mx xxxx,又因为04Nxx所以|03MNxxI,即0,3.故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题.2B【解析】【分析】先把复

8、数化成zabi的形式,即可得出对于的象限.【详解】解：21211212213131112222iiiiiiiziiii所以 z 在复平面内对应的点在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数的运算和几何意义,属于基础题.3A【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解.【详解】解：33log 0.2log 10a,答案第 2 页，总 18 页0.20221b,2000.20.21c,所以01acb两种情况,结合图象分析两个函数的单调性与值域,即可得出正实数m的取值范围.【详解】解：当0,1x时,又因为m为正实数,函数21fxmx的图象二次函数,在区间10,m为减函数,在区间1,1m骣琪琪桫为

9、增函数;函数22mmg xxx,是斜率为1的一次函数.最小值为()min2mg x=,最大值为()max12mgx=+;当11m时,即01m时,函数21fxmx在区间 0,1为减函数,2mg xx在区间 0,1为增函数,fx的图象与g x的图象有且只有一个交点,则maxminfxg x,maxmin00fg即答案第 5 页，总 18 页2012mm,解得2m,所以01m当101m时,即1m 时,函数21fxmx在区间10,m为减函数,在区间1,1m骣琪琪桫为增函数,2mg xx在区间 0,1为增函数,fx的图象与g x的图象有且只有一个交点,则maxminfxg x,maxmin00fg即21

10、fxmx的图象与2mg xx的图象有且只有一个交点10011mfgfg,2201021 112mmmm解得 12m或52m综上所述：正实数m的取值范围为50,2,+2U.故选:B【点睛】本题考查函数的交点问题,涉及函数单调性的应用,关键是确定实数m的分类讨论.912【解析】【分析】根据诱导公式三将角化为正角,再计算对应的三角函数值.【详解】解：1sinsin662.答案第 6 页，总 18 页故答案为：12【点睛】本题考查诱导公式和特殊角的三角函数.10310【解析】【分析】先设等比数列的通项公式11nnaa q,再根据13a,22a,3a成等差数列,利用等差中项列方程,求出公比,再代入42S

11、S即可解出本题.【详解】解：设等比数列的通项公式11nnaa q,又因为13a,22a,3a成等差数列,所以213322aaa,即211143qaaa q,又因为等比数列中10a,则243qq,解得1q或3q,又因为1q,所以3q.所以4144422221111 38011011 3811aqSqqSqaqq.故答案为：(1).3(2).10【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差中项以及等比数列的前n项和公式,属于基础题.110或2【解析】【分析】先令1yfx等于 0,再根据分段函数分情况求解.【详解】答案第 7 页，总 18 页解：要求函数1yfx的零点,则令10yfx,即()1fx=,又

12、因为：2,01,0 xe xfxxx,当0 x时,xfxe,1xe,解得0 x.当0 x时,21fxx,211x,解得2x（负值舍去）,所以2x.综上所以,函数1yfx的零点是0 或2.故答案为：0 或2【点睛】本题考查函数的零点,以及已知函数值求分段函数的定义域,属于基础题.12 5【解析】【分析】根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解.【详解】解：因为在ABC中,8ac,7ac,3B,由余弦定理：2222cosbacacB,()2222cos3bacacacp=+-,22172828252b=-?创=所以5b.故答案为：5【点睛】本题题考查余弦定理求三角形的边,属于基础题.13答案第 8

13、页，总 18 页【解析】【分析】由圆的方程找出圆心O坐标和半径r,同时把直线的方程整理为一般式方程,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线的距离d,即为圆O中弦AB的弦心距,根据垂径定理得到垂足为弦AB的中点,由圆的半径,弦心距及弦的一半构成的直角三角形,利用勾股定理表示出弦AB的长度,然后利用三角形的面积公式底乘以高除2,用含有d的式子表示出三角形AOB 的面积,并利用基本不等式2abab求出面积的最大值,以及面积取得最大值时d的值,从而列出关于k的方程,求出方程的解即可得到面积最大时k的值.【详解】解：由圆22:1O xy,得到圆心坐标为0,0O,半径1r,把直线的方程为:1lykx

14、,整理为一般式方程得：:10l kxy,.圆心0,0O到直线AB的距离211dk=+弦AB的长度2222221kABrdk,2222111212111AOBkkSkkkkk=创=+V,又因为1122kkkk+匙=,12AOBS?V当且仅当1kk=时取等号,AOBSV取得最大值,最大值为12.解得1k故答案为：【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：圆的标准方程,直线的一般式方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,以及基本不等式的应用,当直线与圆相交时,常常由弦长的一半,弦心距,以及圆的半径构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.答案第 9 页，总 18 页14【解析】【分析】

15、根据图象可知盈利额y与观影人数x成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.【详解】解:由图象(1)可设盈利额y与观影人数x的函数为ykxb,0,0kb,即k为票价,当0k时,yb,则b为固定成本,由图象(2)知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b变大,则b变小,成本减小.故错误,正确;由图象(3)知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大,k变大,即提高票价,b不变,则b不变,成本不变.故正确,错误;故答案为:【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及k和b对一次函数图象的影响,是基础题.15（1）1（2）最大值为1，最小值为32【解析】【分析】先用降幂公式将23()si

16、ncos3sin2f xxxx化为1333sin2cos22222fxxx,再利用三角函数的和差公式化为sin23fxx,答案第 10 页，总 18 页根据图象可得最小正周期,利用2T|2|求出即可.（2）由,3 3x,得出2,33x,即可求出3sin 2,132x,则得到最大最小值.【详解】解：（1）23()sincos3sin2f xxxx11cos232sincos3222xxx1333sin2cos22222xx13sin2cos222xxsin 23xfx的最小正周期25T2(0)|2|63L1（2）,3 3x2,33x3sin 2,132x求fx在区间,3 3的最大值为1,最小值为

17、32【点睛】本题考查根据三角函数图象求函数解析式,以及求三角函数在给定区间内的最大最小值.16（1）证明见解析（2）45（3）AE 与平面 PCD 不平行,详见解析【解析】【分析】答案第 11页，总 18 页（1）先根据条件证BC 平面PCD,又因为BC平面PBC,所以可以证得平面PBC平面PCD.（2）根据条件得,DA DC DP两两垂直,以此建立空间直角坐标系,求出平面ADB的法向量(0,0,1)DPuu u r,设平面ADE的法向量(,)nx y zr,求出法向量(0,1,1)nr,根据公式求出两个法向量的余弦值,即可得出二面角EADB的大小.（3）依题意可证AD平面PCD,则平面PCD

18、的法向量为(1,0,0)DAuuu r,又1 1 11,02 2 22AEAE DAuuu ruu u r uuu r,则AEu u u r与DAuuu r不垂直,证得AE与平面PCD不平行.【详解】（1）证明：ABCD是正方形BCCDPD平面ABCD,BC平面ABCD,PDBCPDCDD,PD CD平面PCD BC 平面PCD又BC平面PBC平面PBC平面PCD（2）PD平面ABCD,AD CD平面ABCD,PDAD PDCD又ABCD是正方形ADCD,DA DC DP两两垂直以D为原点如图建系,设1PDAB=0,0,0D（）,(1,0,0)A,(0,1,0)C,(1,1,0)B,(0,0,

19、1)P,1 1 1,2 2 2E1 1 1(1,0,0),2 2 2DADEuuu ru uu r又PD平面ABCD答案第 12 页，总 18 页平面ADB的法向量(0,0,1)DPuu u r设平面ADE的法向量(,)nx y zr则DAnuuu rr,DEnuuu rr01110222DA nxDE nxyzuuu rruuu rr令1z,得1,0yx(0,1,1)nr12cos,2|12DP nDP nDPnuuu rruuu rruuu rr二面角EADB的大小为45（3）PDAD,ADCD,PDCDD又,PD CD平面PCD,AD平面PCD平面PCD的法向量为(1,0,0)DAuuu

20、 r又1 1 11,02 2 22AEAE DAuuu ru uu r u uu rAEuu u r与DAuuu r不垂直,AE与平面PCD不平行【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查用向量法求二面角的夹角,是立体几何中的基础题,掌握证明的条件是解题的关键.17（1）180人（2）0.1（3）详见解析答案第 13 页，总 18 页【解析】【分析】（1）根据样本总人数100 人,中男生有55人,则可算出女生45人.再根据总人数是400 人,按样本中的女生人数与样本总人数的比例即可估算出的估计总体中女生人数.（2）由表可用1减去及格人数的概率得到不及格人数的概率.（3）设“样本中“良好”或

21、“优秀”为事件 B,则()0.20.10.3BP,根据二项分布列出频率分布列,计算数学期望【详解】解：（1）样本中男生有55 人,则女生 45人估计总体中女生人数45400180100人（2）设“不及格”为事件 A,则“及格”为事件A()1()1(0.20.40.20.1)0.1P AP A（3）设“样本中“良好”或“优秀”为事件 B,则()0.20.10.3BP依题意可知：(3,0.3)XB3(0)0.7P B,1123(1)0.30.7P XC22133(2)0.3 0.7,(3)0.3P XCXP所以,X 的分布列为X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027(

22、)3 0.30.9E Xnp【点睛】本题考查频率分布直方图的概率问题,概率分布问题注意一些常用的概率分布,如二项分布,超几何分布等,会计算概率,正确列出分布列,正确计算数学期望及方差.答案第 14 页，总 18 页18（1）230 xy（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将2a代入函数2()2 lnfxxax,对函数求导,将1x代入导函数求斜率,将1x代入原函数求切点,最后用点斜式求曲线yfx在点1,1Af处的切线方程；（2）先求导得22()(0)xafxxx,讨论当0a时,()0fx恒成立,则fx在(0,)单调递增,fx无最小值.当0a时,令()0fx得xa或xa（舍）分别讨论0,xa时和

23、,xa时的单调性,得出所以fx存在最小值,lnQfaaaa.再对新函数求导,根据单调性即可得出最大值为1,则1Q得证.【详解】解：（1）2a时,22()4ln,(1)1f xxxf4()2fxxx切线斜率(1)242kf曲线yfx在点(1,(1)Af处的切线方程为：12(1)yx即：230 xy（2）222()2(0)xaafxxxxx当0a时,()0fx恒成立fx在(0,)单调递增,fx无最小值当0a时,由()0fx得xa或xa（舍）0,xa时,()0fx,fx在0,a单调递减,xa时,()0fx,fx在,a单调递增所以fx存在最小值,lnQfaaaa答案第 15 页，总 18 页下面证明1

24、Q.设函数()ln(0),()1(ln1)lng aaaa ag aaa由()0g a得1a,易知()g a在(0,1)单调递增,在(1,)单调递减所以()g a的最大值为(1)1g所以()1g a恒成立,1Q得证.【点睛】本题考查利用导数求切线方程,以及含有参数的不等式的证明，利用导数求极值,属于中档题,分类讨论是关键.19（1）12（2）以MN为直径的圆经过x轴上的定点1,0和7,0,证明见解析【解析】【分析】（1）先将223412xy转化为22143xy,根据椭圆的性质得到,a b c,即可求出离心率.（2）根据椭圆方程求出(2,0),(2,0)AB,设00,P xy,则2200:341

25、2Cxy,分别求出直线AP和BP的方程,再分别与4x相交于点M0064,2yx和N0024,2yx,设以MN为直径的圆经过x轴上的定点1,0Q x,则MQNQ,即0MQ NQuu uu r uuu r得220100124022yxxx,将代入得2149x解得11x或17x,得出MN为直径的圆是过定点1,0和7,0.【详解】解：（1）由223412xy得22143xy,那么224,3ab所以2221cab答案第 16 页，总 18 页解得2a,1c所以离心率12cea（2）由题可知(2,0),(2,0)AB,设00,P xy,则2200:3412Cxy直线AP的方程：00(2)2yyxx令4x,

26、得0062Myyx,从而M点坐标为0064,2yx直线BP的方程：00(2)2yyxx令4x,得0022Nyyx,从而N点坐标为0024,2yx设以MN为直径的圆经过x轴上的定点1,0Q x,则MQNQ由0MQ NQuuu u r uuu r得220100124022yxxx由式得222000123699 4yxx,代入得2149x解得11x或17x所以MN为直径的圆经过x轴上的定点1,0和7,0.【点睛】本题考查已知椭圆的方程求离心率和证明椭圆中的定点问题,属于中档题.20（1）315a（2）na不具有性质,详见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据na具有性质P,且14=1aa,可

27、得25=3aa,又因为36aa,471aa,583aa,则367845aaaaaa,代入数据即可得结果.（2）141bc,4164bc得出nb的公差和nc的公比,即可设nb和nc的通项公答案第 17 页，总 18 页式,得出421204nnnnabcn.因为1465aa,则238a,53414a,得出25aa,所以na不具有性质.（3）先证充分性：当nb为常数列时,11sinnnaba.对任意给定的1a,只要pqaa,则由11sinsinpqbaba,必有11pqaa.充分性得证.再证必要性：用反证法证明.假设nb不是常数列,则存在k,使得12kbbbb,而1kbb.证明存在满足1sinnnn

28、aba的na,使得121kaaa,但21kkaa.设sinfxxxb,取m,使得mb,再根据条件类推,得出na不具有性质P,矛盾.必要性得证即可得出结论.【详解】解：（1）因为14=1aa,所以25=3aa,36aa,471aa,583aa.所以678313aaaa,又因为67819aaa,解得315a（2）nb的公差为21,所以12112120nbnn,nc的公比为14,所以1416444nnnc所以421204nnnnabcn.所以1465aa,238a,53414a,因为25aa,所以na不具有性质P.（3）证明充分性：当nb为常数列时,11sinnnaba.对任意给定的1a,只要pqa

29、a,则由11sinsinpqbaba,必有11pqaa.充分性得证.证明必要性：用反证法证明.假设nb不是常数列,则存在k,使得12kbbbb,而1kbb.下面证明存在满足1sinnnnaba的na,使得121kaaa,但21kkaa.答案第 18 页，总 18 页设sinfxxxb,取m,使得mb,则0f mmb,0fmmb,故存在c使得0f c.取1ac,因为1sinnnaba（1nk）,所以21sinabcca,依此类推,得121kaaac.但2111sinsinsinkkkkababcbc,即21kkaa.所以na不具有性质P,矛盾.必要性得证.综上,“对任意1a,na都具有性质P”的充要条件为“nb是常数列”【点睛】本题考查数列新定义,考查等差、等比数列的定义,考查数列为基础的证明题.