冀教版九年级下册第二十八章锐角三角形单元测试卷.pdf

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1、试卷第 1 页，总 5 页冀教版九年级下册第二十八章锐角三角形单元测试卷学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题1如图，A、B、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则 tanBAC 的值为（）A12B1 C33D32计算：（12）1+tan30?sin60=（）A32B2 C52D723如上图 O 的直径垂直于弦，垂足是，的长为（）AB4 CD8 4（2017 重庆 A 卷第 11 题）如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A的俯角为40，若 DE=3 米，CE=2 米，CE 平行于江面AB，迎水坡 BC 的坡度 i=1：0.75，坡长 BC=10 米，则此时AB

2、的长约为（）（参考数据：sin40 0.64，cos400.77，tan40 0.84）A5.1 米B6.3 米C7.1 米D9.2 米试卷第 2 页，总 5 页5如图，在 ABC 中，ACB=90，AC=BC=4，将 ABC 折叠，使点A 落在 BC 边上的点 D 处，EF 为折痕，若AE=3，则 sinBFD 的值为()A13B2 23C24D356如图，Rt ABC中，90C，30B，AD平分CAB，DEAB于E，若9BC，3CD，则ADB的面积是（）A27 B18 C183D937 如图，在 ABC 中，动点 P在ABC 的平分线BD 上，动点 M 在 BC 边上，若 BC=3，ABC

3、=45 ，则 PM+PC 的最小值是()A2 B3 22C3 32D3 8某测量队在山脚A 处测得山上树顶仰角为45（如图），测量队在山坡上前进600 米到 D 处，再测得树顶的仰角为60，已知这段山坡的坡角为30，如果树高为15 米，则山高为（）（精确到1 米，31.732）A585 米B1014 米C805 米D820 米9如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边 OA 在 x 轴上，点(10,0)A，试卷第 3 页，总 5 页4sin5COA若反比例函数(0,0)kykxx经过点C，则k的值等于（）A10 B24 C48 D50 10如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是

4、169，小正方形的面积为49，则sincos（）A513B513C713D713二、填空题11如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到30AGE，若2 3AEEG厘米，则ABC的边BC的长为 _厘米.12如图，在一笔直的海岸线l 上有相距2km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船C 在北偏东60 的方向上，从 B 站测得船C 在北偏东30 的方向上，则船C 到海岸线l 的距离是 _km13在ABC中，若211sin(cos)022AB，则C的度数是 _试卷第 4 页，总 5 页14如图。在44的正方形方格图形中，小正方形的

5、顶点称为格点.ABC的顶点都在格点上,则BAC 的正弦值是 _15 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的一个顶点在原点O 处，且 AOC=60，A 点的坐标是（0，4），则直线AC 的表达式是 _三、解答题16如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60 3米的点 D（点 D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：3的斜坡 DB 前进 30 米到达点 B，在点 B 处测得楼顶A 的仰角为53，求楼房 AC 的高度（参考数据：sin53 0.8，cos530.6，tan53 43，计算结果用根号表示，不取近似值）17 如图，C 是 O 上一点，点 P 在直径 AB

6、 的延长线上，O 的半径为3，PB=2，PC=4（1）求证：PC 是 O 的切线（2）求 tanCAB 的值18为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B 两地间的公路进行改建如试卷第 5 页，总 5 页图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到 B 地需途径C 地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶已知BC=80 千米，A=45，B=30（1）开通隧道前，汽车从A 地到 B 地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1 千米）（参考数据：2 1.41，3 1.73）19某小区为了安全起见，决定将小区内

7、的滑滑板的倾斜角由45 调为 30，如图，已知原滑滑板AB 的长为 4 米，点 D，B，C 在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01 米，参考数据：21.414，31.732，62.449）答案第 1 页，总 14 页参考答案1B【解析】【分析】连接 BC，由网格求出AB，BC，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到ABC 为等腰直角三角形，即可求出所求【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即 AB2+BC2=AC2，ABC 为等腰直角三角形，BAC=45 ，则 tanBAC=1，故选 B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股

8、定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键2C【解析】【分析】按顺序进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】（12）1+tan30?sin60=2+3332=2+12答案第 2 页，总 14 页=52，故选 C【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3C【解析】试题解析：直径 AB 垂直于弦 CD，CE=DE=CD，A=22.5，BOC=45 ，OE=CE，设 OE=CE=x，OC=2，x2+x2=4，解得：x=，即：CE=2，CD=2，故选 A4A【解析】如图，延长DE 交 AB 延长线于

9、点P，作 CQAP 于点 Q，答案第 3 页，总 14 页CEAP，DPAP，四边形 CEPQ 为矩形，CE=PQ=2，CQ=PE，i=140.753CQBQ，设 CQ=4x、BQ=3x，由 BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=102，解得：x=2 或 x=-2(舍)，则 CQ=PE=8，BQ=6，DP=DE+PE=11，在 RtADP 中,AP=11tantan40DPA 13.1，AB=AP-BQ-PQ=13.1-6-2=5.1，故选：A.点睛：此题考查了俯角与坡度的知识注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决

10、问题的关键5A【解析】【分析】由题意得：AEF DEF，故EDF=A；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决【详解】在ABC中，ACB90，ACBC4，AB，由折叠的性质得到：AEFDEF，EDFA，EDFB，CDEBDFEDFBFDBDFB180，CDEBFD，答案第 4 页，总 14 页又AEDE3，CE431，在直角ECD中，CE1sinCDEED3，1sinBFD3，故选 A【点睛】本题考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角函数等，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.6D【解析】【分析】根据 C=90 ，B=30 ，BC=9，求得 AB=6 330

11、BCcos，根据角平分线的性质得到DE=CD=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论【详解】C=90 ，B=30 ，BC=9，AB=6 330BCcos，AD 平分 CAB，DEAB 于 E，DE=CD=3，ADB 的面积=12AB?DE=12 63 3=93故选 D【点睛】本题考查了解直角三角形，角平分线性质，求出DE 和 AB 的长是解此题的关键7B【解析】分析：截取BE=BM，所以 BEP BMP（SAS），根据点到直线的距离垂线段最短可知CEAB，根据解直角三角形即可求解.详解：如图：答案第 5 页，总 14 页在 AB 上截取 BE=BN，在 BEP 和BMP 中，BEBNEBPM

12、BPBPBP,BEP BMP（SAS），MP=EP.连接 CE，即：CEPE+PC 当 CEPE+PC 即：CE 与 BP 的交点即为点P，当 CEAB 时，CE 最短（点到直线的距离垂线段最短）.ABC=45，EBC=BCE=45 .sinEBC=22ECBC,且 BC=3，EC=3 22.点睛：本题考查了垂线段的性质、全等三角形的判定，特殊的三角函数值.8C【解析】过点 D 作 DF AC 于 F,在直角 ADF 中,AF=AD?cos30=3003米,DF=12AD=300 米,设FC=x,则 AC=3003+x,在直角 BDE 中,BE=3DE=3x,则 BC=300+3x,在直角 A

13、CB中,BAC=45,这个三角形是等腰直角三角形,AC=BC,3003+x=300+3x,解得:x=300,BC=AC=300+3003,山高是 300+3003-15=285+3003 805（米）,故选 C.答案第 6 页，总 14 页9C【解析】【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点()6,8C，将点 C 坐标代入解析式可求k 的值【详解】解：如图，过点C 作CEOA于点 E，菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，点(10,0)A，10OCOA，4sin5CECOAOC8CE，22COCE6OE点C坐标(6,8)若反比例函数k(0,0)xykx经过点 C，6 848k故选：C【点睛

14、】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C 坐标答案第 7 页，总 14 页10 D【解析】【分析】设直角三角形的直角边长分别为x、y（xy），根据大正方形的面积为169，小正方形的面积为49 可得关于x、y 的方程组，解方程组求得x、y 的值，然后利用正弦、余弦的定义进行求解即可得.【详解】设直角三角形的直角边长分别为x、y（xy），由题意得22249169xyxy，解得：125xy或512xy（舍去），直角三角形的斜边长为13，sin -cos=5127131313，故选 D.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角

15、形的三边长是解题的关键.116+43【解析】【分析】过点E 作 EH AG 于 H，由 AE=EG=23，AGE=30 可求得 AG 的长，由翻折可知 AE=BE、AG=CG，根据 BC=BE+EG+CG，将数据代入相加即可得.【详解】过点E 作 EH AG 于 H，AE=EG=23，AGE=30，AG=2AH=2AE?cos30=22332=6，由翻折得2 3,6BEAEGCGA，64 3BCBEEGGC，故答案为：6+43.答案第 8 页，总 14 页【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、折叠的性质等，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形.123【解析】【分析】利用特殊角三角函数解直角

16、三角形.【详解】解：过点C 作 CDAB 于点 D，根据题意得：CAD=90 60=30，CBD=90 30=60，ACB=CBDCAD=30，CAB=ACB，BC=AB=2km，在 RtCBD 中，CD=BC?sin60=232=3（km）故答案为：3【点睛】利用三角函数定义解直角三角形：1.已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角.依据：边的关系：222abc；角的关系：A+B=90；边角关系：三角函数的定义.(注意：尽量避免使用中间数据和除法)答案第 9 页，总 14 页2.30-60-90 直角三角形三边关系1:2：3，三角函数值需要牢记.1390【解析】【分析】先根据非负数的

17、性质求出1sinA2，1cosB2，再由特殊角的三角函数值求出A与B的值，根据三角形内角和定理即可得出结论【详解】在ABC中，211sinA(cosB)022，1sinA2，1cosB2，A30，B60，C180306090，故答案为：90【点睛】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.1455【解析】分析：先根据勾股定理的逆定理判断出ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论详解：AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AC2+BC2=AB2，ABC为直角三角形，且ACB=90，则 sin BAC=BC

18、AB=55故答案为：55点睛：本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键答案第 10 页，总 14 页15343yx【解析】【分析】根据菱形的性质，可得OC 的长，根据三角函数，可得OD 与 CD，从而可得点C坐标，然后再根据待定系数法，即可求得直线AC 的表达式.【详解】如图，由菱形 OABC 的一个顶点在原点O 处，A 点的坐标是（0，4），得 OC=OA=4，又 1=60，2=30，sin2=12CDOC，CD=2，cos 2=cos30=32ODOC，OD=23，C（23，2），设AC的解析式为y=kx+

19、b，将 A，C 点坐标代入函数解析式，得2 324kbb，解得334kb，直线 AC 的表达式是y=33x+4，答案第 11页，总 14 页故答案为：y=33x+4【点睛】本题考查了菱形的性质、待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出 C 点坐标是解题关键161560 3【解析】【分析】如图作 BNCD 于 N，BM AC 于 M，先在 RTBDN 中求出线段BN，在 RT ABM 中求出 AM，再证明四边形CMBN 是矩形，得CM=BN 即可解决问题【详解】如图作 BNCD 于 N，BM AC 于 M在 RTBDN 中，BD=30，BN：ND=1：3，BN=15，DN=15 3，C=

20、CMB=CNB=90 ，四边形 CMBN 是矩形，CM=BM=15，BM=CN=60315 345 3，在 RTABM 中，tanABM=43AMBM，AM=60 3，AC=AM+CM=1560 3【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念。答案第 12 页，总 14 页17（1）见解析；（2）tanCAB=12.【解析】【分析】（1）可以证明OC2+PC2=OP2得OCP 是直角三角形，即OCPC，PC 是O 的切线；（2）AB 是直径，得 ACB=90，通过角的关系可以证明PBC PCA，进而12BCPBACPC，得出 tanACB=12BCAC【详解】（1）如

21、图，连接OC、BC，O 的半径为3，PB=2,OC=OB=3，OP=OB+PB=5,PC=4,OC2+PC2=OP2，OCP 是直角三角形，OCPC，PC 是O 的切线（2）AB 是直径，ACB=90 ，ACO+OCB=90 .OCPC，BCP+OCB=90 ，BCP=ACO.OA=OC，A=ACO，A=BCP.答案第 13 页，总 14 页在 PBC 和PCA 中：BCP=A，P=P，PBC PCA，BCAC=PBPC=24=12tanCAB=BCAC=12【点睛】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能证明图中相似三角形是解决问题的关键18（1）开通隧道前，汽车从A 地到

22、B 地大约要走136.4 千米；（2）汽车从A 地到 B 地比原来少走的路程为27.2 千米【解析】分析：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角 ACD 中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角 CBD 中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A 地到 B 地比原来少走多少路程详解：（1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，AB CD，sin30=CDBC，BC=80 千米，CD=BC?sin30=80（千米），AC=40=402sin 4522CD（千米），AC+BC=80+402 40 1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前

23、，汽车从A 地到 B 地大约要走136.4 千米；（2）cos30=BDBC，BC=80（千米），答案第 14 页，总 14 页BD=BC?cos30=80340 32（千米），tan45=CDAD，CD=40（千米），AD=4040tan451CD（千米），AB=AD+BD=40+403 40+40 1.73=109.2（千米），汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BC AB=136.4 109.2=27.2（千米）答：汽车从A 地到 B 地比原来少走的路程为27.2 千米点睛：本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线19改善后滑板会加长1.66 米【解析】【分析】在 RtABC 中，根据AB=4 米，ABC=45，求出 AC 的长度，然后在RtADC 中，解直角三角形求AD 的长度，用AD-AB 即可求出滑板加长的长度【详解】解：在 RtABC 中，AC=AB?sin45=422=2 2，在 RtADC 中，AD=2AC=4 2，AD-AB=4 2-4 1.66 答：改善后滑板会加长1.66 米【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键