2020年河南省开封市实验中学高三数学(文)高考模拟测试卷二.pdf

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1、数学试卷一、选择题1.集合2|4,|90AxNxBx x，则ABI=()A.|03xxB.|33xxC.0,1,2D.0,1,2,32.已知曲线1ln xyxa在1x处的切线l 与直线 320 xy垂直，则实数a的值为（）A.2 B.35C.12D.353.函数2lnln1fxxexex的图象大致为()A.B.C.D.4.过双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 左支交于点A，若OFOA，则 C 的离心率为()A.2 B.2 C.5D.5 5.已知函数31()21eexxf xxx，其中 e 自然对数的底数若2(1)22f afa，则实数a的取值范围是（）

2、A.31,2B.3,12C.11,2D.1,126.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长都相等,其外接球的表面积是4,则其侧棱长为()A.33B.2 33C.2 23D.237.已知函数|sin0,0(e0,)xf xAxA()()的图象如图所示，则A的可能取值为（）A.2B.C.32D.128.已知xa是函数312fxxx的极小值点，则a=（）A-4 B-2 C4 D2 9.如图，一个正四棱锥111PABC D和一个正三棱锥222PB C S的所有棱长都相等,F 为棱11B C的中点，将121212,P P BB C C、分别对应重合为,P B C得到组合上体.关于该组合体有如下三个结论：A

3、DSP；ADSF；/ABSP.其中错误结论的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知抛物线2:20Cypx p的焦点为 F，且 F 到准线 l 的距离为2，直线1:50lxmy与抛物线 C 交于 PQ、两点（点P 在 x轴上方），与准线l 交于点 R，若3QF，则QRFPRFSS()A.57B.37C.67D.9711.已知函数fx的导函数2sinfxx，且(0)1f，数列na是以4为公差的等差数列，若234(3f af af a)()()，则20162aa()A2016 B 2015 C2014 D2013 12.已知函数321fxxaxx在,上是单调函数,则实数a的取值范围是(

4、)A.,33,B.3,3C.,33,D.3,3二、填空题13.已知向量2,1,1,2abrr则2abrr=_.14.已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为12，则该球的表面积为_.15.若双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则双曲线 C 的离心率为 _.16.已知数列na满足11a；*121Nnnaann，则20202018aa=_.1324359810099 10111111aaa aa aa aa aL=_.三、解答题17.已知数列na的前 n 项和为211,022nnnnnS aSa San（1）

5、求证：数列1nS是等差数列；（2）若n-1,32nnnSnCn为奇数，为偶数，设数列nC的前 n 项和为nT，求2nT.18.某校高三文科(1)班共有学生45 人,其中男生15人,女生 30人在一次地理考试后,对成绩作了数据分析(满分 100 分),成绩为 85 分以上的同学称为“地理之星”,得到了如下图表:地理之星非地理之星合计男生女生合计如果从全班45 人中任意抽取1 人,抽到“地理之星 的概率为13（1）完成“地理之星”与性别的22列联表,并回答是否有90 以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关?（2）若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为90,方差为 7.2,请你判

6、断这些同学中是否有得到满分的同学,并说明理由.(得分均为整数)参考公式:22n adbcKabcdacbd,其中 nabcd.临界值表：20P KK0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 0K2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.如图所示，四棱锥PABCD 的底面是梯形，且/,ABCD AB平面,PAD E是PB中点，12CDPDADAB（1）求证：CEAB；（2）若3,22CEAB，求三棱锥APCD 的高20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143xyC的左顶点为A，右焦点为,F P Q 为椭圆 C 上两点，圆222:0Oxyrr.（1

7、）若PFx轴，且满足直线AP与圆 O 相切，求圆O 的方程；（2）若圆 O 的半径为2，点,P Q 满足34OPOQKK，求直线PQ 被圆 O 截得弦长的最大值.21.已知函数()(R,0)exkxf xkk(e 为自然对数的底数).（1）讨论函数fx的单调性;.（2）当1,0kx时,若2()()0f xfxax恒成立，求实数a 的取值范围22.已知函数21ln()f xxax.（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）证明：232()xexf xex ax+-.参考答案1.答案：B 解析：2.答案：B 解析：3.答案：C 解析：4.答案：C 解析：5.答案：C 解析：令31()()12ee

8、xxg xf xxx，Rx则()()gxg x，()g x 在 R 为奇函数21()32e0220exxg xx，函数()g x 在 R 上单调递增2(1)(2)2f afa，化为：2(1)1(2)10f afa，即2(1)(2)0g aga，化为：2(2)(1)(1)gag aga，221aa，即2210aa，解得112a实数a的取值范围是1 1,26.答案：B 解析：设三棱锥的侧棱长为a，将该三棱锥补成棱长为a 的正方体，则棱长为a 的正方体的体对角线与三棱锥外接球的直径相等.因为三棱锥外接球的表面积为4，所以其外接球的半径为1，所以32a，解得2 33a，故选B.7.答案：B 解析：由题

9、图知，函数fx为偶函数.因为函数exy为偶函数，所以函数sinsinyAx为偶函数，所以2kkz.因为0，所以2，所以sinecosexxfxAxAx.由题图知1002ff,即cos02A22kkxA，所以21 Akkz8.答案：D 解析：9.答案：A 解析：由于正四棱锥111PABC D 和正三棱锥222PB C S 所有的棱长都相等,可以叠放在一起,得到组合体PADSBC,把其放在两个相同的正四棱柱拼成的几何体内,如图所示，点P 对应左侧正四棱柱上底面的中心1O,点 S对应右侧正四棱柱上底面的中心2O,由图可知拼成的组合体PADSBC是一个三棱柱，所以/SPAB,设 E 为AD的中点,连接

10、,PE EF FS,可知,ADSP AD平面PEFS,所以ADSF,故三个结论都正确,选 A.10.答案：C 解析：由焦点F 到准线 l 的距离为2，得2p，即24yx.设,ppQQP xyQ xy,如图作 QQl 于点 Q，PPl于点 P，则/QQPP.因为21QQFx，所以2Qx.联立得2504xmyyx，消元化简得2242 550 xmx，由根与系数的关系得5QPx x,所以52Px，所以1361712QRFQPRFPSxQRQQsSPRPPx故选 C 11.答案：B 解析：2sinfxx，2cosfxxxc，01f，00cos011fcc，则0c，即2cosfxxx，数列na是以4为公

11、差的等差数列，114naan，2343fafafa，2342342coscoscos3()()aaaaaa，222236coscoscos324)(2()aaaa，22232261sin1cos3222aaa.即22222361sin1cos222aaa，解得24a，则22214444naannn则201620152016144a，则201622015420154aa.12.答案：B 解析：由321fxxaxx,得到2321fxxax,因为函数在,上是单调函数,所以23210fxxax在,恒成立,则2412033aa,所以实数a的取值范围是3,3.13.答案：5 解析：由己知得5abrr,且0

12、a brr,所以22222445455ababaabbrrrrrr rr.14.答案：9解析：易知球心在两四棱锥顶点连线的中点，设体积较小的锥体的高为x，则222222xxx,解得1x，半径为32，所以表面积为9.15.答案：2 33解析：不妨设渐近线的方程为byxa，即0bxay，圆的圆心为0,2，半径为2.因为截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为2213，结合点到直线的距离公式得2223aab，即23ac，所以双曲线C 的离心率2 3e3ca16.答案：2;199303解析：*1Nnnaan，当2n时，12nnaan，12nnaa，202020182aa，数列na的奇数项和偶数项分别是公

13、差为2 的等差数列，又121,3aa13243598 1009910111111111111112235579910113aaa aa aa aa aLL1111993101330317.答案：（1）证明：因为当2n时，1nnnaSS，所以2110nnnnnnSSSSSS所以110nnnnSSSS,因为112a所以216a，所以10nnSS，所以1111nnSS所以1nS是以12nS为首项，以1 为公差的等差数列（2）由 1可得1211nnnS，所以11nSn.n-11132nnnnnC为奇数为偶数13212nn1 111111=-+-+22222 44 6222nnTLL21212n1112

14、1251=2222331244nnnTn解析：18.答案：(1)易知“地理之星”总人数为145153,得到22列联表如下:地理之星非地理之星合计男生7 8 15 女生8 22 30 合计15 30 45 则2245722881.82.70615301530K所以没有 90以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关.(2)没有得满分的同学.记各个分值由高到低分别为1215,x xx则若有两个及以上得满分，则22222315140100901009090907.2153Sxx,不符合题意.若恰有一个满分,为使方差最小,则其他分值需集中分布于平均数90 的附近,且保证平均值为90,则有 10 个得

15、分为89,其余 4 个得分为90,此时方差取得最小值2222min12210090490901089907.2153S,与题意方差为7.2不符.综上,这些同学中没有得满分的同学.解析：19.答案：（1）取AP的中点 F，连结,DE EF，如图所示因为点 E 是PB中点，所以/EFAB,且2ABEF又因为/ABCD 且2ABCD，所以/EFCD 且 EFCD，所以四边形EFDC 为平行四边形，所以/CEDF，因为AB平面,PAD DF平面PAD，所以ABDF所以 CEAB（2）设点 O 为PD的中点，连结AO，如图所示，因为3,22ECAB，由（1）知，32DF又因为2AB，所以1PDAD，所以

16、2223222 114APAFADDF所以ADP为正三角形，所以 AOPD，且32AO因为AB平面,/ABPADCD，所以 CD平面PAD所以 CDAO，又因为PDCDDI，所以 AO平面 PCD 所以三棱锥APCD 的高为32解析：20.答案：（）因为椭圆C的方程为22143xy，所以(2,0),(1,0)AF因为 PFx 轴，所以3(1,)2P，而直线AP与圆 O 相切，根据对称性，可取3(1,)2P，则直线AP的方程为1(2)2yx，即220 xy.由圆 O 与直线AP相切，得25r，所以圆 O 的方程为2245xy（）易知，圆O 的方程为224xy.当 PQx 轴时，234OPOQOP

17、kkk，所以32OPk，此时得直线PQ 被圆 O 截得的弦长为2 2.当 PQ 与x轴不垂直时，设直线PQ 的方程为ykxb，112212(,),(,)(0)P xyQ xyx x，首先由34OPOQkk，得1212340 x xy y，即121234()()0 x xkxb kxb，所以221212(34)4()40*kx xkb xxb.联立22143ykxbxy，消去 x，得222(34)84120kxkbxb，在0时21212228412,3434kbbxxxxkk代入（*）式，得22243bk.由于圆心 O 到直线 PQ 的距离为2|1bdk，所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为2

18、222 481ldk，故当0k时，l 有最大值为10.综上，因为1022，所以直线PQ被圆 P 截得的弦长的最大值为10.解析：21.答案：(1)由已知,得1exkxfx若0k,当,1x时,0fx,函数fx单调递增，当1,x时,0fx,函数fx单调递减;若0k,当,1x时,0fx函数fx单调递减，当1,x时,0fx,函数fx单调递增.(2)当1,0kx时20fxfxax等价于2ee0 xxxxax，当0 x时,Ra.当0 x时,得eexxax,设eexxg xax,则0g x恒成立，e+exxgxa,若2a,则ee20 xxgxaa,函数g x 单调递增，所以0g x,所以2a符合题意;若2a

19、,令ee0 xxgxa,则2ee10*xxa,存在00 xx,使得204e12xaa,即204ln2aax为方程*的解,所以当00,xx时,0gx,函数g x单调递减,当0,xx时,0gx,函数g x单调递增,所以必存在00,xx,使得0g x,与0g x恒成立矛盾.所以2a不合题意,舍去.综上可知,2a,即实数 a 的取值范围是,2解析：22.答案：(1)21ln()f xxax的定义域为(0)，22112fxaxaxxx.所以当0a时，0fx，()f x 在(0)，单调递增；当0a时，令0fx，得22xaa.即当20,2axa时，0fx，所以()f x 的单调递增区间为20,2aa.当2,2axa时，0fx，()f x 的单调递减区间为2,2aa.(2)证明：要证232()xexf xexax，即证22lnxexxe，也即22ln2xexxe x.令2202xegxexx，224232222xxxexexexgexxex，当 02x时，0gxg x，单调递减；当2x时，0gxg x，单调递增，所以g x的最小值为122g.令ln xk xx，则21ln xkxx，当 0 xe时，0,kxk x单调递增；当xe时,0,kxk x单调递减，所以k x的最大值为1k ee，因为112e，所以k xg x，即22ln2xxexe x.所以232()xexf xexax.解析：