2020年四川省成都市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷二.pdf

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1、数学试卷一、选择题1.已知集合0,1,2,3,|ln1ABxNx，则ABI()A0,1B1,2C0,1,2D0,1,2,32.已知复数z 满足12i(i1zz为虚数单位），则z()A2iB2iC2iD2i3.在正三角形ABC 中，2AB，1,2BDDC AEECuuu ru uu r u uu ruuu r，且AD与BE相交于点 O，则OA OBuuu ruuu r()A45B34C23D124.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：不喜欢喜欢男性青年观众30 10 女性青年观众30 50 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性

2、青年观众”的人中抽取了6 人，则n()A12 B 16 C24 D32 5.函数1fxxx的大致图像为()ABCD6.已知曲线222210,0 xyabab的一条渐近线经过点2,6，则该双曲线的离心率为()A.2 B.2C.3 D.37.设0.1312,ln,log 22abc，则,a b c的大小关系是()A abcB acbC bacD bca8.已知函数sin2sin23fxxx，将其图象向左平移0 个单位长度后得到的函数为偶函数，则的最小值是()A12B6C3D569.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦

3、为边长得到的正方形是由4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3 全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设2DFAF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是()A2 1313B413C2 77D4710.满足函数ln3fxmx在,1上单调递减的一个充分不必要条件是()A42mB30mC40mD31m11.已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，直线 l 经过点 F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点,A B，若3AFFBuu u

4、 ruuu r，则该双曲线的离心率为()A52B62C2 33D312.已知四棱锥,SABCD SA平面,ABCD ABBC，BCDDAB，2 62,3SABC，二面角 SBCA的大小为3，若四面体SACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A 42B 4C 8D 16二、填空题13.设,x y满足约束条件24010210 xyxyxy，则23yzx的最大值是 _.14.已知 sin3cos0，则 sin2_ 15.已知函数2ln12bfxaxxx，37f，则3f的值为 _16.记正项数列na的前 n 项和为nS，且当2n时，1217nnnanana.若29a，则40S_.三、解答

5、题17.已知,a b c分别是ABC的内角,A B C所对的边，2222sinsinsinbcaCAbcB（I）求角 B 的大小；（II）若 ABC 的面积为3，求ABC周长的最小值18.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50 名志愿者参与志愿者的工作内容有两项：到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20 人30 人50 人（）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5 人中选 2 人，

6、那么“至少有 1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（）若参与班级宣传的志愿者中有12 名男生，8 名女生，从中选出2 名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望19.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，/,AFDE AFAD，且平面BED平面ABCD.（I）求证：AFCD；（II）若6120,AFADADBEDo，求二面角AFBE的余弦值.20.已知函数21ln2fxxxax（I）当0a时，讨论函数fx的单调性；（II）若函数fx有两个极值点12,x x，证明:12ln 2324fxfx21.已知抛物线2:20Cypx p的焦点是椭圆

7、222210:xyababM的右焦点，且两曲线有公共点22 633，（I）求椭圆M 的方程；（II）椭圆 M的左、右顶点分别为12,A A，若过点4 0B，且斜率不为零的直线l 与椭圆M交于,P Q 两点，已知直线1A P与2A Q相较于点G，试判断点G 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为23cos13sinxy（为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（）求曲线C 的极坐标方程；（）过点2,1 的直线 l 与曲线 C 交于,A B两点，且2AB，求直

8、线l 的方程.23.选修 4-5：不等式选讲已知0,0,0abc，函数()f xcaxxb.（I）当1abc时，求不等式3fx的解集；（II）当fx的最小值为3 时，求 abc 的值，并求111abc的最小值.参考答案1.答案：B 解析：1,2,0,1,2,3BA；1,2ABI.故选：B.2.答案：A 解析：由12i1zz,得112i2i+2izzzz，3i1i3i42i21i1i1i2z.故选：A.3.答案：B 解析：如图所示因为BDDCuuu ru uu r所以D是BC的中点所以1122ADABACuuu ruuu ruuu r因为12AEECuuu ruuu r所以13AEACuuu r

9、uuu r设AOkADu uu ruuu r，则1122AOkABACuuu ruuu ru uu r因为,B O E共线所以存在实数，使得1113AOABAEABACu uu ruu u ru uu ruu u ruuu r因为,AB ACuuu r uuu r不共线所以1211123kk解得1412k所以1144AOABACuuu ruuu ruuu r3144BOBAAOABACu uu ruu u ru uu ruu u ruuu r所以OA OBAO BOuuu ruuu ru uu ruu u r11314444ABACABACuuu ruu u ruu u ruuu r22311

10、16816ABAB ACACu uu ruuu ruuu ruuu r223113222 cos602168164综上所述，答案选择：B 4.答案：C 解析：由题意3030630103050120n,解得24n.故选 C 5.答案：D 解析：由题意，当0 x时，1fxxx，2110fxx，fx 单调递增，排除A,B；当0 x时，1fxxx，211fxx，令0fx，fx 在1,0 单调递增，在,1 单调递减，故选：D 6.答案：A 解析：已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线经过点2,6则由渐近线byxa得：62ba，得3ba故双曲线的离心率为：22222e=1132cabbaaa

11、7.答案：B 解析：8.答案：B 解析：因为13sin2sin 2cos222fxxxx3sin26x，将其图像向左平移个单位长度得3sin226yx.因为函数3sin2246yx为偶函数，所以2Z62()kk，解得Z62()kk，由0 可得的最小值为6，故选 B.9.答案：B 解析：在ABD中，设 BDm,则2,3,120DFm ADmADB，由余弦定理可得222923cos120ABmmmm213m,则所求概率22413DEFABCSDFPSAB.10.答案：D 解析：若ln3fxmx在,1上单调递减，则满足0m且30m，即0m且3m，则30m，即 fx 在,1 上单调递减的一个充分不必要

12、条件是31m，故选：D.11.答案：A 解析：由题意可知直线l 的方程为bxyca,不妨取1a则xbyc,且221bc将 xbyc 代入双曲线2221,0yxbb方程整理可得4234120byb cyb设1122,A xyB xy,则341212442,11b cbyyyybb，由3AFFBuuu ru uu r，可得123yy，故可得324422422131b cybbyb，则22431b cb，解得214b则255142cb,则双曲线的离心率为5e=2ca综上所述，答案选择：A 12.答案：C 解析：本题考查四棱锥外接球的应用，考查空间想象能力和运算求解能力.因为BCDDAB，所以,A B

13、 C D四点共圆，直径是AC.因为 SA平面 ABCD，ABBC，所以SBA为二面角 SBCA的平面角，即3SBA。因为2SA，所以2 33BA，又2 63BC，所以2AC.设球的半径为R，222R1R1，解得R=2，该球的表面积为8.故选：C.13.答案：5 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，23yzx表示定点3,2P与平面区域中的动点,x y 连线的斜率，由图可得，当直线经过点D 时，直线的斜率最大，由240210 xyxy，可得2,3D，23yzx的最大值是32523综上所述，答案：5 14.答案：35解析：由 sin3cos0，得 tan3，则22222sincos2tan2

14、33sin2sincostan1315故答案为：35.15.答案：3解析：已知函数2ln12,37bfxaxxfx则23ln313273bfa得ln31053ba，得1ln53310ba，得ln 31053ba，得ln 31053ba则33ln 3132ln 310252333bbfaa.综上所述，答案316.答案：1840 解析：当2n时,1217nnnanana，11217nnnanana，相减可得：111121nnnnanana,即112nnnaaa.数列na是等差数列。2n时,可得：221227aaa,解得17a，219aad，2d.则40140394039404072184022Sa

15、d，故答案为：1840.17.答案：（1）2222sinsinsinbcaCAbcBQ，由sinsinsinabcABC得222cabac，2221cos22cabBac，0BQ，3B；（2）由 1得3B，13sin324ABCSacBac，4ac，22222cos4242bacacBacac，24acac，对上述两个不等式，当且仅当2ac时等号成立，此时ABC周长取最小值6.解析：18.答案：（）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是515010，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210人，参与整理、打包衣物者被抽中的有130310人，故“至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者”的概率为:

16、23257110CPC（）解：女生志愿者人数0,1,2x，则21221033095CP xC，1112822048195C CP xC，2822014295CP xC，X 的分布列为：X 0 1 2 P 339548951495X 的数学期望3349147601295959595EX解析：19.答案：（1）证明：连接 AC，由四边形ABCD 为菱形可知ACBD，平面BED平面 ABCD，且交线为BD，AC平面BED，ACED，又/AFDE，AFAC，,AFAD ACADA，AF平面 ABCD，CD平面 ABCD，AFCD；（2）解：设ACBDO，过点 O 作DE的平行线 OG，由 1 可知,O

17、A OB OG两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设1202AFADEDa a，则3,0,0,0,0,3,0,2,0,4AaBaFaaEaa，所以3,0,0,0,2,0,2,4,3,2ABa aAFaBEaaBFaaauuu vu uu vuuu vuu u v，设平面ABF的法向量为,mx y zv，则00m ABm AFuu u vvuuu vv，即3020 xyz，取3y，则1,3,0mv为平面ABF的一个法向量，同理可得0,2,1nv为平面FBE的一个法向量.则2 315cos,525m n，又二面角AFBE的平面角为钝角，则其余弦值为155.解析：20.答案：（1

18、）21ln0fxxxax xx，210axxafxxxxx当 140a，即14a时，0fx，所以 yfx 在 0,单调递增；当 140a，即104a时，令0fx，得11142ax，21142ax，且120,0 xx，当1141140,22aaxU时，0fx；当114114,22aax时，0fx；yfx 单调递增区间为1141140,22aa；单调递减区间为114114,22aa综上所述：当14a时，yfx在0,单调递增；104a时，yfx 在区间1141140,22aa单调递增；在区间114114,22aa上单调递减（2）由 1得210axxafxxxxx函数fx 有两个极值点12,x x，方

19、程20 xxa有两个根12,xx，12121xxxxa，且140a，解得104a由题意得221211122211lnln22fxfxxxaxxxax221212121ln2xxxxaxx2121212121ln2xxxxxxaxx11ln2aaa1ln2aaa令11ln024h aaaaaa，则ln0haa，yh a 在10,4上单调递减，1ln 23424h ah，12ln 2324fxfx解析：21.答案：（1）将22 633，代入抛物线2:2Cypx 得2p抛物线的焦点为1,0，则椭圆 M中1c，又点2 2 6,33在椭圆 M上，22221424199abab，解得224,3ab，椭圆

20、M的方程为22143xy（2）由条件可得直线PQ 的斜率存在，设直线:40PQyk xk联立方程22434120yk xxy，消 y得：2222343264120kxk xk有两个不等的实根，24222324 4 3416316 9 140kkkk，2104k设112233,P xyQ xyG xy，则21223234kxxk，2122641234kxxk2212121 2212 14434kxxxxx xk，由1,A P G三点共线，有：311322yyxx由2,A Q G三点共线，有：323222yyxx上两式相比得212133121224222242yxk xxxxyxk xx1 212

21、211 2121238338x xxxxxx xxxxx，解得31x点 G 在定直线1x上解析：22.答案：（）消去参数，可得曲线 C 的普通方程为22(2)(1)9xy，224240 xyxy.由cossinxyrqrq=?=?所以曲线 C 的极坐标方程为24cos2sin40.（）显然直线l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为1(2)yk x，即210kxyk.而2AB，则圆心到直线l 的距离2291222ABdr.又2|4|1kdk，所以2|4|2 21kk，解得1k.所以直线l 的方程为10 xy或30 xy.解析：23.答案：（1）111fxxx1123xx或1133x或1213xx，解得|11x xx或.（2）3fxcaxxbaxxbcabcabc11111111333bacacbabcabcabcabacbc，1322233当且仅当1abc时取得最小值3解析：