最新江苏省常州市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷四.pdf

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1、数学试卷一、填空题1.复数534i的共轭复数是 _ 2.设全集UR,2|20,|cos,Ax xxBy yx xR则图中阴影部分表示的区间是_ 3.运行如图所示的伪代码,其结果为 _ 4.若命题“tR,220tta”是假命题,则实数a的取值范围是 _ 5.甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测试中的成绩分别为:甲组:88,89,90;乙组:87,88,92,如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是_ 6.矩形ABCD中,沿4,3ABBC,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,则四面体ABCD外接球的体积为_ 7.设,x y满足01yyxxy,

2、则3xy的最大值为 _ 8.已知na为等差数列,nS为其前n项和,公差为d,若201818100201818SS,则d的值为_ 9.已知函数()()ln,fxxmx mR,当x1时恒有(1)()0 xfx,则关于x的不等式()22f xx的解集为 _ 10.在平面直角坐标系xOy中,过点2,0P的直线与圆221xy相切于点T,与圆2233xay相交于点,R S,且PTRS,则正数a的值为 _ 11.若函数1()(cossin)(cossin)3(sincos)(41)2f xxxxxaxxax在,02上单调递增,则实数a的取值范围为 _ 12.函数2,0()11,022xx xf xx x,若

3、关于x的方程()f xkxk至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为 _ 13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A在椭圆221259xy上,点P满足(1)()APOARuuu ruu u r,且48OA OPuuu r uu u r,则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为_ 14.在ABC中,2,(1),ACABmBC m，若当ABC面积取最大值时3B,则m_ 二、解答题15.已知ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c,已知sin3 cos3aBbAc1.求角B的大小2.若ABC的面积为7 3,43,4bac,求,a c16.如图,在三棱锥PABC中,已知平面PBC平面ABC

4、1.若,ABBC CPPB,求证:CPPA2.若过点A作直线l平面ABC,求证:/l平面PBC17.如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图),水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形,南北向渠宽为4m,东西向渠宽2m(从拐角处,即图中,A B处开始).假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)1.在水平面内,过点A的一条直线与水渠的内壁交于,?PQ两点,且与水渠的一边的夹角为02,将线段PQ、的长度l表示为的函数;2.若从南面漂来一根长为7?m的笔直的竹竿(粗细不计),竹竿始终浮于水平面内,且不发生形变,问:这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)?请说明理由18.如图,点1,3A

5、为椭圆2212xyn上一定点,过点A引两直线与椭圆分别交于,B C两点1.求椭圆方程;2.若直线,AB AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形求直线BC的斜率;求ABC的面积的最大值,并求出此时直线BC的方程19.函数21,k xfxlnxx其中k为常数1.若0?k,求曲线yfx在点1,1f处的切线方程;2.若5k,求证:fx有且仅有两个零点;3.若k为整数,且当2x时,0fx恒成立,求k的最大值20.已知有穷数列na,nb对任意的正整数*nN,都有121321 21nnnnnaba ba ba ba b122nn成立1.若na是等差数列,且首项和公差相等,求证:nb是等比数列;2.若na

6、是等差数列,且nb是等比数列,求证:12nn nabn21.已知矩阵33Acd若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为111a,属于特征值1的一个特征向量232a求矩阵A,并求出A的逆矩阵22.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知圆46sin被射线0所截得的弦长为2,求0的值23.假定某篮球运动员每次投篮命中率均为01pp现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮.已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰用完3次投篮机会的概率是21251.求p的值;2.设该运动员投篮命中次数为,求的概率分布及数学期望E()24.在数列na中2,*3 2nancosn

7、N1.试将1na表示为na的函数关系式;2.若数列nb满足21*,!bnnNn n猜想na与nb的大小关系,并证明你的结论参考答案1.答案：3455i解析：2.答案：,12,解析：3.答案：16解析：4.答案：,1解析：5.答案：89解析：6.答案：1256解析：7.答案：2解析：8.答案：110解析：9.答案：2(1,)e解析：10.答案：4解析：11.答案：1,解析：12.答案：1,11,3解析：13.答案：10解析：14.答案：23解析：15.答案：1.由已知sin3 cos3sinaBbAC,结合正弦定理得sin sin3sin cos3sinABBAC,所以sin sin3sin c

8、os3sin3 sin cossin cosABBAABABBA,即sin sin3sin cosABAB,即3tanB,因为(0,)B,所以3B2.由1sin,23ABCSacB B,得37 344ac,即7ac,又2222?bacacaccos B,得22432acacac,所以7?8acac,又7,?1aacc解析：16.答案：1.因为平面PBC平面ABC,平面PBC平面=ABC BC,AB平面ABC,ABBC,所以AB平面PBC.因为CP平面PBC,所以CPAB又因为,CPPB PBABB,AB PC平面,PAB所以CP平面,PAB又因为PA平面,PAB所以CPPA2.在平面PBC内过

9、P作PDBC,垂足为D,因为平面PBC平面ABC,又因为平面PBC平面ABCBC,PDQ平面ABC,所以PD平面ABC,又因为l平面ABC,所以/lPD,又l平面PBC,PDQ平面PBC所以/l平面PBC解析：17.答案：1.由题意,24,sincosPAQA所以240sincos2lPAQA2.设24,0,sincos2f由3322222 2 2 sincos2 cos4sin,sincossincosf令0f得22tan且当00,0f当,0,f所以f在00,上单调递减,在上单调递增,所以当0时,f取得极小值,即为最小值当022tan时,013sin,023cos,所以f的最小值为3,即这

10、根竹竿能通 过 拐角 处的长度的最大 值为3 6m.因为3 67,所以 这根竹竿能从拐角处一直漂向 东西向的水渠答:竹竿能从拐角 处一直漂向 东 西向的水渠解析：18.答案：1.把点1,3A代入2212xyn得6n,故椭圆方程为22126xy2.显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直.因此其斜率必存在,设两腰的斜率分别为12,k k由12231126ykxxy消去y,得22111323360,k xkkxk点B的横坐标为12162 313kxk(1x为点A的横坐标),点B的纵坐标为211212 363,3kkyk即2111221162 32 361,333kkkBkk同理可得点C的坐标

11、为2222222262 32 361,333kkkCkk120kk,直线BC的斜率为3BCk设1122,B x yC xy直线BC的方程为3yxm,代入方程22126xy得2262 360 xmxm,2121236,36mxxm x x2221212122 313?2?4123BCxxxxx xm，又点A到直线BC的距离为,2md222213312636266ABCSBC dmmm当26m,即6m或6m时,ABC面积取得最大值3此时,直线BC的方程为36yx解析：19.答案：1.当0?k时,1fxlnx.因为1,fxx从而11f又11f,所以曲线yfx在点1,1f处的切线方程为11yx,即0

12、xy2.证明当5k时,104.fxlnxx因为210,xfxx从而当0,10 x时,0fx,fx单调递减;当10,x时,0,fxfx单调递增.所以当10 x时,fx有极小值因为10103 0,16 0,flnf所以fx在(1,10之间有一个零点因为4410440fee,所以fx在(410,)e之间有一个零点从而fx有两个不同的零点3.由题意知,210k xlnxx在2,上恒成立,即ln2xxxkx在2,上恒成立.令ln,2xxxh xx则22ln42xxhxx设24xxlnx,则2xxx当2,x时,0,x所以x在2,上为增函数因为88284428 0,9529 0,lnlnln所以存在008,

13、9,0 xx,即00240 xlnx当02,xx时,0,h xh x单调递减,当0(,)xx时,0,hxh x单调递增所以当0 xx时,h x的最小值为0000ln2xxxh xx因为004,2xlnx所以004,4.52xh x故所求的整数k的最大值为4 解析：20.答案：1.依题意,1nana,且1 11a b,因为12132121nnnnna ba ba baba b122nn,所以112233221 1nnnnna ba ba babab2(1)2nn(2n),-得,11221()21nnnna bbbbb(2n),所以111221()21nnna bbbb(3n),-得,112nna

14、 b(3n),即112nnba(3n),中,令2n得,12214a ba b,即121 124a ba b,所以212ba,所以112nnba,*nN,从而12nnbb,即证nb是等比数列;2.因为nb是等比数列,不妨设公比为q,因为12132121nnnnna ba ba baba b122nn,所以112233221 1nnnnna ba ba babab2(1)2nn(2n),q得11222(1)2nnna bnqn,(2n),即1112122nnqqqanbbb(2n),因为na是等差数列,所以2q,此时11nanb(2n)且对1n也适合,所以1111122nnnna bnnba解析：

15、21.答案：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量111a可得,3331621cd即6cd;由矩阵A属于特征值1的一个特征向量232a可得333322cd即322cd,解得24cd即3324AA的逆矩阵是21321132解析：22.答案：圆46sin的直角坐标方程为22134xy,射线0的直角坐标方程可以设为0,0ykx xk圆心1,3到直线ykx的距离231kdk根据题意,得2232 42 31kk,解得33k即03,3tan又00,2所以06解析：23.答案：1.设事件A:“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A:“前两次投篮均不中”,依题意,221()11125P AP Ap,解得35p;答:

16、35p2.依24(0)125Pp意,的所有可能值为0,1,2,3,且224(1)111125Pppp pp,327(3)125Pp,故54(2)1(0)(1)(3)125PPPP,的概率分布表为:0123P42524125541252712524542721323125125125125E答:213125E解析：24.答案：1.2123232nnnacoscos212 cos1,32n221nana11,2nnaa又1*,12,0,nnNna112nnaa2.当1n时,11111,121,2abab当2n时,2222111,1,222abab当3n时,3333318,1,299abab猜想:当3n时,nnab,下面用数学归纳法证明当3n时,由上知,33ab,结论成立.假设当,3,*nk knN时,kkab成立,即21,!kak k则当1nk时,1221!22kkak ka11!k k12111!kbkk要证11kkab,即证明221211!k+11!k kk即证明214211!k+11!k+11!k kkk即证明21420!k+11!k+11!k kkk即证明22120k+11!k+11!kkk,显然成立1nk时,结论也成立,综合可知:当3n时,nnab成立综上可得:当1n时,11ab;当2n时,22ab,当3,*nnN时,nnab解析：