索罗增长模型527.pdf

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1、 第一章 索洛经济增长模型 The Solow Growth Model 基本内容 1 索洛模型的基本假定 2 离散时间的索洛模型 3 离散时间索洛模型的过渡过程 4 连续时间的索洛模型 5 连续时间索洛模型的过渡过程 6 持久增长 7 带技术进步的索洛模型 8 比较动态分析 1 索洛模型的基本假定 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架.其核心假定是新古典总的生产函数.家庭与生产 I 封闭经济,唯一的最终产品.离散时间，t=0,1,2,.该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为.这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别.为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示.家庭与生产

2、II 假定家庭的储蓄率外生 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表示.对该经济中的唯一最终产品，生产函数为 ()(),(),()Y TF K tL tA t (1)假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多的产品.()A t可以理解为技术.主要假定:技术是免费的;具有非竞争性与非排他性.关键假设 1 Assumption 1(连续性,可微性,边际产出为正且递减,规模报酬不变)生产函数3:F RR 关于 K 与 L 二阶连续可微,且满足 2222()()(,)0 (,)0()()(,)0 (,)0KLKKLLFFFK L AF K L AKLFFFK L AFK L AKL 同时,

3、F 关于 K 与 L 规模报酬不变.假定 F 关于 K 与 L 规模报酬不变，即关于这两个变量线性齐次.复习 定义 假定 K 为整数，如果对任意的R与KzR，有(,)(,)mgxy zg x y z，那么函数2:Kg RR为xR与yR的m 次齐次函数.定理(欧拉定理 Eulers Theorem)假定函数2:Kg RR为xR与yR的 m次齐次函数，偏导数分别是xg与yg，那么对任意的xR，yR以及KzR，有()()(),xymg x y zgx y z xgx y z y 同时，,(),xgx y z与,(),ygx y z是关于 x 与 y 的1m 次齐次式.市场结构与市场出清 I 假定市场

4、是竞争的,因此也可认为是竞争一般均衡模型.家庭拥有劳动,供给无弹性.经济中的劳动（力）,()L t,无论在什么价格下，劳动的供给量均为()L t.劳动力市场出清条件:()()L tL t 上式对所有的 t 均成立,()L t 劳动需求(也可视为就业水平).一般来说,互补松弛条件的表述更为准确.记 t 时期的工资率为 w(t),于是劳动力市场出清条件可表示为 ()(),0(L tL tw t and()()(0)L tL t w t 市场结构与市场出清 II 假设 1 与竞争的劳动力市场意味着工资率必须严格为正.家庭拥有资本，并将其出租给厂商.记t期的资本租赁价格()R t.资本市场出清条件:(

5、)()sdKtKt LHS-家庭的行为决定；RHS-厂商的行为决定 假定家庭拥有的初始资本存量为()0K ()P t为 t 时期最终产品的价格,将其标准化为 1.利率 r(t)折旧率 家庭得到的实际回报()()r tR t.厂商优化 厂商优化 I 考虑代表性厂商的最大化问题:0)0,()()()(),()()()(),.L tK tmaxF K tL tA tw t L tR t K t 注意:1 上述最大化问题中的变量是总量.2 在 F 前面没有系数,这是因为最终产品的价格已正规化为 1.3 假定要素市场完全竞争:在厂商看来，()w t 与()R t是给定的.4 凹的问题,因为F是凹的.厂商

6、优化 II 由于 F 可微,一阶条件（FOC）为:()()()(),Lw tF K tL tA t (2)()()()(),.,KR tFK tL tA t (3)在(2)与(3)中,()K t与()L t分别表示厂商对资本和劳动的需求量.实际上，可以通过(2)与(3)求解()K t 与()L t,它们是资本租赁价格()R t 和工资率()w t的函数.厂商优化 III 命题 假定假设 1 成立，那么均衡时厂商的利润为 0，()()()()().Y tw t L tR t K t 证明:可直接从欧拉定理得到（注意到1m,即规模报酬不变）.关键假设 2 假设 2(Inada conditions

7、)F满足 Inada 条件 0 0 0()()KKKKlim Fandlim Ffor all Lall A 0 0 0()()LLLLlimFandlim Ffor all Lall A 保证内点解.生产函数 Figure:Production functions and the marginal product of capital.The example in Panel A satisfies the Inada conditions in Assumption 2,while the example in Panel B does not.2 离散时间 Solow 模型 Solow

8、模型的动态过程描述 I K的折旧率为,于是 1 1()(),)K tK tI t (4)其中，()I t是t阶段的投资.对于封闭经济,产出等于消费与储蓄（投资）之和 ,()()()Y tC tI t (5)注意，该模型没有家庭效用的最大化问题，因此此处难以讨论社会福利等方面的话题.Solow 模型的动态过程描述 II 由于经济是封闭的(同时不考虑政府支出)，于是 .()()()()S tI tY tC t 假定家庭的储蓄率是常数，则 ()(),S tsY t (6)1()()()C ts Y t (7)于是资本供给（家庭的行为决定储蓄率 s）可表示为()()(1 1 )()()()().sKt

9、K tS tK tsY t Solow 模型的动态过程描述 III 资本的供求相等 ()().sKtK t 同时也有劳动力市场供求相等()().L tL t 结合(1)与(4),可得 Solow 增长模型的动态方程:()()()1 ,1.()()()K tsF K tL tA tK t (8)非线性差分方程.Solow 增长模型的均衡由该方程以及 ()()()L tor L tand A t来刻画.定义均衡 I 没有家庭优化,但仍然有厂商最大化行为以及要素市场的出清.定义 在 Solow 模型中，对于给定的序列 0()(),tL tA t 以及初始资本存量()0K,0,()()()(,)()t

10、K t Y t C t w tR t是资本、产出、消费、工资率、租赁价格的均衡路径，其中()K t满足(8),()Y t由(1)给出,()C t由(7)给出,()w t与()R t 分别由(2)与(3)给出.注意，均衡是沿着时间的整条路径，而不是静态的点.不考虑人口增长与技术进步时的均衡 不考虑人口增长与技术进步时的均衡 I 进一步假定（稍后放松假定）:1 没有人口增长;假定总人口为常数 L 0，即()L tL.2 假定没有技术进步，即()A tA.定义资本-劳动比率（人均资本）为 (,)K tk tL (9)利用规模报酬不变,人均产出)()(/y tY tL可表示为 ,1,()()().K

11、ty tFALf k t (10)不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II 注意()f k依赖于 A,本可以将生产函数写成,()f k A;但由于 A是常数，因此可以假定 A=1.由欧拉定理 0()()()()()()0.R tfk tw tf k tk t fk t (11)由假设 1 可知（11）中的要素价格均为正.例子:Cobb-Douglas 生产函数 I 一类特殊的生产函数，但应用很广泛:1()()()()()(,01)Y tF K tL tA tAK tL t 满足假设 1 和 2.两边同时除以()L t,()()y tAk t 由(11)可得(1)()()()()Ak tR tAk

12、 tk t 由欧拉定理,()()()1.()()()w ty tR t k tAk t 例子:CobbDouglas 生产函数 II 或者直接从 Cobb-Douglas 生产函数有,111()()()(),R tAK tL tAk t 1 1,w tAK tL tAtk 直接可验证满足欧拉定理.不考虑人口增长与技术进步时的均衡 不考虑人口增长与技术进步时的均衡 I 将(8)的两端同时除以 L 可得人均量的表达式:()()1 1).)()k tsf k tk t (12)定义 稳态均衡（steady-state equilibrium）*()k tk.该经济将趋于该稳态均衡(但在有限时间不能到

13、达).稳态人均资本 不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II 上图实线代表(12)，虚线是45线.它们的（正的）交点*k表示稳态人均资本 *.()f kks (13)注意到还有另一交点0k,因为已经假定0(0)f.忽略该稳态值:如果资本不是必不可少的（essential）,()0f可能大于 0 0k 可能变为稳态均衡点 本交点,即使存在，也不稳定。在经济上，本交点意义不大.不考虑人口增长与技术进步时的均衡 III 不考虑人口增长与技术进步时的均衡 IV 另一视角的稳态表示:折旧k与总投资()sf k的交点.1 同一图中也可展示消费与储蓄.2 稳态投资()sf k=折旧k（补充资本的量）.消费与投

14、资的稳态 不考虑人口增长与技术进步时的均衡 V 命题 考虑 Solow 增长模型，同时假定 1 与 2 满足，则存在唯一的稳态均衡*,()0k 由(13)给出,人均产出为 *()yf k (14)人均消费为 *1().)cs f k (15)证明 之前的分析已经说明满足（13）的*k是稳态点.为了证明存在性,注意到由假设 2 以及洛必达法则（LHospitals rule),可得0/()(/)0.kklim f kkandlim f kk 由于假设 1，()/f kk是连续函数,于是由中值定理（Intermediate Value Theorem），存在*k满足(13).即*0()()0 0k

15、kf kf klimandlimsskk。唯一性证明：()/f kk对k求导数可得 22/0,()()()f kkfk kf kwkkk (16)其中第二个等号用到了(11).即()/f kk严格递减,因此至多存在一个解*k满足(13).方程(14)与(15)直接由定义可得.稳态点的不存在与不唯一 Figure:Examples of nonexistence and nonuniqueness of interior steady states when Assumptions 1 and 2 are not satisfied.不考虑人口增长与技术进步时的均衡 VI 可以直接进行比较静态分

16、析：s,A 与 对*k and*y的影响分析.但*c 关于储蓄率 s 不是单调函数(想想 s=1 与 s=0).事实上,存在特殊的储蓄率,golds“黄金储蓄率”,使得*c最大。注意，此时并未意指黄金储蓄率就一定比其它储蓄率好（本章未考虑消费者偏好 消费 c 与储蓄率 s 的关系如下（省略掉了其它相关参数）:*1,()()()()(,)c ss f ksf ksks 其中，第二个等号运用了在稳态时有()sf kk.不考虑人口增长与技术进步时的均衡 X 上式对 s 求导数可得 *()().)c skfksss (17)golds 满足*)0(/goldc ss.相应的稳态黄金资本存量为goldk

17、 .命题 在 Solow 模型中,能达到的最高稳态消费对应的储蓄率为 golds,与之对应的稳态资本 goldk满足 .goldfk（）(18)黄金法则（The Golden Rule）Figure:The“golden rule”level of savings rate,which maximizes steadystate consumption.动态无效性（Dynamic Inefficiency）当经济位于低于goldk的位置时,高的储蓄将提高稳态消费;当经济位于高于goldk的位置时,降低储蓄反而可以提高稳态消费.对于后者，人均资本存量太高，因此投资很高，从而消费减少-动态无效性(

18、dynamic inefficiency).但由于没有效用函数,因此在使用 无效性这一术语时“inefficiency”需要格外谨慎.当内生化消费储蓄决策后，这种“动态无效性”将不会产生.小结:离散时间 Solow 模型 人均资本存量演化方程()()1 ()1)k tsf k tk t.稳态资本存量由次关系给出.()f kks 消费 1()()()C ts Y t 要素价格()()0()R tfk t()()()()0)w tf k tk t fk t 稳态均衡（Steady State Equilibrium）Figure:Steady-state capital-labor ratio i

19、n the Solow model.过渡时期动态分析（Transitional Dynamics）均衡路径（Equilibrium path）:并非仅指一个状态,而是关于资本，产出，消费和要素价格沿时间的整条路径.在工程或物理学中,均衡往往仅指一个点,因此也称之为稳态均衡.在经济学中,非稳态的行为也是由家庭与厂商的优化行为以及市场出清的共同作用形成的.有必要分析过渡过程差分方程(12)从任意初始值0(0)k出发的过渡过程。关键问题:经济会走向稳态吗？它沿过渡过程是如何演化的？3 离散时间 Solow 模型的过渡过程 过渡过程:复习 I 对于非线性自治差分方程 ()1 ,()x tG x t (

20、19)()nx tR and:.nnG RR 假定 x 为()G 的不动点,即().xG x x 有时也被称之为（19）的一个均衡点.也称x为（19）的不动点或稳态点（stationary point or a steady state）定义 稳态点 x 是(局部)渐近稳定的，如果对任意（19）的解0()tx t，其中(0)xB x，存在开集()B xx满足，使得()x tx；如果对任意()0nxR,其均衡解0()tx t均满足()x tx，则x为全局渐近稳定的 过渡过程:复习 II 关于稳定性的简单判据 记()x t状态为，参数,a bR,则关于线性差分方程1()(x tax tb，其唯一均

21、衡点*x全局渐近稳定的条件是 1a is（/()()1x txba）.假定:g RR在稳态 x（()g xx）可微,则如果)1(g x，那么非线性差分方程 1 ()()x tg x t的稳态解x局部渐近稳定；如果对任意xR，均有 1()g x，那么x全局渐近稳定.离散时间 Solow 模型的过渡过程 命题 假定假设 1 与 2 满足,那么由(12)表示的索洛模型的稳态均衡点是全局渐近稳定的,即从任意0(0)k出发，()k t将单调收敛于k.命题证明:过渡过程 I 记()()()1g ksf kk.注意到对任意 k，有0()g k.由(12),()1 ,()k tg k t (20)有唯一的稳态

22、解k.由(13),稳态资本存量 k满足()ksf k 或者 ().kg k (21)由于()f是凹函数并且可微（假设 1），且满足0(0)f（假设2）.命题证明（局部渐近稳定）:过渡过程 II 对任意严格可微的凹函数,有 ()()()()0 ,f kfkfkkfk (22)第二个不等号运用了0(0).f (22)意味着/()()sf kksfk,于是()(1)1g ksfk.因此,()0,1()g k.于是由上述简单稳定性判据可知道其局部渐近稳定.命题证明（全局稳定性）:过渡过程 III 为了证明全局稳定性,注意到()(,)0k tk,()()()()()0 1 kk tk tkg k tg

23、kg k dk 上述第一行利用了(21)与(20)之差,第二行利用了基本的微积分知识,第三行利用了基本观察0()g k（亦可严格证明）.命题证明（单调收敛性）:过渡过程 IV (12)意味着 1 ()()()()()()0.k tk tf k tsk tk tf ksk 假设0,()()k tk.第二行运用了()/f kk是关于k的减函数(22)，最后一行运用了k的定义。上述分析说明，对容易()(,)0k tk，()()1),(k tk t k.同理可证，对任意(),k tk()()1,.k tkk t 因此,0()tk t单调收敛至k，并且全局稳定.过渡过程 III 稳定性也可图示:如果经济

24、始于()0kk,它将增长至k，人均资本与人均产出均上升.如果经济始于)0(kk,它将缩减至k.因此：命题 假设假设 1 与假设 2 满足,并且()0kk,那么0w()tt是一个单调递增的序列；而0()tR t 是单调递减的序列；如果()0kk,则结论恰好相反.到目前为止,不难看出索洛模型具有许多好的性质，但仅在()0kk时能一定程度解释增长.图示：过渡过程 Figure:Transitional dynamics in the basic Solow model.4 连续时间 Solow 模型 从差分方程到微分方程 I 差分方程 ()()1.()x tx tg x t (23)考虑如下近似,1

25、0t,()()()()x ttx tt g x t,当 t=0,上面式子的“约等于”变为“精确相等”.当 t=1,它变为(23).介于之间的是线性近似,()()g xg x t 其中,()()1 xx tx t 从差分方程到微分方程 II 将两端同时除以 t,然后取极限可得 0()()()(),tx ttx tlimx tg x tt (24)其中()()dx tx tdt(24)表示差分方程(23)的微分方程（t 与 t+1 之间的间隔足够小）连续时间索洛模型的微分方程 I 生产商的相关假定不变,(11)仍然表示要素价格,但现在被解释为瞬时工资率与瞬时租金率(instantaneous wa

26、ge and rental rates).储蓄仍然是()()S tsY t,消费仍然由(7)1()()()C ts Y t给出.引入人口增长,()()()0L texp nt L (25)记住)(,()()K tk tL t 连续时间索洛模型的微分方程 II 于是()()()()(,.)()()()k ttL tk tK tL ttnK tKK 资本积累()()()(,)(),K tsF K t L tA tK t 由 k(t)的定义与规模报酬不变的性质，可得 ()()(),()k tf k tsnk tk t (26)连续时间索洛模型的微分方程 III 定义 在连续时间索罗增长模型中，假定人

27、口增长率为 n,没有技术进步，初始资本存量为 K(0),则其均衡路径被定义为资本、劳动、产出、消费、工作率、租金率，0()()()()()(),tK t L t Y t C t w t R t，其中 L(t)满足(25),k(t)=K(t)/L(t)满足(26),Y(t)由生产函数给出,C(t)由(7)给出，w(t)与 R(t)由(11)给出.稳态 k(t)=k.稳态：有人口增长的情形 Figure:Investment and consumption in the steady-state equilibrium with population growth.连续时间索洛模型的稳态(26)具

28、有唯一稳态k,与(13)相比，稍有变化:.()f knsk (27)命题 考虑连续时间索洛增长模型，假定假设 1 与假设 2 满足.那么其存在唯一的稳态均衡0,()k（由(27)给出）,人均产出为()yf k 人均消费为).)(1(cs f k 证明与离散情形类似（此处略）.5 连续时间 Solow 模型的过渡过程 连续时间索洛模型的过渡过程 I 连续时间模型稳态稳定性的简单判据 假定:g RR是可微函数，假定存在唯一的使得0()g x.同时假定当xx，()0g x；当xx，()0g x.那么非线性微分方程()()x tg x t的稳态x全局渐近稳定,即对任意初始值()0 x,均有()x tx

29、.Simple Result in Figure 连续时间索洛模型的过渡过程 II 命题考虑连续时间索洛增长模型，假定假设1 与假设2满足。同时假定人口增长率为常数，没有技术增长，则其全局渐近稳定，即对任意 0(0)k，有()k tk 证明:直接有上述简单判据可得，只是注意当kk，有()(0)-sf knk；当,kk有()(0)-sf knk.见上图.6 持久增长 持久增长 I CobbDouglas 函数可看出，当 接近 1 时,调整到稳态的速度减缓.最简单的可持续增长的模型假定 CobbDouglas 生产函数中的 =1.放松假设 1 与假设 2，假定 ()()()(,)F K t L t

30、A tAK t (28)其中参数 A 0.该模型被称之为“AK”模型,其最简单的形式不考虑劳动.较为一般的规模报酬不变且考虑劳动的形式为,()()()(),),(F K t L tA tAK tBL t (29)持久增长 II 假设人口仍然以 n 增长(25).结合生产函数(28),可得 (.)k tsAnk t 因此,如果0sAn,人均资本将持续增长.由(28),这意味着人均产出也会持续增长.持久增长 III 命题 假定 Solow 模型的生产函数为(28)，且假定0sAn.那么，当经济处于均衡时，人均产出增长率为sAn.特别地，当0(0)k,则有 0()()()k texp sAn t k

31、 0()()()y texp sAn t Ak.注意，该模型中没有过渡过程，即上述结论对容易时间 t 均成立。示意图：AK 模型的持久增长 Figure:Sustained growth with the linear AK technology with0sAn 持久增长 IV 令人不满意的某些结果:1 刀刃上的情形 Knife-edge case,需要生产函数最终关于资本是线性的.2 意味着，随着时间的推移，国民收入近乎 100%来自于资本的贡献.3 但是，技术进步看来或许是影响经济增长最重要的因素.均均衡增长 Balanced Growth I 生产函数()(),()F K t L tA

32、 t太一般化.或许不能保证均衡增长路径，与卡尔多观察事实一致 Kaldor facts(Kaldor,1963).卡尔多观察事实:尽管人均产出增长,但资本-劳动比率，利率，收入在资本与劳动之间的占比相对不变.Historical Factor Shares Figure:Capital and Labor Share in the U.S.GDP.均衡增长 II 资本占国民收入的占比约为 1/3,劳动占比约为 2/3.忽略土地，并不是十分显著的投入要素（.但土地仍然是穷国的重要生产要素.意味着生产函数1/32/3AKL.但经济也有许多非均衡的特征.e.g.,比如不同部门（产业）的占比发生了系统

33、性变化.7 带技术进步的 Solow 模型 技术中性类型 I 假定F规模报酬不变:希克斯中性技术进步 Hicks-neutral:,()()()()()(),F K tL tA tA t F K tL t 其（()(),(,)F K tL tA t）等产量曲线在LK坐标系下形态不变.索罗中性技术进步 Solow-neutral,()()()()()(),F K tL tA tF A t K tL t 资本增强型技术进步 Capital-augmenting:等产量曲线形态变化 哈罗德中性技术进步 Harrod-neutral ,()()()()()(),F K tL tA tF K tA t

34、L t 劳动增强型技术进步 Labor-augmenting:等产量曲线形态变化 Isoquants with Neutral Technological Progress Figure:Hicks-neutral,Solow-neutral and Harrod-neutral shifts in isoquants.技术中性类型 II 更一般的形式 ,()()(,)()HKLA tAtAtA t 生产函数为()()()()()()(),(,)HKLF K tL tA tAt F At K tA t L t 均衡增长要求技术进步表现为劳动增强型（Harrod-neutral）.Uzawa 定

35、理 I 考虑连续时间模型.均衡增长的关键要素:要素占比是不变常数，资本产出比/()()K tY t亦为不变常数.要素占比的意思是 ()()()()()()()()LKw t L tR t K ttandtY tY t 由假设 1（规模报酬不变）与欧拉定理可知 1()()LKtt.Uzawa 定理 II 定理(Uzawa I)假定()()()0L texp nt L,()()(,)(),Y tF K tL tA t,()()()()K tY tC tK t,F 关于 K 与 L 规模报酬不变。假定,对任意t，有/0,/0()()()()YKY tY tgK tK tg，/()()0CC tC t

36、g.那么 YKCggg;对任意t,F可以表示成()(),)()Y tF K tA t L t,其中2,:()A tRF RR是关于 K 与 L 线性齐次函数 1,()()/YA tA tggn.Uzawa 定理的含义 推论 在 Uzawa 定理的条件下，在时间 之后，技术进步可表示为哈罗德中性(即劳动增强型).突出特点:该定理的内容与证明不依赖于均衡行为与市场出清。解释 令人沮丧的结果:均衡增长需要对技术进步的形式有比较苛刻的假定.但对技术进步为何采用这种形式，并未有足够的理由.含技术进步的索罗增长模型:连续时间 I 由 Uzawa 定理,生产函数必须具有这种形式 ()(),)()Y tF K

37、 tA t L t,假定 ,.()()()()A tgA tL tnL t (30)再结合常数的储蓄率 ()()()()(),.K tsF K tA t L tK t (31)含技术进步的索罗增长模型:连续时间 II 定义 k(t)为有效资本劳动比率（effective capital-labor ratio）即 ().)(K tk tA t L t (32)注意此处用了与之前分析时相同的符号，但含义有差异.（33）两端取对数,然后对时间求导数可得 ()()(.)()k tK tgnk tK t (33)于是有效资本劳动的产出为()()()()()(),1 ()()Y tK ty tFA t

38、L tA t L tf k t 含技术进步的索罗增长模型:连续时间 III 人均收入为()()()/y tY tL t,即 ()()()()().)y tA t y tA t f k t (34)很明显，如果()y t为常数,那么人均产出y(t)将随时间而最终，因为()A t是增长的。在这种情况下，我们不应该寻求固定值的“稳态 steady states”，而应当以“均衡增长路径（balanced growth paths：BGP）”的视角来分析问题,在此路径上的增长率为常数.而“经过变换的变量”()y t或者()k t保持常数.因此，BGP 也可以被视为是“经过变换的增长模型”的稳态（ste

39、ady states）.含技术进步的索罗增长模型:连续时间 IV 因此，在文献中“稳态 steady state”与“均衡增长路径 BGP”都在使用。将(32)代入(34)可得()()()()()()(),.k tsF K tA t L tgnk tK t 利用(33),()()()(),)k tsf k tgnk tk t (35)与没含技术进步的情形相比，这里出现了g,k不再是资本劳动比率，而是有效资本劳动比率.含技术进步的索罗增长模型:连续时间 V 命题 考虑索罗增长模型，技术进步为哈罗德中性，技术增长率为 g,人口增长率为 n.假定假设 1 与假设 2 满足，有效资本劳动比率为(33)

40、.那么，该经济存在唯一的稳态（BGP），使得其稳态有效资本劳动比率0,()k，满足 ().f kgnsk (36)人均产出与人均消费的增长率均为 g.含技术进步的索罗增长模型:连续时间 VI 在(37)中,它强调(用于补充资本的)储蓄 sf(k)有三种不同的用途:1 折旧.2 人口增长率 n 将降低人均资本存量.3 技术进步率 g.于是(用于补充资本的)投资()gn k.含技术进步的索罗增长模型:连续时间 VII 命题 考虑索罗增长模型，技术进步为哈罗德中性，技术增长率为 g,人口增长率为 n，假定假设 1 与假设 2 满足，那么该稳态为渐进问题，即对任意0(0)k,有效资本劳动比率收敛于稳态

41、值()kk tk.因此该经济能够产生人均产出的持续增长，但该增长是外生的.8 比较动态 比较动态分析 I 比较动态分析:参数变化或冲击对经济的动态影响.与前面命题的比较静态不一样，此处分析的整个路径收到冲击或参数变化的影响.注意到()()()/()()k tk tsf k tk tgn Comparative Dynamics in Figure Figure:Dynamics following an increase in the savings rate from s to s.The solid arrows show the dynamics for the initial stea

42、dy state,while the dashed arrows show the dynamics for the new steady state.比较动态分析 II 未预料且持久的储蓄率上升，比如s上升至s.上式右侧()()()/sf k tk tgn表示的曲线向右移动至图中斜向下的虚线,与横轴新的交点为k。水平轴下的虚线箭头刻画可有效资本劳动比率的调整情况。在储蓄率变化的刚开始,资本存量保持不变(因为其为状态变量，是存量)然后逐渐沿虚线箭头移动 如果 s 的变化是暂时的，在tt上升,然后在将来ttt回到初始的储蓄率（在t之前，箭头先右移动，然后当过了t后，最初的微分方程起作用，回到最初的k）.本章小结 索罗经济增长模型简单易于处理，容易分析资本积累、技术增长对经济的影响.索罗模型表明，若没有技术增长，并且生产函数不是 AK 形式,那么经济将不存在持续增长.索罗模型能够产生持续增长,但是由外生的技术进步决定的，而技术进步在此时还是一个未开启的黑匣子.资本积累:由储蓄率,折旧率以及人口增长率决定，而这些量全被假定为外生的.需要更加深入挖掘、理解黑匣子背后的机理.