清华大学附中2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题.pdf

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1、试卷第 1 页，总 3 页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_内装订线绝密启用前清华大学附中2019-2020 学年高一上学期9 月月考数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题1命题3:N,1pxx,则p为()A3N,1xxB3N,1xxC300N,1xxD300N,1xx2已知,a bR,0ab,则下列等式一定成立的是()A220abB|ababC()0a abD|0ab3已知,a b c

2、R,且 abc,则下列不等式一定成立的是()AabbcB()()b abc abC22abDabbc4 已知全集UR,集合2|230Ax xx,集合|2Bxx.则下图的阴影部分表示的集合为()A 1,2)B(2,3C(2,3D 1,35已知,a bR,则“ab”是“21ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件试卷第 2 页，总 3 页外装订线请不要在装订线内答题内装订线6已知集合1,2,3A,Bt,若AB,则实数t的取值范围是()A(1,)B(3,)C(,1)D(,3)7已知1x,则91xx的最小值为()A4 B6 C7 D10 8已知集合(,)|1

3、0,10,Ax yxyx yN,BA,且对于集合B中任意两个元素11,x y,22,xy,均有12120 xxyy,则集合B中元素的个数最多为()A21 B19 C11 D10 第 II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题9集合1,2 的真子集的个数为_.10写出能说明命题“若abc,则abc”为假命题的一组的整数值:a_;b_;c_.11已知1,0()0,01,0 xsgn xxx则方程2sgn()60 xxx的根为 _.12若关于x的方程212xax的根均为负数,则实数a的取值范围是_.13已知集合1,2,3,Ax中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和

4、,则x_.评卷人得分三、解答题14在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一?二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过 200元.已知一等奖和二等奖奖品的单架分别为20元?10 元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13,且获得一等奖的人数不能少于2人,有下列四个结论:最多可以购买 4 份一等奖奖品最多可以购买16 份二等奖奖品购买奖品至少要花费100 元共有 20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为_.试卷第 3 页，总 3 页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_内装订线15解下列关于x的不等式:(1)2230 xx;(2)2450 xx;(3)210 xaxa16已知集合1,2,Aa

5、,2,1Baa(1)当1a时,求ABU.(2)是否存在实数a,使得0ABI,说明你的理由;(3)记2|,Cy yxxA若BC中恰好有3个元素,求所有满足条件的实数a的值.(直接写出答案即可)17已知集合2|20Ax xaxa(1)当2a时,求集合A中的所有正整数元素;(2)求证:对于任意的,aR A;(3)若0A,求证:0,2A.18己知1,xyx yR,(1)若*,x yR,求xy的最大值;(2)若*,x yR,求14xy的最小值;(3)求(13)xy的最小值.19己知抛物线2:(0)Gyaxbxc ab的顶点为P,与y轴的交点为Q,则直线PQ称为抛物线G的伴随直线.(1)求抛物线221yx

6、x的伴随直线的表达式;(2)已知抛物线2yaxbxc的伴随直线为24yx,且该抛物线与x轴有两个不同的公共点,求a的取值范围.(3)已知(3,4),(0,4)AB,若抛物线2yaxbxc的伴随直线为yaxb,且该抛物线与线段AB恰有 1 个公共点,求a的取值范围(直接写出答案即可)本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 1 页，总 16 页参考答案1D【解析】【分析】根据全称命题的否定方法,由已知中的原命题,写出其否定形式,可得答案.【详解】解:命题3:N,1pxx,命题的否定为p:300N,1xx.故选:D【点睛】本题考查的知识点是全称命题,命题的否定,熟练掌握全（特）称

7、命题的否定方法是解答的关键.2B【解析】【分析】由题可得0ab,则0a或0b,选项 A 整理得0a且0b,A 错误;选项 B 两边同时平方整理得40ab,即0ab,B 正确;选项 C 乘积为 0,则0a或ab,C 错误;选项 D 整理得0a且0b,故 D 错误.【详解】解:已知,a bR,0ab,则0a或0b,选项 A:220ab0a且0b,故 A 错误;选项 B:|abab222222aabbaabb,即40ab,所以0ab,故 B 正确;选项 C:()0a ab0a或ab,故 C 错误;选项 D:|0ab0a且0b,故 D 错误;故选:B【点睛】本题考查由已知条件判断命题的真假,属于基础题

8、.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 2 页，总 16 页3B【解析】【分析】根据不等式的基本性质,结合,a b cR,且 abc,逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立,即可得出答案.【详解】解:选项 A:abbc,若0abc,则abbc,故 A 错误;选项 B:()()b abc ab,因为若 abc,故0ab,则()()b abc ab成立,故 B 正确;选项 C:22ab,若0,1ab,则22ab,故 C 错误;选项 D:abbc,若,3,2,0abc,则1,2abbc,abbc,故 D 错误;故选:B【点睛】本题考查不等式的性质,可以利用特殊值排除法求解,属于

9、基础题.4C【解析】【分析】由题意求出集合A 和集合 B,图象阴影部分表示求UCAB,求解即可.【详解】解:2|230Ax xx1x x，或3x;|2|22Bxxxx;图象阴影部分表示求UCAB,所以ABU2x x，或3x，,所以()|23UCABxx?,即(2,3.故选:C 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 3 页，总 16 页【点睛】本题考查集合并集和补集的运算,以及 Venn 图表示集合,属于基础题.5A【解析】【分析】设命题:p ab,命题:21q ab,整理得:1q ab,分别从充分性和必要性进行推理即可,推理过程中可用特殊值来判断.【详解】解:设命题:p

10、ab,命题:21q ab,整理得:1q ab.充分性:因为:p ab,则:1q ab显然成绩,所以pq成立;必要性:因为:1q ab,当0,0.5ab时,ab,所以qp,必要性不成立.所以“ab”是“21ab”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质,考查了推理能力,属于基础题.6D【解析】【分析】本题根据AB,则集合A中的元素不能够全部属于集合B,则集合A中的最大值3B,结合(,Bt,即可求出结果.【详解】解:已知集合1,2,3A,(,Bt,若AB,则集合A中的元素不能够全部属于集合B,又因为,Bt,则集合1,2,3A中的最大值3B,所以3t,即实数t的取

11、值范围为(,3).本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 4 页，总 16 页故选：D【点睛】本题是一道关于集合的题目,解题关键是掌握结合集合间的基本关系及集合间的基本运算.7C【解析】【分析】由题意可得10 x,可得991111xxxx,利用基本不等式求最小值,并验证等号成立即可.【详解】解:已知1x,则10 x991111xxxx921171xx,当且仅当911xx,即4x时等号成立.所以91xx的最小值为:7故选:C【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值,整体变形为可用基本不等式的形式,注意”一正二定三相等”.8A【解析】【分析】根据题意知集合A表示的是第一象限内的1

12、1 11121?个点,又因为BA,B中任意两个元素11,x y,22,xy,均有12120 xxyy,则在同一象限内,y随着x的增大而减小或相等.根据规律一一列举即可得出结果.【详解】解:因为(,)|10,10,Ax yxyx yN,则集合A表示的是第一象限内的11 11121?个点,本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 5 页，总 16 页又因为BA,且对于集合B中任意两个元素11,x y,22,x y,均有12120 xxyy,则12120 xxyy或121200 xxyy则在同一象限内,y随着x的增大而减小或相等.若点()0,10A,则(1,9)B或(1,10)B,

13、根据规律可得:()()()()()()()()()2,8,3,7,4,6,5,5,6,4,7,38,29,1,10,0,或()()()()()()()()()2,9,3,8,4,7,5,6,6,5,7,48,39,2,10,1故B中元素的个数最多为21个.故选:A【点睛】本题考查集合的元素的个数的求法,考查不等式求函数的单调性,利用单调性解决集合问题.93【解析】【分析】解法一:(列举法)对集合 1,2 的真子集一一列举即可得出个数;解法二:(公式法)算出集合1,2 中的元素个数n,再用公式21n求出真子集个数.【详解】解:解法一:(列举法)集合 1,2 的真子集为,1,2,共3个.故答案为:

14、3解法二:(公式法)集合 1,2 中的元素有2个,则真子集个数为2213,个.故答案为:3【点睛】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 6 页，总 16 页本题考查集合的子集个数问题,对于非空集合M中有n个元素,则集合的子集有2n个,真子集有21n,非空真子集有22n个.10123【解析】【分析】“若 abc,则abc”为假命题,依次列举即可,答案不唯一.【详解】解:设,a b c是任意实数,“若 abc,则abc”为假命题,可设,a b c依次为1,2,3.(答案不唯一)故答案为:1,2,3【点睛】本题考查了命题的真假,举例说明即可,属于基础题.113x或3x【解析】【

15、分析】根据分段函数,分类讨论,将sgn()x的值代入2sgn()60 xxx中求解即可.【详解】解:已知1,0()0,01,0 xsgn xxx,当0 x时,()1sgn x,则260 xx,解得3x或2x,又因为0 x,所以3x.当0 x时,()0sgn x,则260 x,解得6x或6x,又因为0 x,所以无解.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 7 页，总 16 页当0 x时,()1sgn x,则260 xx,解得3x或2x,又因为0 x,所以3x.综上所述:2sgn()60 xxx的根为3x或3x.故答案为:3x或3x【点睛】本题考查分段函数,分情况讨论是解题的关

16、键.12()(),44,2-?-【解析】【分析】根据方程212xax进行运算求出根,然后根均为负数建立不等式,再结合分式的分母不等于 0,即可得出结果.【详解】解:方程212xax,则20 x,2x解方程:22022xaxxx,即202xax,所以20 xa,2xa,又因为方程212xax的根均为负数,所以2022aa,所以2a且4a.所以实数a的取值范围是:()(),44,2-?-.故答案为:()(),44,2-?-【点睛】本题考查根据方程的根即方程的零点求解参数,需要注意分式的分母不等于0,这是一个容易遗漏的条件,属于基础题.1332本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案

17、第 8 页，总 16 页【解析】【分析】因为集合中的x未知,则x可为最大值、最小值,或者既不是最大值也不是最小值,分三种情况讨论即可得出结果.【详解】解:已知集合1,2,3,Ax中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和.当x为最大值时,1123xx,显然不成立,则无解,x不是最大值.当x为最小值时,3123xx,则32x,满足x为最小值,故32x成立.当x既不是最大值也不是最小值时,3 1123x则4x,x为最小值,与x既不是最大值也不是最小值矛盾,故4x不成立.综上所述:32x.故答案为:32【点睛】本题考查根据集合中元素的性质求集合的元素,分情况讨论是解题的关键.14【解析】【分析】

18、设购买一、二等奖奖品份数分别为x、y,则根据题意列出线性规划条件,作出可行域,再逐一判断即可.【详解】解:设购买一、二等奖奖品份数分别为x、y,本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 9 页，总 16 页则根据题意有2010200132,xyxyxx yN+?3?,作可行域为:解得:24x,616y,所以最多可以购买4 份一等奖奖品,最多可以购买16 份二等奖奖品,故正确,购买奖品至少要花费220610100?元,故正确,由可行域知:()2,6A,()4,12B,()2,16C,可行域内的整数点有()()()2,6,2,7,.,2,16()()()3,9,3,10,.,3,

19、144,12,共116118+=个.故错误.故答案为:【点睛】本题考查线性规划在实际生活中的应用,关键是求出x、y的范围,属于基础题.15(1),13,U.(2)(3)当2a时,解集为1,1a,当2a时,解集为1x,当2a时,解集为1,1a.【解析】【分析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 10 页，总 16 页(1)利用十字相乘法将不等式整理成310 xx,13xx或.,故解集为:,13,U.(2)先将2450 xx去掉负号得2450 xx,利用配方法可得结果.(3)利用十字相乘法将不等式整理成110 xax,分2a、2a、2a三种情况讨论即可得出不等式的解.【详解

20、】解:(1)2230 xx,31013xxxx或,故解集为:,13,U.(2)2450 xx,22450210 xxxx无解,故解集为:(3)210 xaxa,110 xax,当11a,即2a时,解集为1,1a,当11a,即2a时,解集为1x,当11a,即2a时,解集为1,1a.所以:当2a时,解集为1,1a,当2a时,解集为1x,当2a时,解集为1,1a.【点睛】本题考查解一元二次不等式,利用十字相乘法求根,再根据不等式的性质得出解即可.对于含参的一元二次不等式求解需要考虑参数的取值范围.16(1)1,0,1,2AB.(2)不存在,证明见解析;(3)0a,3a.【解析】本卷由系统自动生成，请

21、仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 11页，总 16 页【分析】解:(1)将1a代入集合中,再求出ABU即可.(2)不存在.证明:若0ABI,则01,2,Aa且20,1Baa,将0a代入集合A和B中,再求交集,得出0,1ABI,与0ABI矛盾,故不存在.(3)根据1,2,Aa得出21,4,Ca,再根据BC中恰好有3 个元素,即可得出满足条件的实数a的值.【详解】解:(1)当1a时,1,2,1A,1,0B所以1,0,1,2AB.(2)不存在实数a,使得0ABI,证明:若0ABI,则01,2,Aa,且20,1Baa,所以0a,则1,2,0A,0,1B则0,1ABI,与0ABI矛盾,故不存在实数a

22、,使得0ABI;(3)因为2|,Cy yxxA,1,2,Aa所以C含有21,4,a，2,1Baa,BC含有21,4,1aa，又因为BC中恰好有3 个元素,所以当11a时,0a,1,4,0BC,当14a,3a,1,4,9BC,所以满足条件的实数a的值有0a,3a.【点睛】本题考查集合的基本性质和集合的基本运算,注意集合的互异性是解题中容易出错的地方.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 12 页，总 16 页17(1)1;(2)证明见详解;(3)证明见详解.【解析】【分析】(1)代入2a时,整理得|02Axx,即可得出集合A中的所有正整数的元素为1;(2)利用根的判别式0V

23、得出方程220 xaxa有解,则A成立;(3)根据(2)知0V,方程有两根,设12|Ax xxx,又因为0A,则120 xx,再根据两根之积小于0,得出2a,当2x时,解得2a,两者矛盾,则2A,所以0,2A成立.【详解】解:(1)已知集合2|20Ax xaxa,当2a时,2|20|02Ax xxxx,所以集合A中的所有正整数的元素为1;(2)证明:对于任意的,aR2|20Ax xaxa2224248240aaaaaV,所以220 xaxa有解,A成立(3)证明:由(2)知0V,方程有两根,设12|Ax xxx,又因为0A,则120 xx,则120 xx两根之和122xxa?-,则20a,即2

24、a,当2x时,22220aa,则2a与矛盾,则2A,0,2A成立.【点睛】本题考查集合间的基本关系,考查一元二次不等式的解与参数的关系,属于中档题.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 13 页，总 16 页18(1)2;(2)9;(3)59.【解析】【分析】(1)由题可知0 xy,先平方得到2212xyxyxyxy,再根据1xy,利用基本不等式得12xy,代入上式子可得22xy,最后再开方即可得出xy的最大值为2;(2)由1xy,得141445yxxyxyxyxy,利用基本不等式求得最小值,验证4yxxy即可.(3)由1xy,可得1xy,代入消元得出2(13)341xy

25、yy,整理至一元二次函数的顶点式,即可得出最小值.【详解】解:(1)若*,x yR,1,xyx yR所以0 xy,2212xyxyxyxy,又因为1xy,所以12xyxy,所以12xy,将代入得:21121222xyxy,所以2xy,当且仅当12xy时等号成立.所以xy的最大值为2;(2)因为*,x yR,且1,xyx yR所以1414xyxyxy本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 14 页，总 16 页4414529yxyxxyxy,当且仅当4yxxy,即12,33xy时,等号成立.所以14xy的最小值为9.(3)己知1,xyx yR,所以1xy,则2(1 3)1(1

26、 3)341xyyyyy2242553133399yyy.所以(13)xy的最小值为59.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和和利用一元二次函数的顶点式求最值,属于基础题.利用基本不等式要注意”一正二定三相等”.19(1)1xy;(2),00,1U;(3)425a?或4a.【解析】【分析】(1)先求抛物线的顶点为1,0P,再与抛物线y轴的交点为0,1Q,根据截距式即可得出伴随直线方程.(2)先求抛物线2yaxbxc的顶点24,24bacbPaa,与y轴的交点为0,Qc,将,P Q代入伴随直线24yx方程,解得4b,4c,再根据该抛物线与x轴有两个不同的公共点,用根的判别式列不等式,解得1a,

27、结合0ab,即可得出a的取值范围.(3)根据抛物线2yaxbxc的伴随直线为yaxb,将抛物线化为222yaxaxa,又因为该抛物线与线段AB恰有 1 个公共点,即则3444ff或本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 15 页，总 16 页3444ff,代入数据求解即可.【详解】解:(1)221yxx的顶点为1,0P,与抛物线y轴的交点为0,1Q,直线PQ:111xy,即1xy,所以抛物线221yxx的伴随直线为:1xy.(2)已知抛物线2yaxbxc的伴随直线为24yx,顶点为24,24bacbPaa,与y轴的交点为0,Qc,PQ在直线24yx上,所以24444acbb

28、aac,解得4b,又因该抛物线与x轴有两个不同的公共点,240bacV,所以24440a,解得1a,又因为0ab,故1a且0a.所以a的取值范围为,00,1U.(3)因为抛物线2yaxbxc的伴随直线为yaxb,顶点24,24bacbPaa,与y轴的交点为0,Qc,2442acbbabaabc,解得:2bca=,所以抛物线可表示为:222fxaxaxa,对称轴为1x又因为(3,4),(0,4)AB,且该抛物线与线段AB恰有 1 个公共点本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 16 页，总 16 页线段AB为:4(30)yx=-.则03404aff或014af解得425a?或4a,.所以可得a的取值范围为425a?或4a.【点睛】本题主要考查二次函数的应用,关键是读懂题目所给的条件,根据新定义进行解答,综合性较强.