湘教版九年级上册第三章图形的相似单元测试卷.pdf

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1、试卷第 1 页，总 5 页湘教版九年级上册第三章图形的相似单元测试卷学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题1如图，在ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD平分ABC，ACEABD，与BEF一定相似的三角形为（）ABFCBBDCCBDADCEA2如图，点D、E 分别为 ABC 的边 AB、CB 的中点，记 BDE 的面积为S1，四边形ADEC 的面积为S2，则 S1S2（）A14 B13 C12 D11 3如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点 A 为线段 MN 上的一个动点，连接AC，过点 A 作ABAC交 y 轴于点 B，当

2、点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b），则 b 的取值范围是（）A114bB514bC9142bD914b4如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt ABC和等腰Rt ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论：BAECAD；MP MDMA ME；22CBCP CM.其中正确的是（）试卷第 2 页，总 5 页ABCD5 制作一块 3m2m 长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A360 元B720 元C1080 元D2160 元6 孙子算经是

3、中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10 寸），则竹竿的长为（）A五丈B四丈五尺C一丈D五尺7如图所示，在正方形ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于 E 点，对角线BD 交 AG 于 F 点已知FG=2，则线段AE 的长度为（）A6 B8 C10 D12 8如图，在 ABC 与 ADE 中，BAC=D，要使 ABC 与ADE

4、 相似，还需满足下列条件中的()试卷第 3 页，总 5 页AACABADAEBACBCADDECACABADDEDACBCADAE9如图，已知在?ABCD 中，E 为 AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是（）AFA：FB=1：2 BAE：BC=1：2 CBE：CF=1：2 DSABE：SFBC=1：4 10学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知ABBD，CDBD，垂足分别为B，D，4mAO，1.6mAB，1mCO，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A0.2mB0.3mC0.4mD0.5m二、填空题11如图，已知正方形DE

5、FG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边AB、AC 上如果BC=4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是_12已知654abc，且26abc，则a的值为 _13如图，EF 是ABC 的中位线，将AEF 沿 AB 方向平移到 EBO 的位置，点D在 BC 上，已知 AEF 的面积为5，则图中阴影部分的面积为_.试卷第 4 页，总 5 页14如图，在 ABC 中，BC=8，高 AD=6，矩形 EFGH 的一边 EF 在边 BC 上，其余两个顶点G、H 分别在边AC、AB 上，则矩形EFGH 的面积最大值为_15 如图，直线 PA过半圆的圆心O，交半圆于 A,B

6、 两点，PC 切半圆与点C，已知 PC=3，PB=1,则该半圆的半径为_.三、解答题16如图，BE 是ABC 的角平分线，延长BE 至 D，使得 BC=CD（1）求证：AEB CED；（2）若 AB=2，BC=4，AE=1，求 CE 长17在矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm,动点 P从点 A 出发，以1cm/s 的速度沿AB向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，以 2cm/s 秒的速度沿BC 向点 C 运动.P、Q 分别从 A、B 同时出发，设运动时间为t 秒.(如图 1)试卷第 5 页，总 5 页（）用含t 的代数式表示下列线段长度：PB=_cm,QB=_cm,CQ=_cm

7、.(2)当 PBQ 的面积等于3时，求 t 的值.(3)(如图 2)，若 E 为边 CD 中点，连结 EQ、AQ.当以 A、B、Q 为顶点的三角形与EQC相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.18如图，在直角三角形ABC中，90ACB,点H是ABC的内心，AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB.（1）求证：DHDB；（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知1CE，圆O的直径为5，求证：EF为圆O的切线；求DF的长.19如图，在ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作DBO交BO的延长线于点D,且AODBAD

8、.（1）求证：AB为O的切线；（2）若6BC，43tanABC,求AD的长.答案第 1 页，总 14 页参考答案1B【解析】【分析】由题意可得ABDCBDACE，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求BEFBDC，即可证BEFBDC【详解】BDQ平分ABC，ABDCBDACEABD，ABDCBDACE又BFCABDBEFACEBDCBEFBDC，且ABDCBDBEFBDC故选B【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定解决问题是本题的关键2B【解析】【分析】由已知得DE 是 ABC 的的中位线，所以 BDE ABC，根据相似三角形性质，可得 SBDE:S ABC=14，

9、所以，SBDE S四边形ADEC=13.【详解】因为，点D、E 分别为 ABC 的边 AB、CB 的中点，所以，DE 是ABC 的的中位线，所以，BDE ABC，所以，SBDE:SABC=14，所以，SBDES四边形ADEC=13.即：S1S21 3.故选：B【点睛】本题考核知识点：三角形中位线，相似三角形.解题关键点：通过中位线性质得到相似三角形，利用相似三角形性质得到面积比.答案第 2 页，总 14 页3A【解析】分析：分两种情形：当A 与点 N、M 重合时来确定b 的最大与最小值即可.详解：如图1，当点 A 与点 N 重合时，CA AB，MN 是直线 AB 的一部分，N（3，1）OB=1

10、，此时 b=1；当点 A 与点 M 重合时，如图2，延长 NM 交 y 轴于点 D，易证 MCN BMD BDDMMNNCMN=3-12=52,DM=12，CN=1 BD=54DM MNCNOB=BD-OD=54-1=14,即 b=-14，b 的取值范围是114b.故选 A.点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键.4A【解析】分析：（1）由等腰 RtABC 和等腰 RtADE 三边份数关系可证；答案第 3 页，总 14 页（2）通过等积式倒推可知，证明PAM EMD 即可；（3）2CB2转化为 AC2，证明 ACP MCA，问题可证详解：由已知：AC=2AB，

11、AD=2AE ACADABAE BAC=EAD BAE=CAD BAE CAD 所以 正确 BAE CAD BEA=CDA PME=AMD PME AMD MPMEMAMDMP?MD=MA?ME所以 正确 BEA=CDA PME=AMD P、E、D、A 四点共圆 APD=EAD=90 CAE=180 -BAC-EAD=90 CAP CMA AC2=CP?CMAC=2AB 2CB2=CP?CM所以 正确故选 A点睛：本题考查了相似三角形的性质和判断在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案答案第 4 页，总 14 页5C【解析】【分析】根据题意求出长方形广告

12、牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可【详解】3m2m=6m2，长方形广告牌的成本是120 6=20 元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3 倍，则面积扩大为原来的9 倍，扩大后长方形广告牌的面积=9 6=54m2，扩大后长方形广告牌的成本是54 20=1080 元，故选 C【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键6B【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【详解】设竹竿的长度为x 尺，竹竿的影长=一丈五尺=15 尺，标杆长=一尺五寸=1.5 尺，影长五寸=0.5 尺，1.5150.5x，解

13、得x=45（尺），故选 B【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键7D【解析】分析：根据正方形的性质可得出AB CD，进而可得出 ABF GDF，根据相似三角形的性质可得出AFABGFGD=2，结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度，由CGAB、AB=2CG 可答案第 5 页，总 14 页得出 CG 为EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE 的长度，此题得解详解：四边形 ABCD 为正方形，AB=CD，AB CD，ABF=GDF，BAF=DGF，ABF GDF，AFABGFGD=2，AF=2GF=4，AG=6 CGAB，AB=2CG

14、，CG 为EAB 的中位线，AE=2AG=12 故选：D点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键8C【解析】试题解析：BAC=D，ACABADDE，ABC ADE 故选 C9C【解析】分析：根据平行四边形的性质得到CDAB，CD=AB，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算，判断即可详解：四边形ABCD是平行四边形，CDAB，CD=AB，DEC AEF，CDCEDEAFEFAE，E 为 AD 的中点，CD=AF，FE=EC，答案第 6 页，总 14 页FA：FB=1：2，A 说法正确，不符合题意；FE=EC，FA=

15、AB，AE：BC=1：2，B 说法正确，不符合题意；FBC 不一定是直角，BE：CF 不一定等于1：2，C 说法错误，符合题意；AEBC，AE=12BC，SABE：SFBC=1：4，D 说法正确，不符合题意；故选：C点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键10 C【解析】分析：根据题意得AOB COD，根据相似三角形的性质可求出CD 的长.详解：ABBD，CDBD，ABO=CDO,AOB=COD,AOB COD，AOABCOCDAO=4m，AB=1.6m，CO=1m，1.610.44AB COCDmAO.故选 C.点睛：本题考查了相似三角形的判定

16、与性质，正确得出AOB COD 是解题关键11127【解析】【分析】作 AH BC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则 GF=x，MH=x，AM=3 x，再证明 AGF ABC，则根据相似三角形的答案第 7 页，总 14 页性质得343xx，然后解关于x 的方程即可【详解】作 AH BC 于 H，交 GF 于 M，如图，ABC 的面积是6，12BC?AH=6，AH=264=3，设正方形DEFG 的边长为x，则 GF=x，MH=x，AM=3 x，GFBC，AGF ABC，GFAMBCAH，即343xx，解得 x=127，即正方形DE

17、FG 的边长为127，故答案为：127【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC 边上的高是解题的关键.12 12【解析】分析：直接利用已知比例式假设出a，b，c 的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案详解：654abc，设 a=6x，b=5x，c=4x，a+b-2c=6，6x+5x-8x=6，解得：x=2，故 a=12答案第 8 页，总 14 页故答案为：12点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键13 10【解析】【分析】由三角形的中位线的性质，得到EFBC，得出三角形相似，进一步利用平移的性质得出S EBD=5，从而解决问题【详解】EF 是ABC

18、的中位线，EFBC，AEF ABC，EF：BC=1：2，S AEF：SABC=1：4，AEF 的面积为5，SABC=20，将 AEF 沿 AB 方向平移到 EBD 的位置，SEBD=5，图中阴影部分的面积为：SABCSEBDSAEF=2055=10，故答案为：10.【点睛】本题考查了中位线的性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.14 12【解析】【分析】设 HG=x，根据相似三角形的性质用x 表示出 KD，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可【详解】设 HG=x四边形 EFGH 是矩形，HGBC，AHG ABC，HGBC

19、=AKAD，即8x=66KD，解得：KD=634x，则矩形 EFGH 的面积=x（634x）=34x2+6x=34（x4）2+12，则矩形 EFGH 的面积最大值为12故答案为：12【点睛】答案第 9 页，总 14 页本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键15 4【解析】【分析】设圆半径为r,连接 BC、AC、OC，易证 PBCPCA，根据相似三角形的对应边相等可得PBPCPCPA，由此进行计算即可得.【详解】设圆半径为r，连接 BC、AC、OC，如图，PC 是切线，PCO=90，AB 是直径，BCA=90 ，PCB=A，OC=OA，

20、A=OCA，A=PCB，P=P，PCB PAC，PBPCPCPA，PC2=PB?PA，即 32=1(1+2r)，解得 r=4，故答案为：4.【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练应答案第 10 页，总 14 页用相关知识是解题的关键.16（1）详见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质结合等腰三角形的性质可得出CDE=ABE，结合对顶角相等，即可证出AEB CED；（2）根据相似三角形的性质，即可得出CECDAEAB，代入数据即可求出CE的长度【详解】（1）证明：BE 是ABC 的角平分线，ABE=CBEBC=CD，CDE=CB

21、E=ABE 又 AEB=CED，AEB CED；（2）解：BC=4，CD=4 AEB CED，=，即=，CE=2【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.17（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1 或 3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；答案第 11页，总 14 页（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）PBQ 的面积等于3，2t(4-t)=3 2

22、,解之得，t=1 或 3；（3）当 ABQQCE 时，,解之得，x1=，x2=;当 ABQECQE 时，,解之得，t=.满足条件的t 的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键.相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.18（1）证明见解析；（2）证明见解析；103DF【解析】【分析】答案第 12 页，总 14 页（1）先判断出 DAC DAB，ABH CBH，

23、进而判断出DHB DBH，即可得出结论；（2）先判断出 OD AC，进而判断出ODEF，即可得出结论；先判断出 CDE BDG，得出 GBCE1，再判断出 DBG ABD，求出 DB25，即 DB5，DG2，进而求出AEAG4，最后判断出 OFD AFE 即可得出结论【详解】（1）连结HB,点H为 ABC的内心，DACDAB,ABHCBH,而DBCDAC，DHBDABABHDACCBH,又DBHDBCCBH，DHBDBH，DHDB.（2）连结OD，DOB2DABBAC.ODAC.ACBC,BCEF.ACEF，ODEF.EF是圆O的切线；如图，过点D作DGAB于点G，EADDAB，DEDG，DC

24、DB，CEDDGB90，答案第 13 页，总 14 页 CDE BDG，GBCE1.在Rt ADB中，DGAB，DABBDG，又DBGABD，DBG ABD,2DBABBG5 15.DB5，DG2，ED2又H为内心，AEAG4，而DOAE OFD AFE.DFODDFDEAE.即5DF2DF2410DF3.【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了三角形内心，圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，平行线的性质和判定，求出DB 是解本题的关键19(1)证明见解析；（2）2 5【解析】【分析】（1）作 OEAB 于点 E，证明 OBC OBE，根据全等三角形的对应边相等可得 OE=OC，OE

25、 是O 的半径，OEAB，即可判定AB 为O 的切线；（2）根据题意先求出AO、BO 的长，再证明AOD BOC，根据相似三角形对应边成比例即可求出AD的长.【详解】（1）作 OEAB 于点 E，O切 BC 于点 C，OCBC，ACB=90 ，ADBD，D=90，ABD BAD=90，CBD BOC=90 ，BOC=AOD，AOD=BAD，BOC=BAD，答案第 14 页，总 14 页 ABD=CBD 在OBC 和OBE 中OEAOCBABDCBDOBOB，OBC OBE，OE=OC，OE 是O 的半径，OEAB，AB 为O 的切线；（2）tanABC=AC4BC3，BC=6，AC=8，AB=226810，BE=BC=6，AE=4，AOE=ABC，tan AOE=AE4EO3，EO=3，AO=5，OC=3，BO=22633 5，在AOD 和BOC 中AODBOCADOBCO，AOD BOC，AOADBOBC，即5AD63 5，AD=2 5.【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关的判定与性质定理是解题的关键.