2019届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学(理)试题.pdf

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1、试卷第 1 页，总 5 页绝密启用前2019 届天津市南开区南开中学高三下学期第三次月考数学（理)试题考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题1已知集合2|340Mx xx，集合|ln0Nxx，则MN（）A|14xxB|1 x xC|14xxD|1x x2已知,x y满足约束条件20,20,1,xyxyy则2zxy 的最小值为()A2B3C4D53如图是一个算法流程图，则输出k的值是()试卷第 2 页，总 5 页

2、A3B4C5D64已知等比数列na的前n项和为nS，则“10a”是“20190S”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5要得到函数2ycosx的图象,只需将函数224ysinx的图象上所有的点的()A横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向左平行移动6个单位长度B横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向右平行移动4个单位长度C横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动4个单位长度D横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动6个单位长度6已知fx是定义在R上的偶函数，且在,0上是增函数，设4log 7af，0.60.2cf，则,a b

3、 c的大小关系是（）AcbaBbcaCbacDabc7设直线0)30(xymm与双曲线222210,0 xyabab的两条渐近线分别试卷第 3 页，总 5 页交于点,A B，若,0,P mPAPB，则双曲线的离心率等于()A32B52C5D2821,02,41,0 xxfxxx g xxxx，若方程()0g f xa的实数根个数有4个，则a的取值范围是()A51,4B0,1C51,2D1,2第 II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题9已知i为虚数单位，则13ii_.101231xx展开式中的常数项为_.11设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2,2 3,

4、4，则其外接球的表面积为 _.12在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为()214cos，曲线N的参数方程为244xtyt(t为参数).若曲线M与N相交于,A B两点，则线段AB的长等于 _.13 如图在平行四边形ABCD中，已知8AB，5AD，3CPPDuu u vuuu v，2AP BPuuu r uuu r，则AB ADuuu v uu u v的值是 _.试卷第 4 页，总 5 页14已知2fxxbxc，且12fx在3,5x恒成立，则bc的值为_.评卷人得分三、解答题15已知函数226fxcosxsin x.(1)求函数fx的最小正周

5、期;(2)在ABCV中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足2ac cosBbcosC，求2fA的取值范围.16甲?乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人.随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分，假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为2 1 1,3 3 2，且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率;(2)用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望;(3)求两队得分之和大于4 的概率.17如图，四边形ABCD是正方形，EA平面

6、ABCD，/EAPD，22ADPDEA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.（1）求证：/FG平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；试卷第 5 页，总 5 页（3）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为3？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由.18已知数列na中，11a，且2212121,3kkkkkkaaaa，其中*kN.(1)求234,a aa的值;(2)求数列na通项公式;(3)求数列na的前2n项和.19如图，在平面直角坐标系0 x y 中，已知椭圆2222:10 xyEabab的离心率32e，12,A A分别是椭圆E的左?右两

7、个顶点，圆2A的半径为a，过点1A作圆2A的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q.(1)求直线OP的方程;(2)求1PQQA的值;(3)设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点,B C，分别交圆2A于点,M N，记三角形OBC和三角OMN的面积分别为12,S S.求12SS的最大值.20已知函数f（x）（x b）（xea），（b0），在（1，f（1）处的切线方程为（e1）xeye10（）求a，b；（）若方程 f（x）m 有两个实数根x1，x2，且 x1x2，证明：x2x11(12)1mee答案第 1 页，总 21 页参考答案1A【解析】|14,|1 MxxNx x,所以|1

8、4MNxx,故选 A.2B【解析】【分析】做出可行域，根据图像，即可求解.【详解】做出可行域，如下图所示（阴影部分）：由12yxy，解得11xy，(1,1)A由图像可得，当目标函数2zxy 过点A时，取得最小值为3.故选:B.【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.3D【解析】【分析】根据循环体的运算定义，直到满足条件，退出循环体，输出k，即可求出结论.【详解】38,2Sk；34,3Sk；26,4Sk；答案第 2 页，总 21 页10,5Sk；22,6Sk，输出 6.故选:D【点睛】本题考查循环结构运行结果，属于基础题.4C【解析】【分析】根据充分条件和

9、必要条件的定义，结合等比数列的前n 项和公式进行判断即可【详解】若公比 q1，则当 a10 时，则 S20190 成立，若 q1，则 S20192019111aqq，1q 与 1q2019符号相同，a1与 S2019的符号相同，则“a10”?“S20190”，即“a10”是“S20190”充要条件，故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n 项和公式是解决本题的关键5C【解析】【分析】将2ycosx化为2 sin()2yx根据三角函数伸缩、平移关系，即可求解.【详解】将函数224ysinx的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数24ysin x的图像，再

10、向左平移4个长度单位，答案第 3 页，总 21 页得到函数2 sin()2 cos2yxyx.故选:C.【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数图像变换关系，属于基础题.6C【解析】试题分析：函数fx是偶函数，在上是增函数，所以在0,上是减函数，0.6420.2log 7log 3Q0.6420.2log 7log 3fffbac考点：函数奇偶性单调性7B【解析】【分析】将直线0)30(xymm与双曲线的渐近线方程22220 xyab联立，结合韦达定理，求出AB中点M坐标，由,0,P mPAPB，得出直线PM斜率为-3，求出,a b关系，即可求解.【详解】双曲线222210,0 xyabab的

11、两条渐近线方程为22220 xyab，联立2222030 xyabxym消去x得222222(9)60baymbb m，当2222290,0,40bamm a b，设AB中点为00(,)M xy，则202239mbyba，2002239maxymba，2222223(,)99mambMbaba，答案第 4 页，总 21 页,0,P mPAPB，2222222223393299MPmbbbakmaabmba，解得2222222154,144bbabeaa，52e.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的渐近线的位置关系，合理设出渐近线方程是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.

12、8A【解析】【分析】设2()(1)11tf xx，方程()0g f xa的实数根个数有4个，根据已知条件，()g ta有两不大于1 的解，结合()yg t图像与直线ya关系，即可求出a的范围.【详解】设2()(1)11tf xx，()g ta方程()0g f xa的实数根个数有4个，()g ta有两不大于1 的解，由已知得，当0t，()1g t当0t，1()14g ttt，当且仅当12t时，等号成立，做出()yg t的图像如下图所示：5(1)4g，所以54a当54a时，5()4g t，则0t，答案第 5 页，总 21 页有1544tt解得1t或14t此时()tf x只有三个解，不合题意，根据图

13、像可得514a.故选:A.【点睛】本题考查复合函数根的个数求参数，换元结合函数图像是解题的关键，属于中档题.91255i【解析】【分析】由复数的除法运算法则，即可求解.【详解】1(1)(3)24123(3)(3)1055iiiiiiii.故答案为:1255i【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.10220【解析】【分析】写出1231xx展开式的通项，令x的指数为零，即得常数项.答案第 6 页，总 21 页【详解】1231xx展开式中第1k项为4121231121231()(1),0,1,2,12kkkkkkkTC xC xkxL，令4120,93kk，所以常数项为931212220CC.

14、故答案为:-220【点睛】本题考查二项展开式中特定的项，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.11 32【解析】【分析】将三棱锥补成长方体，转化为求长方体外接球的问题，利用长方体的对角线为外接球的直径，即可求解.【详解】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成长方体，则长方体相邻的三边长为2,2 3,4，且长方体的外接球即为所求，对角线长为2222(2 3)44 2，外接球的半径为2 2，所以所求的外接球的表面积为24(22)32.故答案为:32.【点睛】本题考查球与锥的接切问题，将问题转化为熟悉几何体的外接球，可提高解题效率，减少计算量，属于基础题.12 8【解析】【分析

15、】()214cos化为直角坐标方程，244xtyt消去参数化为普通方程，联立方程，由韦答案第 7 页，总 21 页达定理结合弦长公式，即可得出结论.【详解】()214cos展开得sin1cos，得到10 xy为曲线M的直角坐标方程，244xtyt消去参数得24yx，联立2104xyyx，消去x，得2440yy，16 16320，设1122(,),(,)A x yB xy，12124,4yyy y，2121212|1 1|2()48AByyyyy y.故答案为:8.【点睛】本题考查极坐标方程与直线坐标方程互化，参数方程与普通方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，要熟练掌握相交弦长公式，属于基础

16、题.13 22【解析】【分析】根据基底,AB ADuuu r uuu r表示,AP BPu uu v uuu v再根据向量数量积化简2AP BPu uu r uuu r，即得结果.【详解】13()()()()44AP BPADDPBCCPADABADABuuu v uuu vuu u vuu u vuuu vuuu vuuu vu uu vu uu vuuu v2231162ADABAB ADu uu vuuu vuu u v u uu v311256413222.1622AB ADAB ADAB ADu uu v uuu vu uu v uu u vuuu v uuu v【点睛】用向量基本定

17、理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决答案第 8 页，总 21 页14152【解析】【分析】12fx等价于1122fx，在3,5x恒成立，只需maxmin1212fxfx，根据2fxxbxc的对称轴分类讨论，求出()f x 在3,5x的最大值和最小值，结合不等式的性质，即可求解.【详解】222()24bbfxxbxcxc，对称轴方程为2bx，12fx在3,5x恒成立，需maxmin1212fxfx，当3,62bb时，maxmin1=(5)52521()(3)392fxfbcf xfbc，(1)得152b，不合题意舍去；当5,102

18、bb时，maxmin1=(3)3921()(5)5252fxfbcfxfbc，(1)得172b，不合题意舍去；当maxmax35,106,()(3),(5)2bbf xff答案第 9 页，总 21 页2min1(3)3921(5)52521()()242fbcfbcbbfxfc(2)得228320,(8)02bbb，2(8)0,8bb，代入得312312cc，3115,22cbc.故答案为:152.【点睛】本题考查二次函数的最值以及不等式的性质，考查分类讨论思想，属于较难题.15(1);(2)3,32【解析】【分析】（1）用两角差余弦公式、辅助角公式，化简fx3sin 2(6)x，即可求出周期

19、；（2）用正弦定理将条件等式化为角，结合三角形内角和关系，可求出3B，求出A的范围，整体替换结合正弦函数的值域，即可求解.【详解】(1)由226fxcosxsin x22266cos xcossin xsinsin x332222sin xcos x答案第 10 页，总 21 页3sin 2(6)x，则fx的最小正周期2T;(2)由正弦定理:2sinsinsinabcRABC则2,2,2aRsinA bRsinB cRsinC，由2ac cosBbcosC，则2sinAsinC cosBsinBcosC，则2sinAcosBsin BC，由0sin BCsinAsinA，所以12cosB，由0

20、B，则3B3 sin 23sin32266AAfA由203A，则5666A，所以1126sinA，则(33326)sin A，所以3,322Af.【点睛】本题考查三角函数恒等变换以及图像与性质，考查正弦定理边角互化，考查计算能力，属于中档题.16(1)25;(2)分布列见解析，()2E;(3)48243【解析】【分析】（1）用求组合数的方法，求出从6 人中抽取2 人的抽法个数，再求出2 人来自同一组的抽答案第 11页，总 21 页法个数，按求古典概型概率的方法，即可求解；（2）甲队中每人答对的概率均为23，且每人答题时相互独立，答对者为本队赢得一分，甲队的总得分服从二项分布，23,3 B，即可

21、求出分布列和期望；（3）两队得分之和大于4按互斥事件分为：总分和为5 分包括甲队2 分乙队 3 分和甲队3分乙队 2 分，总分和为6 分甲乙各3 分.分别求出以上各互斥事件的概率，然后相加，即可求出结果.【详解】(1)6个选手中抽取两名选手共有2615C种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有:2326C种结果用A表示事件:“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队.”62155P A故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为25(2)由题意知，的可能取值为0,1,2,3，且23,3 B303110327PC2132161332

22、7PC223211223327PC333283327PC的分布列为:0123答案第 12 页，总 21 页P1272949827的数学期望12480123227992)7(E.(3)用B表示事件:“两队得分之和大于4”，包括:两队得分之和为5，两队得分之和为6，用1A表示事件:“两队得分之和为5”，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分.3121212121113332323323P A4211409323243用2A表示事件:“两队得分之和为6”，甲队3分乙队3分，32221183332243P A1240848243243243PP APAB【点睛】本题考古典概型概率以及互斥事件概率，考查

23、离散型随机变量的分布列和期望，解题的关键要把问题转化为二项分布，属于中档题.17（1）见解析（2）4（3）见解析【解析】试题分析：1?*?GB2?建立平面直角坐标系，由11,0,2GFuu u v，0,2,0DCu uu v，GFDCuuu vu uu v证得/FG平面PED2?*?GB2?建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；假设存在点M，由共线向量基本定理得到M点的坐标，其中含有一个未知量，然后利答案第 13 页，总 21 页用直线FM与直线PA所成角为3转化为两向量所成的角为3，由两向量的夹角公式求出M点的坐标，得到

24、的M点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论解析：（1）EA平面ABCD，/EAPD，PD平面ABCD，PDAD，PDCD，又四边形ABCD是正方形，ADCD，故PD，AD，CD两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，22ADPDEA，0,0,0D，0,0,2P，2,0,0A，0,2,0C，2,2,0B，2,0,1E，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，1,1,1F，12,1,2G，0,1,1H，11,0,2GFuuu v，平面PED的一个法向量为0,2,0DCu uu v，又11 002002GF DCuuu v uu uv，GFDCuuu vu uu v，又FG平面PED，/FG平面P

25、ED.（2）11,0,2GFuuu v，12,0,2GHuuu v，设1111,nx y zu v为平面FGH的一个法向量，答案第 14 页，总 21 页则1100nGFnGHu v uuu vu v uuuv，即11111021202xzxz，取11y，得10,1,0nu v，2,2,2PBuu u v，0,2,2PCuuu v，设2222,nxyzu u v为平面PBC的一个法向量，则2200nPBnPCuu v uu u vuu v uuu v，即222222220220 xyzyz，取21z得20,1,1nuu v，12cos,n n121222n nnnu v u u vu v uu

26、 v，平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为4.（3）假设在线段PC上存在一点M，使直线FM与直线PA所成角为3，设PMPCuuu u vu uu v，其中01，由0,2,2PCuuu v，则0,2,2PMuu u u v，又FMFPPMu uu u vuu u vuu u u v，1,1,1FPuuu v，1,21,12FMuu uu v，直线FM与直线PA所成角为3，2,0,2PAuu u v，1cos,2FMPAuuuu v uu u v，即2224122 212 21，解得58，550,44PMuuuu v，5 24PMuuu u v，在线段PC上存在一点M，使直线FM与直线PA所

27、成角为3，此时5 24PM.18(1)20a，33a，44a;(2)1122221311,(21311,(2nnnnnnan为奇数）为偶数）;(3)+1233222nnSn答案第 15 页，总 21 页【解析】【分析】（1）用1k代入递推公式分别求出23,a a，再将2k，代入前一个递推公式，求出4a；（2）由递推公式可得212113kkkkaa，用累加法求出奇数项的通项公式，再由递推关系，求出偶数项的通项公式，即可求解；（3）根据通项公式将前2n项和分成奇数项和与偶数项分别求和，转化为求等比数列和常数列的和.【详解】(1)211110aa,323033,aa431314;aa(2)21221

28、313,kkkkkkaaa所以212113kkkkaa，所以131113aa，225313aa，212113kkkkaa累加，得121221111.1)33.(.3kkkaa1113 1 31111 3kk11133122kk13112kk令21kn，则12nk，112nk所以212113112(nnnan为奇数)答案第 16 页，总 21 页12213131313122kkkkkkkkaa令2kn，则2nk所以22(13121,nnnan为偶数);所以1122221311,(21311,(2nnnnnnan为奇数）为偶数）(3)1321naaa1 13 121 11 13 121 12222

29、221133311122nnn021111133112231nnn12121133112312nnn2422422222222421133311122nnnaaan12121133311122nnn所以+11223 133333.32221 322nnnnSnnn【点睛】本题考查求数列的通项公式，关键要寻找项之间的关系，考查用分组求和等价转化为求等比数列的和，考查计算能力，属于中档题.19(1)3yx;(2)34;(3)45a【解析】【分析】答案第 17 页，总 21 页（1）连接2A P，根据已知条件由21A PA P，212|A POAOAa，可得|OPa，从而有2OA P为等边三角形，可

30、得出直线OP倾斜角为3，即可求解；（2）由32e，椭圆方程化为222241xyaa，由（1）知2|,3OPaPOA，求出P点坐标，进而求出直线1AP方程，与椭圆方程联立，求出点Q坐标，即可求解；（3）设 OM 的方程为0ykx k，与椭圆方程联立求出B点坐标，进而求出|OB，同理求出|,|,|OCOMON，求出12SS以k为自变量的目标函数，应用基本不等式，求出其最大值.【详解】(1)连接2A P，则21A PA P，且2|A Pa，又12|2A Aa，所以1260A A Po.又22|A PA O，所以2OPAV为正三角形，所以260POAo，所以直线OP的方程为3yx.(2)由(1)知，由

31、（1）知2|,3OPaPOA，P点坐标为3(,)22aa，1(,0)Aa，1AP的方程为33yxa，因为32e，即32ca所以222231,44caba，故椭圆E的方程为222241xyaa答案第 18 页，总 21 页由22223341yxaxyaa，消去y，得22780 xaxa，xa或7ax，7Qax所以1|327|47aaPQaQAa(3)不妨设 OM 的方程为0ykx k，联立方程组222241ykxxyaa整理得2222(14),14akxaxk，0,kB在第一象限，得22,141 4aakBkk所以221|14kOBak.用1k代替上面的k，得221|4kOCak圆2A方程为22

32、20 xyax，联立2220ykxxyax整理得22(1)20kxax，0 x或221ak，得2222(,)11aakMkk，所以22|1aOMk，用1k代替上面的k，得22|1akONk所以412221|41 44kS SOBOCOMONakk答案第 19 页，总 21 页因为22221115144417kkkkk当且仅当1k时等号成立，所以12,S S的最大值为45a.【点睛】本题考椭圆的性质应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的性质，考查计算能力和综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于较难题.20（）1a，1b（）见解析【解析】【分析】（）由题意利用导函数研究函数的切线方程

33、，得到关于a,b 的方程组，求解方程组并检验可得1a，1b.（）由（）可知11xfxxe，则fx在(-1，0)处的切线方程为111h xxe，构造函数F xfxh x，结合新构造函数的性质分类讨论即可证得题中的不等式.【详解】（）由题意10f，所以1110fbae，又1xfxxbea，所以111bfaee，若1ae，则20be，与0b矛盾，故1a，1b.（）由（）可知11xfxxe，00,10ff，设在(-1，0)处的切线方程为，易得，111h xxe，令F xfxh x即11111xFxxexe，答案第 20 页，总 21 页12xFxxee，当2x时，1120 xFxxeee，当2x时，设

34、12xG xFxxee，30 xGxxe，故函数Fx在2,上单调递增，又10F，所以当,1x时，0Fx，当1,x时，0Fx，所以函数F x在区间,1上单调递减，在区间1,上单调递增，故.11fxh x，设h xm的根为1x，则111mexe又函数h x单调递减，故111h xfxh x，故11xx，设yfx在(0,0)处的切线方程为yt x，易得t xx令11xTxfxt xxex，22xTxxe，当2x时，2220 xTxxe，当2x时，故函数Tx在2,上单调递增，又00T，所以当,0 x时，0Tx，当0,x时，0Tx，所以函数T x在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增，22fxt x

35、设t xm的根为2x，则2xm又函数t x单调递增，故222t xfxt x，故22xx，又11xx，2121121111memexxxxmee.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，答案第 21 页，总 21 页所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用