2020年河北省承德市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷四.pdf

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1、数学试卷一、选择题1.已知集合|1,|e1xAx xB x，则()A.|1ABx xB.|eABx xC.R()RABeD.R()|01ABxxe2.已知 i 为虚数单位，若1i(,R)1iaba b，则ba()A.1 B.2C.22D.2 3.向量,a b cr r r在正方形网格中的位置如图所示.若向量abrr与cr共线,则实数()A.2B.1C.1 D.2 4.函数1()sin()cos()536f xxx的最大值为()A15B1 C35D655.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,被誉为“东方模板”,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板

2、拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率为()A.932B.516C.38D.7166.已知0a，()log(6)af xax，则“13a”“是()f x 在(1,2)上单调递减”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.一给定函数()yf x的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a，由关系式1()nnaf a得到的数列na满足1nnaa.则该函数的图象可能是()A.B.C.D.8.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2 三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为()A.9 3

3、62B.9 3182C.3 362D.3 31829.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1212,2F FF Fc，过2F作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知223,2aQ cF QF A，点P是双曲线C右支上的动点，且11232PFPQF F恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是()A.10,2B.71,6C.710,62D.101,210.已知实数xy、满足124242240330 xyxyxyxy，若(1)1yk x恒成立，那么k的取值范围是()A1,32B4,3C 3,D1,211.已知三棱锥ABCD中，2,2ABACBDCDBCAD，直线AD与底面

4、BCD所成角为3，则此时三棱锥外接球的表面积为()A.8B.6C.9D.512.已知函数()f x是定义在 R 上的奇函数，当0 x时，1 12,02()1(2),22xxf xf xx则函数()()1g xxf x在7,上的所有零点之和为()A7 B8 C 9 D10 二、填空题13.曲线yx与直线yx所围成的封闭图形的面积为_.14.25211(1)(1)xxx展开式中2x的系数为 _.15.过抛物线2:4Cxy 的焦点 F 的直线 l 交 C 于,A B，点 A 处的切线与,x y轴分别交于点,M N若MON的面积为12，则 AF_.16.已知锐角111A B C的三个内角的余弦值分别等

5、于钝角222A B C的三个内角的正弦值，其中22A，若221B C，则22222 23A BA C的最大值为 _.三、解答题17.已知等差数列na前 5 项和为 50，722a，数列nb的前n项和为nS，111,31nnbbS.1.求数列na，nb的通项公式；2.若数列nc满足12112,NnnncccanbbbL,求122017cccL的值.18.如图，在平行四边形ABCD中30,3,2AADAB，沿BD将ABD翻折到A BD的位置，使平面A BC平面A BD.1.求证：A D平面BCD；2.在线段A C上有一点M满足A MA Cuuuu u ruuuu r，且二面角MBDC的大小60，求

6、的值.19.某次数学知识比赛中共有6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取3 个题目进行作答，已知这6 个题目中，甲只能正确作答其中的4 个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.1.求甲、乙两位同学总共正确作答3 个题目的概率；2.若甲、乙两位同学答对题目个数分别是,m n，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得 15 分，乙答对一题得10 分，求甲乙两人得分之和X的期望.20.在平面直角坐标系xOy中，已知定点(1,0)F，点P在 y轴上运动，点M在 x 轴上运动，点N为坐标平面内的动点，且满足0PM PFu uu u r uuu

7、 r，0PMPNuu uu ruuu rr1.求动点N的轨迹C的方程；2.过曲线C第一象限上一点00(,)R xy（其中01x）作切线交直线1x于点1S，连结RF并延长交直线1x于点2S，求当12RSS面积取最小值时切点R 的横坐标21.已知函数22()1ln(R)f xxa xax a.1.若0a，求函数()f x的单调性；2.若0a且(0,1)x，求证：2()11exf xxx22.选4 4坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程是4sin，曲线2C的极坐标方程为sin261.求曲线12,C C的直角坐标方程；2.设曲线

8、12,C C交于点,A B，曲线2C与 x 轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离23.选修 4-5 不等式选讲 已知函数(),()2124f xxaa g xxx1.解不等式()6g x；2.若对任意的1Rx，存在2Rx，使得12()()g xf x成立，求实数a 的取值范围参考答案1.答案：C 解析：2.答案：B 解析：3.答案：D 解析：4.答案：D 解析：因为1()sincos536f xxx1331sincoscossin101022xxxx33 36sincossin5553xxx，所以()f x的最大值为65.故选 D 5.答案：C 解析：设最小的等腰直角三角形的面积为1,则大

9、正方形的面积为16,阴影部分的面积为6,则所求的概率是63168P.则选 C 6.答案：A 解析：0a,且1a，6tax 为减函数.若()f x 在(1,2)上单调递减，则1a.且 620a，则 13a.13a是 13a的充分不必要条件.故选 A.7.答案：A 解析：8.答案：A 解析：9.答案：B 解析：10.答案：D 解析：11.答案：A 解析：12.答案：B 解析：13.答案：16解析：14.答案：15 解析：15.答案：2 解析：由题意，抛物线2:4Cxy 的焦点(0,1)F，不妨设 A 为左交点，00(,)A xy，由214yx 的导数为12yx，切线的斜率为012kx，切线方程为0

10、001()2yyxxx，又2004xy，则过 A 的切线为0022x xyy，则00(,0),(0,)2xMNy，所以0011()222xSy，解得02x，则(2,1)A,所以2AF.16.答案：10解析：17.答案：1.设等差数列na的公差为d依题意得11545502622adad解得14,3ad，所以1(1)31naandn.当1n时，21314bb，当2n时，1131,31nnnnbSbS，以上两式相减得13nnnbbb，则14nnbb，又214bb，所以14,Nnnbbn.所以nb为首项为1，公比为4 的等比数列，所以14nnb2.因为12112.,Nnnncccanbbb当2n时，1

11、12121.nnncccabbb，以上两式相减得13nnnncaab，所以1334,2nnncbn.当1n时，121cab，所以12 17ca b，不符合上式，所以22016122017.73(44.4)ccc201620174(14)734314.解析：18.答案：1.ABD中，由余弦定理，可得1BD.222,BDADAB90ADB，90DBC.作DFA B于点F，平面A BC平面A BD，平面A BC平面A BDA B，DF平面A BC.CB平面A BC，DFBC.又,CBBD BDDFD，CB平面A DB.又A D平面A DB，CBA D.又,A DBD BDCBB，A D平面CBD.2

12、.由 1 知,DA DB DA两两垂直，以D为原点，以DAuuu r方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则(0,1,0),(3,1,0),(0,0,3)BCA.设(,)M x y z，则由333xA MA Cyzuuuu u ruuuu r(3,33)M.设平面MDB的一个法向量为(,)ma b cu r，则由003(33)00bm DBabcm DMu r uuu ru r uu uu r,取1(1,0,)acmu r.平面CBD的一个法向量可取(0,0,3)DAuuu u r，2213cos,23(1)DA muuuu r u r11322.0,1，312.解析：19.答案

13、：1.由题意可知共答对3 题可以分为3 种情况：甲答对1 题乙答对2 题；甲答对2 题乙答对 1 题；甲答对3 题乙答对 0 题.故所求的概率12213221203424243333336662112131()()()()()33333135C CC CCPCCCCCC.2.m 的所有取值有1，2，3.1242361(1),5C CP mC2142363(2),5C CP mC34361(3),5CP mC故131()1232555E m.由题意可知2(3,)3nB:，故2()323E n.而1510Xmn，所以()15()10()50E XE mE n.解析：20.答案：1.设(0,),(,

14、0),(,)PbM aN x y.因为0,0PMPFPMPNuuu u r uu u ru uu u ruu u rr，所以20,2abxa yb，所以24yx.2.切线201002:()4yRSxyyy，将1x代入得120042Syyy，直线02204:(1)4yRSxyy，将1x代入得202084Syyy，122000200481()(1)224RS SyySxyy，因为00(,)R xy在抛物线上且在第一象限，所以002yx，所以120000016441()(1)2444RS SxxSxxx，设3000001(1)()(0)2(1)xf xxxx，220000322001(1)(381)

15、()04(1)xxxfxxx，000413413,1,33xxx.解析：21.答案：1.函数()f x的定义域为(0,)，222121(21)(1)()2a xaxaxaxfxa xaxxx，若0a时，当1xa时，()0fx；当1xa时，()0fx；当1xa时，()0fx.故在10,a上，()f x单调递减；在1,a上，()f x单调递増；2.若0a且(0,1)x，欲证2()11exfxxx，只需证21ln11exxxx，即证3(1ln)(1)exxxxx.设函数()(1ln)(0,1),g xxxx，则()lngxx.当(0,1)x时，()0g x.故函数()g x在(0,1)上单调递增.所

16、以()(1)1g xg.设函数3()(1)exh xxx，则23()(23)exh xxxx.设函数23()23P xxxx，则2()163P xxx.当(0,1)x时，(0)(1)80PP，故存在0(0,1)x，使得0()0P x，从而函数()P x在0(0,)x上单调递增；在0(,1)x上单调递减.当0(0,)xx时，0()(0)2P xP，当0(,1)xx时，0()(1)20P xP,故存在1(0,1)x，使得1()0h x，即当1(0,)xx时，()0P x，当1(,1)xx时，()0P x从而函数()h x在1(0,)x上单调递增；在1(,1)x上单调递减.因为(0)1,(1)ehh

17、，故当(0,1)x时，()(0)1h xh所以3(1ln)(1)e,(0,1)xxxxxx，即2()11,(0,1)exf xxxx.解析：22.答案：1.曲线1C的极坐标方程可以化为：24sin0，所以曲线1C的直角坐标方程为：2240 xyy，曲线2C的极坐标方程可以化为：31sincos222，所以曲线2C的直角坐标方程为：340 xy；2.因为点E的坐标为4,0，2C的倾斜角为56,所以2C的参数方程为：34212xtyt（t为参数），将2C的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得到：22342024ttt，整理得：24 32160tt，判别式0，中点对应的参数为2 31，所以线段AB中点到E点距离为2 31解析：23.答案：1.由21246xx当2x时，21246xx，得94x，即924x；当122x时，21246xx，得56，即122x；当12x时，21 246xx，得34x，即1324x；综上，不等式6g x解集是9 3,4 4.2.对任意的1Rx，存在2Rx，使得12g xfx成立，即fx的值域包含g x的值域，由fxxaa，知,fxa，由2124g xxx21245xx，且等号能成立，所以,5g x，所以5a，即 a 的取值范围为5,.解析：