新人教版六年级数学上册各单元知识点归纳-.pdf

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1、1六年级上数学期末复习资料第一单元分数乘法一、分数乘法(一)分数乘法的意义：1.分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。例：655 表示求 5 个 65 的和是多少?315 表示求 5 个31的和是多少?2.一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。例：7431表示求31的74是多少（也可以表示74个31是多少）；483表示求 4 的83是多少（也可以表示83个 4 是多少）。(二)分数乘法的计算法则1.分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整数和分母可以约分)例：483483232.分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：

2、带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。例：5243135223103443.为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。（尽量约分，不会约分的就不约，较难的质因数有31751；13791；1111121；1313169；1717289；1919361）4.小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（有时分12212数不能化成有限小数，建议把小数化分数再计算）；能将分母约为“1”的先约分再计算比较简便；小数与分子相乘积为整数的，也可以直接相乘。例：25185356532.138.16.03.2533.21.2739.4739.43235.04345.0(三)乘法中

3、比较大小的规律1.一个数(0 除外)乘大于 1 的数，积大于这个数。2.一个数(0 除外)乘小于 1 的数(0 除外)，积小于这个数。3.一个数(0 除外)乘 1，积等于这个数。(四)分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。乘法交换律：a b b a乘法结合律：(a b)c a (b c)乘法分配律：(a b)c a c b c二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量，即求单位“1”的几分之几是多少，用乘法)1.画线段图：(1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位“1”的量，注意两条线段的左边要对齐。(2)部分和整体的关系：画一条

4、线段图。2.找单位“1”：单位“1”在分数句中 分数的前面；或在“占”“是”“比”“相当于”等的后面。3.写数量关系式的技巧：(1)“的”相当于“”；“占”“相当于”“是”；“比”相当于“”(2)分率前是“的”字：用单位“1”的量分率具体量例：甲数是 20，甲数的31是多少？列式是：203110.734.看分数前有没有 多或少 的问题；分数前是“多或少”的关系式：（比少）：单位“1”的量(1分率)具体量；或单位“1”的量单位“1”的量分率具体量例：甲数是 50，乙数比甲数少21，乙数是多少？列式：50（121）或 505021（比多）：单位“1”的量(1分率)具体量或单位“1”的量单位“1”的

5、量分率具体量例如：小红有 30 元钱，小明比小红多53，小红有多少钱？列式：50（153）或 5050533.求一个数的几倍是多少：用这个数几倍；4.求一个数的几分之几是多少：用 这个数几分之几。5.求几个几分之几是多少：用几分之几个数6.求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法：(1)单位“1”的量(1分率)另一个部分量（建议用）(2)单位“1”的量已知占单位“1”的几分之几的部分量要求的部分量例 1：噪声对人的健康有害，绿化造林可降低噪声。汽车发出的噪声是80分贝，经过绿化带后，噪声降低了81，绿化带降低了噪声后，人听到的声音是多少分贝？（P15.做一做，两种方法解答）例 2

6、：严重的水土流失致使每年大约有16 亿吨的泥沙流入黄河，其中41的泥沙沉积在河道中，其余被带到入海口。有多少亿吨泥沙被带到入海口？（P16.6，两种方法解答）4典型习题1.看右图写乘法算式（）2.32319532312365653.商场本月卖出的洗衣机台数比电视机多41，这里是把（）看作单位“1”，多的是（）的41，那么商场卖出的洗衣机是电视机的（），如果商场本月卖出的电视机是320 台，那么商场本月卖出的洗衣机是（）台。4.92乘43，结果是（），92乘它的43结果是（）；5.a21 b41（a，b 是不为 0 的自然数），则 a（）b；6.a76 b56c1（a，b，c 是不为 0 的自然

7、数），三个数中最大的是（），最小的是（）；7.甲数的32等于乙数的65（甲、乙两数均不等于零），则甲数（）乙数；8.一根铁丝长 24米，用去总长的32后，又用去32米，还剩（）米；9.一堆煤重43吨，第一次用去41吨，第二次用去剩下的41，第二次用去多少米？10.商品原价 100元，先提价101后，再降价101，商品现价是多少元？11.水果店买来56吨苹果，第一周卖出52吨，第二周卖出剩下的41，第二周卖出多少吨？还剩下（）多少吨？5第二单元位置与方向（二）一、确定物体位置的方法1.先找参照点（通常“的”前的对象为参照点）；2.再定方向（精确方向的确定，需要用角度的刻画）；3.最后确定距离（看

8、比例尺）二、描绘路线图的关键 是选好参照点，建立方向标，确定方向和路程。三、位置关系的相对性1.两地的位置具有相对性，在叙述两地的位置关系时，参照点不同，描述时方向正好相反，角度和距离不变。四、相对位置：东对西；南对北；如：南偏东对北偏西；东偏北对西偏南。典型习题1.小明家在小东家南偏西40方向，距离3 千米处，也可以说成小明家在小东家（）偏（）方向，距离（）千米处；那么小东家在小明家（）偏（）方向，距离（）千米处，也可以说成小东家在小明家（）偏（）方向，距离（）千米处。2.简算.757452）（13121312757213121213131275721312）（141574522020201

9、920196.36592）（1211751126第三单元分数除法一、倒数1.倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数。（1）互为倒数，即倒数是 两个数 的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。(要说清 谁是谁的倒数 或谁和谁互为倒数)。例：3311，所以 3 是倒数，31也是倒数。（）正确说法：3311，所以 3 是31的倒数，31是 3 的倒数，3 和31互为倒数。（2）只能是 两个数互为倒数，一个数、三个数或更多的不可以；例：1.52311，所以：1.5、2 和31互为倒数。（）（3）只能是两个数相乘，其他运算不可以。例：0.50.40.11，所以 0.5、0.4 和 0.1 互为倒数。（

10、）1.21.21，所以 1.2 与 1.2 互为倒数。（）（4）数的形式没有要求。例：5 的倒数可以是 0.2，也可以是51；2.求倒数的方法：(1)求分数的倒数：交换分子分母的位置。(2)求整数的倒数：把整数看做分母是1 的分数，再交换分子分母的位置。例：非 0 自然数 a 的倒数是a1。（）(3)求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。(4)求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。或者直接看哪个数与它的乘积为 1，那个数就是它的倒数。例：求 0.625 的倒数。0.62585，所以 0.625 的倒数是58。求 0.25的倒数。因为 0.2541，所以 4 是 0.25的倒数。3.1

11、 的倒数是 1；因为 111；0 没有倒数，因为 0 乘任何数都得 0。4.真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于 或等于 1（易错）；带分数的倒数小于 1。75.运用：已知 a32b41（a、b0），则 a（）b。可设 a32b411，利用倒数求出 a、b的值后再比较大小。二、分数除法的意义：乘法：因数 因数 积除法：积 一个因数 另一个因数分数除法与整数除法的意义相同：都是表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。例如：2153意义是：已知两个因数的积是21与其中一个因数53，求另一个因数的运算。2.分数除法的计算法则：除以一个不为0 的数，等于乘这个数的倒数。3.分数除法比较

12、大小时的规律：(1)当除数大于 1，商小于被除数；(2)当除数小于 1(不等于 0)，商大于被除数；(3)当除数等于 1，商等于被除数。4.“”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的；同级运算要按从左往右顺序计算；简算一定要有依据，不能想当然为了简算而简算。三、分数除法解决问题（单位“1”的量是未知的）1.已知一个数的几分之几是多少，求这个数。（1）方程解法：当单位“1”的量未知的时候，一般把单位“1”的量设为x，根据数量关系式，用方程解答。设未知量为x（一定要规范写好“解”“设”），再列方程，用x分率具体量解决。cxab例：公鸡有 20 只，

13、是母鸡只数的31，母鸡有多少只。（单位“1”是母鸡只数，8单位“1”未知。）解：设母鸡有X只。列方程为：31x 20(2)算术解法(用除法)：当单位“1”的量未知的时候，也可以直接用除法解决。即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。分数对应量对应分率 单位“1”的量例如：“双十一”期间，商店卖出电视机80 台，是卖出的洗衣机的32，商店卖出洗衣机多少台？单位“1”是卖出的洗衣机的台数，单位“1”未知，用除法，列式是：80322.比未知量少或多的问题（分数前是“多”或“少”，通常根据“比”后文字建立等量关系计算会比较简便）（1）（比少）方程解法：cxab)1(或cxabx例:桃树有

14、50 棵，比 苹果树少61，苹果树有多少棵？解：设苹果树有x棵。50)611(x或5061xx（比少）算术解法：具体量(1分率)单位“1”的量；将“比一个数少几分之几”转化为“是一个数的几分之几”后，再用除法计算。50（161）（2）（比多）方程解法：cxab)1(或cxabx例:一种商品现在是80 元，比 原价增加了71，原价多少元？解：设该商品原价是x元。80)711(x或8071xx9（比多）算术解法：具体量(1分率)单位“1”的量；将“比一个数多几分之几”转化为“是一个数的几分之几”后，再用除法计算。80（171）3.“和倍问题”“差倍问题”（题目中有两个未知量，通常给出这两个量的两种

15、关系，一种是倍数关系，一种是和或差的关系，用方程解决比较简便，通常是根据倍数关系设未知数，根据和差关系建立等量关系）例：某电视机厂去年 全年生产 电视机 108万台，其中上半年生产的是 下半年 的54。这个电视机厂去年上下半年的产量分别是多少台？解：设这个电视机厂去年下半年生产电视机x台，则上半年生产了x54台。xx541084.求一个数是另一个数的几分之几：用一个数除以另一个数（注意对应好），结果写为分数形式。例如:男生有 20 人，女生有 15 人，女生人数占 男生人数的几分之几？（女生男生）列式是：15202015435.求一个数比另一个数多（少）几分之几的方法：两个数的相差量单位“1”

16、的量 分率即：（大数小数）另一个数（“比”后面那个数），结果写为分数形式。例 1：5 比 3 多几分之几？（53）332例 2：3 比 5 少几分之几？（53）552注意：多几分之几不等于少几分之几，因为单位“1”不同。6.已知甲比乙多几分之几，怎样求乙比甲少几分之几？）（abab1也可以利用份数关系解（推荐）例：甲比乙多52，那么乙比甲少几分之几？1052（152）5257527572利用份数关系解：甲比 乙多的52是以乙为单位“1”的，所以乙是5 份，甲就是 527 份，（7-5）7727.已知甲比乙少几分之几，怎样求乙比甲多几分之几？）（abab1也可以利用份数关系解（推荐）例：甲比乙少

17、51，那么乙比甲多几分之几？414551545151151）（利用份数关系解：甲比 乙少的51是以乙为单位“1”的，所以乙是5 份，甲就是 5-14 份，（5-4）4418.工程问题：当工作总量不是具体数量的时候，可以把工作总量看作单位“1”，此时工作效率为时间1，合做多长时间能完成一项工程？1工作效率之和。即 1（时间时间BA11）例：一项工程甲单独做要5 天完成，乙单独做要10 天完成，丙单独做要3 天完成，三人合做几天可以完成？列式：1（3110151）方程解题七字诀：解（写“解”字，打冒号。）找（找等量关系)设（设未知数，带单位，根据题目设未知数，问什么设什么。）列（根据等量关系列方程

18、）解（解方程，未知数的值 不带单位）验（将得数代入原题中进行检验，看数量关系是否成立，不止是检验方程）答（写答语，完整）11典型习题：1.水结成冰体积增加101，水化成冰体积减少（）2.冬至一天是北半球白昼最短、黑夜最长的一天。这一天，白昼时间大约是黑夜时间的65。白昼和黑夜分别是多少小时？2.32319595213625625538535583.简算与解方程。37743737(18316524)481115(13112)112）（65311843x61183429x0.7512第四单元比一、比的意义1.比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2.在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后

19、面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例：15：10 151023(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)151023前项比号后项比值3.比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程速度时间。相同类量相比的结果没有单位；不同类量的比可能会产生新的量，有单位。4.区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示，某一项为“1”的时候，不能省略。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5.根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。6.比和除法.分数的联系：比前项比号

20、“：”后项比值除法被除数除号“”除数商分数分子分数线“”分母分数值7.比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8.根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。9.体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。10.求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数。例：1510151010152313(二)比的基本性质1.根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0 除外)，商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0 除外)，分数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或

21、除以相同的数(0 除外)，比值不变。2.最简单的整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简单的整数比。3.根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4.化简比：（1）两个整数比：用比的前项和后项同时除以分母的最大公因数。例：12:9（123）：（93）4:3（2）两个分数比：用前项和后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法化简或者 直接按分数除法进行计算，最后写成比的形式。例：5:644542345:23）：（或5:6565423452345:23（3）两个小数比：比的前项和后项同时向右移动小数点的位置，要移几位都移几位，先化成整数比再化简。例：0.5:0.15

22、 50:1510:3（4）一个分数和一个整数的比：分数和整数同时乘分数的分母，把分数化成整数再化简，也可以直接按分数除法进行计算，最后 写成比的形式。例：40:385883(5:83）：（或40:340351835835:83（5）一个小数和一个分数的比：先把小数化成分数（能约分的先约分），再按化简分数比的方法化简。例：32:353235458754:8754:875.0注意：化简比可以用求比值的方法，但是最后结果要写成比的形式。14例如：1510 1510 101523 325.比中有同类量单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位。6.按比分配：把一个数量按照一定的比

23、来进行分配。这种方法通常叫做按比分配。一般有两种解题法（1）用分率（分数）关系解:按比例分配通常把总量看作单位“1”，即转化成分数。要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。例：有糖水 25 克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？糖：5512541125（克）水：20542541425（克）或 25520（克）（2）用份数关系解：要先求出总份数，再求出每一份的量是多少，最后分别求出几份是多少。例：有糖水 25 克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？1452555（克）糖：515（克）水：5420（克）典型习题：1.甲乙两地相距 600 千米，两车分别从两

24、地相向同时出发，3小时后两车相遇，已知快车与慢车的速度比为11：9，快车与慢车的速度分别是多少？2.把一段长 96 厘米的铁丝做一个长方体框架，长方体的长宽高的比是5：4：3，这个长方体的体积是多立方厘米？3.工厂买来 120 吨生产原料，其中的31分给一车间，其余的按3：5 分给甲乙两个车间，甲乙两个车间各分到多少吨？15第六单元百分数一、百分数的意义和写法（一）百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。（二）百分数和分数的主要联系与区别：联系：都可以表示两个量的倍比关系。区别：（1）意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数

25、量，所以不能带单位；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，分数表示具体数时可以带单位。例：下面的分数也可以用百分数表示的是（B）A.从家到学校要走53小时；B.5 比 4 多41；C.这条鱼重54千克。（2）百分数的分子可以是整数，也可以是小数；例：47.5%（）分数的分子一般不能是小数，只能是除0 以外的自然数。例：45.1（）（3）百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之。二、百分数和分数、小数的互化(一)百分数与小数的互化1.小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0 在后面补足），同时在后面添上百分号。例：0.73273.2%0.

26、440%1.2120%0.0121.2%2.百分数化成小数：把分子的小数点向左移动两位（数位不够用0 前面补足），同时去掉百分号。例：36%0.365%0.05128%1.280.0080.8%(二)百分数的和分数的互化1.百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100 的分数，能约分要约成最简分数。例：16%10016254162.分数化成百分数：（1）用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100 的分数，再写成百分数形式。例：%4510045209（2）先把分数化成小数(除不尽时，通常用四舍五入法保留三位小数)，再把小数化成百分数。（建议用这种方法）例：%5.62625.085%4.

27、71714.075三、用百分数解决问题(一)一般应用题1.常见的百分率的计算方法：注意：一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长率或增长百分之几等可以超过100%。2.求一个数是另一个数的百分之几，用一个数除以另一个数，结果写成百分数。例:男生有 20 人，女生有 15 人，女生人数占男生人数的百分之几？1520100752015753.单位“1”的量是已知的(用乘法)，求单位“1”的百分之几是多少的问题，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）是已知量的百分之几的问题。百分率前是“的”：单位“1”的量百分率百分率对应量例：

28、油菜籽的出油率是42%，2100 千克油菜籽能出多少千克油？200042%17（2）比已知量多（或少）百分之几的问题。百分率前是“多或少”的数量关系：单位“1”的量(1百分率)百分率对应量或：单位“1”的量单位“1”的量百分率例：学校以往的跳高记录是1.3 米。王平的跳高成绩比 这一记录高了 10%。王平的跳高成绩是多少米？1.3（110%）或 1.31.310%4.单位“1”的量是未知的(用除法)，（1）是未知量的百分之几。（已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。）方法与分数的方法除法解决问题相同。方程：根据数量关系式设未知量为x，用方程解答。a%xb算术(用除法)：百分率对应量对应

29、百分率 单位“1”的量例 1：我已录入了 1600个汉字，正好录入了全文的40%。全文共有多少个字？方程：解：设全文有x个字。40%x1600算术方法：160040%例 2：油菜籽的出油率是42%，要出油 2100 千克。需要多少千克的油菜籽？方程：解：设需要x千克的油菜籽。42%x2100算术解法：210042%（2）比未知量多或少百分之几。（已知比一个数多或少百分之几的数是多少，求这个数的方法与分数除法的方法相同）只是结果要写为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少；百分率前是“多或少”的关系式：（比少）：方程：bxa%)1(或bxax%算术方法：具体量(1百分率)单位“1”的量；例:大米

30、有 35 千克，比 面粉少 30，面粉有多少千克？方程：解：设面粉有x千克。35%)301(x或35%30 xx算术方法：35（130）18（比多）：方程：bxa%)1(或bxax%算术方法：具体量(1百分率)单位“1”的量例:工人做 110 个零件，比 原计划多做了 10，原计划做多少个？方程：解：设原计划做x个零件。110%)101(x或110%10 xx算术方法：110（110）6.求一个数比另一个数多百分之几方法 A：两个数的相差量单位“1”的量 百分率即：（大数小数）另一个数（“比”后面那个数），结果写为百分数形式。方法 B：大数小数 100例：老师计划改 40 本作业，实际改了50

31、 本，实际比计划多改了百分之几？方法 A：（5040）4010400.2525方法 B：5040100%125%100%257.求一个数比另一个数少百分之几方法 A：两个数的相差量单位“1”的量 分率即：(大数小数）另一个数（“比”后面那个数），结果写为百分数形式。方法 B:100小数大数例：张三家 3 月用电 100 度，4 月用电 90 度，4 月比 3 月少用百分之几？方法 A：（10090）1001010010方法 B：100%90100100%90%10%注意：多百分之几不等于少百分之几，因为单位“1”不同。198.如果甲比乙多 a，求乙比甲少百分之几。a（1a）也可以将百分数化为分

32、数后利用份数关系解。例：甲比 乙多 25%，求乙比甲少百分之几？25%（125%）0.251.250.220%利用份数关系解：25%41，甲比 乙多的41是以乙为单位“1”的，所以乙是 4 份，那么甲是 415 份，（5-4）55120%9.如果甲比乙少 a，求乙比甲多百分之几。a（1-a）也可以将百分数化为分数后利用份数关系解。例：甲比 乙少 80%，求乙比甲多百分之几？80%（1-80%）0.80.24400%利用份数关系解：80%54，甲比 乙少的54是以乙为单位“1”的，所以乙是 5 份，那么甲是 5-41 份，（5-4）14400%10.在生活中，人们常用“增加百分之几”“减少百分之

33、几”“节约百分之几”来表示增加、减少的幅度。20典型习题1.2.甲数是乙数的 25%，甲数比乙数少百分之几？3.商店运来一批水果，第一天卖出25%，第二天卖出75 千克。卖出的水果和剩下的之比为 2:3。这批水果共多少千克？画出线段图，用算术方法和方程解。4.飞鸽农场去年植树的数量比前年成活的树木多50%，去年的成活率是80%。去年成活的树木数量比前年成活的树木多百分之几？21第五单元圆的认识一、认识圆形1.圆的定义：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆；圆有无数条对称轴。在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆；圆是由曲线围成的一种平面

34、图形。（了解）2.圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母 O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。3.半径：连接圆心 到圆上任意一点的 线段叫做半径。一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4.直径：通过圆心 并且两端都在圆上 的线段 叫做直径。一般用字母 d 表示。直径是一个圆内最长的线段。5.圆心确定圆中心的位置，半径确定圆的大小。6.在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有 无数条直径。所有的 半径都相等，所有的 直径都相等。7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2 倍，半径的长度是直径的21。用字母表示为：d2r 或 rd

35、28.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。9.长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10.只有 1 条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆；只有 2 条对称轴的图形是：长方形；只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形；只有 4 条对称轴的图形是：正方形；有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。2211.画对称轴 要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。二、圆的周长1.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用大写字母C表示。2.圆周率：任意一

36、个圆（无论大小）的 周长与它的直径的比值 是一个 固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母(pai)表示。约 1500 年前，我国数学家和天文学家祖冲之，他计算出圆周率应该在3.1415926 和 3.1415927 之间，成为世界上第一个把圆周率精确到7 位小数的人。这一成就比国外大约要早1000 年。(1)一个圆的周长总是它直径的3 倍多一些（周三径一），这个比值是一个固定的数。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14。(2)在判断时，圆周长与它直径的比值是倍，而不是3.14 倍。4.圆的周长公式：因为周长直径圆周率所以：圆的周长圆周率直径用字母表示 C d或圆的周长圆周率（半径

37、2）用字母表示 C 2r(1)已知圆周长，求直径。用圆的周长圆周率，用字母表示dC 例：已知圆的周长是12.56cm，求圆的直径。dC 12.563.144（cm）(2)已知圆周长，求半径。用圆的周长圆周率，字母表示rC 2例：小明用一根绳子量得一棵树的周长是6.28 米，这棵树的半径是多少米？rC 26.283.1421（米）5.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（短边）；在一个长方形内画一个最大的半圆，当长方形的长大于或等于宽的2 倍时，圆23的半径是长方形的宽；当长方形的长小于宽的2 倍时，圆的直径是长方形的长；6

38、.区分周长的一半和半圆的周长：(1)半圆弧的周长（周长的一半）：等于圆的周长2计算方法：2 r 2 即 C圆半 r(3)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：C半圆5.14 r（推导过程 C半圆2 r 2drdr2r5.14 r）三、圆的面积1.圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用大写字母 S表示。2.圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径长方形的宽圆的周长的一半长方形的长3.圆面积的计算方法：因为：长方形面积 长宽24所以：

39、圆的面积 圆周长的一半 圆的半径即 S圆 2 rr rr2圆的面积公式：S圆r2注意：上图中，只要 给出长方形的宽（即圆的半径），就可以求出圆的面积；给出长方形的长（即r），可以求出圆的半径，再计算圆的面积；给出长方形比圆多的周长（即 2 条半径），可以求出圆的面积。例 1：在圆面积公式推导图中，长方形的宽是3厘米，求圆的面积。长方形的宽就是圆的半径，所以r3cmSr23.14323.14928.26（平方厘米）例 2：在圆面积公式推导图中，长方形的长是12.56 厘米，求圆的面积。长方形的长是圆周长的一半，即C圆半r，所以 rC圆半r12.563.144（厘米）Sr23.14423.1416

40、50.24（平方厘米）例 3：在圆面积公式推导图中，长方形的的周长比圆多4 厘米，求圆的面积。长方形的周长比圆多两条宽，即两条半径，所以r422（厘米）Sr23.14223.14412.56（平方厘米）4.环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r 表示。S环 R2r2或 S环(R2r2)（建议用这个公式，计算更简便）255.一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方 倍。例 1：在同一个圆里，半径扩大3 倍，那么直径和周长就都扩大3 倍，而面积扩大 32倍，得到 9 倍。6.两个圆：半径比 直径比 周长比；而面积

41、比等于这两个数的平方之比。例 1：两个圆的半径之比是2:3，则这两个圆的直径之比是（2:3），周长之比是（2:3），面积之比是22：32，即 4:9。（填 4:9）6.任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：47.长方形，正方形，圆周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。（节省材料）8.常用各值结果（背诵）：3.14；26.28；39.42，412.56，515.7,618.84，721.98,825.12,928.26，1031.4,1650.24,2578.5,36113.04，64200.969.外方内圆

42、（内切圆）：连接相对两个切点，正方形的边长圆的直径（2r）公式：S阴S正S圆4r2r24r23.14r2 0.86r2。10.外圆内方（外切圆）：连接正方形两条对角线，把正方形分解成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径（2r），高是半径（r）。公式：S阴S圆S正r22r23.14r22r21.14r211.一条弧 和经过 这条弧两端 的两条半径 所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做 圆心角。扇形的面积与 圆心角大小 和半径长短 有关。S扇S圆360n；S扇环S环360n以半圆为弧的扇形的圆心角是180；以41圆为弧的扇形的圆心角是90。2611.求阴影部分的面积：S阴影大图形的面积小图

43、形的面积，也可用割补法把阴影部分组合成一个图形。13.确定起跑线：标准运动场跑道由两条直的跑道和两个半圆形跑道组成。各条跑道直道的长度一样，半圆形跑道因为 道宽导致圆的 半径不一样：内圈半径短，周长小；外圈半径长，周长大。假如道宽 1.25 米，设第一道半径为r，则第一道一个弯道长为 r，第二道一个弯道长为（r1.25），第三道一个弯道长为（r1.251.25），依次相差1.25。200 米经过一个弯道，每道需依次提前 1.25；400米经过两个弯道，则需依次提前 1.252。（1.25 为道宽）典型习题：1.用 10 m长的铁条做直径是 40 cm的圆形铁环，最多可以做多少个？2.儿童乐园要

44、修建一个圆形旋转木马场地，木马旋转范围的直径是8m，周边还要留出 1m 宽 的小路，并在外侧围上栏杆，围栏的长度是多少米？小路的面积是多少平方米？3.一个羊圈靠墙而建，成半圆形，半径是5 m。（1）修这个羊圈需要多长的栅栏？（2）如果要扩建这个羊圈，把它的直径增加2 m。羊圈的面积增加多少平方米？4.一台压路机的压路轮直径是2 m，宽 2.5 米。如果压路轮每分钟转动6 周，压路机 10 分钟压路面积是多少平方米？275.如图，中间是边长为1cm 的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为 90的扇形，求这个图形的周长和面积。6.如图，学校操场的跑道由正方形的两条对边和两个半圆组成。小晨

45、在操场上跑了 5 圈，一共是多少米？整个操场的面积是多少平方米？7.下图是由 4 个直径相等的半圆组成的。它周长和面积分别是多少？8.求下图的周长和面积。10.用三张同样大小的正方形白铁皮（边长是1.8 m），分别按下面三种方式剪出不同规格的圆片。哪张白铁皮剩下的废料多些？1 米28第七单元扇形统计图一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示 整体，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同 整体之间的关系。也就是各部分数量占总量的百分比，因此也叫百分比图，扇形统计图不能表示数量。二、常用统计图的特点：1.条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。2.折线统计图：可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数

46、量的增减变化情况。3.扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。（要在统计图上写出名称和百分率）三、应用：1.会观察统计图，了解各部分占总量的百分比；大致比较各部分大小关系。2.你得到什么数学信息？回答（1）xx 占总体的百分之几；（2）xx 占的百分比最多，xx 占的百分比最少；3.你还能提什么数学问题：xx 和 xx 一共占全部的百分之几？4.计算（1）知道总量和各部分分率，求各部分的量。我国城市空气质量正逐步提高，在2010 年监测的 330 个城市中，有273 个城市空气质量达到二级标准。监测城市的空气质量情况如下图所示。（1）空气质量达到三级标准的城市有多少个？（2）了

47、解你所在城市的空气质量，讨论一下如何提高空气质量。（3）知道分量和对应的百分率，求总量和其他部分量。2010年我国石油消费情况如右图。（1）石油进口量大约是2.4 亿吨，石油总消费量是多少？（2）消费国产石油多少亿吨？29第八单元数学广角一、连续奇数列的和1.从 1 开始的连续奇数列的和，等于这列奇数个数的平方。（奇数个数可以用最后一个奇数 2，得数四舍五入取整，也可以给最后一个奇数1后，再除以 2。）例：1357 2729共有奇数个数：（291）215，所以 1357 27291522252.非从 1 开始的连续奇数列的和。（按从 1 开始的奇数列的和算，再减去前面所缺奇数列之和）例：131

48、517 3739按从 1 开始的奇数列算，共有（391）220（个）奇数；13 前面奇数的个数为：（111）26（个）所以 131517 373920262400363643.从 2 开始的连续偶数列的和，等于这列偶数的个数（这列偶数的个数 1），这列偶数的个数可以用最后一个偶数2得到。例：2468 2628偶数的个数为：28214（个）这列偶数的和为：14（141）14152104.非从 2 开始的连续偶数列的和。（按从 2 开始的偶数列的和算，再减去前面所缺偶数列之和）例：141618 3638按从 2 开始的偶数列算：38219（个）19（191）192038014 前面偶数列的和：1226（个）6（61）5742所以 141618 363819（191）6（61）380423385.特殊分数列的和（1）64132116181412116416463（数形结合，P107）（2）6413211618141211（数学极限思想）（3）3012011216121)6151()5141()4131()3121()211(767116.平方数（1，4，9，16，25），立方数（1，8，27，64，125），三角形数（1，3，6，10，15）