最新江苏省苏州市实验中学高三数学高考模拟测试卷五.pdf

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1、数学试卷一、填空题1.已知i为虚数单位,复数3322zi的模为 _.2.已知集合1,2,1,1,4aAB,且AB,则正整数a=_.3.在平面直角坐标系xOy中,抛物线28yx的焦点坐标为_.4.苏州轨道交通1 号线每 5 分钟一班,其中,列车在车站停留0.5 分钟,假设乘客到达站台的时刻是随机的,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为_.5.已知42,2aalog xa,则正实数x=_.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.下面的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入,n x的值分别为3,3,则输出v的值为 _.7.已知变量,x

2、 y满足03030 xxyxy则23zxy的最大值为 _.8.已知等比数列an的前n项和为nS,且64231915,88SaaS,则3a的值为 _.9.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经 90榫卯起来.若正四棱柱的高为5,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为 _.(容器壁的厚度忽略不计,结果保留)10.如图,两座建筑物,AB CD的高度分别是9?m和15m,从建筑物AB的顶部 A看建筑物CD的张角45CAD,则这两座建筑物AB和C

3、D的底部之间的距离BD=_m.A11.在平面直角坐标系xOy中,已知过点2,1A的圆C和直线1xy相切,且圆心在直线2yx上,则圆C的标准方程为 _.12.已知正实数,a b c满足1111=1,=1ababc,则c的取值范围是 _.13.如图,ABC为等腰三角形,120BAC,4ABAC,以A为圆心,1为半径的圆分别交,AB AC与点,E F P是劣弧上的一点,则PB PCu uu r uuu r的取值范围是 _.14.已知直线ya分别与直线22yx,曲线2xyex交于点,A B,则线段AB长度的最小值为_.二、解答题15.已知函数2f(x)(3cosx+sinx)-2 3sin2x.1.求

4、函数fx的最小值,并写出fx取得最小值时自变量x的取值集合;2.若,22x,求函数fx的单调增区间.16.如图,B C分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B C之间的距离为100km,海岛A在城市B的正东方向50km处.从海岛A到城市C,先乘船按北偏西角(2,其中锐角的正切值为12)航行到海滨公路P处登陆,再换乘汽车到城市C.已知船速为25/km h,车速为75/km h.1.试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式;2.试确定登陆点P的位置,使所用时间最少,并说明理由.17.在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222C:=1(ab0)xyab的离心率为22,椭圆上动点P到一个

5、焦点的距离的最小值为3(2-1).1.求椭圆C的标准方程;2.已知过点0,1M的动直线l与椭圆C交于,A B两点,试判断以AB为直径的圆是否恒过定点,并说明理由.18.已知各项是正数的数列的前项和为.1.若,且.求数列的通项公式;若对任意恒成立,求实数的取值范围;2.数列是公比为的等比数列,且的前项积为.若存在正整数,对任意,使得为定值,求首项的值.19.已知函数32,0,0 xxxxeax x1.当2a时,求函数fx的单调区间;2.若方程()3xfxfxe在区间(0,)上有实数解,求实数a的取值范围;3.若存在实数,20,m n,且|1mn,使得()f mf n,求证:1e1ae.20.选修

6、 42:矩阵与变换 已知12M21,=,求 M4.21.选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,直线 的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,若直线与曲线相交于两点,求的面积22.选修 45:不等式选讲 已知222,1a b cR abc,若211xxabc对一切实数,a b c恒成立,求实数x的取值范围.23.如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,其交线为AB,且2ABBP,1ADAE,AEAB,且/AEBP.1.求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值;2.线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PC

7、D所成角的正弦值等于25?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.24.在正整数集上定义函数yf n,满足11()2()21fnf nf n,且1?2f.1.求证:93210ff;2.是否存在实数,a b,使113()2nfan,对任意正整数n恒成立,并证明你的结论.三、证明题25.如图,在正方体1111ABCDA B C D,?E F G H中,已知,?E F G H分别是111111,A DB CD D C C的中点.求证1./EF平面ABHG;2.平面ABHG平面CFED26.选修 41:几何证明选讲 如图,AB AC与圆O分别切于点,B C P为圆O上异于点,B C的任意一点,

8、PDAB,垂足为,D PEAC,垂足为,E PFBC,垂足为F.求证:2PFPD PE.参考答案1.答案：3解析：2.答案：2 解析：3.答案：(-2,0)解析：4.答案：110解析：5.答案：12解析：6.答案：48 解析：7.答案：-9 解析：8.答案：94解析：9.答案：30解析：10.答案：18 解析：11.答案：22(1)(2)2xy解析：12.答案：41,3解析：13.答案：-11,-9 解析：14.答案：322ln解析：15.答案：1.2 f(x)=(3cosx+sinx)-23sin2x223222cos xsinxcosxsin xsin x3(12)(12)3sin2x22

9、cos xcos x=cos2x-3sin2x+2=2cos2+23x当2x+=2k+3,即3xkkZ时,fx取得最小值0,此时自变量x的取值集合为|,3x xkkZ2.由(1)知f(x)=2cos2+23x令2222()3kxkkZ解得5()36kxkkZ又,22x,1k,2 6x令0?k,32x所以函数fx在,22上的单调增区间是,26和,32解析：16.答案：1.由题意,轮船航行的方位角为,所以90,50BAPAB,则5050AP=(90?)cossin,50(90?-)50BP=50tan(90?-)=(90?-)sincoscossin所以50PC=100-BP=100-cossin

10、.由A到P所用的时间为12t=25APsin,由P到C所用的时间为25010042t=7533coscossinsin,所以由A经P到C所用时间与的函数关系为12242624f()=t+t=-=3333coscossinsinsin函数f的定义域为,2,其中锐角的正切值为12.2.由(1)知624f()=33cossin,2,所以26(13)f()=9cossin令=0f,解得1=3cos.设00,2,使01cos=.3.当变化时,f,f的变化情况如下表:0(,)00,2f-0+f极小值所以当0时函数f取得最小值,此时005025 2BP=17.68(km)2cossin.故在BC上选择距离B

11、为17.68km处为登陆点,所用时间最少.解析：17.答案：1.由题意知22ca,所以a=2c.又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(2-1),所以a-c=3(2-3)解得c=3,a=3 2,所以2229bac所以椭圆C的标准方程为22=1189xy.2.当直线l的斜率为0时,令1y,则4x,此时以AB为直径的圆的方程为221()16xy;当直线l的斜率不存在时,以AB为直径的圆的方程为229xy联立2222(1)169xyxy解得0,3xy,即两圆过点0,3T.猜想:以AB为直径的圆恒过定点0,3T.(9分)对一般情况证明如下:设过点0,1M的直线l的方程为1ykx,与椭圆C交于点11

12、22(,),(,)A xyB xy,则消去y,整理得22()124160kxkx,所以121222416x+x,x x1212kkk因为1122(,3)(,3)TA TBx yxyuu r u ur1212123()9x xy yyy121212(1)(1)3(11)9x xkxkxkxkx21212(1)4()16kx xk xx222216(1)16161212kkkk2216(12)1612kk0所以TATB.所以存在以AB为直径的圆恒过定点T,且定点T的坐标为(0,3).解析：18.答案1.当时,所以,两式相减得,即当时,即,解得或(舍),所以,即数列为等差数列,且首项,所以数列的通项

13、公式为an=3n-1.由知,所以.由题意可得对一切 n恒成立,记,则,所以当时,;当时,且,所以当时,取得最大值,所以实数的取值范围为.2.由题意,设,两边取常用对数,得.令,则数列是以为首项,为公差的等差数列.若为定值,令,则,即对恒成立,因为,所以问题等价于将代入,解得或.因为,所以,所以.又,所以.19.答案：1.当2a时,32,0()2,0 xxxxf xex x当0 x时,32fxxx=-,2()32(32)fxxxxx,令0fx,解得0 x或2x=3(舍),所以当0 x时,0fx,所以函数fx在区间,0上为减函数;当0 x时,2xfxex,2xfxe,令0fx,解得2xln,所以当

14、20 xln时,0fx;当2xln时,0fx,所以函数fx在区间20,ln上为减函数,在区间2,ln上为增函数,且010f.综上,函数fx的单调减区间为,0和20,ln,单调增区间为2,ln2.设0 x,则0 x,所以32()xfxfxxxeax.由题意,323xxxxeaxe在区间0,上有解,等价于23a=x+x+x在区间0,上有解.记23g(x)=x+x+(x0)x,则322222323(1)(233)g(x)=2x+1-xxxxxxxx令0gx,因为0 x,所以22330 xx,故解得1x.当0,1x时,0gx;当1,x时,0gx,所以函数g x在区间0,1上单调递减,在区间1,上单调递

15、增,故函数g x在1x处取得最小值15g.要使方程ag x在区间0,上有解,当且仅当15minag xg,综上,满足题意的实数a的取值范围为5,).3.由题意知fxexa.当0a时,0fx,此时函数fx在0,上单调递增,由f mfn,可得mn,与条件|1mn矛盾,所以0a.令0fx,解得lnxa.当0,xlna时,0fx;当ln,xa时,0fx,所以函数fx在0,lna上单调递减,在ln,a上单调递增.若存在,0,2,m nf mfn,则lna介于,m n之间,不妨设02mlnan.因为fx在,m lna上单调递减,在,lna n上单调递增,且f mfn,所以当mxn时,fxf mf n,由0

16、2,1mnmn,可得1,m n,所以1ffmfn又fx在,m lna上单调递减,且0mlna,所以0,fmf所以10ff同理12ff,即解得212eaeaea,解得21eaee所以1e1ae.解析：20.答案：矩阵M的特征多项式为212f()2321令0f,解得123,1=-,所以属于1的一个特征向量为111,属于2的一个特征向量为211.令12mn,即111=m+n711,所以17mnmn解得4,3mn.所以444121244343MMMM=4412113213(-1).113237434解析：21.由题意知曲线的直角坐标方程是,直线 的普通方程为.联立方程组解得,所以,因为原点到直线的距离

17、,所以.22.答案：因为222,1a b cR abc,所以由柯西不等式得2222 1 1 13abcabc.因为211xxabc对一切实数,a b c恒成立,所以113xx.当1x时,23x,即32x;当11x时,23不成立;当1x时,23x,即32x.综上所述,实数x的取值范围为33,22.解析：23.答案：1.因为平面ABCD平面ABEP,平面ABCD平面ABEPAB,BPAB,所以BP平面ABCD.又ABBC,所以直线,BA BP BC两两垂直,以B为原点,分别以,BA BP BC所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则0,2,0,0,0,0,2,0,1,2,1,0,0,0,1

18、PBDEC.因为BC平面ABPE,所以(0,0,1)BCuu u r为平面ABPE的一个法向量.2,2,1PDu uu r,2,0,0CDuuu r,设平面PCD的一个法向量为(,)nx y z,则00n CDn PDu uu ru uu r即令1y,则2z,故0,1,2n设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为,则22 5cos5|15n BCnBCuuu ru uu r,显然0?2,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为2 55.2.设线段PD上存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于.设(2,2,)(01)PNPDuuu ruuu r由(1)知平面PCD的一个法向

19、量为(0,1,2)nr所以 cos,BN nBN nBNnuuu rru uu r ruuu rr即29810,解得1或19(舍去).当点N与点D重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值为25解析：24.答案：1.因为112 21fnfnfn,所以4()f(n+1)=()2f nf n.由1?2f,代入得421f(2)=2221472f(3)=1522,所以719f(3)-f(2)=5210.2.由1?2f,122f,可得41a=-,b=55以下用数学归纳法证明:存在实数41a=-,b=55使1f(n)=+1431525n成立.当1n时,显然成立;当nk时,假设存在41a=-,b=55使得1

20、f(k)=+1431525k成立,那么当1nk时,1414315254()f(k+1)=1()212431525kkf kf k12385251232525kk=11+631525k=11+1431525k即当1nk时,存在41a=-,b=55使得11f(k+1)=+1431525k成立.由可知,存在实数41a=-,b=55使1f(n)=+132nab对任意正整数n恒成立.解析：25.答案：1.因为,E F是1111,A DB C的中点,所以11/EFA B.在正方体1111ABCDA B C D中,11/A BAB,所以/EFAB.又EF平面ABHG,AB平面ABHG,所以/EF平面ABHG

21、.2.在正方体1111ABCDA B C D中,CD平面11BB C C,又BH平面11BBC C,所以BHCD.设BHCFP,易知BCH1CC F,所以1HBCFCC.因为90HBCPHC,所以190FCCPHC.所以90HPC,即BHCF.又DCCFC,DC CF平面CFED,所以BH平面CFED.又BH平面ABHG,所以平面ABHG平面CFED.解析：26.答案：连结,PB PC.因为PCF,PBD分别为同弧BP上的圆周角和弦切角,所以PCFPBD.因为,PDBD PFFC,所以PDBPFC,所以PDPBPFPC.同理PBFPCE.又,PEEC PFFB,所以PFBPEC,所以PFPBPEPC.所以PDPFPFPE,即2PFPD PE.解析：