2018版高中数学三角函数1.6三角函数模型的简单应用导学案新人教A版必修4含解析.pdf

《2018版高中数学三角函数1.6三角函数模型的简单应用导学案新人教A版必修4含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学三角函数1.6三角函数模型的简单应用导学案新人教A版必修4含解析.pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1.6 三角函数模型的简单应用学习目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案三角函数模型.梳理(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根

2、据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.(2)三角函数模型的建立程序如图所示：类型一三角函数模型在物理中的应用例 1 已知电流I与时间t的关系为IAsin(t).(1)如图所示的是IAsin(t)(0，|2)在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段1150的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正

3、整数值是多少？解(1)由图可知A300，设t11900，t21180，则周期T2(t2t1)211801900175.2T150.又当t1180时，I0，即 sin15011800，而|0)，300942，又 N*，故所求最小正整数943.反思与感悟此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S6sin(2 t6).(1)画出它的图象；(2)回答以下问题：小球开始摆动(即t0)，离开平衡位置是多少？小球摆动时，离开

4、平衡位置的最大距离是多少？小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T221(s).列表：t 0165122311121 2t662322266si n(2t6)360603 描点画图：(2)小球开始摆动(即t 0)，离开平衡位置为3 cm.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.小球来回摆动一次需要1 s(即周期).类型二三角函数模型在生活中的应用例 2 某游乐园的摩天轮最高点距离地面108 米，直径长是98 米，匀速旋转一圈需要18 分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：(1)当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟？(2)当此人距离地面不低于(59 4923)米

5、时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？解(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米，则218t9t.由y108982982cos9t 49cos9t59(t0).令 49cos9t59692，得 cos9t12，9t2k3，故t18k3，k Z，故t3，15，21，33.故当此人第四次距离地面692米时用了33 分钟.(2)由题意得 49cos9t59594923，即 cos9t32.故不妨在第一个周期内求即可，所以569t76，解得152t212，故2121523.因此摩天轮旋转一圈中有3 分钟可以看到游乐园的全貌.反思与感悟解决三

6、角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高

7、度不小于17 m.解(1)设在ts 时，摩天轮上某人在高hm处.这时此人所转过的角为230t15t，故在ts 时，此人相对于地面的高度为h10sin 15t12(t0).(2)由 10sin15t1217，得sin15t12，则52t252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s3cosglt3，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l _ cm.答案g42解析T2gl1，gl2，lg42.2.某城市一年中12 个月的平均气温与月份的关系可近似

8、地用三角函数yaAcos6x6(x1，2，3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则 10 月份的平均气温为 _.答案20.5 解析由题意可知A28 1825，a28 18223，从而y5cos6x 623.故 10 月份的平均气温值为y5cos64 2320.5.3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时为正角，左侧时为负角.作为时间t(s)的函数，近似满足关系式Asin(t2)，其中0.已知小球在初始位置(即t0)时，3，且每经过 s 小球回到初始位置，那么A_；关于t的函数解析式是_.答案33

9、sin(2t2)，t0，)解析当t0 时，3，3Asin2，A3.又周期T，2，解得2.故所求的函数解析式是3sin(2t2)，t0，).4.某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)102sin(12t3)，t0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)因为f(t)102sin(12t3)，又 0t24，所以312t311 时实验室需要降温.由(1)得f(t)102sin(12t3)，故有 102sin(12t3)11，即 sin(12t3)12.又 0t24，因此7612t3116，

10、即 10t0，0，|2时，BON2，hOABN3030sin(2)，当 00，0)的图象如图所示，则当t150秒时，电流强度是_安.答案5 解析由图象可知A10，周期T2(43001300)150，2T100，I10sin(100 t6)，当t150秒时，I10sin(2 6)5(安).9.设某人的血压满足函数式p(t)11525sin(160 t)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是_.答案80 解析T2160180(分)，f1T80(次/分).10.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天 024 时的变化情况，则水面高度h关于时间

11、t的函数解析式为_.答案h 6sin 6t，t0，24 解析根据题图设hAsin(t)，则A6，T12，2 12，6.点(6，0)为“五点”作图法中的第一点，660，h6sin(6t)6sin 6t，t0，24.11.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12 的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d_，其中t0，60.答案10sin t60解析将解析式可写为dAsin(t)的形式，由题意易知A10，当t0时，d0，得0；当t30 时，d10，可得60，所以d 10sin t60.12.设偶函数f(x)Asi

12、n(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML90，KL1，则f(16)的值为 _.答案34解析取K，L的中点N，则MN12，因此A12.由T2 得.函数为偶函数，0，2，f(x)12cos x，f(16)12cos 634.三、解答题13.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5 圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？解(1)如图所示建立直角坐标系，设角20 是以Ox为始边，OP0为终边的角.OP每秒钟内

13、所转过的角为52606，则OP在时间t(s)内所转过的角为6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z4sin6t2.当t0 时，z0，得 sin 12，即6.故所求的函数关系式为z 4sin6t62.(2)令z4sin6t626，得 sin6t61，令6t62，得t4，故点P第一次到达最高点大约需要4 s.四、探究与拓展14.有一冲击波，其波形为函数y sinx2的图象，若其在区间0，t 上至少有 2个波峰，则正整数t的最小值是()A.5 B.6 C.7 D.8 答案C 15.如图所示，某地夏天从814 时的用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(02).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式.解(1)最大用电量为50 万 kW h，最小用电量为30 万 kW h.(2)观察图象可知从814 时的图象是yAsin(x)b的半个周期的图象，A12(50 30)10，b12(50 30)40.122148，6.y10sin6x40.将x8，y 30 代入上式，又02，6.所求解析式为y10sin6x640，x8，14.