2018版高中数学三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换导学案新人教A版必修4含解析.pdf

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1、3.2 简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一半角公式思考 1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2替换，结果怎样？答案结果是 cos 2cos22112sin22cos22sin22.思考 2 根据上述结果，试用sin，cos 表示 sin 2，cos 2，tan 2.答案cos221cos 2，cos 2 1cos 2，同理 sin 2 1co

2、s 2，tan 2sin 2cos 2 1cos 1cos.思考 3 利用 tan sin cos 和倍角公式又能得到tan 2与 sin，cos 怎样的关系？答案 tan2sin 2cos 2sin22cos2cos22cos2sin 1cos，tan 2sin 2cos 2sin 22sin2cos 22sin21cos sin.梳理sin 2 1cos 2，cos2 1cos 2，tan 2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin .知识点二辅助角公式思考 1 asin xbcos x化简的步骤有哪些？答案(1)提常数，提出a2b2得到a2b2aa2b2 sin xba2

3、b2cos x.(2)定角度，确定一个角满足：cos aa2b2，sin ba2b2(或 sin aa2b2，cos ba2b2).一般为特殊角4，3等，则得到a2b2(cos sin xsin cos x)(或a2b2(sin sin xcos cos x).(3)化简、逆用公式得asin xbcos xa2b2sin(x)(或asin xbcos xa2b2cos(x).思考 2 在上述化简过程中，如何确定所在的象限？答案所在的象限由a和b的符号确定.梳理辅助角公式：asin xbcos xa2b2sin(x).(其中 tan ba)类型一应用半角公式求值例 1 已知 sin 45，523

4、，求cos2和 tan 2.解sin 45，且523，cos 1 sin235.由 cos 2cos221，得 cos221cos 215.54232，cos 21cos 255.tan 2sin 1cos 2.反思与感悟(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：先化简所求的式子；观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).跟踪训练1 已知 sin 817，且 32，求 sin 2，cos 2和 tan 2.解sin 817，32，cos 1517.又32，2234，sin 21cos 211517241717，c

5、os 21cos 21151721717，tan 2sin 2cos 2 4.类型二三角恒等式的证明例 2 求证：1sin 4 cos 42tan 1sin 4 cos 41tan2.证明要证原式，可以证明1 sin 4cos 41 sin 4cos 42tan 1 tan2.左边sin 4 1cos 4sin 4 1cos 42sin 2cos 22sin222sin 2cos 22cos222sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2tan 2，右边2tan 1tan2 tan 2，左边右边，原式得证.反思与感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简

6、、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.跟踪训练2 证明：sin 11sin cos 12tan 212.证明左边2tan21tan22112tan 21 tan221tan221tan22tan22 2tan 211tan222tan 21tan22tan 2122tan 2212tan 2112tan 212右边，原等式成立.类型三利用辅助角公式研究函数性质例 3 已知函数f(x)3sin2

7、x62sin2x12(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解(1)f(x)3sin(2x6)2sin2x123sin2x12 1cos 2x12232sin2x1212cos 2x121 2sin2x1261 2sin2x31，f(x)的最小正周期为T22.(2)当f(x)取得最大值时，sin2x31，有 2x32k2，即xk512(kZ)，所求x的集合为 x|xk512，kZ.反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角

8、转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练3 已知函数f(x)cos3xcos3x，g(x)12sin 2x14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.解(1)f(x)12cos x32sin x12cos x32sin x14cos2x34sin2x1cos 2x83 1cos 2x812cos 2x14，f(x)的最小正周期为T22.(2)h(x)f(x)g(x)12cos 2x12sin 2x22cos 2x4，当 2x42k(kZ)时，h(x)有最大值22.此时x的取值集合

9、为x|xk8，kZ.类型四三角函数在实际问题中的应用例 4 如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.解如图连接AP，设PAB(090)，延长RP交AB于M，则AM90cos，MP90sin.所以PQMB10090cos，PRMRMP10090sin.所以S矩形 PQCRPQPR(100 90cos)(100 90sin)10 000 9 000(sin cos)8 100si

10、n cos.令tsin cos(1t2)，则 sin cos t2 12.所以S矩形PQCR10 000 9 000t8 100t2128 1002(t109)2950.故当t109时，S矩形PQCR有最小值 950 m2；当t2时，S矩形PQCR有最大值(14 050 9 0002)m2.反思与感悟此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4 某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).解连接OC，设COB，则 00，cos 21 cos 263.2

11、.已知 tan23，则 cos 等于()A.45 B.45 C.415 D.35答案B 解析cos cos22sin22cos22sin221tan221tan2213213245.3.函数f(x)sin2x3sin xcos x在区间4，2上的最大值是()A.1 B.2 C.32D.3 答案C 解析f(x)1 cos 2x232sin 2xsin2x612，x4，2，2x63，56，sin2x612，1，f(x)max 11232，故选 C.4.函数f(x)sin xcos x，x 0，2的最小值为 .答案 1 解析f(x)2sinx4，x 0，2.4x44，f(x)min2sin4 1.5

12、.化简：1sin cos sin 2cos 222cos.(180 360)解原式2cos222sin 2cos 2sin 2cos 24cos222cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22 cos 2cos 2sin22cos22cos 2cos 2cos cos 2.因为 180360，所以902180，所以 cos 20，所以原式 cos.1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式asin xbcos xa2b2sin(x)，其中满足：与点(a，b

13、)同象限；tan ba(或 sin ba2b2，cos aa2b2).3.研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如 sin xcos x2sinx4；sin x3cos x 2sinx3等.课时作业一、选择题1.若 cos 45，是第三象限角，则1tan 21tan 2等于()A.12 B.12 C.2 D.2 答案A 解析是第三象限角，cos 45，sin 35，1 tan 21 tan 21sin 2co

14、s 21sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 21sin cos 1354512.2.若 tan 2tan 5，则cos310sin5等于()A.1 B.2 C.3 D.4 答案C 解析cos310sin5sin2310sin5sin5sin5sin cos5 cos sin5sin cos5 cos sin5tan tan51tan tan5 121213.3.已知 1800，aR)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是6，则的值为()A.12 B.13 C.23 D.23答案A

15、 解析f(x)32cos 2x12sin 2x32asin2x332a，依题意得 2632?12.6.设a12cos 632sin 6，b2sin 13cos 13，c1cos 50 2，则有()A.cbaB.abcC.acbD.bca答案C 解析asin 30 cos 6 cos 30 sin 6 sin(30 6)sin 24，b2sin 13 cos 13 sin 26，csin 25，ysin x在0，2 上是单调递增的，acb.7.已知 sin m3m5，cos 42mm5(2)，则 tan2等于()A.13B.5 C.5 或13D.13或 5 答案B 解析由 sin2cos2 1，

16、得(m3m5)2(4 2mm5)21，解得m0 或 8，当m 0时，sin 0，不符合2.m0 舍去，故m8，sin 513，cos 1213，tan 21cos sin 112135135.二、填空题8.设 56，cos2a，则 sin 4的值为 .答案1a2解析sin241 cos 22，(5，6)，454，32，sin 41cos221a2.9.sin220sin 80 sin 40 的值为 .答案34解析原式 sin220sin(60 20)sin(60 20)sin220(sin 60 cos 20 cos 60 sin 20)(sin 60 cos 20 cos 60 sin 20

17、)sin220 sin260cos220 cos260sin220sin22034cos22014sin22034sin22034cos22034.10.函数f(x)sin(2x4)22sin2x的最小正周期是 .答案解析f(x)22sin 2x22cos 2x2(1 cos 2x)22sin 2x22cos 2x2sin(2x4)2，T22.三、解答题11.已知 sin3sin 435，20，求 cos 的值.解sin3sin sin cos 3cos sin 3sin 32sin 32cos 435.32sin 12cos 45，sin645.20，366，cos635.cos cos66

18、cos6cos 6sin6sin 63532 451233410.12.求证：tan 3x2tan x22sin xcos xcos 2x.证明左边 tan 3x2tan x2sin 3x2cos 3x2sin x2cos x2sin 3x2cos x2cos 3x2sin x2cos 3x2cos x2sin3x2x2cos 3x2cos x2sin xcos 3x2cos x22sin xcos3x2x2cos3x2x22sin xcos xcos 2x右边.原等式得证.13.已知 cos 2725，2，(1)求 tan 的值；(2)求2cos22sin 2sin4的值.解(1)因为 co

19、s 2725，所以cos2 sin2cos2 sin2725，所以1tan21tan2725，解得 tan 34，因为2，所以tan 34.(2)因为2，tan 34，所以 sin 35，cos 45，所以2cos22sin 2sin41cos sin cos sin 145354535 4.四、探究与拓展14.已知AB23，那么 cos2Acos2B的最大值是，最小值是 .答案3212解析AB23，cos2Acos2B12(1 cos 2A1cos 2B)112(cos 2Acos 2B)1cos(AB)cos(AB)1cos23cos(AB)112cos(AB)，当 cos(AB)1 时，原式取得最大值32；当 cos(AB)1 时，原式取得最小值12.15.已知函数f(x)sin2xsin x3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在6，23上的单调性.解(1)f(x)sin2xsin x3cos2xcos xsin x32(1 cos 2x)12sin 2x32cos 2x32sin2x332，因此f(x)的最小正周期为，最大值为232.(2)当x6，23时，02x3，从而当 02x32，即6x512时，f(x)单调递增，当22x3，即512x23时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在6，512上单调递增；在512，23上单调递减.