2019-2020学年北京八十中高一下学期期中数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年北京八十中高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共14 小题）.1在复平面内，复数i（i+2）对应的点的坐标为（）A（1，2）B（1，2）C（2，1）D（2，1）2如果?，?是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A?=?B?=?C?D|?|?=|?|?3下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B圆心和圆上两个点确定一个平面C如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D如果两条直线没有交点，则这两条直线平行4已知平面向量?=(?，-?)，?=(?，?)若?，则 x（）A-12B 2C12D25已知复数z 满足（3+4i）z 4+3i，则 z（）A?=-24+25?

2、7B?=257?CziDz i6在 ABC 中，已知a 2，?(?+?)=13，?=14，则 c（）A4B3C83D437在四边形ABCD 中，若?=?+?且?(?-?)=?，则（）A四边形ABCD 是矩形B四边形ABCD 是菱形C四边形ABCD 是正方形D四边形ABCD 是平行四边形8在正方体AC1中，E，F 分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B 与直线 EF 的位置关系是（）A相交B异面C平行D垂直9下列命题中，正确命题的个数是（）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l ；若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内的任意一条直线都平行；若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内的

3、任意一条直线都没有公共点A0B1C2D310如图是正方体的平面展开图在这个正方体中，BM 与 ED 平行；CN 与 BE 是异面直线；AF 与平面 BDM 平行；平面 CAN 与平面 BEM 平行以上四个命题中，正确命题的序号是（）ABCD11如图，|?|=|?|=?，?与?的夹角为120，?与?的夹角为30，若?=?+?（，R），则?等于（）A 32B2 33C12D212设?，?为非零向量，则“存在负数，使得?=?”是“?0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件13一正四面体木块如图所示，点P 是棱 VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱

4、 VB 和 AC，则下列关于截面的说法正确的是（）A满足条件的截面不存在B截面是一个梯形C截面是一个菱形D截面是一个三角形14如图，A，B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB 是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为（）A4+4cosB4+4sinC2+2cosD2+2sin二、填空题：8 道小题，每小题5 分，共 40 分15如图，在复平面内，复数z对应的向量为?，则复数|z|；z?i16设向量?，?满足|?|=?，|?|=?，?与?的夹角为60，则?(?+?)=17设 E 为 ABC 的边 AC 的中点，?=?+?，则 m+n18 能说明“在 ABC 中，若 sin

5、2Asin2B，则 AB”为假命题的一组A，B 的值是19已知点P 在以原点为圆心的单位圆上，点A 的坐标为（2，0），则?的最大值为20表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为21甲、乙两楼相距?，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则乙楼的高是m22如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB3，AA14，M 为 AA1的中点，P 是 BC 上一点，且由点P 沿棱柱侧面经过棱CC1到 M 的最短路线长为?，设这条最短路线与CC1的交点为N，则该三棱柱的侧面展开图的对角线长为；PC 的长为三、解答题：3 道小题，共40 分23在 ABC 中，

6、a 3，c5，?=-12（）求b 的值；（）求sin（B+C）的值24如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，E，F 分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点（）求证：E，F，B，D 四点共面；（）求证：平面AMN 平面 EFDB；（）画出平面BNF 与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）25在 ABC 中，已知?+(?-?)?=?（）求角B 的大小；（）若a+c 1，求 b 的取值范围；（）求sinA?sinC 的最大值参考答案一、选择题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分1在复平面内，复数i（i+2）对应的点的坐标为（）A（1，2）B（1，

7、2）C（2，1）D（2，1）【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解：i（i+2）1+2i，复数 i（i+2）对应的点的坐标为（1，2），故选：B2如果?，?是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A?=?B?=?C?D|?|?=|?|?【分析】根据单位向量的定义与性质，对选项中的命题分析、判断正误即可解：根据?，?是两个单位向量知，?=?不一定成立，A 错误；?=1 不一定成立，所以B 错误；?=?=1，所以 C 错误；|?|?=|?|?=1，所以 D 正确故选：D3下列命题正确的是（）A三点确定一个平面B圆心和圆上两个点确定一个平面C如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个

8、公共点D如果两条直线没有交点，则这两条直线平行【分析】直接利用平面的定义和性质的应用求出结果解：对于选项A：当三点共线时，确定的平面有无数个，故错误对于选项B：当圆心和圆上的两点满足三点共线时，确定的平面有无数个，故错误对于选项C：如果两个平面相交有一个交点，则必有经过该点的一条直线，该直线为交线，故正确对于选项D：如果两条直线没有交点，则这两条直线平行也可能是异面直线故错误故选：C4已知平面向量?=(?，-?)，?=(?，?)若?，则 x（）A-12B 2C12D2【分析】根据?即可得出2x+10，解出 x 即可解：?，2?x（1）?10，解得?=-12故选：A5已知复数z 满足（3+4i）

9、z 4+3i，则 z（）A?=-24+25?7B?=257?CziDz i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解：由（3+4i）z 4+3i，得 z=-4+3?3+4?=(-4+3?)(3-4?)(3+4?)(3-4?)=25?25=?故选：C6在 ABC 中，已知a 2，?(?+?)=13，?=14，则 c（）A4B3C83D43【分析】由三角形的内角和定理，诱导公式可求sinC 的值，根据正弦定理即可解得c 的值解：a2，?(?+?)=13，?=14，sinCsin（A+B）sin（A+B）=13，由正弦定理?=?，可得：c=?=21314=83故选：C7在四边形A

10、BCD 中，若?=?+?且?(?-?)=?，则（）A四边形ABCD 是矩形B四边形ABCD 是菱形C四边形ABCD 是正方形D四边形ABCD 是平行四边形【分析】根据?=?+?得出四边形ABCD 是平行四边形，再根据?(?-?)=?得出?，平行四边形ABCD 是菱形解：四边形ABCD 中，若?=?+?，则四边形ABCD 是平行四边形；又?(?-?)=?，即?=0，所以?，平行四边形ABCD 是菱形故选：B8在正方体AC1中，E，F 分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B 与直线 EF 的位置关系是（）A相交B异面C平行D垂直【分析】直线AB 与直线外一点E 确定的平面为A1BCD1，EF?

11、平面 A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论解：如图，在正方体AC1中：A1BD1CA1B 与 D1C 可以确定平面A1BCD1，又 EF?平面 A1BCD1，且两直线不平行，直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是相交，故选：A9下列命题中，正确命题的个数是（）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l ；若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内的任意一条直线都平行；若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点A0B1C2D3【分析】通过直线与平面相交，判断点与平面的位置关系判断 正误；直线l 平行平面，则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点，判

12、断；解：若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，故 错误；若直线 l 平行平面，则 l 与平面 内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面，故 错误；若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 没有公共点，故l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点，故 正确故选：B10如图是正方体的平面展开图在这个正方体中，BM 与 ED 平行；CN 与 BE 是异面直线；AF 与平面 BDM 平行；平面 CAN 与平面 BEM 平行以上四个命题中，正确命题的序号是（）ABCD【分析】画出正方体的图形，结合几何体判断命题的真假即可解：正方体的平面展开图复原的正方体如图，BM 与 ED 是异面直线；不

13、正确，CN 与 BE 是平行线；所以 不正确；因为 AFDM，DM?平面 DBM，AF?平面 DBM，所以AF平面 BDM；所以 正确；EM AC，BECN，EM EBE，ACCNC，所以平面CAN平面 BEM 所以 正确；故选：C11如图，|?|=|?|=?，?与?的夹角为120，?与?的夹角为30，若?=?+?（，R），则?等于（）A 32B2 33C12D2【分析】将向量?沿?与?方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后解三角形即可得到答案解：如图所示：根据平行四边形法则将向量?沿?与?方向进行分解，则由题意可得OD，CD ，COD30，

14、OCD90，RtOCD 中，sinCOD sin30=12=?=?，?=2，故选：D12设?，?为非零向量，则“存在负数，使得?=?”是“?0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】?，?为非零向量，存在负数，使得?=?，则向量?，?共线且方向相反，可得?0反之不成立，非零向量?，?的夹角为钝角，满足?0，而?=?不成立即可判断出结论解：?，?为非零向量，存在负数，使得?=?，则向量?，?共线且方向相反，可得?0反之不成立，非零向量?，?的夹角为钝角，满足?0，而?=?不成立?，?为非零向量，则“存在负数，使得?=?”是?0”的充分不必要条件故选

15、：A13一正四面体木块如图所示，点P 是棱 VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱 VB 和 AC，则下列关于截面的说法正确的是（）A满足条件的截面不存在B截面是一个梯形C截面是一个菱形D截面是一个三角形【分析】取AB 中点 D，BC 中点 E，VC 中点 F，连结 PD、DE、EF、FP，推导出截面是菱形 PDEF 解：取 AB 中点 D，BC 中点 E，VC 中点 F，连结 PD、DE、EF、FP，点 P 是棱 VA 的中点，PDVB，PD=12VB，EF VB，EF=12?，DE AC，DE=12?，PFAC，PF=12?，过点 P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和 AC，P

16、D=12?，EF=12?，DE=12?，PF=12?，PF=DE，PD=EF，四边形PDEF 是平行四边形，VB AC，PDDE，截面是菱形PDEF 故选：C14如图，A，B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB 是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为（）A4+4cosB4+4sinC2+2cosD2+2sin【分析】由题意可得AOB 2APB2，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO AB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值解：由题意可得AOB 2APB 2，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO AB，即有 QO2，Q 到线段 AB 的距离为

17、 2+2cos，AB2?2sin 4sin，扇形 AOB 的面积为12?2?4 4，ABQ 的面积为12（2+2cos）?4sin 4sin+4sin cos 4sin+2sin2，SAOQ+SBOQ4sin+2sin2-12?2?2sin2 4sin，即有阴影区域的面积的最大值为4+4sin 故选：B二、填空题：8 道小题，每小题5 分，共 40 分15如图，在复平面内，复数z对应的向量为?，则复数|z|?；z?i1+2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解：由已知图形可得，z2 i，则|z|2i|=?+(-?)?=?；z?i（2i）i1+2i故答案为：?；1+2i

18、16设向量?，?满足|?|=?，|?|=?，?与?的夹角为60，则?(?+?)=7【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可解：向量?，?满足|?|=?，|?|=?，?与?的夹角为60，则?(?+?)=?+?=4+2?12=7故答案为：717设 E 为 ABC 的边 AC 的中点，?=?+?，则 m+n-12【分析】可画出图形，根据E 为 AC 边的中点及向量减法的几何意义，向量的数乘运算即可得出?=-?+12?，然后根据平面向量基本定理即可求出m，n 的值，从而得出 m+n 的值解：如图，E 为 ABC 的边 AC 的中点，?=12?+12?=-12?+12(?-?)=-?+12?，又?=?+

19、?，?+?=-?+12=-12故答案为：-1218能说明“在ABC 中，若 sin2Asin2B，则 AB”为假命题的一组A，B 的值是A60，B30【分析】取A60，B30代入检验可得解：当 A60，B30时，sin2Asin120=32，sin2Bsin60=32，此时 sin2Asin2B/故答案为：A 60，B3019已知点P 在以原点为圆心的单位圆上，点A 的坐标为（2，0），则?的最大值为6【分析】设P（cos，sin），可得?=（2，0），?=（cos+2，sin），利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出解：设 P（cos，sin）；?=（2，0），?=（cos+2，

20、sin）则?=2（cos+2）6，当且仅当cos 1 时取等号故答案为：620表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为2【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3，构造方程，可求出直径解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由 l2 r 得 l2r，而 S r2+r?2r3 r23故 r21解得 r1，所以直径为：2故答案为：221甲、乙两楼相距?，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则乙楼的高是40m【分析】根据题意画出平面图，可以求出边长和角度，从而利用正弦定理即可求解解：如图

21、，甲楼位于点A，乙楼位于点B，其楼顶分别为D、C，则 AB=?m，ABD60，EDC30，?=?，?=?，?=?m在 CBD 中，由正弦定理得，?=?，即40 3?120=?30，BC 40m，即乙楼的高是40m故答案为：4022如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB3，AA14，M 为 AA1的中点，P 是 BC 上一点，且由点P 沿棱柱侧面经过棱CC1到 M 的最短路线长为?，设这条最短路线与CC1的交点为N，则该三棱柱的侧面展开图的对角线长为?；PC 的长为2【分析】由展开图为矩形，用勾股定理求对角线长在侧面展开图中三角形MAP是直角三角形，可以求出线段AP 的长度，进而可以求出P

22、C 的长度解：因为正三棱柱ABC A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为 4的矩形，其对角线长?+?=?；如图，将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1旋转 120使其与侧面AA1C1C 在同一平面上，点 P 运动到点 P1的位置，连接MP1，则 MP1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC1到点 M 的最短路线设 PCx，则 P1Cx，在 Rt MAP1中，由勾股定理得（3+x）2+2229求得 x2PC P1C 2；故答案为：?，2三、解答题：3 道小题，共40 分23在 ABC 中，a 3，c5，?=-12（）求b 的值；（）求sin（B+C）的值【分析】（）根据余弦定理即可求出；（）根据正弦定

23、理即可求出解：（）b2 a2+c22accosB 9+25235（-12）49，b7（）cosB=-12，B（0，）B=2?3，由正弦定理?=?，sinA=3327=3314，sin（B+C）sinA=331424如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，E，F 分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点（）求证：E，F，B，D 四点共面；（）求证：平面AMN 平面 EFDB；（）画出平面BNF 与正方体侧面的交线（需要有必要的作图说明、保留作图痕迹）【分析】（）连结B1D1，BD，推导出EFB1D1，B1D1BD，从而EF BD，由此能证明 E，F，B，D 四点共面；（）推导

24、出MN EF，AM DF，由此能证明平面AMN 平面 EFDB（）过 B 作 NF 的平行线交DA、DC 分别为 G、H，连结 NG，FH，分别交 A1A，C1C于 I，J，连结 IB，JB，即得到平面BNF 与正方体侧面的交线分别为NF、FJ、BJ、BI、IN 解：（）证明：连结B1D1，BD，正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别是 B1C1，C1D1的中点EF B1D1，B1D1BD，EFBD，E，F，B，D 四点共面；（）证明：由已知，MN 是 A1B1D1的中位线，EF 是 C1B1D1的中位线，MN B1D1，EF B1D1，MN EF，MN?平面 EFDB，EF?平面

25、EFDB，MN 平面 EFDB，?=?，四边形ADFM 是平行四边形，AM DF，AM MN M，DF EFF，平面AMN 平面 EFDB（）解：过B 作 NF 的平行线交DA、DC 分别为 G、H，连结 NG，FH，分别交A1A，C1C 于 I，J，连结 IB，JB，如图，即得到平面BNF 与正方体侧面的交线分别为NF、FJ、BJ、BI、IN 理由如下：NF A1C1AC，NF 平面 ABCD，NF?平面 BNF，设平面 ABCD 平面 BNF l，由线面平行的性质定理得NF l，过 B 作 NF 的平行线交DA，DC 分虽于 G，H，连结 NG，FH，分别交A1A，C1C 于 I，J，连结

26、 IB，JB，即可得到平面BNF 与正方体侧面的交线分别为NF、FJ、BJ、BI、IN 25在 ABC 中，已知?+(?-?)?=?（）求角B 的大小；（）若a+c 1，求 b 的取值范围；（）求sinA?sinC 的最大值【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B 的大小；（）由（）得B=?3，又 a+c 1，利用余弦定理及配方法求b2的范围，从而得到b的取值范围；（）由正弦定理可得，?=?=?=2?3，得到sinA=3?2?，sinC=3?2?，则则 sinAsinC=3?4?2，再由余弦定理及基本不等式的性质求得sinAsinC 的最大值解：（）由cos C+（cos A-?s

27、in A）cos B 0，得 cos C+（cos A-?sin A）cos B cos（A+B）+（cos A-?sin A）cos B cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB-?sinA cosBsinA sinB-?sinA cosB0由 sin A0，则有tan B=?B（0，），B=?3；（）由（）得B=?3，又 a+c1，由余弦定理得，b2a2+c22ac?cosBa2+c2ac（a+c）2 3ac13a（1a）=?(?-12)?+140a1，14?1，又 b0，解得12?1b 的取值范围是12，1）；（）由正弦定理可得，?=?=?=2?3，sinA=3?2?，sinC=3?2?，则 sinAsinC=3?4?2由余弦定理得，b2a2+c2 2ac?cosBa2+c2 ac2ac acac当且仅当ac 等号成立sinAsinC=3?4?234即 sinA?sinC 的最大值为34