2019-2020学年山东省青岛市胶州市高一下学期期中数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共8 小题）.1某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30 种、10 种、35 种、25 种不同的品牌现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是 7 种，则 n（）A100B50C20D102已知向量?=(?，?)，向量?=(?，?)，且?，则 x（）A6B2C 6D 83设 i 是虚数单位，则复数?2+?在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4在 ABC 中，a、b、c 分别是角A、B、C

2、 的对边，若?=?=?=?，则ABC 的面积为（）A2B4C?D?5已知数据x1，x2，x2020的平均数、标准差分别为?=?，?=20，数据 y1，y2，y2020的平均数、标准差分别为?，?，若 yn=?2+5（n1，2，2020），则（）A?=?，?=?B?=?，?=?C?=?，?=?D?=?，?=?6已知向量?=(?，?)，A（6，4），B（4，3），?为向量?在向量?上的投影向量，则|?|=（）A4 55B1C?D47 已知复数32i 是关于 x 的方程 2x2mx+n0的一个根，则实数 m，n 的值分别为（）A6，8B12，0C12，26D24，268在 ABC 中，若?|?|?，

3、则此三角形为（）A直角三角形B钝角三角形C锐角直角三角形D等腰三角形二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分9已知复数?=1-?（i 是虚数单位），则下列结论正确的是（）A|?|=?B复数 z 的共轭复数?=1+iC复数 z 的虚部等于1D|z2n|2n，n N*10如图，在梯形ABCD 中，ABCD，|AB|2|CD|，AD 与 BC 相交于点O，则下列结论正确的是（）A?-?=12?B?+?+?+?=?C|?+?|=?D?=23?+13?11设?为非零向量，下列有关向量?

4、|?|的描述正确的是（）A|?|?|=?B?|?|?C?|?|=?D?|?|?=|?|12在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7 天，每天新增疑似病例不超过5人”过去7 日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（）甲地：总体平均数?，且中位数为0；乙地：总体平均数为2，且标准差s 2；丙地：总体平均数?，且极差c2；丁地：众数为1，且极差 c4A甲地B乙地C丙地D丁地三、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20 分13已知 i 是虚数单位，若复数?=?-3?2+?(?)是纯虚数，则m14 若向量?，?

5、满足|?|=?，|?|=?，|?+?|=?，记?与?的夹角为，则 15某地区年龄超过40 周岁的男士的体重（单位：千克）全部介于49 千克到 99 千克之间，现从该地区年龄超过40 周岁的男士中随机抽取100 人组成一个样本进行统计将这 100名男士的体重的统计结果按如下方式分成五组：第1 组49，59），第 2 组 59，69），第 3 组69，79），第 4 组79，89），第 5 组89，99，其频率分布直方图如图所示则：（1）m；（2）以每组的中位数作为本组每人体重的估计值估算该地区年龄超过40 周岁的男士体重的平均值为（千克）16已知开始时A 轮船在 B 轮船正南6 千米处，当A 轮

6、船以2 千米/分钟的速度沿北偏东60方向直线行驶时，B 轮船同时以?千米/分钟的速度直线行驶去拦截A 轮船，则B轮船拦截所用的最短时间为分钟四、解答题：共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10 天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲：0，0，1，2，0，0，3，0，4，0；乙：2，0，2，0，2，0，2，0，2，0（1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能18在复平面内，平行四边形OABC 的顶点 O，A，C，对应复数分别为0，2+i，1+3i（1）求?，?及|?|，|?|；（2）设 OCB

7、 ，求 cos 19已知?(?4+?)=12，R（1）若向量?=(?，?)，?=(?，-?)，求?的值；（2）若向量?=(?，?+?)，?=(-?，?-?)，证明：?20在 ABC 中，若 a、b、c 分别是内角A、B、C 的对边，已知ABC 同时满足下列4个条件中的3 个：?2=12；a2+b2c2+ab0；?=?；c3（1）请指出这3 个条件，并说明理由；（2）求 sinA21一年来，某足球队的A 足球运动员每天进行距离球门20 米远的射门训练100 次，若打进球门算成功，否则算失败随机提取该球员连续20 天的成功次数统计如下：68，66，72，58，49，62，67，49，80，76，6

8、6，59，60，71，70，68，78，60，66，68（1）估计该球员一天射门成功次数的四分位数；（2）若每天A，B，C 三位球员均进行“三角战术”配合训练，要求三位球员在运动中必须保持如下规则：三人所在的位置构成ABC，?=?3，ABC 的面积?=?（平方米）求B，C 球员之间的距离的最小值（米）22如图所示，在四边形ABCD 中：?=?3，?=?，AC+BC3，ACBC，ABCD点 E 为四边形ABCD 的外接圆劣弧?（不含 C，D）上一动点（1）证明：ABBC；（2）若?=?+?(?，?)，设 DAE ，yf（），求f（）的最小值参考答案一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，

9、共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30 种、10 种、35 种、25 种不同的品牌现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是 7 种，则 n（）A100B50C20D10【分析】先根据抽取的婴幼儿奶粉的品牌数求出抽取比例，再由抽取比例求样本容量解：由题得：7?=3530+10+35+25=35100，从而 n20故选：C2已知向量?=(?，?)，向量?=(?，?)，且?，则 x（）A6B2C 6D 8【分析】由题

10、意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得x 的值解：向量?=(?，?)，向量?=(?，?)，且?，?=x+80，则 x 8，故选：D3设 i 是虚数单位，则复数?2+?在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数?2+?在复平面内所对应的点的坐标得答案解：?2+?=?(2-?)(2+?)(2-?)=15+25?，复数?2+?在复平面内所对应的点的坐标为（15，25），位于第一象限故选：A4在 ABC 中，a、b、c 分别是角A、B、C 的对边，若?=?=?=?，则ABC 的面积为（）A2B4C?D?【分析】

11、由已知结合正弦定理可求A，B，C 及 b，c，然后结合三角形的面积公式可求解：若?=?=?=?，由正弦定理可得，?=?=?，所以 sinBcosB，sinBsinC，故 BC=?4，A=12?，a2?，所以 bc2，SABC=12?=2故选：A5已知数据x1，x2，x2020的平均数、标准差分别为?=?，?=20，数据 y1，y2，y2020的平均数、标准差分别为?，?，若 yn=?2+5（n1，2，2020），则（）A?=?，?=?B?=?，?=?C?=?，?=?D?=?，?=?【分析】利用平均数、方差的性质直接求解解：数据x1，x2，x2020的平均数、标准差分别为?=?，?=20，数据

12、y1，y2，y2020的平均数、标准差分别为?，?，yn=?2+5（n 1，2，2020），?=12?+?=12?+?=50，Sy=14?=14?=10故选：D6已知向量?=(?，?)，A（6，4），B（4，3），?为向量?在向量?上的投影向量，则|?|=（）A4 55B1C?D4【分析】先求出?的坐标，然后根据向量投影的定义可得，|?|?|?|，代入即可求解解：由题意可得，?=（2，1），由向量投影的定义可得，|?|?|?|-2 1-2 1 5|=455故选：A7 已知复数32i 是关于 x 的方程 2x2mx+n0的一个根，则实数 m，n 的值分别为（）A6，8B12，0C12，26D24

13、，26【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出解：复数32i 是关于 x 的方程 2x2 mx+n0 的一个根，则复数 3+2i 也是关于x 的方程 2x2mx+n0 的一个根，32i+3+2i=?2，?2=（32i）（3+2i）13m12，n26故选：C8在 ABC 中，若?|?|?，则此三角形为（）A直角三角形B钝角三角形C锐角直角三角形D等腰三角形【分析】直接利用向量的数量积的应用和线性运算的性运算的应用判定三角形的形状解：如图所示：延长 AB 至 D在 ABC 中，若?|?|?，则?，整理得?(?-?)?，即：?，即|?|?|?，整理得：cos DBC0故?

14、2，由于 ABC+DBC ，所以?2故 ABC 为钝角三角形故选：B二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分9已知复数?=1-?（i 是虚数单位），则下列结论正确的是（）A|?|=?B复数 z 的共轭复数?=1+iC复数 z 的虚部等于1D|z2n|2n，n N*【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，然后逐一核对四个选项得答案解：?=1-?=(1-?)(-?)-?2=-?-?，|z|=?；?=-?+?；复数 z 的虚部等于 1；|z2n|（1i）2n|（2i）n|2n故选

15、：ACD 10如图，在梯形ABCD 中，ABCD，|AB|2|CD|，AD 与 BC 相交于点O，则下列结论正确的是（）A?-?=12?B?+?+?+?=?C|?+?|=?D?=23?+13?【分析】直接利用向量的线性运算的应用和向量的模的应用求出结果解：如图所示：在梯形 ABCD 中，ABCD，|AB|2|CD|，所以：对于选项A：?-?=?=12?，故选项A 正确对于选项B：利用向量的线性运算?+?+?+?=?故选项B 正确对于选项C：由于?=12，所以?+?=?，故|?+?|=|?|=?，故选项C正确对于选项D：?=23?=23(?+?)=23(?+?+12?)=?+23?，故选项 D错

16、误故选：ABC 11设?为非零向量，下列有关向量?|?|的描述正确的是（）A|?|?|=?B?|?|?C?|?|=?D?|?|?=|?|【分析】根据题意，由于?|?|=1|?|?，据此依次分析选项，综合即可得答案解：根据题意，向量?|?|=1|?|?，据此分析选项：对于 A，?|?|=1|?|?，则|?|?|=1|?|?|1，A 正确；对于 B，?|?|=1|?|?，则有?|?|?，B 正确；对于 C，?|?|=1|?|?，C 错误；对于 D，|?|?|=1|?|?|1，?|?|?=|?|?|?|?|，D 正确；故选：ABD 12在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生

17、大规模群体感染的标志为“连续7 天，每天新增疑似病例不超过5人”过去7 日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（）甲地：总体平均数?，且中位数为0；乙地：总体平均数为2，且标准差s 2；丙地：总体平均数?，且极差c2；丁地：众数为1，且极差 c4A甲地B乙地C丙地D丁地【分析】利用标准差、中位数、极差、众数的性质直接求解解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7 天，每天新增疑似病例不超过5 人”甲地：总体平均数?，且中位数为0，存在连续7 天中某一天新增疑似病例超过5 人的可能，故甲地不一定符合标准，故A 错误乙地：总体平均数为2，且标准差s

18、2，存在连续7 天中某一天新增疑似病例超过5 人的可能，例如 7 天中增增病例数为1，1，1，1，2，2，6，满足总体平均数为2，且标准差s2，故乙地不一定符合标准，故B 错误；丙地：总体平均数?，且极差c2，每天新增疑似病例没有超过5 人的可能，故丙地一定符合标准，故C 正确；丁地：众数为1，且极差 c4每天新增疑似病例没有超过5 人的可能，故丁地一定符合标准，故D 正确故选：CD三、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20 分13已知 i 是虚数单位，若复数?=?-3?2+?(?)是纯虚数，则m32【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0 且虚部不为0 列式求解解：?

19、=?-3?2+?=(?-3?)(2-?)(2+?)(2-?)=2?-35-6+?5?是纯虚数，?-?=?+?，解得 m=32故答案为：3214若向量?，?满足|?|=?，|?|=?，|?+?|=?，记?与?的夹角为，则?3【分析】对式子平方，计算?的值，再根据数量积的定义式计算cos得出答案解：|?+?|=?，?2+4?+4?221，即 1+4?+16 21，?=1，12cos 1，cos=12，又 0 ，=?3故答案为：?315某地区年龄超过40 周岁的男士的体重（单位：千克）全部介于49 千克到 99 千克之间，现从该地区年龄超过40 周岁的男士中随机抽取100 人组成一个样本进行统计将这

20、 100名男士的体重的统计结果按如下方式分成五组：第1 组49，59），第 2 组 59，69），第 3 组69，79），第 4 组79，89），第 5 组89，99，其频率分布直方图如图所示则：（1）m0.035；（2）以每组的中位数作为本组每人体重的估计值估算该地区年龄超过40 周岁的男士体重的平均值为72（千克）【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出m（2）由频率分布直方图能估算该地区年龄超过40 周岁的男士体重的平均值解：（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，得：（0.01+0.03+m+0.02+0.005）101，解得 m0.035（2）由频率分布直方

21、图估算该地区年龄超过40 周岁的男士体重的平均值为：540.1+640.3+740.35+840.2+940.0572（千克）故答案为：0.035，7216已知开始时A 轮船在 B 轮船正南6 千米处，当A 轮船以2 千米/分钟的速度沿北偏东60方向直线行驶时，B 轮船同时以?千米/分钟的速度直线行驶去拦截A 轮船，则B轮船拦截所用的最短时间为2分钟【分析】将问题抽象为解三角形问题，利用余弦定理即可得解解：设经 t 分钟后两轮船相遇于点P，则依题意，?=?，?=?，?=?，?=?，由余弦定理有，?=36+4?2-7?22 6 2?=36-3?224?，即12=12-?28?，化简得，t2+4t

22、120，解得 t2故答案为：2四、解答题：共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10 天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲：0，0，1，2，0，0，3，0，4，0；乙：2，0，2，0，2，0，2，0，2，0（1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能【分析】（1）利用众数、中位数的定义能求出结果（2）分别求出甲、乙的平均数和方差，由此得到甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0 和 2，甲的中位数等于0；乙的中位数等于：0+22=1（2）甲的平均数等于0

23、+0+1+2+0+0+3+0+4+010=?，乙的平均数等于2+0+2+0+2+0+2+0+2+010=?，甲的方差等于(0-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(0-1)2+(3-1)2+(0-1)2+(4-1)2+(0-1)210=?，乙的方差等于(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)2+(2-1)2+(0-1)210=?，所以甲的标准差等于?，乙的标准差为1，因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定18在复平面内，平行四边形OABC 的顶点 O，A，C，对应复数分别为0，2+i，1+3i（1）

24、求?，?及|?|，|?|；（2）设 OCB ，求 cos【分析】（1）由题意结合向量加法与减法运算求得?，?，再由向量模的计算公式求模；（2）求出?，?，再由数量积求夹角求解cos 解：（1）?=?+?，?所对应的复数z1（2+i）+（1+3i）1+4i，?=(?，?)，|?|=?+?=?=?-?，?所对应的复数z2（2+i）（1+3i）32i，?=(?，-?)，|?|=?+(-?)?=?；（2）由题意，?=?，?，?=?=(?，?)，?=-?=(?，-?)，?=?+?(-?)=-?，|?|=?+?=?，|?|=?+(-?)?=?=?，?=?|?|?|?|=-21019已知?(?4+?)=12

25、，R（1）若向量?=(?，?)，?=(?，-?)，求?的值；（2）若向量?=(?，?+?)，?=(-?，?-?)，证明：?【分析】（1）根据和角的正切公式计算tan ，再计算?的值；（2）根据三角恒等变换化简?2?-?2?1+?2?即可得出结论解：（1）因为?(?4+?)=?4+?1-?4?=1+?1-?=12，所以 tan=-13，所以?=?-?=?=-13（2）证明：因为?2?-?2?1+?2?=2?-?2?2?2?=2?-?2?=?-12=-56，所以 6（sin2 cos2）+5（1+cos2）0，所以?20在 ABC 中，若 a、b、c 分别是内角A、B、C 的对边，已知ABC 同时

26、满足下列4个条件中的3 个：?2=12；a2+b2c2+ab0；?=?；c3（1）请指出这3 个条件，并说明理由；（2）求 sinA【分析】（1）ABC 同时满足条件，理由如下：若ABC 同时满足 ，由?2=12，且?2(?，?2)，可得 B利用余弦定理可得?=?2+?2-?22?=-12，且 C（0，），解得 C，得出矛盾 所以 ABC 只能同时满足，经过分析从 中只能选取 即可得出（2）在 ABC 中，?=?，c3，?=?3由正弦定理及其和差公式即可得出解：（1）ABC 同时满足条件，（1 分）理由如下：若ABC 同时满足 ，因为?2=12，且?2(?，?2)，所以?2=?6，即?=?3因

27、为?=?2+?2-?22?=-12，且 C（0，），所以?=2?3所以 B+C，矛盾所以 ABC 只能同时满足，因为 bc，所以 BC，故 ABC 不满足 故 ABC 满足 ，（2）在 ABC 中，?=?，c3，?=?3又由正弦定理知：?=?，所以?=?=34又因为|?|=?，所以?(?，?2)，?=-32?所以?=?(?+?)=?(?3+?)=3274+1234=3+21821一年来，某足球队的A 足球运动员每天进行距离球门20 米远的射门训练100 次，若打进球门算成功，否则算失败随机提取该球员连续20 天的成功次数统计如下：68，66，72，58，49，62，67，49，80，76，66

28、，59，60，71，70，68，78，60，66，68（1）估计该球员一天射门成功次数的四分位数；（2）若每天A，B，C 三位球员均进行“三角战术”配合训练，要求三位球员在运动中必须保持如下规则：三人所在的位置构成ABC，?=?3，ABC 的面积?=?（平方米）求B，C 球员之间的距离的最小值（米）【分析】（1）将该球员连续20 天的成功次数从小到大排序，可得 49，49，58，59，60，60，62，66，66，66，67，68，68，68，70，71，72，76，78，80因为 25%205，50%20 10，75%20 15，根据四分位数的意义即可得出（2）设 ABC 的内角 A，B，C

29、 所对的边分别为a，b，c，可得?=?3，根据三角形面积计算公式可得：bc16利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出结论解：（1）将该球员连续20 天的成功次数从小到大排序，可得49，49，58，59，60，60，62，66，66，66，67，68，68，68，70，71，72，76，78，80因为 25%205，50%20 10，75%20 15，所以，样本数据的第2 位数等于60+602=?，第 5（0分）位数等于66+672=?.?，第 7 位数等于70+712=?.?所以该球员一天射门成功次数的第25，50，7 位数分别约为：60，66.5，70.5（2）设 ABC 的内角 A，B，C

30、 所对的边分别为a，b，c，则?=?3，因为?=12?=34?=?，所以 bc 16由余弦定理知：a2b2+c2 2bccosA所以 a2 b2+c2bc2bcbcbc16（当且仅当b c4 时等号成立）所以 a4所以 B，C 球员之间的距离的最小值是4（米）22如图所示，在四边形ABCD 中：?=?3，?=?，AC+BC3，ACBC，ABCD点 E 为四边形ABCD 的外接圆劣弧?（不含 C，D）上一动点（1）证明：ABBC；（2）若?=?+?(?，?)，设 DAE ，yf（），求f（）的最小值【分析】（1）在 ABC 中，由余弦定理知：AB2AC2+BC2 2AC?BC?cosACB，配方

31、把 AC+BC3 代入可得AC?BC2，可得 AC，BC 分别为方程x23x+20 的两根，解得AC，BC，利用勾股定理可得：AC2AB2+BC2，即可证明结论（2）由（1）可得：AC 是四边形ABCD 的外接圆的直径，AD DC进而得出：四边形AGCF为平行四边形，由?=?+?，?=?+?(?，?)，利用平面向量基本定理可得y在 ADE中，利用正弦定理知：?=?，可得?=?(5?6-?)，在 Rt ADF 中，?=?=1?，可得 f（）解：（1）在 ABC 中，由余弦定理知：AB2AC2+BC22AC?BC?cos ACB（1 分）所以 3（AC+BC）2 3AC?BC，又因为AC+BC3，

32、所以 AC?BC2所以 AC，BC 分别为方程x23x+2 0 的两根，因为 ACBC，所以 AC2，BC1所以 AC2AB2+BC2，所以 ABBC（2）解：因为ABBC，所以 AC 是四边形ABCD 的外接圆的直径，ADDC所以四边形ABCD 为矩形，连接DE，?=?=?6设 AE 交 CD 于 F，作 CG 平行于 AF 且交 AB 于 G，则四边形AGCF 为平行四边形，所以?=?+?，又因为?=?+?(?，?)，由平面向量基本定理知：?=?，所以?=?在 ADE 中，因为?=?6，DAE ，所以?=5?6-?，由正弦定理知：?=?，所以?=?(5?6-?)，在 Rt ADF 中，?=?=1?，所以?(?)=?=?=12?(5?6-?)，?(?，?3)所以?(?)=12?(5?6-?)=1?2?+3?=21+?2?+3?2?=21+2?(2?+?6)因为?(?，?3)，所以?+?6(?6，5?6)，所以?+?(?+?6)?，所以，当?=?6时，f（）取最小值，最小值为23