2020届北京市延庆区2017级高三3月模拟考试数学试卷及答案.pdf

《2020届北京市延庆区2017级高三3月模拟考试数学试卷及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届北京市延庆区2017级高三3月模拟考试数学试卷及答案.pdf（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2020 届北京市延庆区2017级高三 3 月模拟考试数学试卷2020.3 祝考试顺利本试卷共 5 页,150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将答题纸交回。第一部分（选择题,共 40 分）一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.已知复数是正实数,则实数 的值为A.B.C.D.2.已知向量若 与 方向相同,则 等于A.B.C.D.3.下列函数中最小正周期为的函数是A.B.C.D.4.下列函数中,是奇函数且在其定义域上是增函数的是A.B.C.D.5.某四棱锥的三视图所示,已知

2、该四棱锥的体积为,则它的表面积为A.8 B.12 C.D.20 6.的展开式中,的系数是A.160 B.80 C.50 D.10 7.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于A.B.C.D.8.已知直线,平面,那么“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.某企业生产两种型号的产品,每年的产量分别为万支和万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和,那么至少经过多少年后,产品的年产量会超过产品的年产量（取）A.6 年B.7 年C.8 年D.9

3、年10.已知双曲线的右焦点为,过原点的直线与双曲线交于两点,且则的面积为A.B.C.D.第二部分（非选择题,共 110 分）二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。11.已知集合,且则 的取值范围是12.经过点且与圆相切的直线的方程是13.已知函数则14.某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19 种商品,第二天售出 13 种商品,第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有3 种,后两天都售出的商品有 4 种,则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.15.在中,是边的中点.若,则的长等于；若,则的面积等于.三、解答题共 6 小题,共 8

4、5分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。16.（本小题 14 分）如图,四棱锥的底面是正方形,是的中点,平面,是棱上的一点,平面.（）求证：是的中点；（）求证：和所成角等于17.（本小题 14 分）已知数列是等差数列,是的前 项和,.（）判断是否是数列中的项,并说明理由；（）求的最值.从,中任选一个,补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。18.（本小题 14 分）三个班共有名学生,为调查他们的上网情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长,数据如下表（单位：小时）：班班班（）试估计班的学生人数；（）从这 120 名学生中任选 1 名学生,估计这名学

5、生一周上网时长超过15 小时的概率；（）从 A班抽出的 6 名学生中随机选取2 人,从 B班抽出的 7 名学生中随机选取1 人,求这 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过15 小时的概率.19.（本小题 14 分）已知函数其中（）当时,求曲线在原点处的切线方程；（）若函数在上存在最大值和最小值,求 a 的取值范围.20.（本小题 15 分）已 知 椭 圆的 左 焦 点 为且 经 过 点分别是的右顶点和上顶点,过原点的直线与交于两点（点在第一象限）,且与线段交于点.（）求椭圆的标准方程；（）若,求直线的方程；（）若的面积是的面积的倍,求直线的方程.21.（本小题 14 分）在数列中,若且则称为“

6、数列”。设为“数列”,记的前 项和为（）若,求的值；（）若,求的值；（）证明：中总有一项为或.2020 届北京市延庆区2017级高三 3 月模拟考试数学试卷参考答案一、选择题:（每小题 4 分,共 10小题,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.C 2D 3 D 4C 5.B 6B 7A 8.C 9.B 10.A 二、填空题:（每小题 5 分,共 5 小题,共 25 分）11(,3)；12.3(2)3yx；13 132；1416,29；157,42.10.考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率）,平行四边形的定义和性质（相邻内角互补）,三角形的性质

7、（余弦定理、面积公式）.15.在ACD中,sin2sin 45ACCD,在ABD中,sin1sin3ABBD,相除得：3sin35,所以72sinsin(453)10A,所以1sin422ABCSABACA.三、解答题：（共 6 小题,共 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（）联结 AC,设 AC 与 BD 交于F,联结EF,1 分因为/PA平面 BDE,平面PACI平面 BDE=EF,所以/PAEF 4 分因为ABCD是正方形,所以F是 AC 的中点所以E是 PC 的中点 6 分（）（法一）因为PO平面 ABCD,所以POBC 7 分因为ABCD是正方形,所以BCCD因为PO

8、CD OI所以BC平面 PDC 10 分所以BCPD因为PDPC因为BC PC CI所以PD平面 PBC 13分因为BE平面 PBC所以PDBE所以PD与 BE 成90 角.14 分（法二）连接 OF,因为PO平面 ABCD,所以POCD,POOF.7 分因为ABCD是正方形,所以OFCD.所以,OF OC OP两两垂直.以,OF OC OP分别为x、y、z建立空间直角坐标系Oxyz.8 分则(0,0,2)P,(0,2,0)D,(4,2,0)B,(0,1,1)E,9 分(0,2,2)PDuu u v,(3,1,1)BEu uu v,10 分0(3)(2)(1)(2)1PD BEuu u v u

9、 uu v（1 分）0 13分所以所以PD与 BE 成 90 角.14分17.解：选（）因为10816,10aa,所以3d 2 分所以187102111aad 4 分所以1(1)11(1)3naandn314n 6 分令 3142024n,则 32038n此方程无正整数解所以2024不是数列na中的项.8 分不能只看结果；某一步骤出错,即使后面步骤都对,给分不能超过全部分数的一半；只有结果,正确给 1 分.（）（法一）令0na,即 3140n,解得：142433n当5n时,0,na当4n时,0,na 11分当4n时,nS的最小值为41185226S.13 分nS无最大值 14分只给出最小值-2

10、6,未说明 n=4扣 1 分.nS无最大值 1 分（）（法二）21()325222nnn aaSnn,2514266ba 11 分当4n时,nS的最小值为43251642622S.13分nS无最大值 14分选（）10816,8aaQ,4d 2 分18782820aad 4 分1(1)20(1)4naandn424n 6 分令 4242024n,则42048n解得512n2024是数列na中的第 512 项.8分（）令0na,即 4240n,解得：6n当6n时,0,na当6n时,0,na当6n时,0,na 11 分当5n或6n时,nS的最小值为5620 16 12 8460SS.13 分nS无最

11、大值 14分选（）10816,20aaQ,2d 2 分187201434aad 4 分1(1)34(1)(2)naandn236n 6 分令2362024n,则994n（舍去）2024不是数列na中的项.8分（）令0na,即2360n,解得：18n当18n时,0,na当18n时,0,na当18n时,0,na 11分当17n或18n时,nS的最大值为171818(340)3062SS.13分nS无最小值.14分18（本小题满分 14 分）解：（）由题意知,抽出的 20 名学生中,来自A班的学生有6名根据分层抽样方法,A班的学生人数估计为61203620 3 分只有结果 36 扣 1 分（）设从选

12、出的20 名学生中任选 1 人,共有 20 种选法,4 分设此人一周上网时长超过15 小时为事件 D,其中 D包含的选法有 3+2+4=9种,6 分9()20P D.7 分由此估计从 120 名学生中任选 1 名,该生一周上网时长超过15 小时的概率为920.8 分只有结果920而无必要的文字说明和运算步骤,扣 2 分.（）设从A班抽出的 6 名学生中随机选取2 人,其中恰有(12)ii人一周上网超过 15 小时为事件iE,从B班抽出的 7 名学生中随机选取1 人,此人一周上网超过 15 小时为事件F则所求事件的概率为：211113533221216715 1811()15 735C CC C

13、 CP E FE FC CU.14 分（）另解：从A班的 6 人中随机选 2 人,有26C种选法,从 B班的 7 人中随机选 1 人,有17C种选法,故选法总数为：2167157105CC种 10分设事件“此 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过15小时”为E,则E中包含以下情况：（1）从 A班选出的 2 人超 15 小时,而 B班选出的 1人不超 15小时,（2）从 A班选出的 2 人中恰有 1 人超 15 小时,而 B班选出的 1 人超 15小时,11分所以21111353322167151811()15 735C CC C CP EC C.14分只有2111135332216715181

14、1()15 735C CC C CP EC C,而无文字说明,扣 1 分有设或答,有11()35P E,给 3 分19（本小题满分 14 分）（）解：222)1()1(2)(1xxxfa时，当.切线的斜率2)0(fk；0)0(f曲线)(xfy在原点处的切线方程为：xy2.5 分（）2222)1(2)12()1(2)(xxaaxxaxf22222222221()(1)(1)axaxaaxxaxx（）（）7 分（1）当时，0a0100)(21axaxxf；则的变化情况如下表：随、xxfxf)()(）上单调递减，）上单调递增，在（在（,11,0)(aaxf 9 分x0（0,a1）a1（，a1）)(x

15、f0)(xf12a递增)1(af递减法 1：2)1()(aafxf的最大值为 10 分,1)0()(0)(2恒成立）时，（存在最小值，则若afxfxxf1112222axaax即：xaaxaax12112222）（在),0(x恒成立,0212aa.1001,02aaa，13 分所以a的取值范围为 1,0(.14分法 2：2)1()(aafxf的最大值为；10 分当1xa时,22ax,222110axaa,0)(,xfx时；即1,0ax时,22()1,f xaa；)1，ax时,2()0f xa（，01)0()(2afxf存在最小值，则若,所以a的取值范围为 1,0(.14分用趋近说：0)(,xf

16、x时,论述不严谨,扣 1 分.（2）当时，0a0100)(21axaxxf；.则的变化情况如下表：随、xxfxf)()(x0（0,a）a（，a）)(xf-0+)(xf12a递减)(af递增）上单调递增，）上单调递减，在（在（,0)(aaxf法 1：1)()(afxf的最小值为.2()0()1,fxxfxa若存在最大值，则，）时，恒成立2222111axaax即：xaaxaax12112222）（在),0(x恒成立,101,0,02122aaaaa，.综上：a的取值范围是 1,0(1,（.法 2：1)()(afxf的最小值为；当xa时,222axa,222110axaa,0)(,xfx；（论述不

17、严谨,扣 1 分）即0,xa时,1,1)(2axf；)xa，时,)0,1)(xf01)0()(2afxf存在最大值，则若,1.a综上：a的取值范围是 1,0(1,（.20（本小题满分 15 分）12ayax1解：（）法一：依题意可得222222,211,.cababc解得222.abc，（试根法）所以椭圆的标准方程为22142xy.3 分法二：设椭圆的右焦点为1F,则1|3CF,24,2aa,2cQ,2b,所以椭圆的标准方程为22142xy.3 分（）因为点Q在第一象限,所以直线 l 的斜率存在,4分设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为ykx,设直线l 与该椭圆的交点为1122(,)

18、,(,)P xyQ xy由2224ykxxy可得22(12)40kx,5 分易知0,且1212240,12xxx xk,6 分则222212121212()()1()4PQxxyykxxx x7 分222241104431212kkkk,所以2714,22kk(负舍),所以直线 l 的方程为142yx.8分用Q到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分,设点11(,)Q x y,3,PQQ3,2OQ29,4OQ22119,4xy又221124,xyQ解得：1127,22xy所以直线 l 的方程为11yyxx,即142yx.（）设(,)mmM xy,00,Qxy,则00,Pxy,易知002x

19、,001y.由2,0A,(0,2)B,所以直线AB的方程为220 xy.9 分若使BOP的面积是BMQ的面积的4 倍,只需使得4OQMQ,10分法一：即34MQxx.11 分设直线 l 的方程为ykx,由+220ykxxy得,22(,)1212kMkk12 分由2224ykxxy得,2222(,)121 2kQkk,13 分代入可得21418 270kk,即：2779 202kk（约分后求解）解得9 2814k,所以9 2814yx.15分法二：所以444(,)333mmOQOMxyuuu vu uuu v,即44(,)33mmQxy.11 分设直线 l 的方程为ykx,由220ykxxy得,

20、22(,)1212kMkk12 分所以88(,)33 233 2kQkk,因为点Q在椭圆G上,所以2200142xy,13分代入可得21418 270kk,即：2779 202kk解得92814k,所以92814yx.15 分法三：所以00333(,)444OMOQxyuuuu vuu u v,即0033(,)44Mxy.11 分点M在线段AB上,所以0033 22044xy,整理得00823xy,12 分因为点Q在椭圆G上,所以2200142xy,把式代入式可得200912 270yy,解得02 213y.13 分于是00842233xym,所以,0092814ykx.所以,所求直线 l 的

21、方程为92814yx.15分21.解：（）当110a时,na中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,L,所以3716nSn.3 分（）若1a是奇数,则213aa是偶数,213322aaa,由317S,得1113(3)172aaa,解得15a,适合题意.若1a是偶数,不妨设*12()ak kN,则122aak.若k是偶数,则2322aka,由317S,得2172kkk,此方程无整数解；若k是奇数,则33ak,由317S,得2317kkk,此方程无整数解.综上,15a.8 分（）首先证明：一定存在某个ia,使得6ia成立.否则,对每一个*iN,都有6ia,则在ia为奇数时,必有232iiiaaa；在ia为偶数时,有232iiiaaa,或24iiiaaa.因此,若对每一个*iN,都有6ia,则135,aaaL单调递减,注意到*naN,显然这一过程不可能无限进行下去,所以必定存在某个ia,使得6ia成立.经检验,当2ia,或4ia,或5ia时,na中出现1；当6ia时,na中出现3,综上,na中总有一项为1或3.14 分2020 届北京市延庆区 2017 级高三 3 月模拟考试数学试卷