2020届江苏省南京市中华中学高三下学期阶段考试数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 28 页2020 届江苏省南京市中华中学高三下学期阶段考试数学试题一、填空题1集合230,lg 2Ax xxBx yx，则ABI_.（用区间表示）【答案】0,2【解析】化简集合,A B，根据交集运算，即可求得答案.【详解】Q230,Ax xx300,3Ax xxQlg 2Bx yx20,2Bxx0,2ABI故答案为：0,2.【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2某中学有高一学生400 人，高二学生300 人，高三学生500 人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120 人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为_.【答案】

2、50人【解析】先计算出三个年级的总人数为4003005001200，根据比例即可计算出高三年级应该抽取的人数，即可求得答案.【详解】总体人数为：4003005001200人从高三抽取的人数应为：500120501200从高三抽取的人数应为50人故答案为：50人.【点睛】本题考查了分层抽样，解题关键是掌握分层抽样的定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.第 2 页 共 28 页3已知i为虚数单位，,a bR，复数12iiabii，则abi_.【答案】1255i【解析】根据复数除法运算，根据复数相等，即可求得答案.【详解】由12iiabii，得(1)(2)1312(2)(2)555iiiabi

3、iiiii，1255abii故答案为：1255i.【点睛】本题主要考查了复数除法运算，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4有四条线段其长度分别为2，3，5，7.从中任取3 条，能构成三角形的概率为_.【答案】14【解析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率【详解】从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7 共 4 种，其中构成三角形的有3，5，7 共 1 种，则P(构成三角形)14能构成三角形的概率为：14.故答案为：14.【点睛】本题主要考查了构成三角形概率问题，解题

4、关键是掌握概率的基础知识，考查了分析能第 3 页 共 28 页力和计算能力，属于基础题.5如图，程序执行后输出的结果为_.【答案】64【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量P的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】第一次执行循环体后，1 011 23PI，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，1 34325PI，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，459527PI，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，9716729PI，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，169259211PI，不满足退出循环的条件，再次执行

5、循环体后，25 113611213PI，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，36 134913215PI，不满足退出循环的条件，再次执行循环体后，49 156415217PI，满足退出循环的条件，故输出的P值为64第 4 页 共 28 页故答案为：64.【点睛】本题主要考查了根据利用循环结构计算并输出结果，解题关键是掌握框图基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6设221,026,0 xxxfxxx，若2ft，则实数t的取值范围是_【答案】0t或3t【解析】当0t时，由()2f t得，22120ttt，即22300ttt，解得3t；当0t时，由()2f t得，2620tt，解得0

6、t。综上实数t的取值范围是0t或3t。答案：0t或3t。7中国古代数学著作算法统宗中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为_.【答案】96里.【解析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列，设出第一天行走的里程，即可由等比数列的前n项和公式，求得首项.即可求得第二天行走的路程里数.【详解】由题意可知此人行走的里程数为等比数列设第一天行走的路程为m,且等比数列的公比为

7、12q则由等比数列的前n项和公式111nnaqSq代入可得6112378112m解得192m根据等比数列的通项公式11nnaa q代入可得21192962a故答案为：96里.【点睛】第 5 页 共 28 页本题考查了求等比数列通项公式及前n项和公式的实际应用，解题关键是掌握等比数列基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8已知圆C：22240 xyxy关于直线32110 xay对称，则圆C 中以,22aa为中点的弦的长度为_.【答案】4【解析】圆22:240Cxyxy关于直线32110 xay对称，即说明直线32110 xay圆心12，即可求出2a，即可求得答案.【详解】Q圆 C：22

8、240 xyxy关于直线32110 xay对称可知直线过圆心12，即34110a，2a故,(1,1)22aa圆方程配方得22(1)(2)5xy，(1,1)与圆心距离为1，弦长为2 5 14故答案为：4.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题.9已知1cos()33x，则2cos(2)sin()33xx的值为 _.【答案】53【解析】根据1cos()33x的值，分别求出2cos(2)sin()33xx、的值，再求和即可.【详解】解：因为1cos()33x，所以第 6 页 共 28 页22217cos(2)cos(2)cos2()12cos()12()333339x

9、xxx，222218sin()1cos()1cos()1()33339xxx，则2785cos(2)sin()33993xx，故答案为53.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，重点考查了角的拼凑，属中档题.10在直三棱柱111ABCA B C中，90BAC且3AB,14BB，设其外接球的球心为O，且球O的表面积为28，则ABC的面积为 _.【答案】3 32【解析】先计算球的半径为7，确定球心为HG的中点，根据边角关系得到3AC，计算面积得到答案.【详解】球O的表面积为24287RR如图所示：,H G为11,BC B C中点，连接HG90BAC，故三角形的外心在BC中点上，故外接球的球心为HG的

10、中点.在Rt OGC中：112,72OGBBOCR，故3CG；在Rt ABC中：22 3BCCG，3AB，故3AC，故3 32ABCS故答案为：3 32第 7 页 共 28 页【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.11已知函数sin01fxxx，若ab1，且f af b，则41ab的最小值为 _【答案】9【解析】由条件知函数sin01fxxx，f af b，则两者是轴对称的关系，故得到1abab，41414()()5549.baabababab等号成立的条件为：4,2.baabab故答案为9.12在梯形ABCD中，3ABDCuuu ruuu r，若8,6,3AD B

11、DAC BCABuuu r uu u ru uu r u uu r，则AC BDuuu ruu u r_.【答案】5【解析】根据题意画出图象，因为ACADDCuuu ruu u ruuu r，3BDADABADDCuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，BCADAMuuu ruuu ruuuu r，可得(3)AB BDADADDCuuu r uu u ruu u ruu u ruuu r，()(2)AC BCADDCADDCuuu r uuu ru uu ru uu ru uu ruuu r，结合已知，即可求得答案.【详解】根据题意画出图象：第 8 页 共 28 页Q3ABDCuu

12、u ruuu r，3AB1DCu uu r选,AD DCuuu r uuu r为基底向量QACADDCuuu ruuu ruu u r3BDADABADDCuuu ru uu ruuu ruuu ruu ur在AB线段上去点M,使23AMAB223BCADAMADABADDCuuu ruuu ruuuu ruuu ruu u ruuu ruuu r(3)AB BDADADDCu uu r uuu ruuu ruuu ruuu r238ADAD DCuuu ruuu r uuu r()(2)AC BCADDCADDCuuu r uuu ru uu ru uu ru uu ruuu r2222AD

13、AD DCAD DCDCuuu ruuu r uuu ru uu r uu u ruuu r2226ADAD DCDCuuu ruuu ru uu ruuu r28ADAD DCuuu ruuu r uuu r 由 可得：0AD DCuuu r uuu r，28ADuuu r()(3)AC BDADDCADDCuuu r uuu ru uu ruuu ruu u ru uu r2233ADAD DCAD DCDCuuu ru uu r uuu ruu u r u uu ruuu r223ADDCuuu ruuu r835故答案为：5.【点睛】本题主要考查了向量表示和向量数量积运算，解题关键是掌

14、握向量基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.第 9 页 共 28 页13在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C：22221xyab（0,0ab）的左焦点为 F，点 B 的坐标为0,b，若直线 BF 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P，Q 两点，且5PBBQuuu ruu u r，则双曲线C 的离心率为 _.【答案】32【解析】将直线BF与双曲线渐近线联立，可求得x的值；利用5PBBQuu u ruuu r可得5PQxx，将x的值代入，可得320ac，从而求得离心率.【详解】Q双曲线 C：22221xyab（0,0ab）的左焦点为F，点B的坐标为0,b，,0Fc，0,Bb则直线BF方

15、程为1xycb又双曲线C渐近线方程为byxa由1xycbbyxa可解得：acxca或acxac由5PBBQuuu ruu u r可知，5PQxx由题可知：Pacxca，Qacxac，则5acaccaac化简得320ac，32cea故答案为：32.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键在于能够通过向量的关系得到,a c的齐次方程，通第 10 页 共 28 页过方程求得离心率，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14已知若函数20,01,93,1xfxxx，lng xx，若函数(0yfxg xm x)恰有两个不相等的零点，则实数m的取值范围为_.【答案】(ln 33,0)5,)U【解析】根据函

16、数与方程的关系转化为()()g xmf x，构造函数h xfx和()()m xg xm，利用数形结合转化两个函数有两个不同的交点即可得到结论【详解】由()()0yf xg xm得()()g xmfx，设22016()()13123xxh xf xxxx设()()|ln|m xg xmxm作出()h x和()m x 的图象如图：(1)mm当0m时，即0m时，(3)ln 3m，此时(3)3(3)hm，即此时两个函数有3个交点，不满足条件当0m时，即0m时，要使两个函数有两个交点，则此时只需要满足(3)ln3(3)3mmh，即ln33m此时ln330m当0m时，即0m时，此时01x当时，两个函数一定

17、有一个交点，则此时只要在1x时有一个交点即可，第 11 页 共 28 页此时当1,(1)5,(1)xfmm此时只要满足(1)5mm，即5m即可，综上所述，实数m的取值范围是5m或ln330m故答案为：(ln 33,0)5,)U.【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握零点定义和根据零点求参的方法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于难题.二、解答题15已知ABC的内角,A B C所对的边分别是,a b c,且3 cossin3cAaCc.(1)求角A的大小;(2)若5,3ABCbcSV,求a的值.【答案】（1）3A（2）13a【解析】(1)由3 cossin3cAaCc,得

18、3sin cossin sin3sinCAACC,sin0C,3cossin3AA,312cossin2sin3223AAA,3sin32A,4,333A,233A,即3A.(2)由1133sinsin2234ABCSbcAbcbcV,得4bc,第 12 页 共 28 页2222cos3abcbc=22253 413bcbcbc,13a.16如图，已知四棱锥SABCD 的底面ABCD是平行四边形，侧面SAB是正三角形，,P Q分别为SA，SD的中点，且ADSD.求证：（1）/PQ平面SBC；（2）SABD.【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析【解析】（1）要证/PQ平面SBC，只需证/P

19、QBC，即可求得答案；（2）要证SABD，只需证SA面DBP，即可求得答案.【详解】（1）Q,P Q分别为SA，SD的中点/PQADQ底面ABCD是平行四边形/PQBCBC平面SBC；/PQ平面SBC；（2）连接,DP BPQADSD,且P是SA中点，SADP又QSAB是正三角形SAPBSA面DBP由DB面DBP故SABD第 13 页 共 28 页【点睛】本题主要考查了求证线面平行和异面直线垂直，解题关键是掌握线线垂直转化为线面垂直的证明，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17如图，已知一张半径为1m 的圆形薄铁皮（O为圆心，厚度忽略不计），从中裁剪一块扇形（图中阴影部分）用作某圆锥形容器

20、的侧面.（1）若所裁剪的扇形的圆心角为23，求圆锥形容器的体积；（2）试问裁剪的扇形的圆心角为多少时，圆锥形容器的体积最大？并求出最大值.【答案】（1）32 281m.（2）裁剪的扇形的圆心角为4 33时，圆锥形容器的体积最大,最大值为2 327【解析】（1）设圆锥筒的半径为r，容积为V，因为所裁剪的扇形铁皮的圆心角为23rad，所以223r，解得13r，即可求得答案；（2）求出圆锥体积关于高h的关系式，即31,01,3Vhhh根据导数求其最值，即可求得答案；【详解】（1）设圆锥筒的半径为r，容积为V，Q所裁剪的扇形铁皮的圆心角为23rad，223r，解得13r22 213hr21112 23

21、333VSH第 14 页 共 28 页圆锥筒的容积为32 281m（2）Q21,01rhh221111333VShr hhh313hh31,01,3Vhhh2113,013Vhh令0V，得33h，(舍负值)，列表如下：h30,3333,13V0V极大值当33h时，V 取极大值，即最大值，且最大值为2 327当33h时，V 圆锥筒的容积最大，最大值为2 327当33h，母线长为 1m,可得圆锥筒的半径为22 313rh裁剪的扇形面积为：2 33Srl根据扇形面积计算公式：212SR故问裁剪的扇形的圆心角为4 33第 15 页 共 28 页裁剪的扇形的圆心角为4 33时，圆锥形容器的体积最大,最大

22、值为2 327【点睛】本题解题关键是掌握扇形面积公式和根据导数求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18 已知椭圆222:122xyCaa的右焦点为F，P是椭圆C上一点，PFx轴，22PF.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且2OM，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22182xy；（2）2.【解析】（1）设椭圆C的焦距为20c c，可得出点2,2c在椭圆C上，将这个点的坐标代入椭圆C的方程可得出2234ca，结合222ac可求出a的值，从而可得出椭圆C的标准方程；（2）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，

23、在ABx轴时，可得出6AB，从而求出AOB 的面积；在直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykxt，设点11,A x y、22,B xy，将直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合2OM，得出22222 141 16ktk，计算出AB与AOB 的高，可得出AOB 面积的表达式，然后可利用二次函数的基本性质求出AOB 面积的最大值.【详解】（1）设椭圆C的焦距为20c c，由题知，点2,2Pc，2b，则有2222212ca，2234ca，又22222abcc，28a，26c，第 16 页 共 28 页因此，椭圆C的标准方程为22182xy；（2）当ABx轴时，M位于x轴上，且OMAB，由

24、2OM可得6AB，此时132AOBSOMAB；当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为ykxt，与椭圆交于11,A x y，22,B xy，由22182xyykxt，得222148480kxktxt.122814ktxxk，21224814tx xk，从而224,1414kttMkk已知2OM，可得22222 141 16ktk.22222212122284814141414kttABkxxx xkkkQ2222216 82114ktkk.设O到直线AB的距离为d，则2221tdk，2222222216 82114114AOBkttSkkk.将22222 141 16ktk代入化简得222221

25、92411 16AOBkkSk.令21 16kp，则22222211211192414116AOBppkkSpk211433433p.当且仅当3p时取等号，此时AOB 的面积最大，最大值为2.综上：AOB 的面积最大，最大值为2.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，一第 17 页 共 28 页般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，同时在计算最值时，常用函数的基本性质以及基本不等式进行求解，考查运算求解能力，属于难题.19设函数()()2lnaafxxxaRx-=+-?.(1)讨论函数fx的单调性；(2)当1a时，记g xxfx，

26、是否存在整数t，使得关于x的不等式()tg x3有解？若存在，请求出t的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)当0a时，函数fx的单调减区间是0,a；单调增区间是,a；当01a时，函数fx的单调增区间是0,；无单调减区间；当1a时，函数fx的单调减区间是0,1a；单调增区间是1,a.(2)存在整数t满足题意，且t的最小值为0.【解析】试题分析：本题考查用导数讨论函数的单调性和用导数解决函数中的能成立问题.（1）求导后根据导函数的符号判断函数的单调性.（2）由题意只需求出函数g x的最小值即可，根据函数的单调性求解即可.试题解析：由题意得函数的定义域为0,.2lnaafxxxx，22222

27、111xaxaaaxxaafxxxxx，当0a时，则当0,xa时，0fx，fx单调递减；当,xa时，0fx，fx单调递增.当01a时，0fx恒成立，0,fx 在上单调递增.当1a时，则当0,1xa时，0fx，fx单调递减；当1,xa时，0fx，fx单调递增.第 18 页 共 28 页综上，当0a时，0,fxa在上单调递减，在,a上单调递增；当01a时，函数0,fx 在上单调递增；当1a时，0,1fxa在上单调递减，在1,a上单调递增.(2)当1a时，2lng xxfxxx x，2ln1gxxx，函数gx单调递增，又12ln202g，14ln6063g，所以存在唯一的01 1,6 2x，使得00

28、02ln10gxxx，且当00,xx时，0gx，g x单调递减；当0,xx时，0gx，g x单调递增，所以222000000000minln21g xg xxxxxxxxx，设200001 1,6 2xxxx，则0 x在1 1,6 2上单调递减，所以01126g x，即037436g x.若关于x的不等式tg x有解，则34t，又t为整数，所以0t.所以存在整数t满足题意，且t的最小值为0.点睛：（1）()tf x能成立等价于min()tf x；()tf x能成立等价于max()tf x.（2）对于导函数的零点存在但不可求的问题，可根据零点存在定理确定出零点所在的区间，在求函数的最值时可利用整

29、体代换的方法求解，这是在用导数解决函数问题中常见的一种类型.20对于*,nN若数列nx满足11,nnxx则称这个数列为“K数列”.第 19 页 共 28 页（1）已知数列1,21,mm是“K数列”,求实数m的取值范围;（2）是否存在首项为1的等差数列na为“K数列”,且其前n项和nS使得212nSnn恒成立?若存在,求出na的通项公式;若不存在,请说明理由;（3）已知各项均为正整数的等比数列na是“K数列”,数列12na不是“K数列”,若1,1nnabn试判断数列nb是否为“K数列”,并说明理由.【答案】（1）2m；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“K数列

30、”，只需2111,11,mmm同时满足，解不等式可解m 范围（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差1d，即12nn nSnd1,矛盾（3）设数列na的公比为,q则11nnaa q，*naN，满足“K数列”，即1110,nnnnnaaa qaaq只需最小项211,aa即1111,?2naqa不是“K数列”,且211122aa为最小项,所以21111,22aa即112aq,所以只能112,a q只有解11,3aq或12,2.aq分两类讨论数列nb试题解析：（）由题意得111,m211,mm解得2,m所以实数m的取值范围是2.m（假设存在等差数列na符合要求,设公差为,d则1,d由11,a得1,

31、2nn nSnd第 20 页 共 28 页由题意,得21122n nndnn对*nN均成立,即1.ndn 当1n时,;dR 当1n时,1ndn因为111,11nnn所以1,d与1d矛盾,所以这样的等差数列不存在.（）设数列na的公比为,q则11,nnaa q因为na的每一项均为正整数,且1110,nnnnnaaa qaaq所以在1nnaa中,“21aa”为最小项.同理,11122nnaa中,“211122aa”为最小项.由na为“K数列”,只需211,aa即111,aq又因为12na不是“K数列”,且211122aa为最小项,所以21111,22aa即112aq,由数列na的每一项均为正整数,

32、可得112,a q所以11,3aq或12,2.aq 当11,3aq时,13,nna则3,1nnbn令*1,nnncbbnN则第 21 页 共 28 页133213,2112nnnnncnnnn又12321332312nnnnnnnn234860,213nnnnnn所以nc为递增数列,即121,nnncccc所以213331,22bb所以对于任意的*,nN都有11,nnbb即数列nb为“K数列”.当12,2aq时,2,nna则12.1nnbn因为2121,3bb所以数列nb不是“K数列”.综上:当11,3aq时,数列nb为“K数列”,当12,2aq时,2,nna数列nb不是“K数列”.【点睛】对

33、于新定义的题型一定要紧扣题目中的定义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键 另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数21已知矩阵若12,10acbdMN，若1001MN，求abcd，的值.【答案】2a,0b,1c,1d【解析】根据矩阵乘法运算，即可求得答案.【详解】第 22 页 共 28 页Q12,10acbdMN10011210abdMNc可得221001cadcbbd120021cadcbbd，解得2011abcd2a,0b,1c,1d【点睛】本题主要考查了矩阵运算，解题关键是掌握矩阵基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

34、22在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为31xtyt(t为参数)，曲线C的极坐标方程是2cos2sin.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于,A B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为2 3,6，求PM的值.【答案】(1)31yx=+22xy(2)1?03【解析】试题分析：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及应用.（1）把参数方程消去参数，根据转化公式求解即可.（2）由直线方程和抛物线方程可得点A,B的坐标，进而得到点M的坐标，把点P的极坐标化为直角坐标可得所求

35、距离.试题解析：(1)由31xtyt消去参数得31yx，由曲线C的极坐标方程2cos2sin，得22cos2 sin，第 23 页 共 28 页所以曲线C的直角坐标方程为22xy.(2)由2312yxxy消去y整理得2620 xx，设11,A x y，22,B xy，00,Mxy，则126xx，12032xxx，003110yx，所以3,10M，点P的极坐标为2 3,6，点P的直角坐标为3,3.PM103.即PM的值为103.23如图，直三棱柱111ABCA B C中，底面是等腰直角三角形，2ABBC，13BB，D为11A C的中点，F在线段1AA上.（1）AF为何值时，CF平面1B DF？（

36、2）设1AF，求平面1B CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）1AF或2时，证明见解析；（2）3015第 24 页 共 28 页【解析】（1）建立空间直角坐标系，讨论1CFB F的坐标表示即可求解；（2）求出两个半平面的法向量，求出法向量的夹角即可得解.【详解】（1）因为直三棱柱111ABCA B C中，1BB面ABC，2ABC.以B点为原点，BA、BC、1BB分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.因为2AC，90ABC，所以2ABBC，2,0,0从而，(0,0,0)B，(2,0,0)A，(0,2,0)C，1(0,0,3)B，1(2,0,3)A A，(0,2,3)C，

37、22,322D，230,22E.所以1(2,2,3)CAuu u r，设AFx，则(2,0,)Fx，(2,2,)CFxu uu r，1(2,0,3)B Fxuuu u r，122,022B Du uu u r11 10CF B Du uu r u uu u r，所以1CFB Duuu ru uuu r要使CF平面1B DF，只需1CFB F.由1230CF B Fx xuuu r uuu u r，得1x或2x，故当1AF或2时，CF平面1B DF；（2）由（1）知平面ABC的法向量为0,0,1mu r.设平面1B CF的法向量为,nx y zr，则100n CFn y B Fuuu vvuu

38、uu vv v得220220 xyzxz，令1z得32,2,12nr，所以平面1B CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值30cos,15m nu r r.第 25 页 共 28 页【点睛】此题考查利用空间向量的方法解决垂直问题，求二面角的大小，关键在于合理建立坐标系，准确计算.24 已知点P为抛物线22xy上异于坐标原点O的任一点，F为抛物线焦点，过点P作抛物线的切线l与y轴交于点M，直线PF交抛物线于点Q.（1）若点P的横坐标为2，求点M到直线PQ的距离；（2）求PQM面积的最小值，并写出此时切线l的方程.【答案】（1）2.（2）4 39【解析】（1）因为22xy，根据点P的横坐标为2，可

39、得2,2P，由212yx，故yx可得22xy，求得切线l的方程为：22yx，求出PQ直线方程，根据点到直线距离公式，即可求得答案；（2）由直线FP过点2(0)1F，设直线FP的方程为12ykx联立直线FP的方程和抛物线2212xyykx，消掉y，可得：2210 xkx，由韦达定理，得1PQxx，结合已知，即可求得答案.第 26 页 共 28 页【详解】（1）Q22xy点P的横坐标为2，可得2,2P可得212yx，故yx22xy切线l的方程为：224yx即22yxQ切线l与y轴交于点M0,2M由抛物线22xy，可得其焦点坐标为：1(0,)2FQ2,2P,1(0,)2F可得PQ直线方程为：3142

40、yx即3420 xy+=根据点到直线距离公式，可得点M到PQ直线方程距离为：222204221023434点M到直线PQ的距离2（2）由直线FP过点2(0)1F，设直线FP的方程为12ykx联立直线FP的方程和抛物线2212xyykx，消掉y可得：2210 xkx由韦达定理，得1PQxx不妨设0t第 27 页 共 28 页设2,2tP t，可得1Qt x，故1QxtQ22xy可得212yx，故yxxtyt切线l的方程为：22tyt xtQ切线l与y轴交于点M220,Mt2111+2221+2MPPQQPtSMxxtt231111+2+441+tttttt令3211+4ftttt4222211113232=44tfttttt222131=41ttt当303t时，0ft，f t为减函数当33t时，0ft，f t为增函数当0t时，函数在33t时取最小值34 339fPQM面积的最小值为4 39当0t时，由抛物线22xy图象关于y对称，PQM面积的最小值与0t相同第 28 页 共 28 页综上所述，PQM面积的最小值为4 39【点睛】本题主要考查了抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握导数求最值的方法和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.