2020年北京市西城区高考数学二模试卷(解析版).pdf

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1、2020 年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10 小题）.1设全集UR，集合 Ax|x2，Bx|x1，则集合（?UA）B（）A（，2）B2，+）C（1，2）D（，1）2，+）2设复数z1+i，则?2（）A 2iB2iC22iD2+2i3焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4 的抛物线的标准方程是（）Ax24yBy24xCx28yDy28x4在锐角 ABC 中，若 a2，b3，A=?6，则 cosB（）A34B 34C 74D3 345函数 f（x）x-1?是（）A奇函数，且值域为（0，+）B奇函数，且值域为RC偶函数，且值域为（0，+）D偶函数，且值域为R6圆 x2+y2+4

2、x2y+10 截 x 轴所得弦的长度等于（）A2B2?C2?D47设 a，b，c 为非零实数，且ab c，则（）Aabb cB1?1?1?Ca+b2cD以上三个选项都不对8设向量?，?满足|?|?|1，?=12，则|?+x?|（x R）的最小值为（）A 52B 32C1D?9设an为等比数列，则“对于任意的m N*，am+2am”是“an为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目 图1 的?ABCD

3、 由六个正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体形状的香囊那么在图2 这个六面体中，棱AB 与 CD 所在直线的位置关系为（）A平行B相交C异面且垂直D异面且不垂直二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分.11在（1+5x）6的展开式中，x 的系数为12在等差数列an中，若a1+a216，a51，则 a1；使得数列 an前 n 项的和Sn取到最大值的n13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为14能说明“若m（n+2）0，则方程?2?+?2?+2=1 表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组 m，n 的值是15已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）2

4、f（x），且当x（0，2时，f（x）2x3有以下三个结论：f（1）=-12；当 a（14，12时，方程f（x）a 在区间 4，4上有三个不同的实根；函数 f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点b Z其中，所有正确结论的序号是三、解答题：本大题共6 小题，共 85 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1底面 ABC，ACBC，D 是 A1C1的中点，且ACBCAA12（）求证：BC1平面 AB1D；（）求直线BC 与平面 AB1D 所成角的正弦值17已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0?2）同时满足下列四个条件中的三个：最小正

5、周期为；最大值为2；f（0）1；f（-?6）0（）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（）求函数f（x）的单调递增区间18随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔其中，小型视频会议软件格外受人青睐 根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6 名的依次为A，B，C，D，E，F在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6 款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t=?，当 t0.9 时，称该款软件为“有效下载软件”调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率（）在这6

6、 款软件中任取1 款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（）从这6 款软件中随机抽取4 款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求 X 的分布列与数学期望；（）将（）中概率值记为x%对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由19设函数f（x）axlnx，其中 a R，曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线经过点（3，2）（）求a 的值；（）求函数f（x）的极值；（）证明：f（x）?-2?20已知椭圆E：?2?2+?2?2=1（ab0）经过点 C（0，1），离心率为 32O 为坐标原点（）求椭圆E 的方程；（）设A，B 分别为椭圆E 的左、

7、右顶点，D 为椭圆 E 上一点（不在坐标轴上），直线 CD 交 x 轴于点 P，Q 为直线 AD 上一点，且?=4，求证：C，B，Q 三点共线21如图，表 1 是一个由4020 个非负实数组成的40 行 20 列的数表，其中 am，n（m 1，2，40；n1，2，20）表示位于第m 行第 n 列的数将表1 中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即bi，jbi+1，j，其中 i 1，2，39；j1，2，20）表 1a1，1a1，2a1，20a2，1a2，2a2，20a40，1a40，2a40，20表 2 b1，1b1，2b1，20b2，1b2，2b

8、2，20b40，1b40，2b40，20（）判断是否存在表1，使得表2 中的 bi，j（i1，2，40；j1，2，20）等于 100i j？等于 i+2j呢？（结论不需要证明）（）如果 b40，20 1，且对于任意的i1，2，39；j 1，2，20，都有 bi，j bi+1，j1 成立，对于任意的m 1，2，40；n1，2，19，都有 bm，nbm，n+1 2 成立，证明：b1，178；（）若ai，1+ai，2+ai，2019（i 1，2，40），求最小的正整数k，使得任给ik，都有 bi，1+bi，2+bi，2019 成立参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分.在

9、每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1设全集UR，集合 Ax|x2，Bx|x1，则集合（?UA）B（）A（，2）B2，+）C（1，2）D（，1）2，+）【分析】进行补集和并集的运算即可解：UR，Ax|x2，Bx|x1，?UAx|x2，（?UA）B（，1）2，+）故选：D2设复数z1+i，则?2（）A 2iB2iC22iD2+2i【分析】由z 求得?，利用两数和的平方公式展开即可得出解：z1+i，?2（1i）2 2i故选：A3焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4 的抛物线的标准方程是（）Ax24yBy24xCx28yDy28x【分析】根据题意，设要求抛物线的标准方程为y22

10、px，结合抛物线的几何性质可得p的值，代入抛物线的标准方程即可得答案解：根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为y22px，又由焦点到准线的距离为4，即 p 4，故要求抛物线的标准方程为y28x，故选：D4在锐角 ABC 中，若 a2，b3，A=?6，则 cosB（）A34B 34C 74D3 34【分析】由已知利用正弦定理可求sinB 的值，结合 B 为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cosB 的值解：在锐角ABC 中，若 a2，b3，A=?6，由正弦定理?=?，可得 sinB=?=3122=34，由 B 为锐角，可得cosB=?-?=74故选：C5函数 f（x）

11、x-1?是（）A奇函数，且值域为（0，+）B奇函数，且值域为RC偶函数，且值域为（0，+）D偶函数，且值域为R【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（x）f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（，0）和（0，+）上都是增函数，且f（1）f（1）0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案解：根据题意，函数 f（x）x-1?，其定义域为 x|x0，有 f（x）（x）（1-?）（x-1?）f（x），即函数 f（x）为奇函数，其导数 f（x）1+1?2，在区间（，0）和（0，+）上都是增函数，且f（1）f（1）0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B6圆

12、x2+y2+4x2y+10 截 x 轴所得弦的长度等于（）A2B2?C2?D4【分析】首先令y0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长解：令 y0，则圆的方程转换为x2+4x+1 0，所以 x1+x2 4，x1x21，所以?|=|?-?|=(?+?)?-?=?故选：B7设 a，b，c 为非零实数，且ab c，则（）Aabb cB1?1?1?Ca+b2cD以上三个选项都不对【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果解：设 a，b，c 为非零实数，且ab c，所以对于选项A：当 a3，b 2，c1 时，abbc1，故错误对于选项B：当 a0，b 1，c 2 时，1?无意义，故错误对于选项C：由于

13、ac，bc，所以 a+b2c，故正确对于选项D：由于 C 正确，所以选项D 错误故选：C8设向量?，?满足|?|?|1，?=12，则|?+x?|（x R）的最小值为（）A 52B32C1D?【分析】两边平方，得出|?+x?|2关于 x 的二次函数，从而得出最小值解：|?+x?|2=?+2x?+x2?=x2+x+1（x+12）2+34，当 x=-12时，|?+x?|取得最小值 34=32故选：B9设an为等比数列，则“对于任意的m N*，am+2am”是“an为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】对于任意的m N*，am+2am，即 a

14、m（q21）0 可得：?-?，?-?，任意的 m N*，解出即可判断出结论解：对于任意的m N*，am+2am，即 am（q2 1）0?-?，?-?，任意的m N*，?，或?“an为递增数列”，反之也成立“对于任意的m N*，am+2am”是“an为递增数列”的充要条件故选：C10佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目 图1 的?ABCD 由六个正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体形状的香囊那么在图2 这个六面体中，棱AB 与 CD 所在直线的位置关系为（）A平行B相交

15、C异面且垂直D异面且不垂直【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD 的位置关系解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且 AB 与 CD 相交，且B，C 两点重合，故选：B二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分.11在（1+5x）6的展开式中，x 的系数为30【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求x 的系数，只要使得展开式中x 的指数是1，求得 r，代入数值求出x 的系数解：展开式的通项公式为：Tr+1=?16r?（5x）r5r?xr；令 x 的指数为1，即 r1；x2的系数为：5C

16、6130；故答案为：3012在等差数列an中，若a1+a216，a51，则 a19；使得数列 an前 n 项的和Sn取到最大值的n5【分析】设等差数列 an的公差为d，由 a1+a2 16，a51，可得 2a1+d16，a1+4d1，解得：a1，d可得 an令 an0，解得 n 即可得出解：设等差数列an的公差为d，a1+a216，a5 1，2a1+d16，a1+4d1，解得：a19，d 2an92（n1）11 2n令 an112n0，解得 n112=5+12使得数列 an前 n 项的和 Sn取到最大值的n5故答案为：9，513某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为4+4?【分析】首先

17、把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2，高为 2 的正四棱锥体如图所示：所以?=?+?12?+?=4+4?故答案为：4+4?14能说明“若m（n+2）0，则方程?2?+?2?+2=1 表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组 m，n 的值是答案不唯一，m4，n 2【分析】由题意可得满足mn+20 或者 m0，n+20 即可，任意取满足m，n 的值即可解：则方程?2?+?2?+2=1 表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n 的值为：满足 mn+2 0 即可，可取m4，n2，故答案为：m 4，n215已知函数f（x）的定义域

18、为R，满足f（x+2）2f（x），且当x（0，2时，f（x）2x3有以下三个结论：f（1）=-12；当 a（14，12时，方程f（x）a 在区间 4，4上有三个不同的实根；函数 f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点b Z其中，所有正确结论的序号是【分析】由题意可得函数f（x）的大致图象，可判断出所给命题的真假解：因为函数f（x）的定义域为R，满足 f（x+2）2f（x），x（0，2时，f（x）2x3，所以 f（1）=12f（1+2）=12f（1）=12?（213）=-12；所以 正确；f（x）的大致图象如图所示可得当a（14，12时，方程f（x）a 在区间 4，4上有三个不同的实根；所以 正

19、确因为 x（0，2时，f（x）2x30 时，x log23，又因为f（x+2）2f（x），所以函数f（x）由无数个零点，但没有整数零点，所以 不正确；故答案为：三、解答题：本大题共6 小题，共 85 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1底面 ABC，ACBC，D 是 A1C1的中点，且ACBCAA12（）求证：BC1平面 AB1D；（）求直线BC 与平面 AB1D 所成角的正弦值【分析】（）连接A1B，设 A1BAB1E，连接 DE，可得 BC1DE，再由直线与平面平行的判定得到BC1平面 AB1D；（）由CC1底面ABC，ACBC

20、，得 CA，CB，CC1两两互相垂直，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1D 的一个法向量与?的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC 与平面 AB1D 所成角的正弦值【解答】（）证明：连接A1B，设 A1BAB1 E，连接 DE，由 ABC A1B1C1为三棱柱，得A1E BE又 D 是 A1C1的中点，BC1DE BC1?平面 AB1D，DE?平面 AB1D，BC1平面 AB1D；（）解：CC1底面 ABC，ACBC，CA，CB，CC1两两互相垂直，故分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 C（0，0，0），B

21、（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，2），D（1，0，2），?=(-?，?，?)，?=(?，-?，?)，?=(?，-?，?)设平面 AB1D 的法向量为?=(?，?，?)，由?=-?+?+?=?=?-?=?，取 y 1，得?=(?，?，?)；设直线 BC 与平面 AB1D 所成角为 则 sin|cos?，?|=|?|?|?|?|=66直线 BC 与平面 AB1D 所成角的正弦值为 6617已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0?2）同时满足下列四个条件中的三个：最小正周期为；最大值为2；f（0）1；f（-?6）0（）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（）求函数f（x）的

22、单调递增区间【分析】（）若函数f（x）满足条件 ，则由 f（0）Asin 1，推出与 A0，0?2矛盾，可得函数f（x）不能满足条件，由条件 ，利用周期公式可求 2，由条件 ，可得 A2，由条件 ，可得 f（-?6）0，结合范围0?2，可求 =?3，可得函数解析式（）利用正弦函数的单调性即可求解解：（）若函数f（x）满足条件 ，则 f（0）Asin 1，这与 A0，0?2矛盾，故函数f（x）不能满足条件，所以函数f（x）只能满足条件，由条件 ，可得2?|?|=，又因为 0，可得 2，由条件 ，可得 A2，由条件 ，可得 f（-?6）2sin（-?3+）0，又因为 0?2，所以 =?3，所以 f

23、（x）2sin（2x+?3）（）由2k-?2 2x+?3 2k+?2，k Z，可得：-5?12+k x?12+k，k Z，可得 f（x）的单调递增区间为-5?12+k，?12+k，k Z18随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔其中，小型视频会议软件格外受人青睐 根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6 名的依次为A，B，C，D，E，F在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6 款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t=?，当 t0.9 时，称该款软件为“有效下载软件”

24、调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率（）在这6 款软件中任取1 款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（）从这6 款软件中随机抽取4 款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求 X 的分布列与数学期望；（）将（）中概率值记为x%对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由【分析】（I）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（II）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（III）根据样本是否具有普遍性进行判断解：（I）tA=91960.9，tB=84910.9，tC=69850.9，

25、tD=54740.9，tE=64690.9，tF=63650.96 款软件中有4 款有效下载软件，这 6 款软件中任取1 款，该款软件是“有效下载软件”的概率为46=23（II）X 的可能取值有2，3，4，且 P（X2）=?42?22?64=25，P（X3）=?43?21?64=815，P（X4）=?44?64=115，X 的分布列为：X234P25815115E（X）225+3815+4115=83（III）不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6 名的软

26、件，不是对所有软件进行的随机抽取6 件的样本19设函数f（x）axlnx，其中 a 一、选择题，曲线y f（x）在点（1，f（1）处的切线经过点（3，2）（）求a 的值；（）求函数f（x）的极值；（）证明：f（x）?-2?【分析】（I）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a；（II）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（III）由于 f（x）?-2?等价于 xlnx-?+2?0，结合（II）可得 f（x）xlnx-1?，故只要证明1?-?即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证解：（I）f（x）alnx+a，则 f（1）0，f（1）a，故取

27、消 yf（x）在（1，f（1）处的切线方程ya（x1），把点（3，2）代入切线方程可得，a1，（II）由（I）可得 f（x）lnx+1，x0，易得，当0?1?时，f（x）0，函数单调递减，当x1?时，f（x）0，函数单调递增，故当 x=1?时，函数取得极小值f（1?）=-1?，没有极大值，证明：（III）f（x）?-2?等价于 xlnx-?+2?0，由（II）可得 f（x）xlnx-1?（当且仅当x=1?时等号成立），所以 xlnx-?+2?1?-?，故只要证明1?-?即可，（需验证等号不同时成立）设 g（x）=1?-?，x0 则?(?)=?-1?，当 0 x 1 时，g（x）0，函数单调递减

28、，当 x1 时，g（x）0，函数单调递增，所以 g（x）g（1）0，当且仅当x1 时等号成立，因为 等号不同时成立，所以当 x0 时，f（x）?-2?20已知椭圆E：?2?2+?2?2=1（ab0）经过点 C（0，1），离心率为 32O 为坐标原点（）求椭圆E 的方程；（）设A，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆 E 上一点（不在坐标轴上），直线 CD 交 x 轴于点 P，Q 为直线 AD 上一点，且?=4，求证：C，B，Q 三点共线【分析】（）由b1，?=32，a2b2+c2，解得 a，c，进而得出椭圆的方程（）设 D（x0，y0）（x0y00），则?024+?=1，直线 CD 的方

29、程为 y=?0-1?0?+?，令 y0，得点 P 的坐标，设Q（xQ，yQ），由?=4，得 xQ=4(1-?0)?0（显然 xQ2），写出直线AD 的方程为y=?0?0+2(?+?)，得 Q（4(1-?0)?0，?0(4-4?0+2?0)?0(?0+2)），kBQ=-12所以 kBCkBQ，即 C，B，Q 三点共线解：（）由题意，得b1，?=32，又因为 a2 b2+c2，所以 a2，c=?，故椭圆 E 的方程为?24+?=?（）A（2，0），B（2，0），设 D（x0，y0）（x0y00），则?024+?=1，所以直线CD 的方程为 y=?0-1?0?+?，令 y0，得点 P 的坐标为（?0

30、1-?0，0），设 Q（xQ，yQ），由?=4，得 xQ=4(1-?0)?0（显然 xQ2），直线 AD 的方程为y=?0?0+2(?+?)，将 xQ代入，得 yQ=?0(4-4?0+2?0)?0(?0+2)，即 Q（4(1-?0)?0，?0(4-4?0+2?0)?0(?0+2)），故直线 BQ 的斜率存在，且 kBQ=?-2=?0(4-4?0+2?0)(?0+2)(4-4?0-2?0)=2?0-2?02+?0?04?02-2?0?0-4?0=-12又因为直线BC 的斜率 kBC=-12，所以 kBCkBQ，即 C，B，Q 三点共线21如图，表 1 是一个由4020 个非负实数组成的40 行

31、20 列的数表，其中 am，n（m 1，2，40；n1，2，20）表示位于第m 行第 n 列的数将表1 中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即bi，jbi+1，j，其中 i 1，2，39；j1，2，20）表 1a1，1a1，2a1，20a2，1a2，2a2，20a40，1a40，2a40，20表 2 b1，1b1，2b1，20b2，1b2，2b2，20b40，1b40，2b40，20（）判断是否存在表1，使得表2 中的 bi，j（i1，2，40；j1，2，20）等于 100i j？等于 i+2j呢？（结论不需要证明）（）如果 b40，20 1，

32、且对于任意的i1，2，39；j 1，2，20，都有 bi，j bi+1，j1 成立，对于任意的m 1，2，40；n1，2，19，都有 bm，nbm，n+1 2 成立，证明：b1，178；（）若ai，1+ai，2+ai，2019（i 1，2，40），求最小的正整数k，使得任给ik，都有 bi，1+bi，2+bi，2019 成立【分析】（）直接利用表格求出结果（）利用行列式的变换的应用求出结果（）利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结论【解答】解（）存在表1，使得 bi，j100ij，不存在表1，使得?，?=?+?-?证明：（）因为对于任意的i1，2，3，39，j1，2，20，都有 bi，jb

33、i1，j 1所以 b1，20b2，201，b2，20 b3，201，b39，20 b40，201所以（b1，20b2，20）+（b2，20 b3，20）+（b39，20 b40，20）39，即 b1，20b20，40+3940由于 m1，2，40，n1，2，3，19，都有 bm，nnm，n+12所以 b1，1b1，2 2，b1，2b1，32，b1，19b1，202所以（b1，1b1，2）+（b1，2b1，3）+（b1，19b1，20）38，即 b1，1 78解：（）当表1 如下图时，01110111101110111101110111110111011111111其中，每行恰有1 个 0 和

34、19 个 1，每列恰有2 个 0 和 38 个 1因此每行的和均为19，符合题意重新排序后，对应表2 中，前 38 行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为 0，因此 k39以下先证：对于任意满足条件的表1，在表 2 中的前 39 行中，至少包含原表1 中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含ar，1，ar，2，ar20），假设表 2的前 39 行中，不能包含原表1 中任一行的全部实数、则表 2 的前 39 行中至多含有表1中的 4019 760 个数这与表 2中前 39 行中共有39 20780 个数相矛盾所以：表2 的前 39 行中，至少包含原表1 中某一行（设为第r 行），的全部实数其次，在表 2 中，根据重拍规则得：当 i 39 时，bi，jb39，jai，j，（j1，2，20）所以 bi，1+bi，2+bi，20ar，1+ar，2+ar，20 19，所以 k39综上所述k39