【精品】北师大版数学八年级下册《期末考试试卷》及答案.pdf

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1、北师大版八年级下学期期末考试数学试题时间：120分钟总分：120 分1.若甲、乙两人同时从某地出发，沿着同一个方向行走到同一个目的地，其中甲一半的路程以a(km/h)的速度行走，另一半的路程以b(km/h)的速度行走；乙一半的时间以a(km/h)的速度行走，另一半的时间以b(km/h)的速度行走(ab)，则先到达目的地的是()A.甲B.乙C.同时到达D.无法确定2.如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是()A.80B.40C.20D.10 3.等边 ABC 的边长为6，点 O 是三边垂直平分线的交点，FOG=120，FOG 的两边 OF，OG 分别交AB，BC 与点 D，

2、E，FOG 绕点 O 顺时针旋转时，下列四个结论正确的是（）OD=OE；ODEBDESS；2738ODBES；BDE的周长最小值为9.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4.设0a，0b，且35aabbab，则23abababab的值是（）A.2B.14C.12D.31585.如图，菱形ABCD 中，BAD 60，AC 与 BD 交于点 O，E为 CD 延长线上的一点，且CDDE，连接 BE，分别交AC、AD 于点 F、G，连接 OG，则下列结论：OG12AB；图中与EGD 全等的三角形共有 5 个；以点A、B、D、E为项点的四边形是菱形；S四边形ODGF SABF其中正确的结论是（）A.

3、B.C.D.6.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A.12b13B.12b15C.13b16D.15b16 7.如图，平行四边形ABCD 中，AB BC=3 2，DAB=60，E在AB 上，且 AEEB=1 2，F是BC的中点，过 D分别作 DPAF于P，DQCE于Q，则 DPDQ等于（）A.3 4 B.2 313C.132 6D.132 58.在数学拓展课折叠矩形纸片上，小林发现折叠矩形纸片ABCD 可以进行如下操作：

4、把ABF 翻折，点 B 落在 C 边上的点E 处，折痕为AF，点 F 在 BC 边上；把 ADH 翻折，点D 落在 AE边上的点G 处，折痕为 AH，点 H 在 CD 边上，若AD6，CD10，则EHEF（）A.32B.53C.43D.549.直角三角形的面积为S，斜边上的中线为d，则这个三角形周长为（）A.22dSdB.2dSdC.22 dSdD.22dSd10.如图，直角三角形DEF 是直角三角形ABC 沿 BC 平移得到的，如果AB6，BE2，DH 1，则图中阴影部分的面积是_11.如图，四边形ACDF是正方形，CEA和ABF都是直角，且点,E A B三点共线，4AB，则阴影部分的面积是

5、 _12.如图，在平面直角坐标系中，长方形OACB的顶点O在坐标原点，顶点,A B分别在x轴，y轴的正半轴上，3,4OAOB，D为边OB的中点，E是边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，点E的坐标为 _.13.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为_14.矩形ABCD内一点P到顶点A，B，C的长分别是3，4，5，则PD_15.如图，在直线m 上摆放着三个正三角形：ABC、HFG、DCE，已知 BC=12CE，F、G 分别是 BC、CE 的中点，FMAC，GNDC设图中三个平行

6、四边形的面积依次是S1，S，S3，若 S1+S3=10，则 S=_16.以正方形ABCD 一边 AB 为边作等边三角形ABE，则 CED _17.已知三个实数x，y，z满足332,44xyyzzxxyyzzx，求xyzxyyzzx的值18.如图所示，在第四象限内的矩形OABC，两边在坐标轴上，一个顶点在一次函数y0.5x3 的图象上，当点 A 从左向右移动时，矩形的周长与面积也随之发生变化，设线段OA 的长为 m，矩形的周长为C，面积为 S（1）试分别写出C、S与 m的函数解析式，它们是否为一次函数？（2）能否求出当m 取何值时，矩形的周长最大？为什么？19.定义：只有一组对角是直角的四边形叫

7、做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径（1）如图 1，损矩形ABCD，ABC ADC 90，则该损矩形的直径是线段AC，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的如图1 中：ABC 和 ABD有公共边AB，在 AB 同侧有 ADB 和 ACB，此时 ADB ACB；再比如 ABC 和 BCD 有公共边BC，在 CB 同侧有 BAC 和 BDC，此时 BAC BDC 请再找一对这样的角来（2）如图 2，ABC 中，ABC 90，以 AC 为一边向形外作菱形ACEF，D 为菱形 ACEF 的中心，连结 BD，当 BD 平分 ABC 时，判

8、断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由（3）在第（2）题的条件下，若此时AB3，BD 4 2，求 BC 的长20.将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点 A、C、D 的对应点分别为A1、C1、D1（1）当点 A1落在 AC 上时如图 1，若 CAB60，求证：四边形ABD1C 为平行四边形；如图 2，AD1交 CB 于点 O若 CAB 60，求证：DO AO；（2）如图 3，当 A1D1过点 C 时若 BC5，CD3，直接写出A1A 的长答案与解析1.若甲、乙两人同时从某地出发，沿着同一个方向行走到同一个目的地，其中甲一半的路程以a(km/h)的速度行走，另

9、一半的路程以b(km/h)的速度行走；乙一半的时间以a(km/h)的速度行走，另一半的时间以b(km/h)的速度行走(ab)，则先到达目的地的是()A.甲B.乙C.同时到达D.无法确定【答案】B【解析】【分析】设从 A 地到 B 地的路程为S，甲走完全程所用时间为t甲，乙走完全程所用时间为t乙，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可【详解】解：设从到达目的地路程为S，甲走完全程所用时间为t甲，乙走完全程所用时间为t乙，由题意得，11()222SSS abtabab甲而对于乙:1122atbtS乙乙解得：2Stab乙24()tabtab乙甲因为当 ab 时，（a+b）24a

10、b，所以24()tabtab乙甲1 所以 t甲t乙，即甲先到达，故答案为B.【点睛】本题考查了根据实际问题列代数式，列代数式首先要弄清语句中各种数量的意义及其相互关系，本题解题的关键是表示出甲乙所用时间，并选择适当的方法比较出二者的大小.2.如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是()A.80 B.40 C.20 D.10【答案】C【解析】【分析】设大小两个正方形的面积分别为a、b，得到 a2-b2=40；又阴影部分面积=AEC+ADE，然后使用三角形面积公式进行计算、化简即可解答【详解】解：如图：设大小两个正方形的面积分别为a，b 则有 a2-b2=40 又阴影部分面积=

11、AEC+ADE=1122ab aab b=2211112222aababb=2212ab=20 故答案为C【点睛】本题考查了几何图形中阴影面积的求法，关在于运用数形结合，将不规则图形化归为规则的几何图形的组合3.等边 ABC 的边长为6，点 O 是三边垂直平分线的交点，FOG=120，FOG 的两边 OF，OG 分别交AB，BC 与点 D，E，FOG 绕点 O 顺时针旋转时，下列四个结论正确的是（）OD=OE；ODEBDESS；2738ODBES；BDE 的周长最小值为9.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】B【解析】【分析】连接 OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得ABO=O

12、BC=0CB=30，再证明 BOD=COE，于是可判断 BOD COE，所以 BD=CE，OD=OE，则可对进行判断；利用BODCOESSV得到四边形ODBE 的面积13 33ABCS，则可对进行判断；作 OH DE，如图，则 DH=EH，计算出ODES=234OE，利用ODES面积随OE 的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对进行判断；由于BDE 的周长=BC+DE=4+DE=4+3OE，根据垂线段最短，当OEBC时，OE最小，BDE的周长最小，计算出此时OE 的长则可对进行判断.【详解】解：连接OB、OC，如图，ABC 为等边三角形，ABC=ACB=60，点 0 是 ABC 的中心

13、，OB=OC，OB、OC 分别平分 ABC 和 ACB，ABO=0BC=OCB=30 BOC=120，即 BOE+COE=120，而 DOE=120，即 BOE+BOD=120，BOD=COE，在 BOD 和 COE 中BODCOEBOCOOBDOCE BOD2 COE，BD=CE，OD=OE，所以正确；BODCOESSV，四边形ODBE 的面积211363 3334OBCABCSS，所以错误；作 OHDE，如图，则DH=EH，DOE=120，ODE=OEH=30，213,32231 1332 24ODEOHOE HEOHOEDEOESOEOEOE即 SODE随 OE 的变化而变化，而四边形O

14、DBE 的面积为定值，ODEBDESSV所以错误；BD=CE，BDE 的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=6+3OE，当 OEBC 时，OE 最小，BDE 的周长最小，此时OE=3，.BDE 周长的最小值=6+3=9，所以正确.故选 B.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质.4.设0a，0b，且35aabbab，则23abababab的值是（）A.2B.14C.12D.3158【答案】C【解析】【分析】将35aabbab变形后可分解

15、为：（a-5b）（a3b）0，从而根据a0，b0 可得出 a和 b 的关系，代入即可得出答案【详解】由题意得：aab3ab15b，（a-5b）（a3b）0，故可得：a5b，a 25b，23abababab12故选 C【点睛】本题考查二次根式的化简求值，有一定难度，根据题意得出a和 b 的关系是关键5.如图，菱形ABCD 中，BAD 60，AC 与 BD 交于点 O，E为 CD 延长线上的一点，且CDDE，连接 BE，分别交AC、AD 于点 F、G，连接 OG，则下列结论：OG12AB；图中与EGD 全等的三角形共有 5 个；以点A、B、D、E为项点的四边形是菱形；S四边形ODGF SABF其中

16、正确的结论是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由 AAS 证明 ABG DEG，得出 AG=DG，证出 OG 是 ACD 的中位线，得出OG=12CD=12AB，正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出 ABD、BCD 是等边三角形，得出 AB=BD=AD，因此 OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，正确；由菱形的性质得得出ABG BDG DEG，由SAS 证明ABG DCO，得出 ABO BCO CDO AOD ABG BDG DEG，得出不正确；证出 OG 是 ABD 的中位线，得出OG/AB，OG=12AB，得出 GOD ABD，ABF OGF，由相似三角形的性质和面积

17、关系得出S四边形ODGF=SABF；不正确；即可得出结果.【详解】解：四边形ABCD 是菱形，,/,ABBCCDDA ABCD OAOC OBOD ACBDBAGEDGABOBCOCDOAODCDDEABDEVQ在 ABG 和 DEG 中，BAGEDGAGBDGEABDE ABG DEG（AAS），.AG=DG，OG 是 ACD的中位线，OG=12CD=12AB，正确；AB/CE，AB=DE，四边形ABDE 是平行四边形，BCD=BAD=60，ABD、BCD 是等边三角形，AB=BD=AD，ODC=60，OD=AG，四边形ABDE 是菱形，正确；AD BE，由菱形的性质得：ABG BDG DE

18、G，在 ABG 和 DCO 中，60ODAGODCBAGABDC ABG DCO ABO BCO CDO AOD ABG BDG DEG，则 不正确OB=OD，AG=DG，OG是 ABD的中位 线，OG AB，OG=12AB，GOD ABD，ABF OGF，G OD的面 积=14ABD的面 积，ABF的面 积=OGF的面 积的 4 倍，AF:OF=2：1，AFG的面 积=OGF的面 积的 2 倍，又 GOD 的面 积=AOG 的面 积=BOG 的面 积，S四边形ODGF=SABF；不正确；故答案 为：A.【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形

19、中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大.6.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A.12b13 B.12b15 C.13 b16 D.15b16【答案】D【解析】【分析】此题涉 及的 知 识点是 解直角 三角形，根据 题 目中 底面半 径是5，高 是12，可以算出另一边，吸管在罐外部分剩余3，不同放置就可以算出总长【详解】底面半径是5，高是12，则吸管最长放在罐里的长度为13，加上罐外的 3，总长

20、为 16；如果吸管竖直放置，则罐里最短长为12，加上罐外 3总长为 15，所以吸管总长范围为：1516b故选 D【点睛】此题重点考察学生对直角三角形的解的应用，勾股定理是解题的关键7.如图，平行四边形ABCD 中，AB BC=3 2，DAB=60，E在AB 上，且 AEEB=1 2，F是BC的中点，过 D分别作 DPAF于P，DQCE于Q，则 DPDQ等于（）A.34B.2 313C.132 6D.132 5【答案】B【解析】【分析】连接 DE、DF，过 F 作 FNAB 于 N，过 C 作 CMAB 于 M，根据三角形的面积是平行四边形面积的一半，可推出AF DP=CE DQ，根据线段比例关

21、系设出AB=3a，BC=2a，然后在RtAFN 和 RtCEM 中，利用勾股定理计算出AF、CE，再代入AF DP=CE DQ 可得结果.【详解】连接DE、DF，过 F 作 FNAB 于 N，过 C 作 CMAB 于 M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得：DECDFAABCD1SSS2平行四边形，即11AF DPCE DQ22AF DP=CE DQ，四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC DAB=60 ，CBN=DAB=60 BFN=MCB=30 AB：BC=3：2，设 AB=3a，BC=2a AE：EB=1：2，F 是 BC 的中点，BF=a，BE=2a，BN=12a，BM=a 由勾

22、股定理得：FN=32a，CM=3a 222213AF3aaa13aCE3a3a2 3a22，13a DP2 3a DQDP DQ=2313，故选 B【点睛】本题考查平行四边形中勾股定理的运用，关键是作出正确的辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理计算出AF、CE.8.在数学拓展课折叠矩形纸片上，小林发现折叠矩形纸片ABCD 可以进行如下操作：把ABF 翻折，点 B 落在 C 边上的点E 处，折痕为AF，点 F 在 BC 边上；把 ADH 翻折，点D 落在 AE边上的点G 处，折痕为 AH，点 H 在 CD 边上，若AD6，CD10，则EHEF（）A.32B.53C.43D.54【答案】A【解析】

23、【分析】利用翻折不变性可得AE=AB=10，推出 DE=8，EC=2，设 BF=EF=x，在 RtEFC 中，x2=22+（6-x）2，可得x=103，设DH=GH=y，在RtEGH中，y2+42=（8-y）2，可得y=3，由此即可解决问题【详解】四边形 ABCD 是矩形，C D90，ABCD10，ADBC6，由翻折不变性可知：ABAE10，ADAG6，BFEF，DH HG，EG4，RtADER 中，DE2222AEAD1068，EC1082，设 BFEFx，在 RtEFC 中有：x222+（6 x）2，x103，设 DHGHy，在 RtEGH 中，y2+42（8y）2，y3，EH5，5310

24、32EHEF，故选 A【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型9.直角三角形的面积为S，斜边上的中线为d，则这个三角形周长为（）A.22dSdB.2dSdC.22 dSdD.22dSd【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为x、y，斜边上的中线为d，斜边长为2d，由勾股定理得，x2+y2=4d2，直角三角形的面积为S，12Sxy,则 2xy=4S，即（x+y）2=4d2+4S，22xydS这个三角形周长为：22dSd，故选 D.【

25、点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2.10.如图，直角三角形DEF 是直角三角形ABC 沿 BC 平移得到的，如果AB6，BE2，DH 1，则图中阴影部分的面积是_【答案】11【解析】【分析】根据平移的性质可得到相等的边与角，利用平行线分线段成比例可求出EC，再根据HDFCEFDECHSSS即可得到答案.【详解】解：由平移的性质知，DE=AB=6，HE=DE-DH=5，CF=BE=2，HCDF，DEF=B=90，HE:DE=EC:EF=EC:（EC+CF），即 5：6=EC:（EC+2），EC=10，EF=EC+CF=10

26、+2=12 111122HDFCEFDECHSSSDE EFEH EC故答案为11.【点睛】本题利用了平行线截线段对应成比例和平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.11.如图，四边形ACDF是正方形，CEA和ABF都是直角，且点,E A B三点共线，4AB，则阴影部分的面积是 _【答案】8【解析】【分析】证明 AECFBA，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面积公式进行求解即可.【详解】四边形ACDF 是正方形，AC=FA，CAF=90 ，CAE+FAB=90，CEA=90 ，CAE+ACE=

27、90 ，ACE=FAB，又 AEC=FBA=90，AEC FBA，CE=AB=4，S阴影=12AB CE=8，故答案为8.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB 是解题的关键.12.如图，在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O在坐标原点，顶点,A B分别在x轴，y轴的正半轴上，3,4OAOB，D为边OB的中点，E是边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，点E的坐标为 _.【答案】(1,0)【解析】【分析】作点 D 关于 x 轴的对称点D，连接CD与 x 轴交于点E，用待定系数法，求出直线CD的解析式，然后求得与x 轴的交点坐标即可.【详解】

28、作点D 关于 x 轴的对称点D，连接CD与 x 轴交于点E，OB=4，OA=3，D 是 OB 的中点，OD=2，则 D 的坐标是（0，2），C 的坐标是（3，4），D的坐标是（0，-2），设直线 CD的解析式是：y=kx+b（k0），则342kbb解得：22kb，则直线的解析式是：y=2x-2，在解析式中，令y=0，得到 2x-2=0，解得 x=1，则 E 的坐标为（1，0），故答案为：（1，0）.【点睛】本题考查了路线最短问题，以及待定系数法求一次函数的解析式，正确作出E 的位置是解题的关键13.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角

29、线AC上有一点P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为_【答案】2 3【解析】试题解析：设BE 与 AC 交于点 P，连接 BD，点 B 与 D 关于 AC 对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE 最小即 P 在 AC 与 BE 的交点上时，PD+PE 最小，为BE 的长度；正方形 ABCD 的边长为6，AB=6 又 ABE 是等边三角形，BE=AB=6 故所求最小值为6考点：轴对称最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质14.矩形ABCD内一点P到顶点A，B，C的长分别是3，4，5，则PD_【答案】3 2【解析】【分析】如图作 PE AB 于 E，EP的延长线交CD 于 F，

30、作 PGLBC 于 G.则四边形AEFD 是矩形，四边形EBGP 是矩形，四边形 PFCG 是矩形，设 AE=DF=a，EP=B G=b，BE=PG=c，PF=CG=d，则有 a2+b2=9，c2+a2=16，c2+d2=25，可得 2（a2+c2）+b2+d2=9+16+25 推出 b2+d2=18，即可解决问题.【详解】解：如图作PELAB 于 E，EP的延长线交CD 于 F，作 PGLBC 于 G.则四边形AEFD 是矩形，四边形 EBGP 是矩形，四边形PFCG 是矩形.设 AE=DF=a，EP=BG=b，BE=PG=c，PF=CG=d，则有：a2+b2=9，c2+a2=16，c2+d

31、2=25 2（a2+c2）+b2+d2=9+16+25 b2+d2=18 PD=3 2，故答案为3 2.【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.15.如图，在直线m 上摆放着三个正三角形：ABC、HFG、DCE，已知 BC=12CE，F、G 分别是 BC、CE 的中点，FMAC，GNDC设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若 S1+S3=10，则 S=_【答案】4【解析】【分析】根据题意，可以证明S与 S1两个平行四边形的高相等，长是S1的 2 倍，S3与 S的长相等，高是S的一半，这样就可以把S1和 S3用 S来表示

32、，从而计算出S的【详解】解：根据正三角形的性质，ABC=HFG=DCE=60，AB HF/DC/GN，设 AC 与 FH 交于 P，CD 与 HG 交于 Q，PFC、QCG 和 NGE 是正三角形，F、G 分别是 BC、CE 的中点，13131111,2222,1,2210121024BFMFACBC CPPFABBCCPMF CQBC QGGCCQABSS SSSSSSSO故答案为4.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积.即 S=ah.其中 a可以是平行四边形的任何一边，h 必须是 a边与其对边的距离，即对应的高.

33、16.以正方形ABCD 一边 AB 为边作等边三角形ABE，则 CED _【答案】30或150【解析】【分析】等边 ABE 的顶点 E 可能在正方形外部，也可能在正方形内部，因此分两种情况画出图形进行求解即可.【详解】分两种情况：当点 E 在正方形ABCD 外侧时，如图1 所示：四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形 ABC90，BCBEAB，ABEAEB60，CBECBA+ABE90+60150，BCBE，BCE BEC15，同理可得 EDA DEA 15，CEDAEB CEBDEA60 15 15 30；当点 E 在正方形ABCD 内侧时，如图2 所示：EABAEB60，BAC

34、90，CAE30，ACAE，ACEAEC75，同理 DEBEDB75，CED360 60 75 75 150；综上所述：CED为30或150；故答案为30 或 150【点睛】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，正确地进行分类，熟练掌握相关的性质是解题的关键.17.已知三个实数x，y，z满足332,44xyyzzxxyyzzx，求xyzxyyzzx的值【答案】4【解析】【分析】求332,44xyyzzxxyyzzx得到144,211111133xyzxyz，然后求出111xyz的值，xyzxyyzzx分子分母同除以xyz 得1111xyz，即可求解【详解】解：332,44xyyzzxxyy

35、zzx144,211111133xyzxyz11=411xyzxyzxyyzzx分子分母同除以xyz 得1111xyz=4【点睛】本题考查了条件代数式求值问题，关键在于观察条件和所求代数式直接的联系；本题的联系在于倒数的应用和分式基本性质的应用18.如图所示，在第四象限内的矩形OABC，两边在坐标轴上，一个顶点在一次函数y0.5x3 的图象上，当点 A 从左向右移动时，矩形的周长与面积也随之发生变化，设线段OA 的长为 m，矩形的周长为C，面积为 S（1）试分别写出C、S与 m 的函数解析式，它们是否为一次函数？（2）能否求出当m 取何值时，矩形的周长最大？为什么？【答案】（1）Cm+6，面积

36、 S 0.5m2+3m，C 是 m 的一次函数，S不是 m 的一次函数；（2）不能求出当m 取何值时，矩形的周长最大【解析】【分析】(1)由题意可知A(m，0)，B(m，0.5m3)，从而得AB3 0.5m，继而根据矩形的周长公式和面积公式进行求解可得相应的函数解析式，然后再根据一次函数的概念进行判断即可；(2)先确定出m 的取值范围为0m6，根据(1)中的周长，可知m 越大周长越大，但m 没有是大值，因此不能求出当m 取何值时，矩形的周长最大【详解】(1)由题意，可知A(m，0)，B(m，0.5m3)，则 AB|0.5m3|30.5m，矩形的周长C2(OA+AB)2(m+30.5m)m+6，

37、面积 SOA?ABm(30.5m)0.5m2+3m，C 是 m 的一次函数，S不是 m 的一次函数；(2)不能求出当m 取何值时，矩形的周长最大矩形 OABC 在第四象限内，00.530mm，0m6，又 Cm+6，不能求出当m取何值时，矩形的周长最大【点睛】本题考查了一次函数的应用几何问题，熟练掌握矩形的周长公式以及面积公式是解题的关键.19.定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径（1）如图 1，损矩形ABCD，ABC ADC 90，则该损矩形的直径是线段AC，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等

38、的如图1 中：ABC 和 ABD有公共边AB，在 AB 同侧有 ADB 和 ACB，此时 ADB ACB；再比如 ABC 和 BCD 有公共边BC，在CB同侧有BAC和BDC，此时BACBDC请再找一对这样的角来（2）如图 2，ABC 中，ABC 90，以 AC 为一边向形外作菱形ACEF，D 为菱形 ACEF 的中心，连结 BD，当 BD 平分 ABC 时，判断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由（3）在第（2）题的条件下，若此时AB3，BD 4 2，求 BC 的长【答案】（1）ABD=ACD；（2）四边形ACEF 为正方形，理由见解析；（3）5.【解析】【分析】（1）以 AD 为

39、公共边，有ABD=ACD；（2）证明 ADC 是等腰直角三角形，得AD=CD，则 AE=CF，根据对角线相等的菱形是正方形可得结论；（3）如图 2，作辅助线构建直角三角形，证明ABC CHE，得 CH=AB=3，根据平行线等分线段定理可得 BG=GH=4，从而得结论.【详解】解：（1）由图 1 得：ABD 和 ADC 有公共边 AD，在 AD 同侧有 ABD 和 ACD，此时ABD=ACD；（2）四边形ACEF 为正方形，理由是：ABC=90，BD 平分 ABC，ABD=CBD=45 DAC=CBD=45 四边形ACEF 是菱形，AELCF，ADC=90，ADC 是等腰直角三角形，AD=CD，

40、.AE=CF，菱形 ACEF 是正方形；（3）如图 2，过 D 作 DGBC 于 G，过 E 作 EH BC，交 BC 的延长线于H，DBG=45，BDG 是等腰直角三角形，BD=42，BG=4，四边形ACEF 是正方形，AC=CE，ACE=90，AD=DE，易得 ABC CHE，CH=AB=3，AB/DG/EH，AD=DE，BG=GH=4，CG=4-3=1，BC=BG+CG=4+1=5.【点睛】本题是四边形的综合题，也是新定义问题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，平行线等分线段定理，菱形的性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，第3 问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键.20.将矩

41、形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点 A、C、D 的对应点分别为A1、C1、D1（1）当点 A1落在 AC 上时如图 1，若 CAB60，求证：四边形ABD1C 为平行四边形；如图 2，AD1交 CB 于点 O若 CAB 60，求证：DO AO；（2）如图 3，当 A1D1过点 C 时若 BC5，CD3，直接写出A1A 的长【答案】（1）证明见解析；证明见解析；（2）3 105【解析】【分析】（1）首先证明 ABA1是等边三角形，可得AA1B A1BD160，即可解决问题 首先证明 OCD1 OBA（AAS），推出 OCOB，再证明 DCO ABO（SAS）即可解决问题

42、（2）如图 3 中，作 A1EAB 于 E，A1FBC 于 F利用勾股定理求出AE，A1E 即可解决问题【详解】（1）证明：如图1 中，BAC60，BABA1，ABA1是等边三角形，AA1B60，A1BD160，AA1B A1BD1，ACBD1，ACBD1，四边形ABD1C 是平行四边形如图 2 中，连接BD1四边形ABD1C 是平行四边形，CD1 AB，CD1AB，OCD1 ABO，COD1 AOB，OCD1 OBA（AAS），OCOB，CDBA，DCO ABO，DCO ABO（SAS），DOOA（2）如图3中，作A1EAB于E，A1FBC于F在 Rt A1BC 中，CA1B90，BC5AB3，CA1225-34，12?A1C?A1B12?BC?A1F，A1F125，A1FB A1EB EBF90，四边形A1EBF 是矩形，EBA1F125，A1EBF95，AE312535，在 Rt AA1E 中，AA12293553 105【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题