【精准解析】山东省青岛市第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题.pdf

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1、-1-2019 2020 年山东省青岛市2 中高一第一学期第一次月考数学试卷高二数学质量检测一、选择题（本大题共 13 小题，每小题 4 分，共 52 分.题 110 为单选题，题 11-13为多选题，多选题错选得0 分，漏选得 2 分.）1.椭圆229225xky的一个焦点是4,0，那么 k（）A.5B.25C.-5D.-25【答案】B【解析】【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据焦点坐标求得c，由此列方程求得k的值.【详解】椭圆的标准方程为22122525xyk，由于椭圆焦点为4,0，故焦点在x轴上，且4c.所以2225254k，解得25k.故选：B【点睛】本小题主要考查根据椭圆的焦点坐标求

2、参数的值，属于基础题.2.双曲线22412mxy的一条渐近线的方程为320 xy，则m（）A.3B.3C.4D.16【答案】A【解析】【分析】写出双曲线的标准方程，根据渐近线方程即可得解.【详解】双曲线22412mxy的一条渐近线的方程为320 xy，即双曲线221213mxy的一条渐近线的方程为32yx，所以124,3mm.-2-故选：A【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线方程求双曲线标准方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a，b.3.命题“xR，2440 xx”的否定是（）A.xR，2440 xxB.xR，2440 xxC.xR，2440 xxD.xR，2440 xx【答案】A【解

3、析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A 选项正确.故选：A【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.4.下列语句中，是命题的是（）A.2230 xx，B.不是无限不循环小数C.直线与平面相交D.在线段AB上任取一点【答案】B【解析】【分析】ACD 三个选项不能判断真假，不是命题，B 能够判断真假，是命题.【详解】根据命题的概念，必须能够判断真假，其中ACD 均不能判断真假，B 选项满足题意是命题.故选：B【点睛】此题考查命题的概念辨析，关键在于熟练掌握命题的概念，能够判断真假即是命题.5

4、.平面内，一个动点P，两个定点1F，2F，若12PFPF为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（）A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或射线-3-【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义，对动点P 的轨迹进行判断，由此确定正确选项.【详解】两个定点的距离为12F F,当1212PFPFF F时，P 点的轨迹为双曲线的一支；当1212PFPFF F时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PFPFF F的情况.综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或射线.故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线定义的辨析，属于基础题.6.下列命题是全称命题且是真命题的是（）A.xR，2210 xxB.0,4x，tan1

5、xC.aR，ins(sin)aaD.xR，12xx【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的概念判断，根据函数关系判断真假.【详解】A.xR，2210 xx，当21,210 xxx，所以该命题是假命题；B.0,4x，tan1x，当,tan14xx，所以该命题是假命题；C.aR，ins(sin)aa，满足题意；D.xR，12xx，当10,2xxx，所以该命题是假命题.故选：C【点睛】此题考查全称命题的辨析和真假判断，关键在于熟练掌握命题概念，根据函数关系准确求解.-4-7.如果方程22216xyaa表示双曲线，则实数a的取值范围是（）A.6aB.6a且0aC.2aD.2a或3a【答案】B【解析】【

6、分析】根据双曲线方程形式得2060aa，即可得解.【详解】方程22216xyaa表示双曲线，则2060aa，解得：6a且0a.故选：B【点睛】此题考查双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于熟练掌握双曲线方程的形式.8.已知1F，2F是椭圆222:133xyCaa的两个焦点，P 是C上一点.若1260F PF，则12F PF的面积为（）A.3B.3 3C.3 32D.与a有关【答案】A【解析】【分析】根据椭圆 的几何性质结合余弦定理求得124F PPF，利用三角形面积公式即可得解.【详解】根据椭圆几何性质可得：122F PPFa，12F PF中，由余弦定理：2221212

7、12F FF PPFF PPF，即221212123F FF PPFF PPF22124343aaF PPF，-5-解得：124F PPF12F PF的面积为121sin 6032F PPF.故选：A【点睛】此题考查椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于熟练掌握椭圆基本性质和三角形相关定理公式.9.已知1F，2F是椭圆222210 xyabab的左，右焦点，直线23by与该椭圆交于B，C，若2BF C是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A.33B.53C.55D.53或55【答案】D【解析】【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标5252,3333ababBC，分别讨论直

8、角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：2222123xyabby所以直线23by与椭圆222210 xyabab的交点坐标5252,3333ababBC，因为椭圆焦点在x 轴，所以角B 不可能为直角，当角 C 为直角时，53ac，即53e；当角2F为直角时，220F B F C，即5252,03333ababcc-6-22254099abc，2222544099aacc225ca，55e.所以离心率为53或55故选：D【点睛】此题考查根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.已知双曲线221916x

9、y的左，右焦点分别为1F，2F，P 为右支上一点，且1245cosF PF，则12F PF内切圆的面积为（）A.211B.83C.649D.176121【答案】C【解析】【分析】根据1245cosF PF求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积.【详解】由题：1245cos F PF，则123sin5F PF，P 为右支上一点，12F PF中由余弦定理：22212111146265F FF PF PF PF P解得110F P，12F PF的面积121310164825F PFS，设其内切圆半径为r，101016482r，解得：83r则12F PF内切圆的面积为286

10、439【点睛】此题考查根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面-7-积法求解半径得到圆的面积.11.（多选题）下列命题中，是真命题的是（）A.若a ba c，则bcB.正数,a b，若2abab，则 ab1C.0 xN，使200 xxD.正数,x y，则1xy是lglg0 xy的充要条件【答案】BCD【解析】【分析】考虑0a可判定 A 选项是假命题，其余选项均为真命题.【详解】A 选项：若0a，任意向量,b c，0a ba c，不能推出bc，该命题为假命题；B 选项考虑其逆否命题“正数,a b，若ab，则2abab”是真命题，所以该选项为真命题；C 选项：当01x满足题

11、意，所以该命题为真命题；D 选项：正数,x y，lglg0 xy等价于lg0 xy，等价于1xy，则1xy是lglg0 xy的充要条件故选：BCD【点睛】此题考查判断命题的真假，涉及向量数量积，基本不等式，对数运算，特称命题真假性的判断，知识面广.12.（多选题）已知双曲线22122:10,0 xyCabab与双曲线222222222:10,0yxCabab的渐近线将第三象限三等分，则双曲线1C的离心率可能为（）A.3B.6C.2D.2 33【答案】CD【解析】-8-【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为3ba或33ba即可得到离心率可能的取值.【详解】双曲线22122:10,0 x

12、yCabab与双曲线222222222:10,0yxCabab的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线22122:10,0 xyCabab与双曲线222222222:10,0yxCabab的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30和 60，其斜率为3ba或33ba，22221cabbeaaa所以其离心率为2 或2 33.故选：CD【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进行等价转化，利用双曲线基本量之间的关系求解.13.（多选题）下列说法正确的是（）A.方程2xxyx表示两条直线B.椭圆221102xymm的焦距为4，则4mC.

13、曲线22259xyxy关于坐标原点对称D.双曲线2222xyab的渐近线方程为byxa【答案】ACD【解析】【分析】B 选项漏掉考虑焦点在y 轴的情况，ACD 说法正确.-9-【详解】方程2xxyx即10 x xy，表示0 x，10 xy两条直线，所以A正确；椭圆221102xymm的焦距为4，则1024mm或2104mm，解得4m或8m，所以 B 选项错误；曲线22259xyxy上任意点,P x y，满足22259xyxy，,P x y关于坐标原点对称点,Pxy也满足22259xyxy，即,Pxy在22259xyxy上，所以曲线22259xyxy关于坐标原点对称，所以C 选项正确；双曲线22

14、22xyab即0，其渐近线方程为byxa正确，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】此题考查曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线的渐近线.二、填空题（本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16分.）14.方程22157xyaa表示椭圆，则实数a的取值范围是_.【答案】5,66,7【解析】【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得507057aaaa，即可求解.【详解】由题方程22157xyaa表示椭圆，则507057aaaa，解得5,66,7a故答案为：5,66,7【点睛】此题考查根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于熟练掌握椭圆的标准

15、方程特征，此题容易漏掉考虑a=6 的情况不合题意.-10-15.若“0,4x，tanxm”是真命题，则实数m的取值范围是 _.【答案】0m【解析】【分析】根据0,4x，tanxm，实数m的取值范围，即mintanxm.【详解】0,4x，tanxm，即mintanxm，tanyx在0,4x单调递增，mintan0 x即0m.故答案为：0m【点睛】此题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，关键在于准确求出函数的最值，熟练掌握函数的单调性.16.2F是椭圆2211612xy的右焦点，P 是椭圆上的动点，1,3A为定点，则1PAPF的最小值为 _.【答案】6【解析】【分析】将问题进行转化12288PA

16、PFPAPFPAPF，根据动点到两个定点距离之差的最值求解.【详解】22,0F是椭圆2211612xy的右焦点，12,0F是椭圆2211612xy的左焦点，128PFPF1,3A在椭圆内部，-11-1222888826PAPFPAPFPAPFAF，当 P 为2F A的延长线与椭圆交点时取得最小值.故答案为：6【点睛】此题考查椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的距离之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进行等价转化，结合平面几何知识求解.17.已知点A，B 分别是射线1:0lyx x，2(:0)lyx x上的动点，O为坐标原点，且AOB的面积为定值4.则线段AB中点M的轨迹方程为_.【答案】2214

17、4yx，0y【解析】【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程.【详解】由题：1:0lyx x，2(:0)lyx x相互垂直，112212,0,0A x xB xxxx，设线段AB中点,Mx y，AOB的面积为定值4，即1212242xx，即124x x121222xxxxxy，两式平方得：222121222212122424xxx xxxxx xy，两式相减得：22124xyx x-12-即22144yx，0y故答案为：22144yx，0y【点睛】此题考查求轨迹方程，关键在于根据已知给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题（本大题共 6

18、小题，满分 82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.已知集合2(3)0Ax xaxa，0Bx x.若AB是假命题.求实数a的取值范围.【答案】,19,a【解析】【分析】将问题转化考虑AB是真命题，求出实数a 的取值范围，即可得到若AB是假命题，实数a的取值范围.【详解】考虑AB是真命题，即2(3)0 xaxa没有正根，2340aa得1,9a；2340aa得1a，或9a，当9a时26903Ax xx符合题意，当1a时22101Ax xx，不合题意，所以9a；23403020aaaa无解；综上当AB是真命题，1,9a，所以若AB是假命题,19,a【点睛】此题考查根据命题的真假求参数的

19、取值范围，关键在于准确求解二次方程根的分布-13-问题，利用转化与化归思想和补集思想求解.19.已知对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过12 12,55，且长轴长与短轴长之比为 4:3.求该椭圆的标准方程.【答案】221169xy或221169yx【解析】【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的标准方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解.【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为221169xymm，m0，椭圆过12 12,55，144144125 16259mm，解得：m=1，所以椭圆 的标准方程为22

20、1169xy同理可得当焦点在y 轴上，椭圆的标准方程为221169yx，所以椭圆的标准方程为221169xy或221169yx【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.已知命题：“0,2x，使方程251020 xxm有解”是真命题.（1）求实数m的取值集合A；（2）设不等式1120 xaxa的解集为集合B，若xB是xA的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）32Amm；（2）,23,a【解析】【分析】-14-（1）将问题转化为225102513mxxx在0,2x有解，即可求解；（2）分类讨论

21、求解AB 即可得到参数的取值范围.【详解】（1）命题：“0,2x，使方程251020 xxm有解”是真命题.即225102513mxxx在0,2x有解，所以3,2m即32Amm；（2）不等式1120 xaxa的解集为集合B，若xB是xA的必要不充分条件，当23a不合题意；当23a时，112aa，1,1 2Baa，13122aa，得2a；当23a时，112aa，12,1Ba a，12123aa，得3a；所以,23,a【点睛】此题考查根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设1F，2F分别是椭圆222:

22、14xyEb的左，右焦点，若 P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF的最大值为1.求椭圆E的方程.【答案】2214xy【解析】【分析】设出焦点坐标，表示出12PFPF利用函数关系求出最大值，即可得到21b.【详解】由题：214,0Fb，224,0Fb分别是椭圆222:14xyEb的左，右焦点，设,P x y施椭圆上的动点，即222221,0,4,44xyxbb，-15-21222224,4,4bxybxyFFxbPPy22222221124444xbxbxbb，当2x=4 时，取得最大值，即21b，所以椭圆的方程为2214xy.【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，关键在于根据椭圆上的点的坐标准

23、确计算，结合取值范围求解最值.22.已知平面直角坐标系中两个不同的定点1,0Fa，2,0,0Faa，过点1F的直线1l与过点2F的直线2l相交于点P，若直线1l与直线2l的斜率之积为(0)m m，求动点P 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.【答案】见解析.【解析】【分析】根据斜率关系化简得22221xyama，分类讨论得解【详解】设,P x y，过点1F的直线1l与过点2F的直线2l相交于点 P，若直线1l与直线2l的斜率之积为(0)m m，即yymxaxa=+-，222ymxma，22221xyama，当1m轨迹是圆，不含点1,0Fa，2,0,0Faa；当0m，轨迹是以1,0Fa，2,0F

24、a为顶点的双曲线，不含顶点1,0Fa，2,0Fa；当10m，轨迹是以1,0Fa，2,0Fa为长轴顶点的椭圆，不含1,0Fa，2,0Fa；当1m，轨迹是以1,0Fa，2,0Fa为短轴顶点的椭圆，不含1,0Fa，2,0Fa【点睛】此题考查曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分-16-类讨论得解.23.已知椭圆221:1169xyC和双曲线222:1169xyC，点A，B 为椭圆的左，右顶点，点P 在双曲线2C上，直线OP与椭圆1C交于点Q（不与点A，B 重合），设直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别为1k，2k，3k，4k.（1）求证：12916kk；（2）求证：1234

25、kkkk的值为定值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设,P x y，表示出斜率即可求得斜率之积；（2）设直线:OPykx，0k，依次求解P，Q 坐标，表示出斜率之和化简即可得解.【详解】（1）由题：4,0,4,0,ABP x y满足221169xy，229116xy21229441616yyykkxxx；（2）根据曲线的对称性不妨设直线:OPykx，0k，联立221169ykxxy得2221169xk x，22144916xk，不妨取221212,916916kQkk，同理可得：221212,916916kPkk222222232142121212129 169169169 161212121244449169169 16916kkkkkkkkkkkkkkkk222212121212124 9 16124 916124 916124 916kkkkkkkk-17-2222333339 16391639 163916kkkkkkkk22181816061kkkk所以1234kkkk的值为定值.【点睛】此题考查椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.