【金版学案】高中数学第3章不等式章末知识整合苏教版必修5.pdf

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1、【金版学案】2015-2016 学年高中数学第 3 章 不等式章末知识整合苏教版必修 5 题型 1 转化与化归思想的应用例 1 若正数 a，b 满足 abab 3，求 ab 的取值范围分析：“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等解析：方法一(看成函数的值域)abab 3，ba3a1(显然 a1)，且 a1.abaa3a1（a1）25（a1）4a1(a 1)4a159，当且仅当a14a1，即 a3 时取等号又 a3 时，(a1)4a15 单调递增ab 的取值范围是9，)方法二(看成不等式的解集)a，b 为正数，ab2ab.又 abab3，ab2

2、ab3，即(ab)22ab30.解得ab3 或ab 1(舍去)，ab9，即 ab 的取值范围是9，)方法三若设 abt，则 abt 3，a，b 可看成方程x2(t 3)x t 0 的两个正根从而有（t 3）24t 0，abt 3 0，abt 0，即t 1或t 9，t 3，t 0，解得 t 9，即 ab9，ab 的取值范围是9，)?归纳拓展不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产

3、生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等?变式迁移1如果关于x 的不等式2x22mxm4x26x31 对一切实数x 均成立，则实数m的取值范围是_解析：4x2 6x3 2x322340 恒成立，从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x22mx m 4x26x3(x R)即 2x2(62m)x(3 m)0 对一切实数x恒成立，所以(6 2m)242(3m)4(m1)(m3)0，解得 1m3.答案：(1，3)2若关于x的不等式组x2x20，2x2（52k）x5k0的解集中所含

4、整数只有2，则k的取值范围是 _解析：由x2x20，2x2（52k）x5k0?x 1或x2，（xk）（2x5）0.要使解集中所含整数只有 2，则必须 2k3.即3k2.答 案：3，2)题型 2 函数与方程思想的应用例 2 设 aR，关于x的一元二次不等式7x2(a13)xa2a 20 的解集是 x|x，且 012，求a的取值范围分析：本题实质是一元二次方程根的分布问题，要结合二次函数解决由不等式7x2(a13)xa2a 20 的解集是 x|x，可知方程7x2(a 13)xa2a20 的两根为，且两根分别在(0，1)与(1，2)内，可利用一元二次方程根的分布知识解决这个问题解析：因为不等式7x2

5、(a13)xa2a20 的解集是 x|x，所以方程 7x2(a13)xa2a 20 的两根为，.令f(x)7x2(a13)xa2a 2，因为 012，所以(0，1)，(1，2)由f(x)的图象知f（0）0，f（1）0，f（2）0?a2a20，7（a13）a2a20，28 2（a13）a2a20?a2a20，a22a 80，?2a 1或 3a4.a23a 0所以a的取值范围是(2，1)(3，4)?归纳拓展函数思 想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程

6、或对方程的讨论使问题得以解决函数与方程二者密不可分，如函数解析式yf(x)也可看作方程函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等函数与方程思想体现了静与动，变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一具体包括：利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况，讨论不等式的取值情况；利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实际中的应用；利用方程解决有关函数的问题函数、方程、不等式三者密不可分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解如f(x)a恒成立等价于f(x)mina.?变式迁移3求证：sin2x4sin2x5.证明：设 sin2

7、xt，原式变形为f(t)t4t，则f(t)在t(0，1 时为单调递减函数0sin2x1，当 sin2x 1，即t1时，f(t)有最小值，f(t)min5.f(t)t4t5，即 sin2x4sin2x5.4定义在(1，1)上的奇函 数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1a)f(1 a2)0，求实数a的取值范围解析：由f(1 a)f(1 a2)0 得f(1 a)f(1a2)f(a2 1)，11a1，1aa21，11a21?0a1.a的取值范围是(0，1)题型 3 分类讨论思想的应用例 3 解关于 x 的不等式(m3)x22mx m 20(mR)分析：从形式上看是二次不等式，故须对m3 讨论，讨

8、论它是不是一元二次不等式解析：(1)当m 3 时，原不等式化为6x50，故原不等式的解集是，56.(2)当m 3 时，4m24(m3)(m2)4(6 m)当m6 时，则原不等式等价于(3x2)20，故原不等式的解集是，23 23，.当m6 时，则 0 且m30，所以原不等式的解集是R.当 3m 6时，则 0 且m30，所以原不等式的解集是，m6mm3m6mm3，.若m 3，则 0，且m3 0，所以原不等式的解集是m6mm3，m6mm3.?归纳拓展分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破 在解答数学题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性

9、，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体上的解决 通俗一点说，就是“化整为零，各个击破”，这种处理数学问题的思想，就是“分类讨论”的思想，分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用分类讨论的一般步骤：明确讨论对象，确定对象的范围；确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；逐类讨论，获得阶段性结果；归纳总结，得出结论?变式迁移5已知 loga(a2 1)loga(2a)0，则a的取值范围是(B)A0a1 B.12a1 C0a12 Da1 解析

10、：当 0a1 时，可得a212a1，解得12a1；当a1 时，可得a21 2a1，无解6解关于x的不等式a（x1）x 21(a1)解析：不等式a（x1）x 21(a1 且a0)，变形得：（a1）x（a2）x20，可化为（a1）x（a2）0，x20或（a1）x（a2）0，x20，当a10，即a1 时：当a 2a 12，即a0 时，无解；当a 2a 12，解得a0，即a1 时，解得xa2a1或x2.当a10，即a1 且a0 时：当a 2a 12，即 1a2 时，无解；当a 2a 12，即a1 时，解得a2a1x2.综上，当a1 时，原不等式的解集为x xa2a1或x2；当a1 且a0时，原不等式的

11、解集为xa 2a 1x2.题型 4 数形结合思想的应用例 4 求使log2(x)x1 成立的 x 的取值范围分析：因不等式左边为对数式，右边为整式，故不可解，所以可借助函数图象求解解析：如右图，在同一平面直角坐标系中作出函数y1log2(x)，y2x1 的图象，易知两图象交于点(1，0)显然 y1y2的 x 的取值范围是(1，0)?归纳拓展数形结合就是把数学关系的精确刻画(代数关系)与几何图形的直观形象有机结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，可以用数形结合的思想寻找解题思路，具体体现为：由数化

12、形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反映出它们的数量关系，从而解决问题；由形化数，借助于图形，通过观察研究，得出图形中蕴含的数量关系，反映出事物的本质特征；数形转换，化抽象为直观，化难为易?变式迁移7(2013四川卷)已知 f(x)是定义域R上的偶函数，当x0 时，f(x)x24x，则不等式f(x2)5 的解集是 _解析：作出yf(x)的图象(如图)，f(5)f(5)5.|x2|5，即 7x3.答案：(7，3)8已知关于x的方程(m1)x22(2m 1)x13m 0 的两根为x1，x2，若x11x23，求实数m的取值范围解析：令f(x)(m1)x22(2m1)x13m，其图象如下图所示，由图及题意可知：（m1）f（1）（m1）（2m4）0，（m1）f（3）（m1）（18m16）0，即 2m 1，m 1或m89，2m 1.故所求的m的取值范围为m|2m 1