2020年中考全真模拟考试《数学卷》带答案解析.pdf

《2020年中考全真模拟考试《数学卷》带答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年中考全真模拟考试《数学卷》带答案解析.pdf（28页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、中考数学综合模拟测试卷学校 _ 班级 _ 姓名 _ 成绩 _ 一、选择题1.5 的相反数是（）A.5B.5C.15D.152.把 0.0813 写成 a10n（1a10，n 为整数）的形式，则a为（）A.1 B.2 C.0.813 D.8.13 3.下列立体图形中，主视图是三角形的是（）.A.B.C.D.4.如图，直线,a b被,c d所截，且/ab，则下列结论中正确的是()A.12B.34C.24180oD.14180o5.已知 x1、x2是关于 x 的方程 x2 ax2=0 的两根，下列结论一定正确的是（）A.x1x2B.x1+x20C.x1?x20D.x10，x2 0 6.在只有 15

2、人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，若选手要想知道自己是否进入前8 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的()A.平均数B.中位数C.众数D.以上都不对7.如图，AC 是 O 的直径，弦BD AO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OFBC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF 的长度是（）A.3cmB.6cmC.2.5cmD.5cm 8.如图，A、B、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则 tanBAC 的值为（）A.12B.1 C.33D.39.抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b24ac0；9a3b+

3、c=0；若点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，则y1 y2；5a2b+c0其中正确的个数有（）A.2 B.3 C.4 D.5 10.如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以二、填空题11.计算：01(32019)2=_12.写出一个满足317的整数 a 的值为 _13.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知AB BD，CDBD，垂足分别为 B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C 端应下降的垂直距

4、离CD 为_.14.如图，一次函数 y=x2 与 y=2x+m的图象相交于点P（n，4），则关于 x 的不等式组2220 xmxx的解集为 _ 15.刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R此时圆内接正六边形的周长为6

5、R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为_ （参考数据：sinl5 0.26）三、解答题16.先化简，再求值：（111x）21xx，其中 x=2sin45+117.老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5 册的学生的概率；（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6 册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了人1

6、8.已知：如图，以等边 ABC的边 BC 为直径作 O，分别交AB，AC 于点 D，E，过点 D 作 DFAC 交AC 于点 F（1）求证：DF 是 O 的切线；（2）若等边 ABC 的边长为8，求由?DE、DF、EF 围成的阴影部分面积19.某地 2015 年为做好“精准扶贫”，投入资金1280 万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017 年在 2015 年的基础上增加投入资金1600 万元（1）从 2015年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在 2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500 万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000

7、户（含第 1000 户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5 元，按租房400 天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？20.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx（k 为常数且k 0）的图象交于A（1，a），B两点，与 x 轴交于点C（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点 P在 x 轴上，且SACP=32S BOC，求点 P的坐标21.如图，在边长为2 的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设02DQtt，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作 QEAB 于点E，过M作MFBC于点F（1）当1t时，求证：PEQNFM

8、；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值22.如图，直线y=34x+3 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B抛物线y=38x2+bx+c 经过 A、B两点，与x轴的另一个交点为C（1）求抛物线的解析式；（2）点 P是第一象限抛物线上点，连接 OP交直线 AB于点 Q 设点 P的横坐标为m，PQ与 OQ的比值为 y，求 y 与 m的关系式，并求出PQ与 OQ的比值的最大值；（3）点 D是抛物线对称轴上的一动点，连接 OD、CD，设ODC 外接圆的圆心为M，当 sin ODC 的值最大时，求点 M的坐标答案与解析一、选择题1.5

9、 的相反数是（）A.5B.5C.15D.15【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义即可【详解】解：5 的相反数是5，故选：B【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是02.把 0.0813 写成 a10n（1a10，n 为整数）的形式，则a为（）A.1B.2C.0.813D.8.13【答案】D【解析】把 0.0813 写成 a10n（1a10，n 为整数）的形式，则a为 8.13，故选 D3.下列立体图形中，主视图是三角形的是（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图【详解】A、C、D

10、 主视图是矩形，故A、C、D 不符合题意；B、主视图是三角形，故B 正确；故选 B【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形4.如图，直线,a b被,c d所截，且/ab，则下列结论中正确的是()A.12B.34C.24180oD.14180o【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质进行判断即可得.【详解】如图，a/b，1=5，3=4，2+5=180，无法得到2=5，即得不到1=2，由已知得不到24180o、14180o，所以正确的只有B 选项，故选 B.【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.5.已知 x1、x2是关于 x 的方程 x2 ax2=0

11、 的两根，下列结论一定正确的是（）A.x1x2B.x1+x20 C.x1?x20 D.x10，x2 0【答案】A【解析】分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出0，由此即可得出x1x2，结论 A 正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合 a的值不确定，可得出B 结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1?x2=2，结论 C 错误；D、由 x1?x2=2，可得出x10，x20，结论 D 错误综上即可得出结论详解：A=（a）24 1（2）=a2+80，x1x2，结论 A 正确；B、x1、x2是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，x1+x2=a，a的值不确定，B 结论

12、不一定正确；C、x1、x2是关于 x 的方程 x2ax2=0 的两根，x1?x2=2，结论 C 错误；D、x1?x2=2，x10，x20，结论 D 错误故选 A点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键6.在只有 15 人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，若选手要想知道自己是否进入前8 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的()A.平均数B.中位数C.众数D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】此题是中位数在生活中的运用，知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前8 名【详解】15 名参赛选手的成绩各不相同，第8

13、名的成绩就是这组数据的中位数，所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前8 名故选 B【点睛】理解平均数，中位数，众数的意义.7.如图，AC 是 O 的直径，弦BD AO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OFBC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF 的长度是（）A.3cmB.6cmC.2.5cmD.5cm【答案】D【解析】分析：根据垂径定理得出OE 的长，进而利用勾股定理得出BC 的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可详解：连接OB，AC 是 O 的直径，弦BDAO 于 E，BD=8cm，AE=2cm 在 RtOEB 中，OE2+BE2=OB2，即 OE2+42=

14、（OE+2）2解得：OE=3，OB=3+2=5，EC=5+3=8 在 RtEBC 中，BC=2222484 5BEECOFBC，OFC=CEB=90 C=C，OFC BEC，OFOCBEBC，即544 5OF，解得：OF=5故选 D点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE 的长8.如图，A、B、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则 tanBAC 的值为（）A.12B.1C.33D.3【答案】B【解析】【分析】连接 BC，由网格求出AB，BC，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到 ABC 为等腰直角三角形，即可求出所求【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=5，A

15、C=10，即 AB2+BC2=AC2，ABC 为等腰直角三角形，BAC=45 ，则 tanBAC=1，故选 B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键9.抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b24ac0；9a3b+c=0；若点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，则y1 y2；5a2b+c0其中正确的个数有（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】分析：根据二次函数的性质一一判断即可【详解】详解：抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），-2ba=-1，a+b+c=0，

16、b=2a，c=-3a，a0，b0，c0，abc0，故错误，抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），可知抛物线与x 轴还有另外一个交点（-3，0）抛物线与x 轴有两个交点，b2-4ac0，故正确，抛物线与x 轴交于（-3，0），9a-3b+c=0，故正确，点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，（-0.5，y1）关于对称轴的对称点为（-1.5，y1）（-1.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，且在对称轴左侧，-1.5-2，则 y1y2；故错误，5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a0，故正确，故选 B【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活

17、运用所学知识解决问题，属于中考常考题型10.如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以【答案】A【解析】试题分析：剪拼如下图：乙故选 A 考点：剪拼，面积不变性，二次方根二、填空题11.计算：01(32019)2=_【答案】12【解析】【分析】根据零次幂和负指数幂的运算法则计算即可【详解】原式=112=12故答案为：12【点睛】本题考查零次幂与负指数幂，熟记010aa，10nnaaa，是解题的关键12.写出一个满足317的整数 a 的值为 _【答案】答案不唯一：2

18、、3、4【解析】【分析】根据算术平方根性质估计两个无理数的大小，即13a1725=5，便可得出答案【详解】解：因为13a1725=5,所以，正整数a是 2，3，4故答案为：答案不唯一：2、3、4【点睛】本题考核知识点：实数的大小比较解题关键点：根据算术平方根性质估计无理数的大小13.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知AB BD，CDBD，垂足分别为 B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为_.【答案】0.4m【解析】【分析】先证明 OAB OCD，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可.【详解】ABB

19、D，CDBD，ABO=CDO.AOB=COD,OAB OCD，AO:CO=AB:CD,4:1=1.6:CD,CD=0.4.故答案为0.4.【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键14.如图，一次函数 y=x2 与 y=2x+m的图象相交于点P（n，4），则关于 x 的不等式组2220 xmxx的解集为 _【答案】2x2【解析】【分析】先将点 P（n，4）代入 y=x2，求出 n 的值，再找出直线y=2x+m 落在 y=x 2 的下方且都在x 轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可【详解】一次函数y=x 2的图象过点

20、P（n，4），4=n2，解得 n=2，P（2，4），又 y=x2 与 x 轴的交点是（2，0），关于 x 的不等式组2220 xmxx的解集为22x故答案为22x【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n 的值，是解答本题的关键15.刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣刘徽计算圆周率

21、是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为_（参考数据：sinl5 0.26）【答案】3.12【解析】【分析】连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到A1OA230，A1OA2是等腰三角形，作OMA1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出A1OM15，A1A22A1M设圆的半径R，解直角A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周长L，那么圆周率2LR【详解】如图，设半径为R的圆内接正十二

22、边形的周长为L连接OA1、OA2，十二边形A1A2A12是正十二边形，A1OA230作OMA1A2于M，又OA1OA2，A1OM15，A1A22A1M在直角A1OM中，A1MOA1?sin A1OM0.26R，A1A22A1M 0.52R，L12A1A26.24R，圆周率 2LR6.242R3.12 故答案为3.12【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键三、解答题16.先化简，再求值：（111x）21xx，其中 x=2sin45+1【答案】x1，2【解析】【分析】先将括号内通分计算，再将除法变乘法，约分化简，最后代入x 的值计算

23、即可【详解】原式=1xx?(1)(1)xxx=1x，当 x=222+1=2+1 时，原式=2+11=2【点睛】本题考查分式的化简求值与特殊角度的三角函数值，熟练掌握分式的混合计算，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键17.老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5 册的学生的概率；（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6 册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了人【答案】（1）条形图中

24、被遮盖的数为9，册数的中位数为5；（2）选中读书超过5 册的学生的概率为512；（3）3【解析】【分析】（1）用读书为6 册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和 7 册的人数得到读书5 册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；（2）用读书为6 册和 7 册的人数和除以总人数得到选中读书超过5 册的学生的概率；（3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数【详解】（1）抽查的学生总数为6 25%=24（人），读书为 5 册的学生数为24564=9（人），所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；（2）选中读书超过5 册的

25、学生的概率=1052412；（3）因为 4 册和 5 册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人，故答案为3【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数以及概率公式，读懂统计图，从中找到必要的信息进行解题是关键；概率的计算公式为：随机事件A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数18.已知：如图，以等边 ABC 的边 BC 为直径作 O，分别交 AB，AC 于点 D，E，过点 D 作 DFAC 交AC 于点 F（1）求证：DF 是 O 的切线；（2）若等边 ABC 的边长为8，求由?DE、DF、EF 围成的阴影部分面积【答案】（1

26、）证明见解析；（2）86 33【解析】分析：（1）连接 CD、OD，先利用等腰三角形的性质证AD=BD，再证 OD 为 ABC 的中位线得DOAC，根据 DF AC 可得；（2）连接 OE、作 OGAC，求出 EF、DF 的长及 DOE 的度数，根据阴影部分面积=S梯形EFDO-S扇形DOE计算可得详解：（1）如图，连接CD、OD，BC 是 O 的直径，CDB=90 ，即 CDAB，又 ABC 是等边三角形，AD=BD，BO=CO，DO 是 ABC 的中位线，ODAC，DFAC，DFOD，DF 是 O 的切线；（2）连接 OE、作 OGAC 于点 G，OGF=DFG=ODF=90 ，四边形 O

27、GFD 是矩形，FG=OD=4，OC=OE=OD=OB，且 COE=B=60 ，OBD 和OCE 均为等边三角形，BOD=COE=60 ，CE=OC=4，EG=12CE=2、DF=OG=OCsin60=23，DOE=60 ，EF=FG-EG=2，则阴影部分面积为S梯形EFDO-S扇形DOE=12（2+4）23-260?4360=86 33.点睛：本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90 即可注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长19.某地 2015 年为做好“精准扶贫”，投入资金1280 万元

28、用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017 年在 2015 年的基础上增加投入资金1600 万元（1）从 2015年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在 2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500 万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000 户（含第 1000 户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5 元，按租房400 天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？【答案】（1）50%；（2）今年该地至少有1900 户享受到优先搬迁租房奖励【解析】【分析】（1）设年平均增长率为x，根据“2015年投入资金 （1+增长率）

29、2=2017 年投入资金”列出方程，解方程即可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前 1000 户获得的奖励总数+1000 户以后获得的奖励总和 500 万”列不等式求解即可【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x=0.5 或 x=2.25（舍），答：从 2015 年到 2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设今年该地有a 户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000 8 400+（a1000）54005000000，解得：a1900，答：今年该地至少有1900 户享

30、受到优先搬迁租房奖励考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.20.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx（k 为常数且k 0）的图象交于A（1，a），B两点，与 x 轴交于点C（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点 P在 x 轴上，且SACP=32S BOC，求点 P的坐标【答案】（1）y=-3x（2）点 P（6，0）或（2，0）【解析】【分析】（1）利用点A 在 y=x+4 上求 a，进而代入反比例函数kyx求 k（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标【详解】（1）把点 A（1，a）代入 y=x+4，得 a=3，A（1，3）把 A（1，3）代入

31、反比例函数kyxk=3，反比例函数的表达式为3.yx（2）联立两个函数的表达式得4yxkyx解得13xy或31xy点 B 的坐标为B（3，1）当 y=x+4=0 时，得 x=4 点 C（4，0）设点 P的坐标为（x，0）32ACPBOCSS，131344 1,222x解得 x1=6，x2=2 点 P（6，0）或（2，0）【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达21.如图，在边长为2 的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设02DQtt，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作

32、QEAB 于点E，过M作MFBC于点F（1）当1t时，求证：PEQNFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值【答案】（1）见解析；（2）21522Stt，S的最小值为2【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是正方形得到90ABD，ADAB，又由EQPFMN，利用ASA 即可证得；（2）分为两种情况：当E在AP上时，由点P是边AB的中点，2AB，DQAEt，又由勾股定理求得PQ，由PEQNFM得到PQ的值，又PQMN求得面积S，由t范围得到S的最小值；当E在BP上时，同法可求S的最小值【详解】解：（1）证明：四边形ABCD是

33、正方形，90ABD，ADAB，QEAB，MFBC，90AEQMFB，四边形ABFM、AEQD都是矩形，MFAB，QEAD，MFQE，MF=QE 又PQMN，190EQP，290FMN，12，EQPFMN，又90QEPMFN，ASAPEQNFM（）；（2）解：分为两种情况：当E在AP上时，点P是边AB的中点，2AB，DQAEt，1PA，1PEt，2QE，由勾股定理，得22214PQQEPEt，PEQNFM，214MNPQt，又PQMN，221115142222SPQ MNttt，0AEAP 01t，当1t时，2S最小值当E在BP上时，点P是边AB的中点，2AB，DQAEt，1PA，1PEt，2Q

34、E，由勾股定理，得22214PQQEPEt，PEQNFM，214MNPQt，又PQMN，22111514tt2222SPQ MNt，APAEAB 12t，当1t时，2S最小值综上：21522Stt，S的最小值为2【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质、求四边形的面积最值，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质、对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半、和利用二次函数求最值是解决此题的关键22.如图，直线y=34x+3 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B抛物线y=38x2+bx+c 经过 A、B两点，与x轴的另一个交点为C（1）求抛物线的解析式；（2）点 P是第一

35、象限抛物线上的点，连接 OP交直线 AB于点 Q 设点 P的横坐标为m，PQ与 OQ的比值为 y，求 y 与 m的关系式，并求出PQ与 OQ的比值的最大值；（3）点 D是抛物线对称轴上的一动点，连接 OD、CD，设ODC 外接圆的圆心为M，当 sin ODC 的值最大时，求点 M的坐标【答案】（1）抛物线解析式为y=38x2+34x+3；（2）y=18m2+12m，PQ与 OQ的比值的最大值为12；（3）点 M的坐标为（1，3）或（1，3）【解析】【分析】（1）根据直线解析式求得点A、B 的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；（2）过点 P作 y 轴的平行线交AB 于点 E，据此知 P

36、EQ OBQ，根据对应边成比例得y=13PE，由 P（m，38m2+34m+3）、E（m，34m+3）得 PE=38m2+32m，结合 y=13PE 可得函数解析式，利用二次函数性质得其最大值；（3）设 CO 的垂直平分线与CO 交于点 N，知点 M 在 CO 的垂直平分线上，连接 OM、CM、DM，根据 ODC=12CMO=OMN、MC=MO=MD知 sinODC=sin OMN=1NOMOMO，当 MD取最小值时，sinODC 最大，据此进一步求解可得【详解】（1）在 y=34x+3 中，令 y=0 得 x=4，令 x=0 得 y=3，点 A（4，0）、B（0，3），把 A（4，0）、B（

37、0，3）代入 y=38x2+bx+c，得：2344083bcc，解得：343bc，抛物线解析式为y=38x2+34x+3；（2）如图 1，过点 P作 y 轴的平行线交AB 于点 E，则PEQ OBQ，PQPEOQOB，PQOQ=y、OB=3，y=13PE，P（m，38m2+34m+3）、E（m，34m+3），则 PE=（38m2+34m+3）（34m+3）=38m2+32m，y=13（38m2+32m）=18m2+12m=18（m 2）2+12，0m3，当 m=2 时，y最大值=12，PQ 与 OQ的比值的最大值为12；（3）如图，由抛物线y=38x2+34x+3 易求 C（2，0），对称轴为

38、直线x=1，ODC 的外心为点M，点 M 在 CO 的垂直平分线上，设 CO 的垂直平分线与CO 交于点 N，连接 OM、CM、DM，则 ODC=12CMO=OMN、MC=MO=MD，sinODC=sin OMN=1NOMOMO，又 MO=MD，当 MD 取最小值时，sinODC 最大，此时 M 与直线 x=1 相切，MD=2，MN=22OMON=3，点 M（1，3），根据对称性，另一点（1，3）也符合题意；综上所述，点M 的坐标为（1，3）或（1，3）【点睛】本题考查了函数与几何综合题，涉及到待定系数法、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、最值问题等，综合性质较强，有一定的难度，正确添加辅助线，利用数形结合思想、灵活应用相关知识是解题的关键.