2020年河南省郑州市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷二.pdf

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1、数学试卷一、选择题1.已知集合2215021Ax xxBx xnnN=+-,=-,，则AB()A113-,B 11-,C5311 3-,-,-,D311-,-,2.已知复数z满足3i=1-3iz，则z=()A3iB3iC6iD 6i3.已知向量3,1br，问量ar为单位向量，且1a brr，则2abrr与2ar的夹角余弦值为()A12B33C12D334.已知等差数列na的前n项和为nS，4422,330,176nnSSS，则n()A.14 B.15 C.16 D.17 5.已知函数()eexxf x(e为自然对数的底数)，若0.50.5,0.7log0.7ab，0.7log5c，则()A()

2、()()f bf af cB()()()f cf bf aC()()()f cf af bD()()()f af bf c6.已知函数2cos03fxx在,3 2上单调递增，则的取值范围是()A2,23B20,3C2,13D0,27.已知fx 是定义在R 上的偶函数，且在,0上是增函数.设8log 0.2af0.3log4bf,1.12cf，则,a b c的大小关系是()A.cbaB.abcC.acbD.cab8.在平面五边形ABCDE中，60,6 3,AABAEBCCD DECD 且6BCDE.将五边形ABCDE沿对角线BE折起，使平面ABE与平面BCDE所成的二面角为120，则沿对角线BE

3、折起后所得几何体的外接球的表面积为()A.84 63B.84C.252D.1269.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，向量,cos,cos,aBAb，若，则ABC一定是()A锐角三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形10.已知()(ln1)(ln1)fxaxxxx与2()g xx 的图像至少有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是()A12,22B1,12C2,12D(1,2)11.平面直角坐标系xOy 中，若角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 O 交于点00(,)P xy，且(,0)2，3cos()65，则0 x的值为()A3 3

4、410B4 3310C3 3410D4 331012.关于函数()ln(1)ln(3)f xxx 有下述四个结论：fx在(1,3)单调递增()yf x的图像关于直线1x对称()yf x 的图像关于点1,0对称fx的值域为R其中正确结论的个数是()A0 B 1 C2 D3 二、填空题13.曲线2cos2fxxx在点0,0f处的切线方程为_14.nS是等比数列na的前n项和，231062,aaa，则6S=_ 15.函数()4sin3cosfxxx，且对任意实数x 都有()(2)()f xfxR，则cos2_16.规定t 为不超过t的最大整数，如3132 93,=,-,=-若函数2()fxxxxR-

5、=，则方程22fxfx的解集是 _三、解答题17.已知a b c,分别是ABC 的角A B C,的对边，且2224cabab,(1)求角C；(2)若22sinsinsin2sini(2)s nBACAC，求ABC 的面积18.已知数列na满足*122110,1,R2nnnaaaaanN(1)若1nnnbaa，试问是否存在实数，使得数列nb是等比数列?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；(2)在 1 的条件下，求数列na的通项公式19.如图，底面ABCD 是等腰梯形，/,224ADBC ADABBC，点 E为AD的中点，以BE为边作正方形BEFG，且平面BEFG平面 ABCD(1)证明：平

6、面ACF平面 BEFG(2)求二面角ABFD的正弦值20.某市交通局为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的措施，将市区公交站点的重新布局和建设作为重点项目市交通局根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该方案进行调查，并根据调查结果决定是否启用该方案调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该方案进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图相关规则：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分，低于60 分认为不满意，不低于60 分认定为满意(其中60,70内认定为基本满意，70,80内认定为满意，不低于80 分认定为非常满意)；市民对公交站点

7、布局的满意率不低于70 即可启用该方案；用样本的频率代替概率(1)从该市 100 万市民中随机抽取4 人，求至少有3 人满意该方案的概率，并根据所学统计学知识判断该市是否可启用该方案，说明理由(2)现采用分层抽样从评分在50,60 与80,90内的市民中共抽取7人，并从中抽取3 人担任群众督查员，记 X 为群众督查员中评定为满意的人数，求随机变量X的分布列及其数学期望EX.21.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，且椭圆 C 上的点到直线2y的最长距离为22(1)求椭圆 C 的方程(2)过点2,0Q的直线 l 与椭圆 C 交于,A B两点，试问在直线2y上是否存在点P，使直线

8、PA与直线PB的斜率之和是直线PQ 的斜率的2倍?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由22.已知函数252lnfxxxx(1)求fx 的极值；(2)若123fxfxfx，且123xxx，证明：313xx参考答案1.答案：A 解析：因为|53,|21,1,1,3,5.AxxBx xnnN,所以1,1,3ABI2.答案：D 解析：由题意得，13i33iiz，所以6iz.3.答案：A 解析：记2,OOAaOaBbCu uuuuu rruuu rrrr，由|1,|2abrr，且1a brr知60AOB，2,|2,60abBCOCOBBOCrruu u ruuu ruuu r，OBC为正三角形

9、，OBC，2,260abarrr，选 A 4.答案：B 解析：123422aaaa，4123154nnnnnnSSaaaa14176naa，144naa由12nnn aaS得443302n，15n5.答案：D 解析：因为0.50.71,01,0abc，abc又fx在 R 上是单调递减函数，故()()()f af bf c 6.答案：B 解析：因为cosyx在,0上单调递增，所以cosyx在,0 上单调递增，所以2cos03fxx在2,33上单调递增，则 2,3 233，解得2037.答案：A 解析：由题意可知,fx在,0上是增函数，在0,上是减函数.因为0.30.30.8888100102lo

10、glog4log1,1log 0.125log 0.2log 1093,1.122,所以1.180.8|log 0.2|log4|2|,cba故8.答案：C 解析：设ABC的中心为 M，矩形 BCDE 的中心为 N，过 M 作垂直于平面ABE的直线1l，过N 作垂直于平面BCDE 的直线2l，由球的性质可知，直线1l与2l的交点O 即为几何体ABCDE 外接球的球心，取BF的中点 F，连接,AF NF OA OF,据此可作出以下图形：60,BAEABAE，ABE为等边三角形，,BCCD DECD，且6BCDE，四边形 BCDE 为矩形，119333MFAF，116322NFBC，,90MFNF

11、OMFONF，OMON，PFMOFN，120MFN，60OFMOFN，33 3OMFN，936AMAFMF，2222263 363OAAMOM，OA为几何体外接球的半径，外接球的表面积244 63252SOA9.答案：D 解析：因.所以coscos0aAbB，所以coscosbBaA，由正弦定理可知sincossincosBBAA.所以 sin2sin2AB.又,0,A B，且0,AB，所以22AB.或22AB.所以AB，或6AB，则ABC是等腰三角形或直角三角形.10.答案：B 解析：方程ln1ln1()()()(1)1xxf xg xaxx至少有三个不等的实根令ln1()xt xx得2()

12、(1)1(1)10atttata因为2ln()xtxx，所以ln1()xt xx在0,1 上单调递增，在1,上单调递减且t x的最大值11t，x 轴是t x的渐近线所以方程的两个根12,t t的情况是：（）若12,0,1t t且12tt，则fx 与g x的图像有四个不同的公共点则121 21212000(1)(1)0(1)(1)0ttat ttttt无解（）若1(0,1)t且21t或20t，则fx与g x的图像有三个不同的公共点，则a无解（）若1(0,1)t且20t，则fx 与g x的图像有三个不同的公共点令2()(1)1h ttata则(0)01011(1)02102haaha11.答案：A

13、 解析：因为(,0)2，3cos()65，所以(,)63 6，若(0,)66，33cos()625，所以不符合，所以(,0)63，4sin()65所以033413 34coscos()66525210 x.12.答案：D 解析：fx的定义域是1,3，1()ln3xf xx，令：14()1(0,)33xt xxx所以t x在1,3单调递增，()ln()f xt x 在1,3单调递增，且值域为R又因为22(1)ln,(1)ln22xxfxfxxx所以(1)(1),(1)(1)fxfxfxfx所以正确，是错误的13.答案：1y解析：22sin 2fxxx，00f，又01f故fx在 0,0f处的切线方

14、程为1y14.答案：632解析：因为na为等比数列，所以2106aa，即27326333aqaqaq32aq，又231aa q，112a，61661163112aqSaqq15.答案：725解析：依题意为fx极值点，()0f，4cos3sin04tan3，221tan7cos21tan2516.答案：1,02,3U解析：由22fxf x（），得210fxfx，解得2f x（）或1f x（）.当2f x（）时，2 2xx，解得22x或1x.当2x时，解得2,3x；当1x时，解得1,0 x；当1f x（）时，2 1xx.无解.综上，方程22fxf x（）的解集是1,02,3U17.答案：（1）由余

15、弦定理，得2221cos222abcabCabab又0,C，所以3C（2）由22sinsinsin2sin 2sinBACAC，得22sin 2sinsin2sin 2sinBCAAC，得222sinsinsin4sincossinBCAAAC，再有正弦定理得2224 cosbcaaA，所以 2 cos4 cosbAaA，所以2ba或 cos0A当2ba时，因为222cos43abab，联立得24,33ab，所以222bac，所以2B，所以ABC 的面积1122 322233Sac当 cos0A时，因0,A，所以2A，所以223tan3b,所以ACB 的面积1122 322233Sbc综上，A

16、CB 的面积为2 33解析：18.答案：（1）由2112nnnaaa,得21111+2nnnnnaaaaa，因为1nnnbaa,所以1112nnnbba.要使数列nb是等比数列,需使102na对任意*nN 恒成立，所以102,解得12.此时112nnbb,且首项112011baa.所以存在12,使得数列nb是首项为1,公比为12的等比数列。(2)由 1 知,11111122nnnnnbaa，所以1222nnnnaa.令2nnnca,得1122nncc,即124nncc，所以144233nncc.因为10a,所以114442333ca，所以数列43nc是以43为首项，-2 为公比的等比数列，所以

17、144233nnc，即1442233nnna，所以1212442213 23233nnnnnna.即21*22133nnnanN.解析：19.答案：(1)因为点 E 为AD的中点，3ADBC，所以 AEBC.因为/ADBC，所以/AEBC，所以四边形ABCE 是平行四边形.因为 ABBC，所以平行四边形ABCE 是菱形，所以ACABCE.因为平面 BEFG平面 ABCD，且平面BEFGI平面 ABCDBE，所以 AC平面 BEFG.因为 AC平面 ACF，所以平面ACF平面 BEFG.(2)记,AC BE的交点为O，再取 FG 的中点 P.由题意可知,AC BE OP两两垂直，故以O为坐标原点

18、，以射线,OB OC OP分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为底面ABCD 是等腰梯形，/ADBC，224ADABBC,所以四边形ABCE 是菱形，且60BAD，所以0,3,0,1,0,0,1,0,0,2,3,0,1,0,2ABEDF，则1,3,0,2,0,2,3,3,0ABBFBDuuu ruuu ru uu r.设平面ABF的法向量为111,mx yzu r，则111130220m ABxym BFxzu ru uu ru ru uu r，不妨取11y，则3,1,3mu r.设平面DBF的法向量为222,nxyzr，则2222330220n BD

19、xyn BFxzruuu rruuu r，不妨取21x，则1,3,1nr.故3105cos,3575m nm nmnurru r ru rr.记二面角ABFD的大小为，故34 70sin13535.解析：20.答案：（1）由题意可得被调查者不满意的频率是1(0.050.15)105，则满意的频率为45，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1 人，该人满意该方案的概率为45，记事件A为“抽取的4 人至少有3 人满意该方案”，则443344441512()()().555625P ACC分角度 1：根据题意，60 分或以上被认定为满意，在频率分布直方图中.评分在60,100的频率为4(

20、0.0240.0320.020.004)100.75，故根据相关规则该市应启用该方案.角度 2：由平均分为450.05550.15650.24750.32850.2950.0470.970，故根据相关规则该市应启用该方案.（2）因为评分在50,60与评分在80,90的频率之比为3:4.所以从评分在50,60内的市民中抽取3 人评分在80,90内的市民中抽取4 人，则随机变量X 的所有可能取值0,1,2,3.3213313377112(0),(1)3535CCCP XP XCC,1233443377184(2),(3)3535CCCP XP XCC,则 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 1

21、3512351835435X的数学期望112184120123.353535357EX解析：21.答案：（1）由题意可设椭圆的半焦距为C，由题意可得22222232bcaabc解得222ab，故椭园 C 的方程为221.82xy（2）（i）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11220(2),(,),(,),(,2)yk xAxyBxyP x，则1201020222,2PAPBPQyykkkxxxxx.联立222182yk xxy整理得2222(41)161680kxk xk，则2212122216168.4141kkxxxxkk故121201020102222222PAPByykkxk

22、kxkkxxxxxxxx0012122012012(44)(22)()2()k xkxkxxkx xxxxxx x,整理得20002220001624(4)44.4282PAPBxkxkxkkxkxx（）（）因为022PQkx，所以200022200016(2)4(4)44.4(2)82xkxkxxkxx整理得000(4)(2)2(4)0 xxkx，即00(4)(2)20 xxk，解得04x(ii)当直线 l 的斜率不存在时，经检验4,2P也满足条件,故存在点4,2P，使得2PAPBPQkkk解析：22.答案：（1）因为2()5lnf xxxx，所以2(21)(2)()25(0)xxfxxxx

23、x,所以当1(0,)(2,)2xU时，0fx；当1(,2)2x时，0fx，则fx的单调递增区间为1(0,)2和2,，单调递减区间为1,22故fx的极大值为19()2ln 2;()24ff x的极小值为(2)62ln 2.f（2）证明：由1 知123102.2xxx设函数1()()(1),(0,),2F xf xf xx2(21)(2)(21)(1)2(21)()()(1),1(1)xxxxxFxfxfxxxx x则0Fx在10,2上恒成立，即F x在上单调递增，故1()()02F xF，即()(1)f xfx 在10,2上恒成立，因为1(0,)2x,所以211()()(1).f xf xfx因为211,1(,2)2xx，且fx 在1(,2)2上单调递减，所以211xx，即121xx设函数1()(4),(,2),2G xf xfxx（）2(21)(2)(27)(2)2(2)()()(4)4(4)xxxxxgxfxfxxxxx则0gx在1,22上恒成立，即G x在1,22上单调递增，故()(2)0G xG，即()(4)f xfx 在1,22上恒成立.因为21(,2)2x，所以322()()(4)f xf xfx因为32,4(2,)xx，且fx 在2,上单调递增，所以324xx，即234.xx结合，可得313xx解析：