(最新)固体物理第3章晶格振动参考答案2011.pdf

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1、第三章 晶格振动 参考答案2011 3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21。试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为21221221212)2(sin411M）（qa证明：第 2n 个原子所受的力121122221212121222)()()(nnnnnnnnuuuuuuuF第 2n+1 个原子所受的力nnnnnnnnuuuuuuuF22121122112221222112)()()(这两个原子的运动方程：nnnnnnnnuuuumuuuum221211221121211222212)()(方程的解qanti

2、nqantinBeuAeu2)12(122)2(2代入到运动方程，可以得到BAeeBmABeeAmqaiqaiqaiqai)()(21222122122212经整理，有0)(0)(22122212221221BmAeeBeeAmqaiqaiqaiqai若 A，B 有非零解，系数行列式满足0,.,22122212221221meeeemqaiqaiqaiqai根据上式，有21221221212)2(sin411M）（qa3.2 具有两维正方点阵的某简单晶格，设原子质量为M，晶格常量为a，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明此二维系统的格波色散关 系为）（aq

3、aqyxcoscos22M2。解：如图所示，只考虑最近邻原子的作用，第l,m 原子受到（l+1,m），（l-1,m），（l,m+1），（l,m-1）四个原子的作用力为：（l+1,m）对它的作用力=），（mlu,m1,lu（l-1,m）对它的作用力=），（mlu,1ml,u（l,m+1）对它的作用力=），（mlu,1ml,u（l,m-1）对它的作用力=）（1,ml,umlu。由于（l+1,m）和（l-1,m）对它的作用力以及（l,m+1）和（l,m-1）对它的作用力的方向都是相反的，于是运动方程式可以写为：)2u(2ud,1,1ml,1m1,l2,2mlmlmlmlmluuuudtuM）（设解的

4、形式为tamqalqiuuyxmlexp0,代入运动方程后，得到色散关系aqaqeeeeMyxaiqaiqaiqaiqyyxxcoscos22423.3(a)解：对于一维单原子链，简正振动格波的色散关系表述为2sinsinmaqaqm（1）式中，,a m和 q 分别代表恢复力常数，晶格常数，原子质量和格波波矢。上面表明，是 q 的偶函数。设 g（q）表示 q 空间中单位间隔内振动方式数，()g表示单位频率间隔内的振动方式数，于是有12102()()maagdg q dq=1202()ag q dq（2）从（1）式知道，当 q=0 时，0：当 q=1/2a 时，m（2）式左边可以写成为1200(

5、)()madgdgdqdq（3）从（2）（3）式可以得到()2()dgg qdq即()2()dqgg qd波矢空间的态密度g(q)1()1g qNaNa式中 N 为晶格原子总数。又从（1）式得到21/2cos(1 sin)mmdaaqaaqdq=1/20()ma代入（4）既得22 1/21()2()2()mdqgg qNada=221/221()mN或21/224()()Ngm3.5(a)证明：在振动能级很密集，振动频率可以认为是准连续的情况下，晶格振动的总能量表达为01()21mBk TEgdehhh因此比热利用写成202()()()(1)BmBk TVVBBk TEeCkgdTk Tehh

6、h把频率分布22 1/221()()mNg代入上式，并令Bxk ThmDBkh则比热表示为202 1/222()1()(1)DTxBxDDNkTx edxTxe（1）在低温因为1mDBmBTTxk Tkhph因而21/22244131()1()()28DDDTTTxxxL L在低温极限下，0DT则有2202()(1)xBVxDNkTx eCdxe因为2222(1)(1)xxxxx ex eee=22(123)xxxx eeeL L=223(23)xxxxeee21nxnxnx2222001112(1)xnxxnnx edxnxx dxen=23所以2222()()33BBVDmNkNkTCTh

7、3.9 格林艾森常数。（a）证 明 频 率 为的 声 子 模 式 的 自 由 能 为TkTkBB2sinh2ln；（b）如果是体积的相对变化量，则晶体的自由能密度可以写为TkqTkBTFBB2sinh2ln21),(2其中 B 为体积弹性模量。假定q与体积关系为qqd，为 格 林 艾 森 常 数，且 与 模q无 关。证 明 当TkqqBBq2)(coth)(21时，F 对于为极小。利用内能密度的定义，证明可近似表达为BTU)(。解：（a）双曲函数基本定义sinh x=(ex e-x)/2 cosh x=(ex+e-x)/2 tanh x=sinh x/cosh x coth x=1/tanh

8、x 考虑频率为的声子模，配分函数为12222/20212sinh211.)1(eZTkeeeeeeeBTkTkTkTkTkTkTkTknBBBBBBBB(1)故自由能为TkTkZTkBBB2sinh2lnln-F(2)(b)晶体的自由能为,2sinh2lnE(V)T)F(V,qBBTkTk（3）E(V)为 0K 时晶体的内能，第二项为所有声子模的贡献。若晶体体积改为V，则qBTkT2V)V(sinh2lnkV)E(VT)V,F(VB而2202221E(V)V21E(V)T)V,E(VBVE其中022BVE为体积模量，VV，于是与有关的自由能为kBBTkVVTk2)(sinh2lnB21T),F

9、(2（4）其中qVVVVVVVVVV)()()()(（5）VVVqlnln)(为格林艾森常数。假定q与模式 q 无关，即q，则由T),F(对的极小条件qBqBBTkTkTkV)V2coth21B2VVsinh2lnBF（）（6）利用（5）式，V)V（，由此有qBTk2coth21B（7）平均热能为qBqBBVTkTkkTFTFTU2coth212sinh2lnT-TTTF-T)(2V2）（8）这里假设与 T 无关。将（8）式代入（7）式得B)(TU3.10 假定作用在 n 平面上总的力为npnppnuuF其中晶面间的力常数p为papakAp0sin，这里 A 和0k为常数，p 取所有整数。这种

10、形式的力常数主要出现在电子声子相互作用很强的金属中。(1)利用此式和晶格振动方程证明，声子色散关系为)cos1(2)(02qpaMqpp(2)计算qq)(2的表达式。证明当0qk时，qq)(2为无穷大，并讨论)(2q的变化情况。解：（1）设第 n 个原子 面对平衡位置的位移为nx，第 n+p 和 n-p 个原子面位移为npx和npx，则第 n+p 和第 n-p 个原子 面对第 n个原子 面的作用力可以写成()()(2)ppnpnpnnppnpnpnfxxxxxxx晶体中每个原子面对第n 个原子面都有相互作用力，所以第n 个原子面的运动方程为00(2)nppnpn pnppmxfxxx&试探解为

11、(2)itnaqnxAe代入到运动方程中得到2220(2)ipaqipaqppmee=0(2cos(2)2)pppaq故格波的色散关系为220024(1 cos(2)sin()pppppaqpaqmm（2）若面间力常数取papakAp0sin的形式，代入色散关系)cos1(2)(02qpaMqpp中得到)cos1(sin2)(002qpapapakAMqp和?002pqsinsin2)(papakMAqq当0qk时，1022sin2)(ppakMAqq右边级数发散，即qq)(2。这说明声子色散关系)(2q或)(q曲线在0qk处的斜率出现了垂直的正切变化，即声子色散关系曲线在0k处有扭折（kin

12、k）。这种情况称为 Kohn 反常。有关的效应 W.Kohn 在文献Phys.Rev.Letters 2(1959)393中曾作过预言。在某些金属（如 Pb,Al 等）中已经观察到这种效应。)(q的精确的中子测量实验中清楚地看到奇异点的存在。补充习题1考虑一维单原子链，原子的质量为 m，原子的间距为 a。计及所有原子间的长程作用，且最近邻原子间的恢复常数为1，次近邻以下各原子间的恢复力常数依次为2，3，L L，求原子链格波的色散关系。解 设第 n 个原子对平衡位置的位移为nx，第 n+p 和 n-p 个原子位移为npx和npx，则第n+p 和第 n-p 个原子对第n个原子的作用力可以写成()(

13、)(2)ppnpnpnnppnpnpnfxxxxxxx链上每个原子对第n 个原子都有相互作用力，所以第 n 个原子的运动方程为00(2)nppnpn pnppmxfxxx&试探解为(2)itnaqnxAe代入到运动方程中得到2220(2)ipaqipaqppmee=0(2cos(2)2)pppaq故格波的色散关系为220024(1 cos(2)sin()pppppaqpaqmm2.已 知 金 刚 石 的 弹 性 摸 量 为12210/N m，密 度 为3.52/g cm，试求金刚石的德拜温度D。解：按照德拜模型，频率在d之间的振动模式数为2233()2Vgddv引入德拜温度DDBkh由下列积分（德拜假定，格波的总个数等于晶体的自由度数3N，N 为晶体包含的原子数）0()3DgdN求得236()BDkNvVh21/36()DBvNkVh在长波极限下，波速v 等于弹性波速度Ev式中，E 为弹性摸量；为晶体的密度，由于/N Vm于是21/36()DBEkmh代入下列数据：342312233271.05 101.38 10/1.0 10/3.5 10/12 1.66 10BJ skJKEN mkg mmkgh得到2780DK