2020届高考数学例解空间直线.pdf

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1、2020届高考数学例解空间直线例 1 假设ba/，Acb，那么a，c的位置关系是 A异面直线B相交直线C平行直线D相交直线或异面直线分析：判定两条直线的位置关系，能够通过观看满足条件的模型或图形而得出正确结论解：如下图，在正方体1111DCBAABCD中，设aBA11，bAB，那么ba/假设设cBB1，那么a与c相交假设设cBC，那么a与c异面应选 D讲明：利用具体模型或图形解决咨询题的方法既直观又易于明白得一样以正方体、四面体等为具体模型例如，a，b相交，b，c相交，那么a，c的位置关系是相交、平行或异面类似地；a，b异面，b，c异面，那么a，c的位置关系是平行、相交或异面这些都能够用正方体

2、模型来判定典型例题二例 2 直线a和点A，A，求证：过点A有且只有一条直线和a平行分析：有且只有的含义讲明既有又惟一，因而那个地点要证明的有两个方面，即存在性和惟一性存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法 即找到满足条件的对象来证明；惟一性，即证明满足条件的对象只有一个，换句话讲，讲是不存在第二个满足条件的对象因此，这是否定性命题，常用反证法证明：1存在性aA，a和A可确定一个平面，由平面几何知识知，在内存在着过点A和a平行的直线2惟一性假设在空间过点A有两条直线b和c满足ab/和ac/依照公理4，必有cb/与Acb矛盾，过点A有一条且只有一条直线和a平行讲明：关于证明有且只有这类

3、咨询题，一定要注意证明它的存在性和惟一性典型例题三例 3 如下图，设E，F，G，H分不是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且ADAHABAE，CDCGCBCF，求证：1当时，四边形EFGH是平行四边形；2当时，四边形EFGH是梯形分析：只需利用空间等角定理证明FGEH/即可证明：连结BD，在ABD中，ADAHABAE，BDEH/，且BDEH在CBD中，CDCGCBCF，BDFG/，且BDFGFGEH/，顶点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内1当时，FGEH，故四边形EFGH为平行四边形；2当时，FGEH，故四边形EFGH是梯形讲明：明显，课本第11 页的例题确实是此题2

4、的专门情形专门地，当21时，E，F，G，H是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形假如再加上条件BDAC，这时，平行四边形EFGH是菱形典型例题四例 4ba、是两条异面直线，直线a上的两点BA、的距离为 6，直线b上的两点DC、的距离为8，BDAC、的中点分不为NM、且5MN，求异面直线ba、所成的角分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线ba、平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解解：如 图，连 结BC，并 取BC的 中 点O，连 结ONOM、，ONOM、分不是ABC和BCD的中位线，ABOM/，CDON/，即aOM/，bON/ONOM、所成的

5、锐角或直角是异面直线ba、所成的角又6AB，8CD，3OM，4ON在OMN中，又5MN，222MNONM，90MON故异面直线ba、所成的角是90讲明：在求两条异面直线所成的角时，一样要依据条件，找出与两条异面直线分不平行同时相交于一点的两条直线然而，异面直线所成角的定义中的点O一样是在图形中存在着的，需要认真观看分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求那个角的大小时，一样是依照平面图形中解三角形的知识求解的典型例题五例 5四面体ABCS的所有棱长均为a求：1异面直线ABSC、的公垂线段EF及EF的长；2异面直线EF和SA所成的角分析：依

6、异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC、的公垂线段，进而求出其距离；关于异面直线所成的角可采取平移构造法求解解：1如图，分不取ABSC、的中点FE、，连结CFSF、由，得SABCABCFSF，E是SC的中点，SCEF同理可证ABEFEF是ABSC、的公垂线段在SEFRt中，aSF23，aSE2122SESFEFaaa224143222取AC的中点G，连结EG，那么SAEG/EF和GE所成的锐角或直角确实是异面直线EF和SA所成的角连结FG，在EFG中，aEG21，aGF21，aEF22由余弦定理，得22222124142412cos222222aaaaaEFEGGFEFEGGEF45GEF

7、故异面直线EF和SA所成的角为45讲明：关于立体几何咨询题要注意转化为平面咨询题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值典型例题六例 6如下图，两个三角形ABC和CBA的对应顶点的连线AA、BB、CC交于同一点O，且32OCCOOBBOOAAO(1)证明：/BAAB，/CAAC，/CBBC；(2)求CBAABCSS的值分析：证两线平等因此可用平面几何的方法而求面积之比那么需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明证明：(1)当ABC和CBA在O点两侧时，如图甲AA与BB相交于O点，且OBBOOAAO，/BAAB因为AA、BB共面 同理/CAAC，/CBBC(2

8、)/BAAB，且/CAAC，AB和BA，AC和CA的 方 向 相 反，CABBAC，同理CBAABC因此，ABCCBA又32OAAOBAAB，94322CBAABCSS当ABC和CBA在O点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2)讲明：此题ABC与CBA是否共面并不重要，因为等角定理对各种位置已作讲明典型例题七例 7S是矩形ABCD所在平面外一点，BCSA，CDSB，SA与CD成60角，SD与BC成30角，aSA，求：(1)直线SA与CD的距离；(2)求直线SB与AD的距离分析：要求出SA与CD、SB与AD的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离解：如下图，在矩形A

9、BCD中，ADBC/BCSA，ADSA又ADCD，AD是异面直线SA、CD的公垂线段，其长度为异面直线SA、CD的距离在SADRt中，SDA是SD与BC所成的角，30SDA又aSA，aAD3(2)在矩形ABCD中，CDAB/，ADSB，ABSB，又ADAB，AB是直线SB、AD的公垂线段，其长度为异面直线SB、AD的距离在SABRt中，SAB是异面直线SA与CD所成的角，60SAB又aSA，260cosaaAB，直线SB与AD的距离为2a讲明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：找作线段；证线段是公垂线段；求公垂线段的长度(2)求异面直线间的距离的咨询题，高考中一样会给出公垂线段典型例题八例 8

10、a、b、c是三条直线，假设a与b异面，b与c异面，判定a与c的位置关系，并画图讲明分析：这是一道考查异面直线概念及空间直线位置关系的咨询题，同时也考查了图形语言的表达能力解：直线a与c的位置关系有以下三种情形如图：直线a与c的位置关系可能平行图中的(1)；可能相交如图中的(2)；可能异面图中的(3)讲明：此题也考查了空间想象能力和逻辑划分、分类讨论的能力典型例题九例 9假如两条异面直线称作一对，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直线 A12 对B 24 对C36 对D48 对分析：一样地，立体几何中的计数咨询题，是由所数的量的性质，确定一规律，然后按此规律进行计数正方体的各棱具有相同的位置

11、关系因此以一条棱为基量，考察与其异面的几对，咨询题可解解：如图，正方体中与AB异面有CC1，DD1，11CB，11DA，各棱具有相同的位置关系，且正方体有12 条棱，排除两棱的重复运算成本，异面直线共有242412对讲明：分析清晰几何体特点是幸免重复计数的关键计数咨询题必须幸免盲目乱数，做到不重不漏典型例题十例 10如图，不共面的直线a，b，c相交于O点，M、P是直线a上两点，N、Q分不是b，c上一点求证：MN和PQ是异面直线证法 1：假设MN和PQ不是异面直线，那么MN与PQ在同一平面内，设为aPM、，PM、a又aO，ON且bO，bN，b同理：Ca，b，c共面于，与a，b，c不共面相矛盾，M

12、N、PQ是异面直线证法 2：Oca，直线a，c确定一平面设为aP，cQ，P，Q，PQ且M，PQM又a，b，c不共面，bN，N，MN与PQ为异面直线讲明：证明两条直线异面的方法有两种(1)用定义证明即定义法：现在需借反证法，假设两条直线不异面，依照空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可(2)用定理证明即定理法：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件：a，A，aB，然后能够推导出直线a与AB是异面直线典型例题十一例 11平面与平面相交于直线l，A，B为直线l上的两点在内作直线AC，在内作直线BD求证AC和BD是异面直线：平面平面=l，lA，

13、lB，AC，BD，如图求证：AC、BD是异面直线证明：假设AC，BD不是异面直线，那么它们必共面A、B、C、D在同一平面内即A、B、C所确定的平面与A、B、D确定的平面重合这与平面平面=l矛盾AC、BD是异面直线讲明：证明两条直线为异面直线，用反证法往往比较简单典型例题十二例 12空间四边形ABCD，求证它的对角线AC和BD是异面直线证法一：反证法如图假设AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内A、B、C、D在同一平面内，即四边形ABCD是平面四边形，这与条件矛盾，因此假设不成立因此AC和BD是异面直线证法二：定理法过BC和CD作一平面，那么对角线BD在平面内对角线AC与平面交于BD

14、外的一点C，即点C不在直线BD上，且A点在平面外依照异面直线判定定理知：AC和BD是异面直线讲明：判定两条直线是异面直线的证明咨询题常用这两种方法，即(1)反证法，(2)用判定定理典型例题十三例 13空间四边形ABCD，ACAB，AE是ABC的BC边上的高，DF是BCD的BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线证法一：定理法如图由题设条件可知点E、F不重合，设BCD所在平面DFEEADFAE和DF是异面直线证法二：反证法假设AE和DF不是异面直线，那么AE和DF共面，设过AE、DF的平面为(1)假设E、F重合，那么E是BC的中点，这与题设ACAB相矛盾(2)假设E、F不重合，EFB，EFC，

15、EF，BCA，D，A、B、C、D四点共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾综上，假设不成立故AE和DF是异面直线讲明：反证法不仅应用于有关数学咨询题的证明，在其他方面也有广泛的应用第一看一个有味的实际咨询题：三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你讲如何装？关于那个咨询题，同学们可试验做一做也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的那么你如何样才能清晰地从理论上讲明这种装法是不可能呢？用反证法能够轻易地解决那个咨询题假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，那么9 个单数之和仍为单数，与36 那个双数矛盾只须两句话就解决了那个咨询题典型例题十四例 14E、1E分不是

16、正方体1111DCBAABCD的棱AD、11DA的中点求证：111CEBBEC分析：欲证两个角相等，可通过等角定理或其推论来实现证明：如图，连结1EE1E，E分不为11DA，AD中点，11EAAE，EAEA11为平行四边形AA1EE1又AA1BB1，EE1BB1，四边形11EBBE是平行四边形EBBE/11同理ECCE/11又111BEC与CEB方向相同CEBBEC111讲明：有关证明角相等咨询题，一样采纳下面三种途径：(1)利用等角定理及其推论；(2)利用证三角形相似；(3)利用证三角形全等本例是通过第一种途径来实现请同学们再利用第三种途径给予证明典型例题十五例 15由四个全等的等边三角形的

17、封面几何体称为正四面体，如图，正四面体ABCD中，E、F分不是棱BC、AD的中点，CF与DE是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF、DE的平行线，找出异面直线CF与DE成的角分析 1：选取平面ACD，该平面有以下两个特点，(1)该平面包含直线CF，(2)该平面与DE相交于点D，舒展平面ACD，在该平面中，过点D作CFDM/交AC的延长线于M，连结EM 能够看出：DE与DM所成的角，即为异面直线DE与CF所成的角 如图分析 2：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：(1)该平面包含直线CF，(2)该平面与DE相交于点E在平面BCF中，过点E作CF的平行线交BF于点N，连结ND，能

18、够看出：EN与ED所成的角，即为异面直线FC与ED所成的角如图分析 3：选取平面ADE，该平面有如下两个特点：(1)该平面包含直线DE，(2)该平面与CF相交于点F在平面ADE中，过点F作DEFG/，与AE相交于点G，连结CG，能够看出：FG与FC所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角分析 4：选取平面BCD，该平面有如下特点：(1)该平面包含直线DE，(2)该平面与CF相交于点C，舒展平面BCD，在该平面内过点C作DECK/与BD的延长线交于点K，且BDDK，连结FK，那么CF与CK所成的角，即为异面直线CF与DE所成的角 如图讲明：(1)两条异面直线所成的角是专门重要的知识点，是每年高考

19、的必考内容，要求牢固把握两条异面直线所成的角的定义和两条异面直线互相垂直的概念，两条异面直线所成的角是刻划两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线成角来解决的，那个地点我们要注意：两条异面直线所成的角的范畴是900，当90时，这两条异面直线互相垂直 求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置一样提倡像摸索2，那样作角，因为此角在几何体内部，易求(2

20、)本例题多方位、多角度摸索咨询题，思路开阔、运用知识灵活，对我们解决异面直线所成角咨询题大有裨益，要认真明白得典型例题十六例 16如图，等腰直角三角形ABC中，90A，2BC，ACDA，ABDA，假设1DA，且E为DA的中点求异面直线BE与CD所成角的余弦值分析：依照异面直线所成角的定义，我们能够选择适当的点，分不引BE与DC的平行线，换句话讲，平移BE或CD 设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，那么C移向AC的中点F，如此BE与CD所成的角即为BEF或其补角，解EFB即可获解解：取AC的中点F，连结EF，在ACD中，E、F分不是AD、AC的中点，CDEF/，BEF即为所求的异面直线BE

21、与CD所成的角或其补角在EABRt中，1AB，2121ADAE，25BE在AEFRt中，1AC，21AE，22EF在ABFRt中，1AB，21AE，25BF在等腰三角形EBF中，1010254221cosBEEFFEB，异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010讲明：求角或求角的三角函数值的一样步骤是：找或作出角，适合题意，求角或求角的三角函数值，往往是化归成一个三角形的内角，通过解三角形求得典型例题十七例 17在正四面体ABCD中，E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值分析：可在平面BCD内过E作BD平行线，可在AEF中求得所成角的余弦值解：如图，取CD的中点F，连结EF，AF

22、，E为BC的中点，EF为CBD的中位线，BDEF/，AE与EF所成的锐角或直角确实是异面直线AE和BD所成的角设正四面体的棱长为a，由正三角形的性质知，aAFAE23，aEF21在AEF中，6321cosAEEFAEF，即异面直线AE和BD所成角的余弦值为63讲明：此题是利用三角形中位线达到平移的目的这种作异面直线所成角的方法称为中位线平移法典型例题十八例 18在正方体1111DCBAABCD中，求正方体对角线1BD和面对角线AC所成角的大小解：如图取DD1上中点N，那么有：DNND1，连结BD令OACBD，那么DOBO，连结NO，NA，NCN，O分不为DD1，BD的中点，NO121BD，NO

23、A(或NOC)是异面直线1BD和AC所成的角在NADRt及NCDRt中，CDAD，NDND，NADRtNCDRt，NCNA，ANC为等腰三角形又O为AC中点，ACNO，异面直线1BD和AC所成角为90讲明：(1)由于异面直线所成角最大为直角，因此，在把异面直线平移得到的两个夹角中，必须选取其中较小的角为异面直线的所成角(2)实际上，正方体的体对角线与任意一条面对角线所成角均为直角典型例题十九例 19在正方体1111DCBAABCD中，E、F分不为1BB、1CC的中点，求AE、BF所成角的余弦值分析 1：可平移BF至1EC，可得到角1AEC，再解三角形即可但要注意到1AEC为钝角解法 1：如图，

24、连结1EC，那么BFEC/1，由AE与1EC所成的锐角或直角，确实是AE与BF所成的角，连1AC，令正方体的棱长为a，有aECAE251，aAC31在1AEC中，515612122cos22122121AEACAEACAEAEC，1AEC的补角为异面直线AE与BF所成角AE、BF所成角的余弦值是51分析 2：连结DB、FD，可得DFB即为异面直线AE和BF所成的角进而求其余弦值解法 2：连结DB、FD，可证得AEFD/(EFAD)DFB(或其补角)即为异面直线AE、BF所成的角aBFDF25，aBD2由余弦定理，有5125245452525222525cos222aaaaaDFB，AE、BF所

25、成角的余弦值是51讲明：异面直线所成角的范畴是90,0(，当求得某角的余弦值为负值时，那么此角的补角是异面直线所成角典型例题二十例 20在空间四边形ABCD中：CDAB，BDAC，E，F分不是AD，BC的中点求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线证明：如图连结AF、DF、BE、CE在ABD和ACD中，CDAB，BDAC，AD公用ABDACD又E是AD中点，CEBE在BEC中，F是BC的中点，BCEF同理ADEF，EF是异面直线AD、BC的公垂线讲明：证明某一条直线是两条异面直线的公垂线，须证明以下两点：(1)与两条异面直线都垂直；(2)与两条异面直线都相交典型例题二十一例 21如图，空间四

26、边形ABCD中，四边AB、BC、CD、DA和对角线AC、BD都等于a，E、F分不为AB、CD的中点(1)求证：EF是异面直线AB、CD的公垂线(2)求异面直线AB和CD的距离分析：要证明EF是异面直线AB与CD的公垂线，必须讲明两个方面的咨询题，一个方面EF与AB、CD都相交，另一个方面AB、CD与EF都垂直(1)证明：连结AF、BF，由BCD和ACD均为正三角形，E、F分不为AB、CD的中点，BFAF，ABEF同理CDEF，又EF与AB、CD都相交，EF为异面直线AB、CD的公垂线(2)解：空间四边形各边及对角线AC、BD的长均为a，aBFAF23，而aAE21，在AEFRt中，aAEAFE

27、F2222异面直线AB和CD之间的距离为a22讲明：(1)求线段的长度一样地要把该线段放到一个三角形中去求解，专门是放到专门三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等(2)满足条件的该空间四边形事实上质是空间正四面体，该咨询题实质上是求正四面体对棱之间的距离典型例题二十二例 22a、b是异面直线，直线c/直线a，那么c与b A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线解：由a、b是异面直线，直线c/直线a，因此直线c直线b，否那么假设bc/，那么有ba/与矛盾因此cb应选 C讲明：此题考察两直线位置关系和公理4 的应用及异面直线定义典型例题二十三例 23两条异面直线指的

28、是 A在空间内不相交的两条直线B分不位于两个不同平面内的两条直线C某平面内的一条直线和那个平面外的一条直线D不在同一平面内的两条直线解：关于 A,在空间内不相交的两条直线也可能是平行，应排除A关于 B，分不位于两个不同平面内的两条直线可能是异面直线，也可能是相交直线或平行直线，应排除B关于 C，某平面内的一条直线和那个平面外的一条直线可能是异面直线，也可能是平行直线，应排除C应选 D讲明：此题要紧考查对异面直线定义的把握，专门是对不同在任何一个平面内的两条直线含义的明白得典型例题二十四例 24如图，在棱长为1 的正方体1111DCBAABCD中，M、N分不为11BA和1BB的中点，那么直线AM

29、与CN所成的角的余弦值是 A23B1010C53D52解：在平面11AABB中，过N点作AMNP/，交AB于P，连结PC，如图，PNC(或其补角)确实是AM与CN所成的角设AB的中点为Q，那么P是BQ中点可求得45NP，417CP，25NC在PNC中，由余弦定理得522cos222PNNCPCPNNCPNC应选 D讲明：作出平行线PN，进而在PNC中利用余弦定理求出直线AM与CN所成角的余弦值典型例题二十五例 25如图，1111DCBAABCD是正方体，4111111BAFDEB，那么1BE与1DF所成的角的余弦值是 A1715B21C178D23解：过A点在平面11AABB内作1/DFAF，

30、再过1E在平面11AABB内作FAEE/1，那么EBE1(或其补角)即是1BE与1DF所成的角由4111111BAFDEB，1111DCBAABCD是正方体，因此可求得aBE4171(a为正方体的棱长)，又EEAFDF11，而11BEDF，aEE4171，明显aEB21在EBE1中，由余弦定理，得171541722141722cos2211221211aaaEEBEEBEEBEEBE应选 A讲明：(1)解答此题的关键是作平行线AF、EE1进而在EBE1中解出EBE1的余弦值；(2)考查历届高考试题，求异面直线所成角的题常以正方体和正四面体为载体，在正方体和正四面体中命题典型例题二十六例 26在

31、棱长都相等的四面体BCDA中，E、F分不是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如下图，求异面直线AF、CE所成角的余弦值解：连结DF，取DF的中点G，连结EG，CG，又E是AD的中点，故AFEG/，因此GEC是异面直线AF、CE所成角AF是正三角形ABC的高，ABAF23，ABEG43在FCGRt中，ABABFDFG43232121，ABCF21，那么ABABABFCFGCG4721432222在EGC中，ABCE23，ABEG43，ABCG47，用余弦定理可得32cosGEC异面直线AF、CE所成角的余弦值是32讲明：求两条异面直线所成角或求所成角的函数值，关键是作出异面直线所成的角作两条异面直线所成角的方法一样是：将其中一条平移到某个位置使其也另一条相交也或者将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，使得那个角在某一个平面的三角形内，进而求出但要注意：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时应选择恰当的位置