2020年浙江省稽阳联谊学校高考数学(5月份)模拟试卷(解析版).pdf

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1、2020 年高考数学模拟试卷（5 月份）一、选择题（共10 小题）.1已知全集U 2，1，0，1，2，A 2，0，1，B1，0，则?U（A B）（）A2，1，1，2 B2C1，2D02已知 i 为虚数单位，其中（1+2i）z i，则该复数的共轭复数是（）A25+15iB25-15iC-25+15iD-25-15i3某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A32?3B64-16?3C6416D16?34若实数x，y满足约束条件?-?+?-?-?+?，则 z3x2y 的最大值是（）A0B2C4D55已知函数f（x）ax+b 的图象如图所示，则函数 f（x）loga（x+b）的图象是（）AB

2、CD6设 a0，b 0，则“a+b 2”是“a2+b22”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7设 0a13，随机变量X 的分布列为X 2112P13a13-a13则当 a 在(?，13)增大时，（）AD（X）增大BD（X）减小CD（X）先增大后减小DD（X）先减小后增大8已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0），F1，F2为椭圆的左右焦点，过F2的直线交椭圆与A、B两点，AF1B90，2?=?，则椭圆的离心率为（）A2 55B 55C3 1010D 10109如图，ABC 中，AB BC，ACB 60，D 为 AC 中点，ABD 沿 BD 翻折过程中

3、，直线 AB 与直线 BC 所成的最大角、最小角分别记为1，1，直线 AD 与直线 BC 所成最大角、最小角分别记为2，2，则有（）A12，12B12，12C12，12D1 2，1210 已知数列 an满足，an+1an+1-?-?+?，a1a，则一定存在a，是数列中（）A存在 n N*，有 an+1an+20B存在 n N*，有（an+11）（an+21）0C存在 n N*，有(?+?-54)(?+?-54)?D存在 n N*，有(?+?-32)(?+?-32)?二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分。11双曲线x2-?23=1的焦距是；渐近线方程是1

4、2已知角的终边过点（1，2），则 tan ，sin2 13(?+12?3)?展开式中常数项是，最大的系数是14 已知 ABC 中，AB3，BC5，D 为线段 AC 上一点，ABBD，?=34，则 AC，ABC 的面积是15已知函数f（x）x2+2x+a（a0），若函数 y f（f（x）有三个零点，则 a16某学校高一学生2 人，高二学生2 人，高三学生1 人，参加A、B、C 三个志愿点的活动每个活动点至少1 人，最多2 人参与，要求同年级学生不去同一活动点，高三学生不去 A 活动点，则不同的安排方法有种（用数字作答）17如图，已知矩形ABCD 中，AD1，AB=?，E 为边 AB 的中点，P

5、为边 DC 上的动点（不包括端点），?=?（0 1），设线段 AP 与 DE 的交点为G，则?的最小值是三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤。18已知函数?(?)=?+?(?+?3)（）求函数f（x）的周期与?(?2)的值；（）若?，?2，求函数yf2（x）的取值范围19如图，在四棱锥PABCD 中，PAD 为等边三角形，ABAD=12CD2，BAD ADC90，PDC 60，E 为 BC 的中点（）证明：ADPE（）求直线PA 与平面 PDE 所成角的大小20已知数列 an满足，an+2 3an+12an，a11，a23，记 bn=3?+1?+1+

6、1，Sn为数列 bn的前 n 项和（）求证：an+1an为等比数列，并求an；（）求证：Sn72-3?+72?+121已知抛物线C：yax2（a 0）上的点P（b，1）到焦点的距离为54，（）求a 的值；（）如图，已知动线段AB（B 在 A 右边）在直线l：yx2 上，且|?|=?，现过A 作 C 的切线，取左边的切点M，过 B 作 C 的切线，取右边的切点为N，当 MN AB，求 A 点的横坐标t 的值22已知函数f（x）x a?-?，函数 g（x）keax，a R，k R（）求函数f（x）的单调区间（）若1 a2，f（x）1g（x）对?32，+)恒成立，求k 的取值范围（e2.71828为

7、自然对数的底数）参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集U 2，1，0，1，2，A 2，0，1，B1，0，则?U（A B）（）A2，1，1，2 B2C1，2D0【分析】根据并集和补集的定义，计算即可解：由 A2，0，1，B 1，0，所以 AB2，1，0，1；又全集 U 2，1，0，1，2，所以?U（AB）2 故选：B2已知 i 为虚数单位，其中（1+2i）z i，则该复数的共轭复数是（）A25+15iB25-15iC-25+15iD-25-15i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解

8、：由（1+2i）z i，得 z=-?1+2?=-?(1-2?)(1+2?)(1-2?)=-25-15?，?=-25+15?故选：C3某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A32?3B64-16?3C6416D16?3【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆柱挖去一个圆锥，底面半径均为2，高为 4再由圆柱体积减去圆锥体积求解解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆柱挖去一个圆锥，底面半径均为2，高为 4则该几何体的体积V=?-13?=32?3故选：A4若实数x，y满足约束条件?-?+?-?-?+?，则 z3x2y 的最大值是（）A0B2C4D5【分析】由题意作平面区域，化简z3

9、x2y 为?=32?-?2，平行直线，从而利用数形结合求解即可解：实数x，y 满足约束条件?-?+?-?-?+?的可行域如图：?+?=?-?-?=?解得 B（1，1），z3x2y 化为：?=32?-?2，平行直线3x2y0，当直线经过B 时，目标函数的纵截距最小，目标函数取得最大值，z3x2y 的最大值是：5，故选：D5已知函数f（x）ax+b 的图象如图所示，则函数 f（x）loga（x+b）的图象是（）ABCD【分析】先由一次函数的图象得0a 1，1b 0，再结合对数函数的单调性和图象的对称变换，可知yloga（x）单调递增，最后利用平移变换法则得出f（x）loga（x+b）的图象解：由函

10、数f（x）ax+b 的图象可知，0 a1，1b 0，所以函数ylogax 单调递减，而yloga（x）单调递增，因为 1b0，所以再将其向左平移|b|个单位，得f（x）loga（x+|b|）loga（xb）loga（x+b），对应着选项D 的图象，故选：D6设 a0，b 0，则“a+b 2”是“a2+b22”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】a+b2 可知(?+?)22?，而?+?(?+?)22，可得a2+b2 2反之不成立，可以通过举反例说明解：a+b2 可知(?+?)22?，而?+?(?+?)22，a2+b2 2反之不成立，例如a=?，b0“

11、a+b2”是“a2+b22”的充分不必要条件故选：A7设 0a13，随机变量X 的分布列为X 2112P13a13-a13则当 a 在(?，13)增大时，（）AD（X）增大BD（X）减小CD（X）先增大后减小DD（X）先减小后增大【分析】根据公式D（X）EX2（EX）2求出方差，结合二次函数的单调性即可得出结论解：由题意可得，随机变量X 的数学期望?=-?13-?+?(13-?)+?13=13-?，随机变量X2的数学期望?=(-?)?13+(-?)?+?(13-?)+?13=3，随机变量X 的方差 D（X）EX2（EX）2=13-(13-?)?=-?(?-16)?+13，当 a 在(?，13)

12、增大时，D（X）先增大后减小，故选：C8已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0），F1，F2为椭圆的左右焦点，过F2的直线交椭圆与 A、B 两点，AF1B90，2?=?，则椭圆的离心率为（）A2 55B 55C3 1010D 1010【分析】由向量的关系可得线段的关系，设|F2A|3x，则|F2B|2x，由椭圆的定义可得|F1A|2a3x，|F1B|2a2x，再由 AF1B90，由勾股定理可得x 的值，进而求出|AF1|，|AB|的值，进而求出F1AB 的余弦值，由半角公式求出sin?1?2=?，进而求出离心率解：设|F2A|3x，|F2B|2x，|F1A|2a3x，|F1B|2a2x，则

13、（5x）2（2a3x）2+（2a2x）2，可知?=?3，|F2A|a，|AB|=53?，|F1B|=43a，|F1A|a，所以可得A 为短轴的顶点，在 ABF1中，cosF1AB=|?1|?|=35，由半角公式可得所以sin?1?2=?=55，则?=55故选：B9如图，ABC 中，AB BC，ACB 60，D 为 AC 中点，ABD 沿 BD 翻折过程中，直线 AB 与直线 BC 所成的最大角、最小角分别记为1，1，直线 AD 与直线 BC 所成最大角、最小角分别记为2，2，则有（）A12，12B12，12C12，12D1 2，12【分析】翻折到180时，AB，BC 所成角最小，130，AD，

14、BC 所成角最小，20，翻折 0时，AB，BC 所成角最大，可知1 90，翻折过程中，可知AD 的投影可与 BC 垂直，从而AD，BC 所成最大角290，推导出1 90，130，290，2 0解：翻折到180时，AB，BC 所成角最小，可知 1 30，AD，BC 所成角最小，2 0，翻折 0时，AB，BC 所成角最大，可知1 90，翻折过程中，可知AD 的投影可与BC 垂直，所以 AD，BC 所成最大角290，所以 1 90，130，290，20故 12，12故选：D10 已知数列 an满足，an+1an+1-?-?+?，a1a，则一定存在a，是数列中（）A存在 n N*，有 an+1an+2

15、0B存在 n N*，有（an+11）（an+21）0C存在 n N*，有(?+?-54)(?+?-54)?D存在 n N*，有(?+?-32)(?+?-32)?【分析】由函数?=?+?-?-?+?与 yx 有两个交点（0，0），（1，1），对a分类判断A，B 错误；由a11 时，a2一定小于32，则之后均小于32，判断 D 错误；举例说明 C 正确解：函数?=?+?-?-?+?与 yx 有两个交点（0，0），（1，1），可知当 a1 0时，数列递减，an0；当 0a11 时，数列递增，并且an趋向 1；当 a11 时，数列递减，并且an趋向 1，则可知A，B 错误；又当 x1 时，?=?+?-

16、?-?+?=?+?-(?-12)?+34?+?-(?-12)=32，则当 a1 1时，a2一定小于32，则之后均小于32，D 错误；对于 C，可取?=32，得（?-54）（?-54）0，满足要求故选：C二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分。11双曲线x2-?23=1的焦距是4；渐近线方程是y=?x【分析】利用双曲线的标准方程，转化求解焦距坐标，然后求解渐近线方程解：双曲线x2-?23=1，可知 a1，b=?，c 2，所以双曲线的焦距是4，渐近线方程为：y=?x故答案为：4；y=?x12已知角的终边过点（1，2），则 tan 2，sin2-45【分析】由

17、题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，得出结论解：由定义知tan 2，?=25，?=-15，则?=?=-45，故答案为：2；-4513(?+12?3)?展开式中常数项是54，最大的系数是52【分析】由题意利用通项公式求得展开式中常数项，从而得到系数最大的项解：根据通项公式可得Tr+1=?(12)?15-5?6，令15-5?6=0，求得 r3，可得常数项为?=?(?)?(12?3)?=54，检验可得，系数最大的项是T2T3的系数，最大为52，故答案为：54；5214已知 ABC 中，AB 3，BC5，D 为线段 AC 上一点，ABBD，?=34，则 AC?，ABC 的面积是92【分析

18、】由题意设AD3x，CD4x，在 ABC 中，由余弦定理可求x 的值，可求AC的值，进而可求sinA，利用三角形的面积公式即可求解解：设 AD3x，CD4x，在 ABC 中，由余弦定理可知?=?+?-?1?，可知?=587，可得：?=?=?，可得：?=358，可得：SABC=12bcsinA=12?358=92故答案为：?，9215 已知函数f（x）x2+2x+a（a0），若函数 y f（f（x）有三个零点，则 a-1-52【分析】令tx2+2x+a，由 f（t）0，可得?=-?-?，再根据yf（f（x）有三个零点，结合f（x）的图象得到-?-?-?=a 1，解方程得到a 的值解：令 tx2+

19、2x+a（x+1）2+a1，由 f（t）0 可知，?=-?-?，tf（x），y f（f（x）有三个零点，-?-?=?(?)有三解，由图象 f（x）的图象，可知-?-?-?=?-?，?=-1-52故答案为：-1-5216某学校高一学生2 人，高二学生2 人，高三学生1 人，参加A、B、C 三个志愿点的活动每个活动点至少1 人，最多2 人参与，要求同年级学生不去同一活动点，高三学生不去 A 活动点，则不同的安排方法有40种（用数字作答）【分析】以高三学生是否单独去志援点分为两类，每一类中先安排高三学生，再安排高一、高二学生，由乘法原理算出两类安排方法，相加即可解：若高三学生单独去志愿点，则有C?A

20、?A?=8 种，若高三学生与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，有C?C?A?C?=32 种，则共有 8+3240 种安排方法故答案为：4017如图，已知矩形ABCD 中，AD1，AB=?，E 为边 AB 的中点，P 为边 DC 上的动点（不包括端点），?=?（0 1），设线段 AP 与 DE 的交点为G，则?的最小值是?-?【分析】由图可得AGE 与 PGD 相似，可得?=?=12?，表示出?=11+2?（1+22），换元，构造函数，利用不等式即可得到答案解：因 AGE 与 PGD 相似，所以?=?=12?，则?=11+2?=11+2?（1+22），令 t1+2（1t3），则

21、?=?2-2?+32?=12（t+3?）1?-1，当且仅当?=?，即?=3-12(?，?)取到故答案为：?-?三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤。18已知函数?(?)=?+?(?+?3)（）求函数f（x）的周期与?(?2)的值；（）若?，?2，求函数yf2（x）的取值范围【分析】（）先结合正弦的两角和公式与辅助角公式将函数化简为正弦型函数，于是可得周期，再把x=?2代入运算即可得解；（）方法一：先结合正弦函数的图象与性质算出函数f（x）的值域，进而得 yf2（x）的值域；方法二：先利用余弦的二倍角公式将y f2（x）进行化简，得?=?(?)=?1-

22、?(2?+?3)2，再结合余弦函数的图象与性质求出其值域解：（）?(?)=32?+32?=?(?+?6)，函数 f（x）的周期为2，?(?2)=?2?3=32（）方法一：?，?2，?+?6?6，2?3，?(?+?6)32，?，于是?=?(?)34，?方法二：由（）可知，?=?(?)=?1-?(2?+?3)2，?，?2，?+?3?3，4?3，?(?+?3)-?，12，于是 yf2（x）的取值范围为34，?19如图，在四棱锥PABCD 中，PAD 为等边三角形，ABAD=12CD2，BAD ADC90，PDC 60，E 为 BC 的中点（）证明：ADPE（）求直线PA 与平面 PDE 所成角的大小

23、【分析】（）取AD 的中点 O，连结 PO，EO，通过 POAD，EO AD，推出 AD 面 PEO，即可证明ADPE（）法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，连HQ，求出平面PDE的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线PA 与平面 PDE 所成角法二：（体积法）设点A 到面 PDE 的距离为 h，法一中已知点P 到面 ABCD 的距离 PH为?，则?=?，通过VAPDEVPADE求出，P 到平面的距离，通过求解三角形推出结果【解答】（）证明：取AD 的中点 O，连结 PO，EO，由 POAD，EOAD，POEOO 可知：AD 面 PEO，且 PE?面 PEO，则 AD PE

24、（）解法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，作 PQCD，PHOE，连 HQ，因 PH平面 ABCD，知 HQCD，由 PDC 60知 DQ1，OHDQ 1，由?=?，在 Rt PHO 中，可知?=?，则?(?，?，?)，A（0，1，0），D（0，1，0），E（3，0，0），则?=(-?，?，-?)，?=(?，-?，?)，?=(-?，-?，-?)，设平面 PDE 的法向量为?=(?，?，?)，则?-?=?-?+?-?=?得?=(?，?，?)为其中一个法向量，设直线 PA 与平面 PDE 所成角为，则?=|?，?|=|?|?|?|?|=32，则直线 PA 与平面 PDE 所成角为6

25、0解法二：（体积法）设点 A 到面 PDE 的距离为 h，法一中已知点P到面 ABCD 的距离 PH 为?，则?=?，PDE 中，?=?，?=?，?=?，所以 PDE 为直角三角形，由VAPDE VPADE可知：13?=13?12?=12?=?，设直线 PA 与平面 PDE 所成角为，则?=?=32，则直线 PA 与平面 PDE 所成角为6020已知数列 an满足，an+2 3an+12an，a11，a23，记 bn=3?+1?+1+1，Sn为数列 bn的前 n 项和（）求证：an+1an为等比数列，并求an；（）求证：Sn72-3?+72?+1【分析】本题第（）题将题干中递推公式进行转化可得

26、an+2an+1 2（an+1an），从而可证得数列an+1an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，则有?+?-?=?-?=?，n N*然后根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列an的通项公式；第（）题先根据第（）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用数学归纳法证明不等式成立，注意在具体证明过程中运用分析法证明根式不等式成立，综合即可证得不等式成立【解答】证明：（）依题意，由an+23an+12an，可得：an+2an+13an+12anan+12（an+1 an），a2a131 2，数列 an+1an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，?+?-?=?-?=?，n N*故 a1

27、1，a2a121，a3a222，?anan12n1，各项相加，可得an1+21+22+2n1=1-2?1-2=2n1，n N*（）由（）知，bn=3?+1?+1+1=3?+12?+1，下面用数学归纳法证明不等式成立，当 n1 时，S1b1=3 1+121+1=44，右边=72-104，要证明：44 72-104，只要证明：?+?2?，两边平方，可得(?+?)?(?)?，化简整理，得2?7，（2?）2 407249，4472-104成立，即当 n1 时，不等式成立 假设当 nk 时，不等式成立，即Sk72-3?+72?+1，则当 nk+1 时，?+?=?+3?+42?+272-3?+72?+1+

28、3?+42?+2，要证明：Sk+172-3?+102?+2，只要证明：72-3?+72?+1+3?+42?+2 72-3?+102?+2，3?+42?+2+3?+102?+2 3?+72?+1，化简，得?+?+?+?+?，两边平方，可得（?+?+?+?）2（?+?）2，化简整理，得?+?+?3k+7，两边平方，可得（3k+4）（3k+10）（3k+7）2，化简整理，得9k2+42k+409k2+42k+49，4049，9k2+42k+409k2+42k+49 成立，72-3?+72?+1+3?+42?+2 72-3?+102?+2成立，即：Sk+172-3?+102?+2成立，当 nk+1 时

29、，不等式也成立综上所述，可得?72-3?+72?+1对 n N*成立，故得证21已知抛物线C：yax2（a 0）上的点P（b，1）到焦点的距离为54，（）求a 的值；（）如图，已知动线段AB（B 在 A 右边）在直线l：yx2 上，且|?|=?，现过A 作 C 的切线，取左边的切点M，过 B 作 C 的切线，取右边的切点为N，当 MN AB，求 A 点的横坐标t 的值【分析】（）求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义把点P（b，1）到焦点的距离转化为到准线的距离，由此可求a 的值；（）设出M 和 N 的坐标，利用导数求出过M 和 N 的切线方程，由t 表示出 A，B 的坐标，把 A，B 代入切

30、线方程后求出M 和 N 的坐标，由两点式写出MN 所在直线的斜率，由斜率等于1 即可求出t 的值解：（）抛物线C：yax2即?=1?，准线方程为：?=-14?，点 P（b，1）到焦点的距离为54，?+14?=54，a1，抛物线C 的方程为y x2；（）设?(?，?)，?(?，?)，yx2，y 2x，kAM2x1，切线 AM 的方程为：?-?=?(?-?)，即?=?-?，同理可得切线BN 的方程为：?=?-?由于动线段AB（B 在 A 右边）在直线l：yx2 上，且|?|=?，故可设 A（t，t2），B（t+1，t1），将 A（t，t 2）代入切线AM 的方程，得?-?=?-?，即?-?+?-?

31、=?，?=2?-4?2-4(?-2)2=?-?-?+?，同理可得?=?+?+(?+?)?-(?+?)+?=?+?+?+?+?，?=?22-?12?2-?1=?+?，当 MN AB 时，kMN1，得 x1+x21，?-?-?+?+?+?+?+?+?=?，?=?-?+?-?+?+?，?=-2?2-?+2+?2+?+2得 t0 或?-?+?+?+?+?=-?（舍去），t022已知函数f（x）x a?-?，函数 g（x）keax，a 一、选择题，k R（）求函数f（x）的单调区间（）若1 a2，f（x）1g（x）对?32，+)恒成立，求k 的取值范围（e2.71828为自然对数的底数）【分析】（I）?

32、(?)=?-?-?，x 32，+）.?(?)=?-?2?-3=2?-3-?2?-3，对a 分类讨论即可得出单调性（）f（x）1 g（x），可知?-?-?-?，对?32，+)恒成立，取?=32，可知?12?3?2?由 a1，可得?-?-?，?，于是?-?-?-?-?-?-?-?-?，?-?-?-?，?-1-2?-3?，设?(?)=?-1-2?-3?，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出解：（I）?(?)=?-?-?，x 32，+）?(?)=?-?2?-3=2?-3-?2?-3，所以当 a0，f（x）0，则函数 f（x）在32，+)上递增；当 a0，f（x）0，?=?2+32，所以函数f（x）在32，?2+32)上递减，在?2+32，+)上递增（）f（x）1 g（x），可知?-?-?-?，对?32，+)恒成立，取?=32，可知?12?3?2?因 a1，则?-?-?，?，则?-?-?-?-?-?-?-?-?，?-?-?-?，?-1-2?-3?，设?(?)=?-1-2?-3?，?(?)=(2-?)(2?-3-2)?2?-3，h（x）0，解得 x2，?=72，则函数 h（x）在 32，?)上递减，在?，72)上递增，在 72，+)上递减所以?(?)?=?(32)，?(72)=?12?32，12?72=12?32，所以?12?32