2020年高中数学必修2同步练习：2.3.3直线与平面垂直的性质含答案解析.pdf

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1、2.3.3直线与平面垂直的性质课时过关能力提升一、基础巩固1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,若直线 l(与直线 BB1不重合)平面 A1C1,则()A.B1BlB.B1BlC.B1B 与 l 异面但不垂直D.B1B 与 l 相交但不垂直解析:因为 B1B平面 A1C1,又因为 l平面 A1C1,所以 lB1B.答案:B 2.若直线 l 垂直于梯形 ABCD 的两腰 AB和 CD,直线 ml,则 m与梯形 ABCD 所在的平面的位置关系是()A.相交但不垂直B.平行C.垂直D.在平面 ABCD 内答案:C 3.如图,?ADEF 的边 AF平面 ABCD,且 AF=2,CD=3,则 CE

2、=()A.2 B.3 C.5D.13解析:因为四边形 ADEF 为平行四边形,所以 AFDE.因为 AF平面 ABCD,所以 DE平面 ABCD.所以 DEDC.因为 AF=2,所以 DE=2.又 CD=3,所以 CE=?2+?2=9+4=13.答案:D 4.已知 m,n是两条不同的直线,是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中的真命题是()若 mn,n?,则 m;若 m,m?,则 ;若 m,n,则 mn;若 m?,n?,则 mn.A.和B.和C.和D.和解析:中,直线 m 垂直于平面 内的一条直线 n,则直线 m与平面 不一定垂直,所以不是真命题;是平面与平面垂直的判定定理,所以是真命题;

3、是直线与平面垂直的性质定理,所以是真命题;中,分别在两个平行平面,内的直线 m,n平行或异面,所以不是真命题.答案:B 5.已知地面上有两根相距a m 的竖直的旗杆,它们的高度分别是b m和 c m(bc),则它们顶端的距离为m.解析:如图,根据题意可知 AD=b m,BC=c m,AB=a m.由线面垂直的性质定理可得ADBC.过点 C向 AD 作垂线,设垂足为 E,则在 Rt CDE 中,CE=a m,DE=(b-c)m,所以 CD=?2+(?-?)2(m).答案:?2+(?-?)26.已知直线 l,m,a,b,la,lb,ma,mb,且 a,b是异面直线,求证:lm.证明:如图,在直线

4、b 上任取一点 O,过点 O 作 aa,则直线 b,a确定一个平面 .aa,la,la.lb,a b=O,l.同理可证 m,lm.7.如图,已知 =l,EA 于点 A,EB 于点 B,a?,aAB.求证:al.证明:因为 EA,EB,=l,所以 lEA,lEB.因为 EA EB=E,EA?平面 EAB,EB?平面 EAB,所以 l平面 EAB.因为 a?,EA,所以 aEA.因为 aAB,AB EA=A,AB?平面 EAB,EA?平面 EAB,所以 a平面 EAB.所以 al.二、能力提升1.若 a,b 是互不相同的直线,是不重合的平面,则下列条件中可推出ab的是()A.a?,b?,B.a,b

5、?C.a,bD.a,b?答案:C 2.已知直线 l 平面 =点 O,Al,Bl,A?,B?,且 OA=AB.若 AC平面 ,垂足为C,BD平面 ,垂足为 D,AC=1,则 BD=()A.2 B.1 C.32D.12解析:因为 AC平面 ,BD平面 ,所以 ACBD.连接 OD,所以?=?.因为 OA=AB,所以?=12.因为 AC=1,所以 BD=2.答案:A 3.如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,D 是侧面 PBC上的一点,过点 D 作平面 ABC的垂线 DE,其中 D?PC,则 DE 与平面 PAC的位置关系是.解析:因为 DE平面 ABC,PA平面 ABC,所以 DEPA

6、.又 DE?平面 PAC,PA?平面 PAC,所以 DE平面 PAC.答案:平行4.在四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,AEPD 于点 E,l平面PCD.求证:lAE.证明:因为 PA平面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 PACD.又四边形 ABCD 是矩形,所以 CDAD.因为 PA AD=A,PA?平面 PAD,AD?平面 PAD,所以 CD平面 PAD.又 AE?平面 PAD,所以 AEDC.因为 AEPD,PD CD=D,PD?平面 PCD,CD?平面 PCD,所以 AE平面 PCD.因为 l平面 PCD,所以 lAE.5.如图,PA平面 A

7、BD,PC平面 BCD,E,F 分别为 BC,CD 上的点,且 EFAC.求证:?=?.证明:PA平面 ABD,PC平面 BCD,PABD,PCBD,PCEF.又 PA PC=P,BD平面 PAC.又 EFAC,PC AC=C,EF平面 PAC,EFBD,?=?.6.如图,ABC 是等边三角形,AE和 CD 都垂直于平面 ABC,且 AE=AB=2a,CD=a,F 是BE的中点,求证:(1)DF平面 ABC;(2)AFBD.证明:(1)如图,取 AB的中点 G,连接 FG,CG.因为 F 为 BE 的中点,所以 FGAE,FG=12?.因为 CD平面 ABC,AE平面 ABC,所以 CDAE.因为 CD=12?,所以 FGCD,FG=CD.所以四边形 CDFG 是平行四边形,所以 DFCG.因为 CG?平面 ABC,DF?平面 ABC,所以 DF平面 ABC.(2)在 Rt ABE中,AE=2a,AB=2a,F 为 BE的中点,所以 AFBE.因为 ABC 是等边三角形,所以 CGAB,所以 DFAB.因为 FG平面 ABC,所以 FGGC,FGDF.因为 FG AB=G,所以 DF平面 ABE.因为 AF?平面 ABE,所以 DFAF.因为 BE DF=F,所以 AF平面 BDF.因为 BD?平面 BDF,所以 AFBD.