【最新】2019届湖北省黄冈市高三下学期3月调研考试数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页2019届湖北省黄冈市高三下学期3 月调研考试数学（文）试题一、单选题1设集合30Sx xx，1112xTx，则STU()A0,B1,3C3,D,01,U【答案】D【解析】Q30Sx xx|3x x或0 x，1112xTx|1x x，|0STx x或1x,01,，故选 D.2若复数23201934134iziiiiiL，则复数z 对应的点在第（）象限A一B二C三D四【答案】D【解析】由虚数单位i 的性质及周期性计算1+i+i2+i3+i2019=0，再由复数代数形式的乘除运算化简即可得答案【详解】z1+i+i2+i3+i2019+3434ii（1+i 1i）+（1+i1

2、i）+534i 0+5(34)(34)(34)iii345i，复数 z 对应的点在第四象限故选 D【点睛】本题主要考查复数的概念（i 的周期性、模）与复数代数形式的乘除运算，属于基础题3已知差数列1，1a，2a，3 成等差数列，1，123,b b b,4 成等比数列，则122aab的值为（）A2 B2C2D54第 2 页 共 21 页【答案】A【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式以及性质，转化求解即可【详解】因为 1，a1，a2，3 成等差数列，得a1+a2 4，又因为1，b1，b2，b3，4 成等比数列，可得 b224，且 1，b2，4 同号，所以b22，1222aab，故选：A【点睛】

3、本题主要考查等差与等比数列的性质与思维的严谨性，属于基础题4已知双曲线22213xya的一个焦点与抛物线28yx的焦点重合，则该双曲线的渐近线是()A12yxB3yxC33yxD.32yx【答案】B【解析】先求出抛物线的焦点坐标，再由双曲线的几何性质求解渐近线方程即可【详解】抛物线的焦点（2，0），则 a2+34,a21，a 1，双曲线方程为：2213yx 渐近线方程为：3yx故选 D【点睛】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题5下列命题中，错误命题是（）A“若11ab，则0ab”的逆命题为真B线性回归直线ybxa$必过样本点的中心(,)x yC在平面直角坐标系中到点(0,1)

4、和(0,1)的距离的和为2 的点的轨迹为椭圆D在锐角ABC中，有22sincosAB【答案】C【解析】利用四种命题是真假判断选项A 的正误；回归直线方程的性质判断B 的正误；第 3 页 共 21 页椭圆的定义判断C 的正误；三角形的性质以及正弦函数的单调性判断D 的正误；【详解】选项 A：“若11ab，则0ab”的逆命题为：若0ab，则11ab显然是真命题；选项 B：线性回归直线?ybxa必过样本点的中心，所以B 正确；选项 C：在平面直角坐标系中到点0,1和0,1的距离的和为2 的点的轨迹为线段，所以 C 不正确；选项 D：在锐角ABC中，有2AB，022AB，所以sinsincos02AB

5、B，可得22sincosAB，所以 D 正确；故选C.【点睛】本题主要考查数学的基本概念：命题、回归直线、轨迹、解三角形，是基本知识的考查，属于基础题.6在正方体1111ABCDA B C D中，O 为正方形11ADD A的中心，P 为 AB 的中点，则异面直线OP 与1A B的夹角正弦值为（）A12B32C33D63【答案】C【解析】推导出1OPBD，从而1BD与1A B的夹角为11D BA，由此能求出异面直线OP与1A B的夹角正弦值.【详解】如图，1OPBD，1BD与1A B夹角为11D BA，1113sin33D BA，第 4 页 共 21 页所以异面直线OP与1A B的夹角正弦值为3

6、3，故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的正弦值的求解，关键是通过平移直线找到与异面直线所成角的大小相等的角，属于基础题.求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解.7不等式24 0 xa x对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A0,B4,C4,4D,4【答案】B【解析】利用函数的奇偶性，结合二次函数的性质，通过分类讨论思想求解即可.【详解】2()4f xxa x为偶函数，当0a，0 x时，函数转化为2()4f xxax，对称轴02ax，040f，不等式恒成立；当0a，0 x时，函数转化为2()4f xxax，可得2160a，解得40a，综上，4,)a.故选：B.

7、【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，对于求不等式恒成立时的参数范围问题，一般有三种方法：一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.8九章算术 中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）第 5 页 共 21 页A6B8 63C8 6D24【答案】A【解析】还原几何体为四棱锥P-ABCD，底

8、面 ABCD 为长方形，易知该几何体与变成为 1,2,1 的长方体有相同的外接球，则长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得解.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，底面 ABCD 为长方形.其中PD底面 ABCD，AB=1,AD=2,PD=1.易知该几何体与变成为1,2,1 的长方体有相同的外接球.则该阳马的外接球的直径为2221216PB.球体积为：346632.故选 A.【点睛】本题主要考查了几何的外接球问题，常用的解法是将几何体放入长方体内，即补体的思想，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.9元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢

9、友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0 x，则一开始输入的x 的值为()第 6 页 共 21 页A34B78C1516D3132【答案】B【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案.【详解】本题由于已知输出时x 的值，因此可以逆向求解：输出0 x,此时4i；上一步：1210,2xx,此时3i；上一步：1321,24xx,此时2i；上一步：3721,48xx,此时1i；故选：B.【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数

10、学运算的能力，属于基础题.10在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若2,3 2ac，tan2tanBA，则ABC的面积为A2 B3 C3 2D4 2【答案】B【解析】利用三角函数恒等变换和正弦定理，化简已知等式得c3acosB，由 a2，c 32，得 cosB，再利用三角形的面积公式计算即可第 7 页 共 21 页【详解】tanB2tanA，可得：sin2sincoscosBABA，即：2sinAcosB cosAsinB，sinCsinAcosB+cosAsinB 3sinAcosB，由正弦定理得：c3acosB，a2，c 32，cosB22，因为 B（0，），得：2sin2

11、B.112acsin23 23222ABCSB故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形的面积公式，属于中档题11把不超过实数x 的最大整数记为x，则函数()f xx称作取整函数，又叫高斯函数，在2,5上任取 x，则2 xx的概率为（）A14B13C12D23【答案】B【解析】由已知分类讨论，求得使2 xx成立的x的取值范围，再利用几何概型概率计算公式，求得所求概率.【详解】当23x时，2 2xx；当34x时，3x，2 2x；当44.5x时，4x，2 2x，当4.55x时，4x，2 3x.符合条件的2,3x，所以2 xx的概率为321523.故选：B.【点睛】本小题

12、主要考查取整函数的概念及运用，考查几何概型的计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.第 8 页 共 21 页12已知函数()2sin()cos(0,0)6f xxax a对任意的12,xxR，都有12()()4 3f xf x，若()f x 在0,上的值域为3,2 3，则实数的取值范围为A1 1,6 3B1 2,3 3C1,6D1 2,2 3【答案】A【解析】利用两角和与差的三角函数和辅助角公式，化简f（x）为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的最值，列出不等式求解即可【详解】Q()2sincos6f xxax3sin(1)cosxax23(1)sin()ax，其中 tan?13a，由

13、题意f（x）的最大值为2 3，得（1+a）29，a0，a2，()2 3sin3f xx，因为0,x，所以333x，且 f（x）在 0，上的值域为3,2 3，所以211,23363剟剟故选：A【点睛】本题主要考查三角函数性质，两角和与差的三角函数以及辅助角公式，属于中档题二、填空题13设变量 x，y 满足约束条件222441xyxyxy，则目标函数3zxy的最大值是_【答案】6【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出z 的最大值.【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示，第 9 页 共 21 页由3zxy得3yxz，显然直线过2,0时，z 最大，且 z的最大值为6，故答案

14、为：6.【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14已知定义在R上的函数2yfx是奇函数，且满足11f，则01ff_【答案】5【解析】设g（x）f（x）2，由奇函数的性质得g（0）f（0）20，则有 f（0）2，又由奇函数的性质可得g（1）g（1），即 f（1）2 f（1）2，计算得 f（1），相加即可得答案【详解】根据题意，函数yf（x）2 在 R 上是奇函数，设g（x）f（x）2，

15、则有 g（0）f（0）2 0，则有 f（0）2，又由 f（1）1，则 g（1）f（1）2 1，则 g（1）g（1），即 f（1）2 f（1）21，则有 f（1）3，故 f（0）+f（1）5；故答案为5【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题第 10 页 共 21 页15如图，已知直线:10lyk xk与抛物线2:4Cyx相交于A、B两点，且满足2AFBF，则k的值是 _.【答案】223【解析】直线:10lyk xk恒过(1,0)P，|2|FAFB及抛物线性质，可推导出1|2OBAF，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值.【详解】设抛物线2:4Cyx的准线为：1x，直线:10ly

16、k xk恒过(1,0)P，如图过,A B分别作AM垂直准线1x于M，BN垂直准线1x于N，由|2|FAFB，则|2|AMBN，点B为AP的中点，连接OB，O为,P F的中点，则1|2OBAF，|OBBF，1,0F,则点B的横坐标为12，点B的坐标为1,22B，第 11 页 共 21 页把点1,22B代入直线:10lyk xk，解得223k.故答案为：223.【点睛】本题主要考查的是直线与圆锥曲线中的参数的求法，考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义，考查直线斜率的计算，解题时要注意等价转化思想的合理运用，是中档题.16如图，点D 为ABCV的边 BC 上一点，2BDDCuuu ruuu r，*n

17、EnN为 AC 上一列点，满足2331nnnnE AaE DnnE Buuuu ruuuu ruu uu r，其中实数列na满足12a，则1231111naaaaL_【答案】1nn【解析】运用向量共线定理和平面向量的基本定理可得211111nannnn，1n适合，再由裂项相消法求和即可.【详解】Q2BDDCuuu ruuur，2()nnnnE DE BE CE Duu uu ruuuu ruu uu ruuuu r，3122nnnE CE DE Bu uu u ruu uu ruuuu r，又322nnnnE AE CE DE Buuuu ruuu u ruuuu ruuu u r，23331

18、nann，2nann，211111nannnn，1n适合，1231111naaaaL1111112231nnL第 12 页 共 21 页111n1nn.故答案为：1nn.【点睛】本题主要考查平面向量的运算以及数列的裂项相消法求和.常见的裂项相消类型：111(1)1n nnn；1111(21)(21)22121nnnn；111nnnn.三、解答题17 已知向量(2sin(),3 sin)4axxv，(sin(),2cos)4bxxv，函数()f xa bv v（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若2()25f，求sin(2)6的值【答案】（1）5,36kk，kZ；（2）2325【解析】

19、（1）由向量数量积和三角函数的诱导公式及辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x6），由正弦的单调性即可得到；（2）由2f25，得 sin（6）15，再由诱导公式和倍角公式化简可得sin（2+2)cos 2=12sin636，代入可得【详解】（1）f（x）?2sin（x）sin（x+）+2sinxcosx 2sin（x）sin（x+）+2sinxcosx 2sin（x）cos（x）+2sinxcosx sin（2x）+sin2x cos2x+sin2x 2（sin2x?cos2x）第 13 页 共 21 页2sin（2x6），由+2k2x 6+2k，k Z，得+k x+k，kZ，所以 f（x）

20、的单调递减区间为5,36kkkZ.（2）f（），2sin（6），sin（），sin 2cos 2cos 2cos 2662362212312sin126525【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，三角函数的诱导公式和辅助角公式的应用，正弦函数的单调性，属于中档题18如图，四棱锥P 一 ABCD 中，AB=AD=2BC=2，BCAD，ABAD，PBD 为正三角形且PA=23（1）证明：平面PAB平面 PBC；（2）若点 P 到底面 ABCD 的距离为2，E 是线段 PD 上一点，且PB平面 ACE，求四面体 A-CDE 的体积【答案】（1）见解析；（2）89【解析】（1）证明 ABPB，ABB

21、C，推出 AB平面 PBC，然后即可证明平面PAB平面PBC（2）设 BD，AC 交于点 O，连接 OE，点 P 到平面 ABCD 的距离为 2，点 E 到平面 ABCD的距离为h=223=43，通过 VA-CDE=VE-CDA，转化求解四面体A-CDE 的体积【详解】（1）ABADQ，且2ABAD，22BD，第 14 页 共 21 页又PBD为正三角形，2 2PBPDBD，又2ABQ，2 3PA，2PBA，ABPB，又ABADQ，/BCAD，ABBC，PBBCBI，AB平面PBC，又ABQ平面PAB，平面PAB平面PBC（2）如图，设BD，AC交于点O，/BCADQ，且2ADBC，2ODOB

22、，连接OE，/PBQ平面ACE，/PBOE，则2DEPE，又点P到平面ABCD的距离为2，点E到平面ABCD的距离为24233h，111482233239A CDEE CDAACDVVShg，即四面体ACDE的体积为89【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力19树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%现从参与关注生态文明建

23、设的人群中随机选出200 人，并将这 200 人按年龄分组：第 1 组15,25)，第 2 组25,35)，第 3 组35,45)，第 4 组45,55)，第 5 组55,65)，得到的频率分布直方图如图所示第 15 页 共 21 页（I）求出a的值；（II）求出这200 人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（III）现在要从年龄较小的第1,2 组中用分层抽样的方法抽取5 人，再从这5 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，求第2 组恰好抽到2 人的概率.【答案】(1)0.035;(2)42.1;(3)35.【解析】【详解】（1）由100.0100

24、.0150.0300.0101a，得0.035a，（2）平均数为20 0.130 0.1540 0.3550 0.360 0.141.5岁；设中位数为x，则10 0.010 10 0.015350.0350.5x，42.1x岁（3）第 1,2 组抽取的人数分别为20 人，30 人，从第1,2 组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2 组抽取的人数分别为2 人，3 人，分别记为12123,a ab b b.设从 5 人中随机抽取3 人，为（121,a ab），（122,a a b），（123,a a b），（112,a b b），（113,a b b），（123,a b b），（212,ab b

25、），（213,a b b），（223,ab b），（123,b b b），共 10个基本事件，其中第 2 组恰好抽到2 人包含（112,a b b），（113,a b b），（123,a b b），（212,ab b），（213,a b b），（223,ab b）共 6 个基本事件从而第 2 组抽到 2 人的概率6310520已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F,2F，其焦距为2 3，点 E 为椭圆的上顶点，且12EFEF（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆22:2O xy的切线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点（O 为坐标原点），求证OAOB；（3）在（2）的条件下，

26、求OA OB的最大值【答案】（1）22163xy；（2）证明见解析；（3）3 2【解析】（1）由焦距可求出c，由12EFEF，可求出a，b，进而得到椭圆方程；第 16 页 共 21 页（2）当切线与x轴垂直时，求出焦点坐标，进而证得OAOB；当切线与x轴不垂直时，设切线方程，联立切线方程与椭圆方程，列韦达定理，利用1212x xy y，即可证明；（3）当切线与x轴垂直时，4OAOB；当切线与x轴不垂直时，由OAOB、韦达定理以及弦长公式，可求出222218221kkABk，借助基本不等式即可求出OA OB的最大值.【详解】（1）由题意知3c，又12EFEF，bc，3b，6a，椭圆C的方程为22

27、163xy.（2）（）当切线与x轴垂直时，交点坐标为(2,2)，90AOB，OAOB；（）当切线与x轴不垂直时，设切线为(0)ykxm k，11,A x y，22,B xy，由圆心到直线距离为221mdk，2222mk，联立直线方程与椭圆方程，得222214260kxkmxm，122421kmxxk，21222621mx xk，22221212121223661021mkx xy ykx xkm xxmk，OAOB.（3）当切线与x轴垂直时，4OAOB；当切线与x轴不垂直时，由（2）知OAOB，2OA OBAB，2221222182121kkABkxxk，令2tk，则22 23144ABtt，

28、第 17 页 共 21 页当且仅当22k时等号成立，3 2OA OB.综上所述，OA OB的最大值为3 2.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的最值问题，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想和转化与化归思想，属于难题.21已知函数2()lnf xxaxax（1）若曲线()yf x在2x处的切线与直线320 xy垂直，求实数a 的值；（2）若函数()f x 在2,3上单调递增，求实数a的取值范围；（3）当2a时，若方程2()2(2)f xxm m有两个相异实根1x，2x，12xx，求证2122x x【答案】（1）2a；（2）8,；（3）证明见解析

29、.【解析】（1）先利用导数的几何意义求出切线斜率，进而利用两直线的垂直关系建立参数a所满足的方程进行求解；（2）将函数的单调性转化为导函数的符号不变性进而分离参数，将不等式恒成立转化为新函数的最值问题，再利用导数求解最值，从而求得实数a的取值范围；（3）当2a时，若方程2()2(2)f xxm m有两个相异实根1x，2x，12xx，即ln(2)xxm m，令()lng xxx，讨论g x的单调性，得22x，令()lnh xxxm，12222222222223lnln 2h xhh xhxxxxx，设22()3lnln 2F tttt，2t，求F t的单调性，得3()(2)2ln 202F tF

30、，即12220h xhx，结合()h x的单调性即可证得结论.【详解】（1）依题意知fx的定义域为0,，求导得22()2(0)axaxafxxaxxx，第 18 页 共 21 页根据题意320 xy的斜率为13，所以fx在2x处的切线斜率为3，即8(2)32af，2a.（2）令22()0 xaxafxx，依题意有220 xaxa对2,3x恒成立，即221xax恒成立，2222240(2,3)1(1)xxxxxx，221xx单调递减，2max281xx，实数 a 的取值范围为8,.（3）当2a时，若方程2()2(2)f xxm m有两个相异实根1x，2x，12xx，即ln(2)xxm m，又令(

31、)lng xxx，1()xgxx，()g x在(0,1)上递减，(1,)递增，则101x，21x，且1122lnln0 xxmxxm，又22ln2mxx，故22x，10 x，221x，()lnh xxxm，12222222222223lnln 2h xhh xhxxxxx，设22()3lnln 2F tttt，2t，23343(2)(1)()10ttFtttt，()F t在(2,)递增，3()(2)2ln 202F tF，12220h xhx，又()h x在(0,1)上递减，1222xx，即2122x x.【点睛】本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、函数的单调性、不等式恒成立求参数的第

32、19 页 共 21 页取值范围以及构造函数证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及基本的计算能力和逻辑推理能力.22已知曲线C的极坐标方程为2 3cos2sin，直线1l：6R，直线2l：3R以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系（1）求直线1l，2l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；（2）已知直线1l与曲线C交于O，A两点，直线2l与曲线 C 交于O，B两点，求AOBV的面积【答案】（1）直线1l的直角坐标方程为33yx，2l的直角坐标方程为3yx，曲线C的参数方程为32cos12sinxy（为参数）；（2）2 3.【解析】（1）根据直线1l，2l的极坐标方程可知直

33、线1l，2l过极点，可得直线1l，2l的直角坐标方程.先把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程；（2）将直线1l，2l的极坐标方程分别与曲线C的极坐标方程联立，由极径的几何意义求出,OA OB，再根据三角形的面积公式即可求值.【详解】（1）依题意，直线1l的直角坐标方程为33yx，2l的直角坐标方程为3yx，由2 3 cos2sin，得22 3cos2sin，222xyQ，cosx，siny，222 320 xyxy，即22314xy，所以曲线C的参数方程为32cos12sinxy（为参数）.（2）由62 3cos2sin，得2 3cos2sin466OA，第 20 页 共 21

34、 页由32 3cos2sin，得2 3 cos2sin2 333OB，又6AOB所以AOBV的面积11sin42 3sin2 3226SOA OBAOB【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程和参数方程，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题.23已知函数12fxxa aR（1）当3a时，解不等式122xfx；（2）设不等式12xfxx的解集为M，若1,12M，求实数a的取值范围【答案】（1）|02x xx或；（2）302a【解析】（1）当 a3 时，原不等式可化为|x3|+|2x1|4，通过 当12x时，当132x时，当 x3时，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可（2）由题意不等式|

35、2x 1|+|xa|2x 在1x,12上恒成立，去绝对值解不等式，根据区间的包含关键求解即可【详解】（1）当a3时，原不等式可化为x32x14，当1x2时，原式为3x12x4，解得x0，所以x0；当1x32时，3x2x14，解得x2，所以2x3；当x3时，x32x14，解得8x3，所以x3综上所述，当a3时，不等式的解集为x|x0 x2或（2）不等式11xxax22可化为2x1xa2x，依题意不等式2x1xa2x在1x,12上恒成立，第 21 页 共 21 页所以2x1xa2x，即xa1，即a 1xa1，所以11211aa，解得30a2.【点睛】本题考查绝对值不等式的解集，不等式恒成立的应用，考查计算能力，属于中档题