【最新】2020届上海市松江区高三在线质量评估(4月)数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 17 页2020 届上海市松江区高三在线质量评估（4 月）数学试题一、单选题1若复数z=52i，则|z|=（）A1 B5C5 D55【答案】B【解析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i求模可得结果【详解】|z|=5|2i=5|2i|=5，故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题2已知向量(1,),amr(2,5)br若abrr，则实数m()A1 B52C25D25【答案】D【解析】根据向量(1,),amr(2,5),brabrr，利用数量积公式由0a brr求解.【详解】Q向量(1,),amr(2,5),brabrr，250a bmrr，解得实数25m.故选：

2、D.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3已知|1,Ax x2|0 xBxxa，若|2ABx x，则实数a 的取值范围是()A2aB2aC1aD1a【答案】D 第 2 页 共 17 页【解析】根据|1,Ax x|2ABx x，2|0,xBxxa得到|2Bx ax求解.【详解】|1,Ax xQ2|0,xBxxa|2ABx x，|2Bx ax，1a.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4已知椭圆2222=1(0)xyabab分别过点(2,0)A和点31,2B，则该椭圆的焦距为()A3B 2 C2 3D2

3、5【答案】C【解析】根据椭圆过点(2,0)A和点31,2B，得到2a，221314ab联立求解.【详解】因为椭圆过点(2,0)A和点31,2B所以2a，且221314ab，可得：24,a21,b222413cab，所以3c，所以焦距22 3c，故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5已知实数0,a0b，且2ab，则行列式11ab的()A最小值是2 B最小值是2 2C最大值是2 D最大值是2 2第 3 页 共 17 页【答案】B【解析】根据1 1abab，再由2ab，利用基本不等式求解.【详解】Q实数0,a0b，且2ab，22 21 1ababab，当

4、且仅当ab时，取等号，行列式1 1ab的最小值是2 2.故选：B.【点睛】本题主要考查行列式的运算及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6“1k”是“直线1:10lkxy和直线2:30lxky平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据直线1:10lkxy和直线2:30lxky平行，则210k，再用集合法判断.【详解】由直线1:10lkxy和直线2:30lxky平行则210k，解得1k.经过验证，1k都满足条件.“1k”是“直线1:10lkxy和直线2:30lxky平行”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查

5、逻辑条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7在直三棱柱111ABCA B C中，己知ABBC，2ABBC，12 2CC，则第 4 页 共 17 页异面直线1AC与11A B所成的角为（）A30B45C60D90【答案】C【解析】由条件可看出11ABA BP，则1BAC为异面直线1AC与11A B所成的角，可证得三角形1BAC中，1ABBC，解得1tan BAC，从而得出异面直线1AC与11A B所成的角【详解】连接1AC，1BC，如图：又11ABA BP，则1BAC为异面直线1AC与11A B所成的角.因为ABBC，且三棱柱为直三棱柱，1ABCC，AB面11BCC B，1ABBC，又2AB

6、BC，12 2CC，2212 222 3BC，1tan3BAC，解得160BAC.故选 C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题8样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是()A1 B 2 C4 D2【答案】D【解析】根据样本的平均数是2，求得 a，再代入标准差公式求解.第 5 页 共 17 页【详解】因为数据a，1，2，3，4 的平均数是：所以1(1234)25a，解得0a；所以该组数据的方差是：2222221(02)(12)(22)(32)(42)25s，标准差是2s.故选：D

7、.【点睛】本题主要考查样本估计总体中的平均数和方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是()A1yxB,0,0 x xyx xC|yx xD22xxy【答案】C【解析】A：利用幂函数的性质判断；B：利用一次函数的性质判断；C：利用二次函数的性质判断；D：利用奇偶性定义判断.【详解】A：1yx在定义域内(0,)(,0)内不单调，不符合题意；B：,0,0 x xyx x在定义域R 上先减后增，不符合题意；C：22,0,0 xxyx xxx在定义域R 上单调递增，且()|()fxxxx xf x，为奇函数，符合题意；D：因为2222xxxxfxfx，

8、所以函数为偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10给出以下四个命题：依次首尾相接的四条线段必共面；第 6 页 共 17 页过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（）A0 B 1 C2 D3【答案】B【解析】用空间四边形对进行判断；根据公理2 对进行判断；根据空间角的定义对进行判断；根据空间直线位置关系对进行判断.【详解】中，空间四边形的四条线段不共面，故错误.中，由公理2 知道，过不在同一条直线上的三点，

9、有且只有一个平面，故正确.中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误.中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故错误.故选：B【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.11已知6260126(1)xaa xa xa x，在0,a1,a2,a,6a这 7 个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为()A12B37C47D821【答案】B【解析】根据6260126(1)xaa xa xa x，将0,a1,

10、a2,a,6a计算出来，分清几个奇数，几个偶数，得到从中任取两数的种数；所取的两数之和为偶数的种数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】因为6260126(1)xaa xa xa x，0,a1,a2,a,6a这 7 个数分别为：第 7 页 共 17 页061,C166,C2615,C3620,C4615,C566,C661,C.4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：2721C种；所取的两数之和为偶数的有：22439CC；所取的两数之和为偶数的概率为：93217.故选：B.【点睛】本题主要考查二项式系数和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12下列命题中是假命题的是()A对任意的

11、R，函数()cos(2)f xx都不是奇函数B对任意的0a，函数2()logf xxa都有零点C存在、R，使得sin()sinsinD不存在kR，使得幂函数223()kkf xx在(0,)上单调递减【答案】A【解析】A：取()2kkZ判断.B：根据函数2()logf xx的值域为R 判断.C：取0判断.D：根据2223(1)20kkk判断.【详解】A：当()2kkZ时，()sin2f xx，故函数为奇函数，故该命题为假命题.B：对任意的0a，函数2()logf xx的值域为R，所以无论a 取任何大于0 的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题.C：当0时，使得sin()sinsin0，故该命题

12、为真命题.D：由于2223(1)22kkk，所以函数yx在(0,)x单调递增，故不存在kR，使得幂函数223()kkf xx在(0,)上单调递减，故该命题为真命题.故选：A.【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.第 8 页 共 17 页13函数21()log1xf xx的大致图象为()ABCD【答案】C【解析】先判断函数的定义域，再利用奇偶性排除部分选项，再根据x时，121111xxx，则()0f x确定.【详解】根据题意，21()log1xf xx，有101xx，则有1x，即函数的定义域为|1x x，又由2211()loglog()11xxfxf xxx，即

13、函数为奇函数，排除A；又由当x时，121111xxx，则()0f x，排除 B，D；故选：C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.14如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高1()ABkm，3()CDkm，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30，山顶 C 的仰角为 60，120BED，则两山顶A、C 之间的距离为()第 9 页 共 17 页A2 2()kmB10()kmC13()kmD3 3(km)【答案】C【解析】根据题意可得1,AB3CD，30,AEB60,CED120BED，利用正切函数的定义求得BE

14、，DE；在BEDV中，利用余弦定理求得BD，然后利用勾股定理求解.【详解】1,AB3CD，30,AEB60,CED120BED，13,tan3033ABBE33tan603CDDE；在BEDV中，由余弦定理得：2222cosBDBEDEBEDEBED13323329，所以3BD；所以222()9(3 1)13ACBDCDAB，即两山顶A，C 之间的距离为13km.故选：C.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15已知各项均为正数的数列na的前 n 项和为nS，且11,a2121nnaSn*nN，设数列11nna a的前 n项和为nT，则limnnT()A

15、0 B12C1 D2第 10 页 共 17 页【答案】C【解析】利用数列的通项与前n项和的关系，由2121nnaSn求得,nan再由11111(1)1nna an nnn，用裂项相消法求和.【详解】依题意，由2121nnaSn，可得：212,nnaSn(2)n，两式相减，可得：221121221nnnnnaaSnSna，2221211nnnnaaaa，10,naQ10na，11nnaa，数列na是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，1(1)1,nann*nN.11111(1)1nna an nnn，则12231111nnnTa aa aa a1111112231nn1111nnn，则liml

16、im11nnnnTn.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和的关系，等差数列的定义以及裂项相消法数列求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16在 ABC 中，已知 AB=3，AC=5，ABC 的外接圆圆心为O，则AO BCuuu r u uu r（）A4 B 8 C10 D16第 11 页 共 17 页【答案】B【解析】画出图形，并将O和AC中点D，O和AB中点E连接，从而得到ODAC，OEAB，根据数量积的计算公式以及条件即可得出252AO ACuuu r uuu r，92AO ABuuu r uuu r，从而AO BCAOACABu uu r uuu ruuu ru uu

17、ruu u r，从而可得到AO BCuuu r uuu r的值.【详解】如图，取AC中点D，AB中点E，并连接 OD，OE，则ODAC，OEAB，212522AO ACACu uu r uuu ru uu r，21922AO ABABuuu r uu u ruuu r，259822AO BCAOACABAO ACAO ABu uu r uu u ruu u ruu u ruuu ruuu r uu u ruu u r u uu r.故选：B【点睛】本题主要考查了数量积的定义、向量的运算法则以及三角形的外心，属于基础题.17已知函数()3sin2,6f xx130,6x，若函数()()2F xf

18、 x的所有零点依次记为1,x2,x,nx，且12nxxx，则12122nnxxxx()A2B113C4D223【答案】D【解析】根据()f x 的对称轴方程为k,62xkZ.得到()f x 在130,6x上有5 条对称轴，将原式变形第 12 页 共 17 页1211223122nnnnxxxxxxxxxx，利用零点关于对称轴对称求解.【详解】令262xk得,62kxkZ，即()f x 的对称轴方程为k,62xkZ.()f xQ的最小正周期为,T130,6x，()f x在130,6x上有 5 条对称轴，第一条是6，最后一条是：136；1,x2x关于6对称，2,x3x关于46对称 4,x5x关于1

19、06对称122,6xx2342,6xx3472,6xx,451026xx，将以上各式相加得：1231471022222266663nnxxxxx.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18设实系数一元二次方程2210200a xa xaa在复数集C 内的根为1x、2x，则由221222122120axxxxa xaxxxa x x，可得1122,axxa0122ax xa.类比上述方法：设实系数一元三次方程322340 xxx在复数集C 内的根为1,x2,x3x，则222123xxx的值为()A 2 B 0 C2 D4【答

20、案】A【解析】用类比推理得到第 13 页 共 17 页32234xxx123xxxxxx32123121323123xxxxxx xx xx xxx x x，再用待定系数法得到123xxx，121323x xx xx x，再根据222123xxx21231213232xxxx xx xx x求解.【详解】32234xxxQ123xxxxxx32123121323123xxxxxx xx xx xxx x x，由对应系数相等得：1232,xxx1213233x xx xx x，222123xxx21231213232xxxx xx xx x462.故选：A.【点睛】本题主要考查合情推理以及待定系

21、数法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.19已知函数8()3f xxax关于点(0,12)对称，若对任意的1,1,x220 xxkf恒成立，则实数k 的取值范围为()A11kB11kC1kD11k【答案】D【解析】根据83yxx为奇函数，其图象关于(0,0)对称，再由8()3f xxax关于点(0,12)对称，可得a，再将对任意的 1,1x，220 xxkf恒成立，转化为2812322xxk，在 1,1x恒成立，令12xt，求第 14 页 共 17 页2233()8123842h tttt的最大值即可.【详解】由83yxx为奇函数，可得其图象关于(0,0)对称，可得()f x

22、 的图象关于(0,)a对称，函数8()3f xxax关于点(0,12)对称，可得12a，对任意的 1,1x，220 xxkf恒成立，即x823 2122xxk，在1,1x恒成立，所以2812322xxk，在 1,1x恒成立，令12xt，由 1,1x，可得1,22t，设2233()8123842h tttt，当2t时，()h t取得最大值11，则 k 的取值范围是11k，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的对称性和不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20 已知点(1,2)P在抛物线2:2(0)Cypx p上，点 P 关于原点O 的对称点为点Q，过点 Q 作不经过

23、点O 的直线与抛物线C 交于 A、B 两点，则直线PA 与 PB 的斜率之积为()A12B 1 C2 D 2【答案】C【解析】根据点(1,2)P在抛物线2:2C ypx上，得到抛物线方程：24yx，根据(1,2)Q，设直线 AB 的方程为(1)2(0)yk xk，与抛物线方程联立消去x 得：第 15 页 共 17 页24480kyyk，然后由124422PAPBkkyy，将韦达定理代入求解.【详解】由点(1,2)P在抛物线2:2C ypx上，可得24p，2p，抛物线方程为：24yx，由已知得(1,2)Q，设点11,A x y22,B xy，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线 AB 的方程

24、为(1)2(0)yk xk，联立方程2(1)24yk xyx，消去 x得：24480kyyk，124,yyk1284y yk，因为点 A，B 在抛物线C 上，所以2114,yx2224yx，112111224,1214PAyykyxy2222412PBykxy，124422PAPBkkyy1212161628424424y yyykk，故选：C.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21若数列nb的每一项都是数列na中的项，则称nb是na的子数列.已知两个无穷数列na、nb的各项均为正数，其中321nan，nb是各项和为12的等比数列，且nb是na的子

25、数列，则满足条件的数列nb的个数为()A0 个B 1 个C2 个D无穷多个【答案】C 第 16 页 共 17 页【解析】根据数列nb的每一项都是数列na中的项，其中321nan，设1321bk（1,kkN），公比1(0)qmm，则13132121nnbqkmp（,kpN）对任意的nN都成立，得到 m 是正奇数，又 S存在，则1m，然后根据1112bSq，结合1321bk对 m 进行讨论分析.【详解】设1321bk（1,kkN），公比1(0)qmm，则13132121nnb qkmp（,kpN）对任意的nN都成立，故 m 是正奇数，又S存在，所以1m.3m时，12S，此时139b，即133nnb，成立.当5m时，12S，此时125b，25Q不是数列na中的项，故不成立.7m时，12S，此时13,7b37nnb，成立.当9m时，1819m，由131211121bkqm，得311412129km，得238k，又因为kN，所以1k，2，此时11b或35，分别代入1112bSq，得到0q不合题意，第 17 页 共 17 页由此满足条件的数列只有两个，即133nnb，或37nnb，故选：C.【点睛】本题主要考查数列的新定义及无穷等比数列各项和的应用，还考查了特殊与的思想和推理论证的能力，属于中档题.