【精准解析】山东省烟台市招远市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题.pdf

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1、-1-2019-2020 学年度高二第一学期期中月考检测数学一、选择题：本大题共13 小题，每小题 4 分，共 52 分.在每小题给出的四个选项中，第 110 题只有一项符合题目要求，第 1113 题有多项符合题目要求.全部选对的得 4 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分.1.已知数列2 31419 2 6，则12是它的A.第28项B.第29项C.第30项D.第 31项【答案】B【解析】【分析】由数列的前几项可得其一个通项公式，由此可求12是它的第29项.【详解】已知数列2 31419 2 6，则 数列的一个通项公式为41551,nann则1251,29nn故选 B.【点睛】本题考查由

2、数列的前几项写出数列的一个通项公式，属基础题.2.正项等比数列na中，25100a a，则34lglgaa（）A.1B.1C.2D.0【答案】C【解析】【分析】利用对数的运算性质和等比数列的性质可求得结果.【详解】在等比数列na中，25100a a，由等比数列的基本性质可得3425100a aa a，因此，3434lglglglg1002aaa a故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列基本性质和对数的运算性质求值，考查计算能力，属于基础题.3.已知,a b cR，且,0ab ab，则下列不等式一定成立的是（）-2-A.33abB.22acbcC.11abD.22ab【答案】A【解析】试题分析：

3、由函数3yx在 R上是增函数可知A 项正确；B 项0c=时不正确；C项1,1ab时不正确；D 项1,1ab时不正确考点：不等式性质4.若0ab，且amabmb，则m的取值范围是（）A.mRB.0mC.0mD.0bm【答案】D【解析】【分析】利用作差法可求得出0m baamabmbb bm，可得出0m mb，解该不等式即可得出结果.【详解】0ab，0ab，amabmb，0b ama bmm baamabmbb bmb bm，可得0m mb，解得0bm.故选：D.【点睛】本题考查利用作差法比较大小，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.5.若0a，0b，则不等式1bax的

4、解集为（）A.11,00,baB.1 1,b aC.11,baD.11,00,ab-3-【答案】C【解析】【分析】分别解不等式1bx和1ax，将两个不等式的解集取交集可得出结果.【详解】0a，不等式1ax即为10axx，解此不等式得0 x或1xa；又0b，不等式1bx即为10bxx，解此不等式得1xb或0 x.因此，不等式1bax的解集为11,ba.故选：C.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.已知数列na的前n项和122nnS，则22212naaa（）A.24(21)nB.124(21)nC.4(41)3nD.14(42)3n【答案】C【解析】当1n时，12a

5、，当1n时122222nnnna2224nnna首项14a，公比4q222124144 41143nnnnaaaS故选 C7.设0ab.那么，21ab ab的最小值是（）.-4-A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【详解】由0ab，可知2104b aba.所以，222144aab aba.选 C.8.三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了许多算法，展现了聪明才智他在九章算术“盈不足”章的第19 题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式这个题的大意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距3000里（1 里=500 米），良马第一天走193 里，以

6、后每天比前一天多走13 里驽马第一天走97 里，以后每天比前一天少走半里良马先到齐地后，马上返回长安迎驽马，问两匹马在第几天相遇()A.14 天B.15 天C.16 天D.17 天【答案】C【解析】【分析】记良马每天所走路程构成的数列为na，驽马每天所走路程构成的数列为nb，根据题中数据，求出通项公式，进而可求出结果.【详解】记良马每天所走路程构成的数列为na，驽马每天所走路程构成的数列为nb，由题意可得：19313(1)18013nann，1119597(1)222nbnn，设，经过n天，两匹马相遇；则有11()()600022nnn aan bb，即195(97)(193 18013)22

7、600022nnnn，整理得252274800nn，当16n满足题意，因此两匹马在第16 天相遇.故选 C【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.-5-9.在等差数列na中，131a，1020SS，则数列na的前n项和nS的最大值为（）A.15SB.16SC.15S或16SD.17S【答案】A【解析】【分析】由1020SS可 得201011122015165()0SSaaaaa，再 根 据131a可 得150a，160a，从而可得前n项和nS的最大值为15S【详解】等差数列na中，1020SS，201011122015165()0SSaaaaa，

8、15160aa，又1310a，150a，160a，即数列的前15 项为正值，从第16 项开始为负值数列na的前n项和nS的最大值为15S故选 A【点睛】求等差数列前n 项和最大值的方法：（1）根据题意求出前n项和nS的表达式，然后根据二次函数的知识求解；（2）根据题意求出等差数列中正负项的分界点，根据正项和负项的位置进行判断，即在等差数列中，若10,0ad，则前n项和nS有最大值；若若10,0ad，则前n项和nS有最小值10.若不等式220 xaxa，对xR恒成立，则关于t的不等式221231tttaa的解为（）A.12tB.21tC.22tD.32t【答案】A【解析】-6-试题分析：不等式2

9、20 xaxa，对xR恒成立，244001aaa，那么：关于t的不等式221231tttaa，等价于：221230ttt，即：224230ttt，解得：12t，故选 A.考点：1.一元二次不等式；2.指数函数11.如果a、b、c满足cba且0ac，那么下列选项中一定成立的是（）A.abacB.0c baC.22cbabD.0ac ac【答案】AB【解析】【分析】根据cba且0ac可得出0a且0c，利用不等式的基本性质结合对b取特殊值可判断各选项的正误.【详解】cbaQ且0ac，0a且0c.对于 A 选项，bc，0a，由不等式的性质可得abac，A 选项正确；对于 B 选项，0ba且0c，由不等

10、式的性质可得0c ba，B 选项正确；对于 C 选项，若0b，则22cbab，C 选项错误；对于 D 选项，0a且0c，则0ac且0ac，可得0ac ac，D 选项错误.故选：AB.【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查推理能力，属于基础题.12.已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为nS和nT，且3393nnSnTn，则使得nnab为整数的正整数n的值为（）A.2B.3C.4D.14-7-【答案】ACD【解析】【分析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出31815311nnanbnn，进而可得出1n为15的正约数，由此可得出正整数n的可能取值.【详解】由题意可得12121121212

11、121221212nnnnnnnnnaanaSanbbTnbb，则21213 213931815321311nnnnnaSnbTnnn，由于nnab为整数，则1n为15的正约数，则1n的可能取值有3、5、15，因此，正整数n的可能取值有2、4、14.故选：ACD.【点睛】本题考查两个等差数列前n项和比值的计算，涉及数的整除性质的应用，考查计算能力，属于中等题.13.若a、b、Rc，且1abbcca，则下列不等式成立的是（）A.3abcB.23abcC.1112 3abcD.2221abc【答案】BD【解析】【分析】利用基本不等式得出222abab，222bcbc，222caca，三个不等式全加

12、可判断出 A、B、D 的正误，取33abc可判断 C 的正误.综合可得出结论.【详解】由基本不等式可得222abab，222bcbc，222caca，-8-上述三个不等式全部相加得222222abcabbcca，2221abc，当且仅当abc时，等号成立，222223abcabcabbcca，3abc或3abc，若33abc，则1113 32 3abc，因此，A、C 选项错误，B、D 选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查利用基本不等式判断不等式的正误，考查计算能力与推理能力，属于中等题.二、填空题：本大题共有4 个小题，每小题 4 分，共 16 分.14.设0 x，0y，且122xy，则2x

13、y的最小值为 _.【答案】92【解析】【分析】由题意得出1112xy，将代数式2xy与112xy相乘，展开后利用基本不等式可求得2xy的最小值.【详解】0 x，0y，且122xy，1112xy，由基本不等式可得115592222222xyxyxyxyxyyxyx，当且仅当32xy时，等号成立，因此，2xy的最小值为92.故答案为：92.-9-【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及1的妙用，考查计算能力，属于基础题.15.数列na满足，123231111212222nnaaaan，写出数列na的通项公式_【答案】16,12,2nnnan【解析】因为123231111212222nnaaaan

14、,所以12312311111121122222nnnnaaaaan,两 式 相 减 得11122nna，即12,2nnan，又1132a，所以16a，因此16,12,2nnnan点睛：给出nS与na的递推关系求na，常用思路是：一是利用1,2nnnaSSn转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为nS的递推关系，先求出nS与n之间的关系，再求na.应用关系式11,1,2nnnS naSSn时，一定要注意分1,2nn两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.16.已知关于x的不等式11axx的解集为,12,，则不等式11xax的解集为_.【答案】,02,U【解析】【分析】由题意

15、可知2是方程11axx的根，求出a的值，代入不等式11xax，化简变形后解此不等式可得出结果.【详解】已知关于x的不等式11axx的解集为,12,，则2是方程11axx的根，则21a，解得12a，-10-代入不等式11xax得221xx，即20 xx，解此不等式得0 x或2x.因此，不等式11xax的解集为,02,U.故答案为：,02,U.【点睛】本题考查利用分式不等式的解集求参数，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.17.已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、，其中第一项是02，接下来 的两项是02、12，再接下来的三项是02、12、2

16、2、，依此类推，记此数列为na，则2019a_，2019S_.【答案】(1).4(2).64258【解析】【分析】将已知数列分组，使得每一组的第一项为02，第Nn n组的最后一项为12n，计算出截止到第k组最后一项的项数之和，确定2019a所在组的序数以及所在组的项数，可归纳得出2019a的值，并进一步求得2 01 9S的值.【详解】将已知数列分组，使得每一组的第一项为02，即第一组：02；第二组：02、12；第三组：02、12、22；第kkN组：02、12、22、12k.故所有项的项数之和为11232k kk，当63k时，6363120162，故2019a应位于第64组第三项，所以22019

17、24a.-11-第k组所有项之和为211212222112kkk，因此，632636420192 122 1212112463725812S.故答案为：4；64258.【点睛】本题主要考查归纳推理，将数据进行分组是解答的关键，同时也考查了分组求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6 个小题，共 82 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足13a，123nnSa.（1）求数列 an的通项公式；（2）若等差数列 bn的前 n 项和为 Tn，且11Ta，33Ta，求数列11nnb b的前 n 项和 Qn【答案】（1）3nn

18、a（2）9(21)nn【解析】【分析】（1）根据数列的通项na与nS的关系，化简求得13()nnaanN，得到数列na是首项为 3、公比为3的等比数列，即求解通项公式；（2）由（1）可得3(21)nbn，得到1111119 2n12n1182n12n1nnb b，利用裂项法，即可求解【详解】（1）当1n时，得29a，由123nnSa，得123(2)nnSan，两式相减得112()nnnnSSaa，又1nnnSSa，13(2)nnaan，又213aa，13()nnaa nN，显然10,3nnnaaa，即数列na是首项为3、公比为 3 的等比数列，1333nnna；-12-（2）设数列nb的公差为

19、d，则有13b，由33Ta得13327bd，解得6d，3(1)63(21)nbnn，又1111119 2n12n1182n12n1nnb b，n111111Q1183352n12n1=111182n1=n9 2n1【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.19.解关于x的不等式12axx【答案】当0a时221xa；当01a时221xa；当1a时2x；当1a时21xa或2x;a=0 时，不等式的解集

20、为?.【解析】【分析】根据题意，分 3 种情况讨论：，a=0 时，不等式变形为：01，当 a=1 时，不等式为2xx1，a0 且 a1时，不等式变形为（a1）x+2（x2）0，分别求出不等式的解集，综合即可得答案【详解】根据题意，分3 种情况讨论：，a=0 时，不等式变形为：01，解集为?，当 a=1 时，不等式为1，解可得x2，解集为（2，+）；，a0 且 a1时，不等式变形为（a1）x+2（x 2）0，方程（a1）x+2（x2）=0 有 2 个根，2 和，当 a1 时，不等式的解集为（，）（2，+）；当 0a 1 时，不等式的解集为（2，）；当 a0 时，不等式的解集为（，2）；-13-综

21、合可得：当a 0 时，不等式的解集为（，2）；a=0 时，不等式的解集为?，当 0a 1 时，不等式的解集为（2，）；当 a=1 时，不等式的解集为（2，+）；当 a1 时，不等式的解集为（，）（2，+）【点睛】本题考查分式不等式的解法，注意对a 进行讨论，做到不重不漏一般分式不等式的解法步骤为：先将不等号的一边化为0，再分式化整式，转化为二次，结合二次函数的图像得到解集.20.已知关于x的不等式221(1)xm x（1）是否存在实数m，使不等式对任意的xR恒成立？并说明理由（2）若对于2,2m不等式恒成立，求实数x的取值范围【答案】（1）不存在实数m，使不等式恒成立；（2）1713|22xx

22、【解析】试题分析：（1）由原不等式等价于22(1)0mxxm若对于任意x恒成立，列出不是，即可得到结论；（2）设2()(1)(21)f mxmx，当2,2m时，()0f m恒成立，列出不等式组，即可求解实数x的取值范围试题解析：（1）原不等式等价于22(1)0mxxm若对于任意x恒成立，必须0,0,m解得m，所以不存在实数m，使不等式恒成立（2）设2()(1)(21)f mxmx，当2,2m时，()0f m恒成立，必须(2)0,(2)0,ff即222210,2230,xxxx-14-x的范围是1713|22xx考点：一元二次不等式的求解及应用21.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车

23、的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为2920031600vyvvv.（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆/时）？（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？【答案】（1）当40v时，车流量最大，最大车流量为11.1（千辆/时）；（2）25,64.【解析】【分析】（1）将函数解析式变形为92016003yvv，利用基本不等式可求得结果，由等号成立求得对应的v值，即可得解；（2）解不等式29201031600vvv即可求得v的取值范围，进而可得解.【详解】（1）依题意9209

24、2092016008332 16003vvy，当且仅当40v等号成立，最大车流量92011.183y（千辆/时）；（2）由条件得29201031600vvv，整理得28916000vv，解得 2564v.故汽车的平均速度应该在25,64范围内.【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.22.已知函数135cos2fxxx，且数列na满足*133nnaanfnN.（1）若数列na是等差数列，求数列na的通项公式；（2）若对任意的*nN，都有20nan成立，求1a的取值范围.-15-【答案】（1）1nan；（2）1,9.【解析】【分析】（1）设等

25、差数列na的公差为d，由已知条件得出123nnaan，由1n和2n可得出关于1a和d的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得na；（2）推导出122nnaan，可知数列na中的奇数项和偶数项分别成以2为公差的等差数列，以此求出数列na的通项公式，然后分n为奇数和偶数两种情况讨论，结合20nan恒成立，利用参变量分离法可求得1a的取值范围.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，依题意得23f，故123nnaan，则21132125237aaadaaad，解得1d，12a因此，数列na的通项公式为111naandn；（2）由（1）知，当2n时，123nnaan，12(1)3nna

26、an，两式相减得112nnaa，数列2na是以2a为首项，2为公差的等差数列，数列21na是以1a为首项，2为公差的等差数列又125aa215aa，当n为偶数时，211125232nnaaanna；当n为奇数时，1111212nnaana.111,3,nna nana n为奇数为偶数.因为对任意的nN都有20nan成立，-16-当n为奇数时，22110nannan恒成立，211ann在n为奇数时恒成立，11a即，11a；同理当n为偶数时，22130nannan恒成立，213ann在n为偶数时恒成立，19a.综上所述，1a的取值范围是1,9.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利

27、用数列不等式恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.23.定义12nnppp为n个正数1p、2p、np的“均倒数”.已知正项数列na的前n项的“均倒数”为1n.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列21211nnaa的前n项和为nT，若2444nTmm对一切*nN恒成立，试求实数m的取值范围；（3）令910nnnba，问：是否存在正整数k使得knbb对一切*nN恒成立，如存在，求出k值，否则说明理由.【答案】（1）21nan；（2）,15,；（3）存在，且10k.【解析】【分析】（1）设数列na的前n项和为nS，由题意可得2nSn，利用11,1,2nnnS naSSn

28、可求得数列na的通项公式；（2）求得2121111144341nnaann，利用裂项法可求得nT，并得出14nT，由题意可得2441mm，解此不等式即可得出实数m的取值范围；-17-（3）解法一：利用定义判断数列nb的单调性，可求得数列nb的最大项，进而可求得k的值；解法二：解不等式11kkkkbbbb可求得正整数k的值.【详解】（1）设数列na的前n项和为nS，由于数列na的前n项的“均倒数”为1n，所以1nnSn，2nSn，当1n时，111aS；当2n时，221121nnnaSSnnn.11a也满足21nan，因此，对任意的nN，21nan；（2）212111111434144341nna

29、annnn，11111111111455943414414nTnnn2444nTmm对一切*nN恒成立，所以，2441mm解之得1m或5m，即m的取值范围是,15,；（3）解法一：99211010nnnnban，由于1119919212119210109 10nnnnnbbnnn，当9n时1nnbb，此时，数列nb单调递增；当10n时1nnbb，此时，数列nb单调递减.所以，当10n时，nb取得最大值，即存在正整数10k使得knbb对一切*nN恒成立；-18-解法二：99211010nnnnban，假设存在正整数k使得knbb，则kb为数列nb中的最大项，由11kkkkbbbb得1199212110109921231010kkkkkkkk，解得192122k，又*kN，10k，即存在正整数10k使得knbb对一切*nN恒成立【点睛】本题考查利用前n项和求通项、裂项相消法求和，同时也考查了数列最大项的求解，涉及数列单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.