不等式与线性规划(2).pdf

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1、第 6 练处理好“线性规划问题”的规划题型一不等式组所确定的区域问题例 1已知点M(x，y)的坐标满足不等式组x20，y10，x2y20，则此不等式组确定的平面区域的面积 S的大小是()A1 B2 C3 D4 题型二求解目标函数在可行域中的最值问题例 2若变量 x，y满足约束条件xy2，x1，y0，则 z2xy的最大值与最小值的和为_题型三利用线性规划求解实际应用题例 3某旅行社租用A，B 两种型号的客车安排900 人旅行，A，B 两种客车的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为1600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且B 型车不多于A 型车 7 辆，则

2、租金最少为()A31200 元B 36000 元C 36800 元D 38400 元题型四简单线性规划与其他知识的综合性问题例 4设变量 x，y 满足约束条件y3x2，x2y1 0，2xy8，则 lg(y1)lgx 的取值范围为()A0,12lg 2 B1，52 C12，lg2 Dlg 2,1 2lg 21实数 x，y 满足y|x1|，y1，则不等式组所围成图形的面积为()A4 B2 C.12D1 2已知 O 是坐标原点，点A(1，1)，若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，则OA OM的取值范围是()A 1,0 B0,1 C0,2 D1,23(2014 广东)若变量 x

3、，y 满足约束条件y x，x y1，y 1，且 z2x y 的最大值和最小值分别为m 和 n，则 mn 等于()A5 B6 C7 D 8 4设 m1，在约束条件yx，ymx，xy1下，目标函数zxmy 的最大值小于2，则 m 的取值范围为()A(1,12)B(12，)C(1,3)D(3，)5 若 P 是满足不等式组yx，xy2 0，y0表示的平面区域内的任意一点，点 P 到直线 3x4y120 的距离为d，则 d 的取值范围是()A1，125 B1，125)C(1，65)D(34，1 6设关于x，y 的不等式组2xy10，xm0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足 x02y0 2，则

4、m 的取值范围是()A(，43)B(，13)C(，23)D(，53)7 设变量 x，y 满足约束条件xy2 0，x5y100，xy8 0，则目标函数z3x4y 的最大值为 _8已知不等式组x1，xy20，kxy0表示的平面区域为，其中k0，则当 的面积取得最小值时，k 的值为 _94 件 A 商品与 5 件 B 商品的价格之和不小于20 元，而 6 件 A 商品与 3 件 B 商品的价格之和不大于24，则买 3 件 A 商品与 9 件 B 商品至少需要_元10 设 x，y 满足约束条件2xy20，8xy40，x0，y0，若目标函数zabxy(a0，b0)的最大值为8，则 ab 的最小值为 _1

5、1给定区域D：x4y 4，xy4，x0.令点集 T(x0，y0)D|x0，y0 Z，(x0，y0)是 zxy 在 D上取得最大值或最小值的点，则 T 中的点共确定 _条不同的直线12已知 t 是正实数，如果不等式组xyt，xy0，x0表示的区域内存在一个半径为1 的圆，则t 的最小值为 _第 6 练处理好“线性规划问题”的规划题型一不等式组所确定的区域问题例 1已知点M(x，y)的坐标满足不等式组x20，y10，x2y20，则此不等式组确定的平面区域的面积 S的大小是()A1B2 C3D4 破题切入点先画出点M(x，y)的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积答案A 解析作出不

6、等式组x20，y10，x2y2 0表示的平面区域，如图所示，则此平面区域为ABC 及其内部，且点 A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S12211.故选 A.题型二求解目标函数在可行域中的最值问题例 2若变量 x，y满足约束条件xy2，x1，y0，则 z2xy的最大值与最小值的和为_破题切入点先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z2xy 的几何意义，即可求得最大值与最小值答案6 解析画出可行域，如图所示，由图象，可得当 y 2xz 经过点 B(2,0)时，zmax4；当 y 2x z经过点 A(1,0)时，zmin2.故填 6.题型三利用线性规划求解实际应用题例 3某旅行社

7、租用A，B 两种型号的客车安排900 人旅行，A，B 两种客车的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为1600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且B 型车不多于A 型车 7 辆，则租金最少为()A31200 元 B36000 元C36800 元 D38400 元破题切入点设租用 A，B 两种型号的客车分别为x 辆，y 辆，总租金为z 元，可得目标函数z 1600 x 2400y.结合题意，建立关于x，y 的不等式组，计算A，B 型号客车的人均租金，可得租用B 型车的成本比A 型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B 型车，可使总租金最低答案C 解

8、析设租用 A，B 两种型号的客车分别为x 辆，y 辆，所用的总租金为z 元，则 z1600 x2400y，其中 x，y 满足不等式组36x60y900，yx7，yx21.(x，yN)画出可行域，可知在x5，y12 时，可载客 3656012900(人)，符合要求且此时的总租金z 1600524001236800，达到最小值故选C.题型四简单线性规划与其他知识的综合性问题例 4设变量 x，y 满足约束条件y3x2，x2y1 0，2xy8，则 lg(y1)lgx 的取值范围为()A0,12lg 2 B1，52 C12，lg2 D lg 2,1 2lg 2破题切入点先画出不等式组所确定的可行域，将目

9、标函数化为lgy1x，利用数形结合的方法解 ty1x的最值，然后确定目标函数的最值，从而求其范围答案A 解析如图所示，作出不等式组y3x 2，x2y 10，2xy 8确定的可行域因为 lg(y 1)lgxlgy1x，设 ty1x，显然，t 的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点 E(0，1)连线的斜率由图，可知点P 在点 B 处时，t 取得最小值；点 P 在点 C 处时，t 取得最大值由x2y 10，2xy 8，解得x3，y2，即 B(3,2)；由y3x 2，2xy 8，解得x 2，y 4，即 C(2,4)故 t 的最小值为kBE2 131，t 的最大值为kCE4 1252，所以 t1，5

10、2又函数 ylgx 为(0，)上的增函数，所以 lgt0，lg52，即 lg(y1)lgx 的取值范围为0，lg52而 lg52lg5lg212lg2，所以 lg(y 1)lgx 的取值范围为 0,12lg 2 故选 A.总结提高(1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线ykx，再平移此直线(3)求解线性规划应用题的一般步骤：设出未知数；列出线性约束条件；建立目标函数；求出最优解；转化为实际问题1实数 x，y 满足y|x1|，y1，则不等式组所围成图形的面积为()A4B2C.12D1 答案D

11、 解析实数 x，y 满足y|x1|，y1，它表示的可行域如图所示不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(2,1)，所以所围成图形的面积为12211.故选 D.2已知 O 是坐标原点，点A(1，1)，若点 M(x，y)为平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，则OA OM的取值范围是()A 1,0B0,1C0,2 D1,2答案C 解析作出可行域，如图所示，由题意OA OM xy.设 z xy，作 l0：xy0，易知，过点(1,1)时 z 有最小值，zmin 110；过点(0,2)时 z 有最大值，zmax0 22，OA OM的取值范围是0,23(2014 广

12、东)若变量 x，y 满足约束条件y x，x y1，y 1，且 z2x y 的最大值和最小值分别为m 和 n，则 mn 等于()A5B6C7D8 答案B 解析画出可行域，如图阴影部分所示由 z2xy，得 y 2xz.由yx，y 1得x 1，y 1，A(1，1)由xy1，y 1得x2，y 1，B(2，1)当直线 y 2xz 经过点 A 时，zmin2(1)1 3n.当直线 y 2xz经过点 B 时，zmax2213m，故 mn6.4设 m1，在约束条件yx，ymx，xy1下，目标函数zxmy 的最大值小于2，则 m 的取值范围为()A(1,12)B(12，)C(1,3)D(3，)答案A 解析变形目

13、标函数为y1mxzm，由于 m1，所以 11m0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示根据目标函数的几何意义，只有直线y1mxzm在 y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值显然在点A 处取得最大值，由ymx，xy1，得交点 A11m，m1m，所以目标函数的最大值是11mm21m2，即 m22m 10，解得 12m0表示的平面区域内的任意一点，点 P 到直线 3x4y120 的距离为d，则 d 的取值范围是()A1，125 B1，125)C(1，65)D(34，1 答案B 解析作出可行域为AOB(但不包括OB 上的点)及直线 3x4y120，如图所示结合图形，可知点A(1,1)到直线 3x

14、4y120 的距离最小，最小值 dmin|3 412|51；原点 O(0,0)到直线 3x 4y120 的距离最大，最大值 dmax|030412|5125.又 y0，所以 d1，125)6设关于x，y 的不等式组2xy10，xm0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足 x02y0 2，则 m 的取值范围是()A(，43)B(，13)C(，23)D(，53)答案C 解析问题等价于直线x2y2 与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x 2y2 经过第一、三、四象限，则点(m，m)只能在第四象限，可得m0，即m0，b0)的最大值为8，则 ab 的

15、最小值为 _答案4 解析由 z abxy，得 y abxz，所以直线的斜率为ab0，作出可行域，如图，由图象，可知当y abxz 经过点 B 时，z 取得最大值由2xy 20，8xy 40，得x1，y4，即 B(1,4)，代入 zabxy8，得 ab48，即 ab4，所以 ab2 ab4，当且仅当a b2 时取等号，所以ab 的最小值为4.11给定区域D：x4y 4，xy4，x0.令点集 T(x0，y0)D|x0，y0 Z，(x0，y0)是 zxy 在 D上取得最大值或最小值的点，则 T 中的点共确定 _条不同的直线答案6 解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6 条12已知 t 是正实数，如果不等式组xyt，xy0，x0表示的区域内存在一个半径为1 的圆，则t 的最小值为 _答案222 解析画出不等式组表示的平面区域，当t 是正实数时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形依题意，它有一个半径为1 的内切圆，不妨设斜边|OB|t，则两直角边长|AB|OA|22t，所以22t22tt21，求得 t221222，即 tmin22 2.