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1、数学试卷一、选择题1.已知集合211|,2xAy yxR,则满足ABB的集合B可以是()A.10,2B.|11xxC.1|02xxD.0 x x2.已知3,cos225则tan4等于()A.17B.7C.17D.73.已知0,0,8,abab当24ab取得最小值时a的值为()A.2B.2 2C.3D.44.已知直线,a b,平面,且,ab,则“ab”是“/”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.nS为等差数列na的前n项和,91336,104SS,等比数列nb中,5577,baba,则6b等于()A.4B.4 2C.4 2D.4 26.在ABC中,角
2、,A B C的对边分别为,a b c,已知4,2,sin 2sinabAB,则c边的长为()A.2B.3C.4D.2或47.已知直线:210ilxy,直线2:20laxbya,其中实数1,5a则直线1l与2l的交点位于第一象限的概率为()A.16B.14C.13D.128.设,x y满足0103220yxyxy则221025zxxy的最小值为()A.12B.13C.16D.269.如图,在四棱锥CABOD中,CO平面,/,ABOD ABOD OBOD,且212,6ABODAD,异面直线CD与AB所成角为30o,点,O B C D都在同一个球面上,则该球的表面积为()A.72B.84C.128D
3、.16810.已知双曲线2222:1xyCab的左、右焦点分别是12,FF,正三角形12AF F的一边1AF与双曲线左支交于点B,且114AFBFuu uruuu r,则双曲线C的离心率的值是()A.312B.312C.1313D.131311.已知函数yfx 的周期为2,当1,1x时2fxx,那么函数yfx 的图像与函数lgyx的图像的交点共有()A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个12.已知函数2xfxm的图象与函数yg x的图象关于y轴对称,若函数yfx与函数yg x在区间1,2上同时单调递增或同时单调递减,则实数m的取值范围是()A.1,4,2B.1,22C.2,4D.4,
4、二、填空题13.为了解高中生用电脑输入汉字的水平,随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试,下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图,其中每分钟输入汉字个数的范围是50,150,样本数据分组为 50,70),70,90),90,110),110,130),130,150,已知样本中每分钟输入汉字个数小于 90 的人数是36,则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70 个并且小于130 个的人数是_.14.若直线1:lyx关于直线l的对称直线为2:20lxy,则直线 l 的方程为 _ 15.已知梯形ABCD中,/,2,1,3ADBC ABCDBCBAD,点E在边BC上运动,则AE ADu
5、 u u r uuu r取值范围是 _ 16.已知直线ymx与函数211,20012,3xxxfxx的图象恰好有3个不同的公共点,则实数m的取值范围为 _ 三、解答题17.某年级教师年龄数据如下表:年龄(岁)人数(人)221282293 305314323402合计201.求这20名教师年龄的众数与极差2.以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名教师年龄的茎叶图3.现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议,求所选的2位教师年龄不全相同的概率18.在几何体ABCDE中,2BACDC平面,ABC EB平面,2ABC ABAC,且AE与平面ABC所成角为4,1DC1.设平面ABE
6、与平面ACD的交线为直线l,求证:/l平面BCDE2.设F是BC上的点,且DFEF,求证:平面AFD平面AFE3.在2的条件下,求三棱锥EFDA的体积19.fx对任意xR都有112fxfx1.求12f和11nffnn的值2.数列na满足:1101nnaffffnnL数列na是等差数列吗?请给予证明3.令22221231,41nnnnbTbbbbaL,证明2nT20.已知椭圆2222:10 xyCabab的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,且该三角形的面积为31.求椭圆C的方程2.设12,FF是椭圆C的左右焦点,若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点1F和2F,求这个平行四边形面积的最大
7、值21.已知lnfxxx,23g xxax.1.求函数fx在,20t tt上的最小值;2.对一切0,x,2fxg x恒成立,求实数a的取值范围;3.证明对一切0,x,都有12lnxxeex(e是自然对数的底数)成立.22.已知曲线C的极坐标方程是4cos.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是1cossinxtyt(t是参数)1.将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;2.若直线l与曲线C相交于,A B两点,且14AB,求直线的倾斜角的值.23.已知0,0ab,且1ab.1.若abm恒成立,求m的取值范围;2.若41212xxab恒成立,求x的取
8、值范围.参考答案1.答案:C 解析:2.答案:A 解析:3.答案:D 解析:4.答案:C 解析:5.答案:D 解析:6.答案:D 解析:7.答案:A 解析:8.答案:B 解析:9.答案:B 解析:10.答案:D 解析:由题意得,1,0,0,3FcAc,设,B x y,114AFBFuuu ruuu r,34,cccxy33,44cxc y,代人双曲线方程可得222229316161ccaca,1313e,故选 D.11.答案:A 解析:作出两个函数的图象如下,函数 yfx 的周期为2,在1,0 上为减函数,在0,1上为增函数,函数yfx在区间0,10上有5次周期性变化,在 0,12,34,56
9、,7,8,9 上为增函数,在 1,23,45,67,8,9,10 上为减函数,且函数在每个单调区间的取值都为0,1,再看函数lgyx,在区间0,1上为减函数,在区间1,上为增函数,且当1?x时0y;10 x时1?y,再结合两个函数的草图,可得两图象的交点一共有10个,故选A.12.答案:B 解析:13.答案:90 解析:根据频率分布直方图可知样本中每分钟输入汉字个数小于90 的频率=(0.005+0.01)20=0.3一共抽取360.3=120 人样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70 个并且小于130 个的频率=(0.015+0.0125+0.01)20=0.75样本中每分钟输入汉字个数大于
10、或等于70 个并且小于130 个的人数=0.75120=90故答案为:90 14.答案:10 xy解析:15.答案:3,6解析:16.答案:,2解析:17.答案:1.年龄为30岁的教师人数为5,频率最高,故这20名教师年龄的众数为30,极差为最大值与最小值的差,即40 22182.略;3.设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为 29,31 岁的教师共有7名,从其中任选2名教师共有76212种选法,3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法,4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法,所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21912种,所以124217P A解析:18.答案:1.
11、DC平面,ABC EB平面ABC,/DCEB,又DC平面,ABE EB平面ABE,/DC平面ABEl平面ABE平面ACD,则/DCl,又l平面,BCDE CD平面BCDE,所以/l平面BCDE2.设CFx,在DEF中,因为FDFE,所以222DFEFDE,即:22212 222 21xx得2x所以F为BC的中点.由DC平面,ABC AF平面ABC,DCAF,又,ABAC F是BC的中点,AFBC,又,DCBCC DC平面BCDE,BC平面BCDE,AF平面BCDE,AFFD,又AFEFF,FD平面AFE,又FD平面AFD故平面AFD平面AFE3.1113621332EFDAA EFDEFDVV
12、SAF解析:19.答案:1.因为1111222ff所以11222f所以1124f令1xn则1111112nffffnnnn2.1101nnaffffnnL又1110nnaffffnnL两式相加111201012nnnaffffffnnL所以14nna所以114nnaa故数列na是等差数列3.1141nnban2222123222111121111122 31111111221122nnTbbbbnn nnnnLLLL解析:20.答案:1.解:椭圆2222:10 xyCabab的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,且该三角形的面积为3,依题意222:2:3:13abca b cbc解得:2,3
13、,1abca,椭圆C的方程为:22143xy2.设过椭圆右焦点2F的直线:1lxty与椭圆交于,A B两点,则2213412xtyxy整理得:2234690tyty由韦达定理,得12122269,3434tyyy ytt2221212122214414412143134ttyyyyy ytt2222122161234OABOF AOF BtSSSOFyyt椭圆C的内接平行四边形面积为22241434OABtSSt令211mt,则2413Sfmmm注意到Sfm在1,上单调递减,max16Sf,当且仅当1m,即0t时等号成立.故这个平行四边形面积的最大值为6解析:21.答案:1.ln1fxx,当1
14、0,xe时,0fx,fx单调递减;当1,xe时,0fx,fx单调递增.当102tte时,无解;当12tte,即1te时,fx在,2t t上单调递增,minlnfxf ttt;当102tte,即10te时,fx在1,te上是减函数;在1,2te上是增函数.所以min11fxfee,所以min11,0,1ln,.teefxtt te2.由2fxg x,得22 ln3xxxax.因为0,x,所以32lnaxxx.设32ln0h xxxxx231xxhxx.当0,1x时,0hx,h x单调递减;当1,x,0hx,h x单调递增;所以min14h xh,所以4a.3.问题等价于2lnxxxxee对0,x
15、恒成立.由 1 问可知,lnfxxx在0,x上的最小值为1e,当且仅当1xe时取得.设2xxm xee,1xxmxe.可得max11m xme,当且仅当1x时取得.因为11e,所以对一切0,x,2lnxxxxee恒成立,即对一切0,x,12lnxxeex恒成立.解析:22.答案:1.222,cosxsinyxy,曲线C的极坐标方程是4cos可化为:2224,4,cosxyx22 24.xy2.4或34解析:将1cossinxtyt代入圆的方程22(2)4xy得22(1)()4tcostsin,化简得2230ttcos设,A B两点对应的参数分别为12,t t,则121 22cos3ttt t2212121 2()44cos1214ABttttt t,可得2cos24或34所以直线的倾斜角为4或3423.答案:1.0,0ab,1ab由基本不等式得:2124abab,当且仅当12ab时等号成立,由abm恒成立,14m2.,0,a b4141459baabababab故要使41212xxab恒成立,则2129xx当2?x时,不等式化为:1229xx,解得62x当122x时,不等式化为:1229xx,解得122x当12x时,不等式化为:2129xx,解得1122x故x的取值范围6,12解析:
限制150内