2019-2020学年四川省成都市郫都区高一下学期期末数学试卷(理科)(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年成都市郫都区高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1cos2sin2（）A1BCD2已知等比数列an中，a3a114a7，数列 bn是等差数列，且 b7a7，则 b5+b9等于（）A2B4C8D163若 ab0，则下列不等式中不成立的是（）ABa3b3CDa2b24已知各项均不相等的等比数列an，若 3a2，2a3，a4成等差数列，设Sn为数列 an的前 n项和，则等于（）ABC3D15在 ABC 中，若 B、C 的对边边长分别为b、c，B45，c2，b，则 C 等于（）A30B60C120D60或 1206若，则 tan2（）ABCD7 ABC

2、的三内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足，则 ABC 的形状是（）A正三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形8已知 sin（+x），则 sin2x 的值为（）ABCD9已知，则 tan?tan 的值为（）ABCD10在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 是棱 A1B1的中点，则 A1B 与 D1E 所成角的余弦值为（）ABCD11若不等式ax2+bx+c0 的解为 mx n（其中 m0n），则不等式cx2bx+a 0 的解为（）Ax m 或 x nB nx mCx或 xD12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2B4CD12二.填空题（本大题共4

3、 小题，每小题5 分，共 20 分）13若 x1，则 x+的最小值是1415如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40 米的楼 AB 的底部 A 处和楼顶B 处分别测得仰角 60，30，若山坡高为32 米，则灯塔高度是米16设 a1，a2，a50是从 1，0，1 这三个整数中取值的数列，若a1+a2+a509，且（a1+1）2+（a2+1）2+（a50+1）2107，则 a1，a2，a50中数字 0 的个数为三、解答题（本大题共6 小题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在等比数列an中，a1+a26，a2+a312（）求数列an的通项公式；（）设bn是等差数列

4、，且 b2a2，b4a4 求数列 bn的公差，并计算 b1b2+b3b4+b100的值18已知 ，为锐角，tan，cos（+）（1）求 cos2的值；（2）求 tan（）的值19已知数列 an的前n 项和为Sn，点（n，Sn）（n N*）均在二次函数f（x）x2 2x的图象上（1）求数列 an的通项公式；（2）设，求数列 bn的前 n 项和 Tn20如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D 为 AC 中点，ABBC，A1DAC1求证：（1）B1C平面 A1BD；（2）平面 A1BD 平面 AB1C121在 ABC 中，三角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 cosA，sinBcosC（1

5、）求 tan C 的值；（2）若 a，求 ABC 的面积22边长为1 的正方形ABCD 的边 BC 上有一点P，边 CD 上有一点Q满足 CPQ 的周长为 2（1）求 QAP 的大小；（2）求 APQ 面积的最小值参考答案一.选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1cos2sin2（）A1BCD【分析】利用二倍角公式以及特殊角的三角函数求值即可解：cos故选：C2已知等比数列an中，a3a114a7，数列 bn是等差数列，且 b7a7，则 b5+b9等于（）A2B4C8D16【分析】利用等比数列求出a7，然后利用等差数列的

6、性质求解即可解：等比数列an中，a3a114a7，可得 a724a7，解得 a74，且 b7 a7，b74，数列 bn是等差数列，则b5+b92b78故选：C3若 ab0，则下列不等式中不成立的是（）ABa3b3CDa2b2【分析】根据条件，取a 2，b 1，可知 C 不成立解：根据ab0，取 a 2，b 1，则可知C 不成立故选：C4已知各项均不相等的等比数列an，若 3a2，2a3，a4成等差数列，设Sn为数列 an的前 n项和，则等于（）ABC3D1【分析】设等比数列an的公比为q，q1，由3a2，2a3，a4成等差数列，可得22a33a2+a4，由等比数列的通项公式解得q，利用通项公式

7、与求和公式即可得出解：设等比数列an的公比为q，q1，3a2，2a3，a4成等差数列，22a33a2+a4，4a2q3a2+a2q2，化为 q24q+30，解得 q1（舍去）或q3q 3 时，则故选：A5在 ABC 中，若 B、C 的对边边长分别为b、c，B45，c2，b，则 C 等于（）A30B60C120D60或 120【分析】由B 的度数求出sinB 的值，再由b 及 c 的值，利用正弦定理求出sinC 的值，根据 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角C 的度数解：由 B45，c 2，b，根据正弦定理得：sinC，又 C 为三角形的内角，且cb，可得 CB45，即 45

8、C180，则 C60或 120故选：D6若，则 tan2（）ABCD【分析】将已知等式左边的分子分母同时除以cos，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tan 的方程，求出方程的解得到tan的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tan的值代入即可求出值解：，tan 3，则 tan2 故选：B7 ABC 的三内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足，则 ABC 的形状是（）A正三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】利用正弦定理?，再结合已知可求得，从而可得sin2Asin2B，可判断 ABC 的形状解：ABC 中，由正弦定理得：，又，si

9、n2Asin2B，AB 或 2A 2B，即 AB 或 A+B，ABC 为等腰三角形或直角三角形故选：D8已知 sin（+x），则 sin2x 的值为（）ABCD【分析】根据 sin2x cos（2x+）12，把 sin（+x）代入，运算求得结果解：sin（+x），sin2x cos（2x+）122121，故选：B9已知，则 tan?tan 的值为（）ABCD【分析】由已知结合和差角的余弦公式及同角基本关系即可求解解：因为，所以 cos cos sin sin，cos cos+sin sin，解可得，cos cos，sin sin，则 tan?tan 故选：C10在正方体ABCD A1B1C1D

10、1中，E 是棱 A1B1的中点，则 A1B 与 D1E 所成角的余弦值为（）ABCD【分析】在正方体、长方体中往往可以建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题解：如图，以D 为坐标系原点，AB 为单位长，DA，DC，DD1分别为 x，y，z 轴建立坐标系，易见，所以，故选：B11若不等式ax2+bx+c0 的解为 mx n（其中 m0n），则不等式cx2bx+a 0 的解为（）Ax m 或 x nB nx mCx或 xD【分析】由题意用m、n 表示出 a、b 和 c，再把不等式cx2bx+a0 化为以 m、n 为系数的不等式，求出解集即可解：不等式ax2+bx+c 0 的解为 mxn，所以 a0

11、，且；所以 b a（m+n），camn，所以不等式cx2bx+a0，可化为amnx2+a（m+n）x+a0；又 a0，所以 mnx2+（m+n）x+10，即（mx+1）（nx+1）0；又 m0n，所以不等式化为（x+）（x+）0，且；所以解不等式得x或 x，即不等式cx2bx+a0 的解集是（，）（，+）故选：C12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2B4CD12【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积解：根据几何体的三视图转换为直观图为三棱柱ABC DEF切去一个三棱锥体CDEF 如图所示：所以：V4故选：B二.填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，

12、共 20 分）13若 x1，则 x+的最小值是3【分析】x+x1+1，利用基本不等式可求函数的最值解：x1，x+x1+1+13，当且仅当x1即 x2 时取等号，x2时 x+取得最小值3，故答案为：3144【分析】由已知可得，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果解：故答案为：415如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40 米的楼 AB 的底部 A 处和楼顶B 处分别测得仰角 60，30，若山坡高为32 米，则灯塔高度是28米【分析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出灯塔高度解：如图所示，ABD 中，AB 40，ABD 90+120，BAD 90 30，所以

13、ADB 30，所以AD2402+40224040cos120 4800，AD 40；Rt ADE 中，DAE 60，所以DE ADsin60 4060，又山坡高为CE 32 米，所以灯塔高度是603228（米）故答案为：2816设 a1，a2，a50是从 1，0，1 这三个整数中取值的数列，若a1+a2+a509，且（a1+1）2+（a2+1）2+（a50+1）2107，则 a1，a2，a50中数字 0 的个数为11【分析】根据题中已知条件先求出a12+a22+a502的值为 39，便可知 1 和 1 的总个数是 39，则 0 的个数为11解：由（a1+1）2+（a2+1）2+（a50+1）2

14、107 得a12+a22+a502+2（a1+a2+a50）+50107，即：a12+a22+a502107 502939由此式可知：0 的个数为 111 和 1 的总个数是39设 1 的个数为x，1 的个数为y则有：x+y39 且 yx9可知：x15，y24，故：a1，a2，a50中有 0 的个数为11，1 的个数为24，1 的个数为15，故答案为11三、解答题（本大题共6 小题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在等比数列an中，a1+a26，a2+a312（）求数列an的通项公式；（）设bn是等差数列，且 b2a2，b4a4 求数列 bn的公差，并计算 b1b2+b

15、3b4+b100的值【分析】（）由等比数列的通项公式可得，a1（1+q）6，a1q（1+q）12，解方程可求 a1，进而可求通项（）结合等差数列的通项公式可得，b1+d4，b1+3d16，解方程求出b1，d，然后利用分组求和即可解：（）设等比数列an的公比为q，由已知，a1（1+q）6，a1q（1+q）12 两式相除，得q2所以 a1 2，所以数列 an的通项公（）设等差数列bn的公差为d，则 b1+d 4，b1+3d16解得 b1 2，d6b1b2+b3 b4+b100的（b1b2）+（b3b4）+（b99b100）50d 30018已知 ，为锐角，tan，cos（+）（1）求 cos2的值

16、；（2）求 tan（）的值【分析】（1）由已知结合平方关系求得sin，cos的值，再由倍角公式得cos2的值；（2）由（1）求得 tan2，再由 cos（+）求得 tan（+），利用tan（）tan2 （+），展开两角差的正切求解解：（1）由，解得，cos2；（2）由（1）得，sin2，则 tan2 ，（0，），+（0，），sin（+）则 tan（+）tan（）tan2 （+）19已知数列 an的前n 项和为Sn，点（n，Sn）（n N*）均在二次函数f（x）x2 2x的图象上（1）求数列 an的通项公式；（2）设，求数列 bn的前 n 项和 Tn【分析】（1）通过点均在二次函数f（x）x22

17、x 的图象上，求出利用 anSnSn1；求解数列 an的通项公式（2）通过 an2n3，数列 bn的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可解：（1）点均在二次函数f（x）x22x 的图象上，（1 分）当 n 1 时，a1S112 1，当 n 2 时，；经检验，a1 1 满足上式数列 an的通项公式是an2n3（2）an2n3，Tnb1+b2+b3+bn20如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D 为 AC 中点，ABBC，A1DAC1求证：（1）B1C平面 A1BD；（2）平面 A1BD 平面 AB1C1【分析】（1）设 A1B 与 AB1交于点 O，连接 OD，证明 ODB1C，得出 B

18、1C平面 A1BD；（2）证明 BD 平面 ACC1A1，得出 BD AC1，由 A1DAC1，得出 AC1面 A1BD，即可证明平面A1BD 平面 AB1C1【解答】证明：（1）设 A1B 与 AB1交于点 O，连接 OD，如图所示；在平行四边形ABB1A1中，O 为 AB1中点，D 为 AC 中点，所以 OD 为 AB1C 的中位线，所以 ODB1C，又 OD?平面 A1BD，B1C?平面 A1BD，所以 B1C平面 A1BD；（2）因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以BD 为 ABC 的底边上的中线，BD AC；在直三棱柱ABC A1B1C1中，C1C平面 ABC，BD?平面 AB

19、C，所以 BD C1C，又 BD AC，AC?平面 ACC1A1，C1C?平面 ACC1A1，AC C1CC，所以 BD平面 ACC1A1；又 AC1?平面 ACC1A1，所以 BD AC1；又 A1DAC1，BD?平面 A1BD，A1D?平面 A1BD，A1DBD D，所以 AC1面 A1BD；又 AC1?平面 AB1C1，所以平面A1BD平面 AB1C121在 ABC 中，三角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 cosA，sinBcosC（1）求 tan C 的值；（2）若 a，求 ABC 的面积【分析】（1）先由 cosA 求出 sinA，再把 sinB 化为 sin（A+C），即可

20、求出tan C 的值；（2）由 tan C 的值，求出sinC 和 cosC 的值，从而得到sinB，再利用正弦定理求出c，利用三角形面积公式即可求出ABC 的面积解：在 ABC 中，A+B+C，0 A ，sinA0，因为 cosA，sinA，（1）因为cosCsinBsin（A+C）sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC，所以cosC，所以 sinC3cosC，如果 cosC0，则 sinC0，与 sin2C+cos2C1 矛盾，所以cosC0，所以 tan C3；（2）因为 0C，由 tan C30，得 0C，则 sinC0，cosC0，将（1）中 代入（1）中 解得：sinC

21、，cosC，所以 sinBcosC，将 a2及（1）代入正弦定理得：，解得 c3，所以 ABC 的面积 S3，22边长为1 的正方形ABCD 的边 BC 上有一点P，边 CD 上有一点Q满足 CPQ 的周长为 2（1）求 QAP 的大小；（2）求 APQ 面积的最小值【分析】（1）由已知可得PQBP+DQ，设 PAB ，DAQ，可求 PBtan ，QD tan，且 PC1tan ，QC1tan，PQtan+tan ，由勾股定理，两角和的正切函数公式可得tan（+）1，由 +为锐角，+45，可求 QAP 的值（2）利用三角形的面积公式可得SAPQ，由三角函数恒等变换的应用可求 2cos cos

22、1+cos（45 2），利用余弦函数的性质即可求解其最小值解：（1）CPQ 的周长为2，可得 PQ BP+DQ，设 PAB，DAQ ，则 PBtan，QDtan ，且 PC1tan ，QC1tan ，PQtan+tan ，2分由勾股定理可得，（1tan ）2+（1tan ）2（tan+tan ）2，展开整理可得，22tan2tan 2tan?tan，4 分变形可得1，即 tan（+）1，5 分因为 +为锐角，+45，QAP90 45 45 6 分（2）SAPQAQ?AP?sin45，8 分又 2cos cos 2cos cos（45 ）2cos2+2cos sin，2cos cos 1+cos2+sin2 1+cos（45 2），10 分当 22.5时，上式有最大值1+，11 分此时 SAPQ有最小值1 12 分