2018版高中数学平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案新人教A版必修4含解析.pdf

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1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题.知识点一向量数乘的定义思考 1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？答案向量.思考 2 向量 3a，3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案 3a的长度是a的长度的3 倍，它的方向与向量a的方向相同.3a的长度是a的长度的3 倍，它的方向与向量a的方向相反.思考 3 a的几何意义是什么？答案a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当|1

2、时，表示a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的|倍.梳理向量数乘运算实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：(1)|a|a|.(2)a(a0)的方向当0时，与a方向相同，当0时，与a方向相反；特别地，当0 或a0 时，0a0 或00.知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案结合律，分配律.梳理向量数乘运算律(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.知识点三向量共线定理思考 1 若b 2a，b与a共线吗？答案根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线.如果有一个实数，使ba(a0)，那么

3、b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使得ba.思考 2 若b与非零向量a共线，是否存在满足ba？若b与向量a共线呢？答案若b与非零向量a共线，存在满足ba；若b与向量a共线，当a0，b0 时，不存在满足ba.梳理(1)向量共线定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.(2)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b)1a2b.类型一向量数乘的基本运算例 1(1)化简：142(2a4b)4(5a2b).解142(2a4b)4(5a2b)14(4a 8b20a8b)14

4、(16a16b)4a 4b.(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，求向量x，y.解3x2ya，4x3yb，由 3 2，得x3a2b，代入得3(3a2b)2ya，所以x3a 2b，y4a3b.反思与感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1(1)计算：(ab)3(ab)8a.解(

5、ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a 2a 4b8a 10a4b.(2)若 2y13a13(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y_.答案29a29b19c解析因为 2y13a13(cb3y)b0，3y23a23b13c0，所以y29a29b19c.类型二向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线例 2 已知非零向量e1，e2不共线.(1)若a12e113e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线.解b6a，a与b共线.(2)若ABe1e2，BC 2e18e2，CD3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线.证明ABe1e2，BDBCCD2e18e23e1

6、3e25(e1e2)5AB.AB，BD共线，且有公共点B，A、B、D三点共线.反思与感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向量a，b有公共点.跟踪训练2 已知非零向量e1，e2不共线，如果ABe12e2，BC 5e16e2，CD7e12e2，则共线的三个点是_.答案A，B，D解析ABe12e2，BDBCCD 5e16e27e12e22(e12e2)2AB.AB，BD共线，且有公共点B，A

7、，B，D三点共线.命题角度2 利用向量共线求参数值例 3 已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值.解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k0，k 10，k1.反思与感悟利用向量共线定理，即b与a(a0)共线?ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.跟踪训练3 已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若OPxOAyOB，则xy_.答案1 解析由于A，B，P三点共线，则AB，AP在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数使得APAB，即OPOA(OB

8、OA)，OP(1)OAOB.x1，y，则xy1.类型三用已知向量表示其他向量例 4 在ABC中，若点D满足BD2DC，则AD等于()A.13AC23ABB.53AB23ACC.23AC13ABD.23AC13AB答案D 解析示意图如图所示，由题意可得ADABBDAB23BCAB23(ACAB)13AB23AC.反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量.(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然

9、后解关于所求向量的方程.跟踪训练4 如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA3a，CB2b，求CD，CE.解CA3a，CB2b，ABCBCA2b3a，又D，E为边AB的两个三等分点，AD13AB23ba，CDCAAD3a23ba2a23b，CECAAE3a23AB3a23(2b3a)a43b.1.已知a5e，b 3e，c4e，则 2a3bc等于()A.5eB.5eC.23eD.23e答案C 解析2a3bc25e3(3e)4e23e.2.在ABC中，M是BC的中点，则ABAC等于()A.12AM B.AM C.2AM D.MA答案C 解析如图，作出平行四边形ABEC，M是对角线的交点

10、，故M是BC的中点，且是AE的中点，由题意知，ABACAE2AM，故选 C.3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2(kR)与向量ne22e1共线，则()A.k0 B.k1 C.k2 D.k12答案D 解析当k12时，me112e2，n 2e1e2.所以n2m，此时，m，n共线.4.已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PAPBPCAB，则()A.P在ABC内部B.P在ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上答案D 解析PAPBPCPBPA，PC 2PA，P在AC边上.5.如图所示，已知AP43AB，用OA，OB表示OP.解OPOAAPOA43ABOA43

11、(OBOA)13OA43OB.1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的.2.a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍.向量a|a|表示与向量a同向的单位向量.3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.4.已知O，A，B是不共线的三点，且OPmOAnOB(m，nR)，A，P，B三点共线?mn1.课时作业一、选择题1.下列说法中正确的是()A.a与a的方向不是相同就是相反B.若a，b共线，则baC.若|b|2|a|，则b2aD.若b2a，则|b|2|a|答案D 解析显然当b2a时，必有|b|2|a|.

12、2.在ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且ADa，BEb，那么BC等于()A.23a43bB.23a23bC.23a43bD.23a43b答案A 解析由题意，得BCBEECb12ACb12(ADDC)b12a14BC，即BCb12a14BC，解得BC23a43b.3.如图，AB是O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，ABa，ACb，则AD等于()A.a12bB.12abC.a12bD.12ab答案D 解析连接CD，OD，如图所示.点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，ACCD，CADDAB139030.OAOD，ADODAO30.由此可得CADADO30，ACDO.由

13、ACCD，得CDACAD30，CDADAO，CDAO，四边形ACDO为平行四边形，ADAOAC12ABAC12ab.4.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若CD13CACB，则等于()A.13B.23C.12D.34答案B 解析A，B，D三点共线，131，23.5.设D为ABC所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD13AB43ACB.AD13AB43ACC.AD43AB13ACD.AD43AB13AC答案A 解析BC3CD，ACAB 3(ADAC)，即 4ACAB 3AD，AD13AB43AC.6.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的是()m(ab)m am b；(mn)a

14、m ana；若m am b，则ab；若m ana，则mn.A.B.C.D.答案B 解析和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若m0，则不能推出ab，错误；中，若a0，则m，n没有关系，错误.二、填空题7.已知ABa 5b，BC 2a 8b，CD3(ab)，则 _三点共线.答案A，B，D8.设向量a，b不平行，向量ab与a 2b平行，则实数 _.答案12解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则，12，解得12.9.(a9b2c)(b2c)_.答案a10b10.在?ABCD中，ABa，ADb，AN3NC，M为BC的中点，则

15、MN_.(用a，b表示)答案14b14a解析如图，MNMBBAAN12ba34AC12ba34(ab)14(ba).三、解答题11.如图所示，设M，N为ABC内的两点，且AM14AB13AC，AN25AB12AC，求ABM的面积与ABN的面积之比.解如图所示，设AP14AB，AQ13AC，则AMAPAQ.由平行四边形法则知，MQAB，SABMSABC|AQ|AC|13.同理S ABNS ABC12.SABMSABN23.12.若非零向量a与b不共线，ka2b与 3akb共线，试求实数k的值.解ka2b与 3akb共线，存在实数，使得ka2b(3akb)，(k3)a(2k)b0，(k3)a(k2

16、)b.a与b不共线，k30k20，k6.13.在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知AMc，ANd，试用c，d表示AB和AD.解如图，设ABa，ADb.M，N分别是DC，BC的中点，BN12b，DM12a.在ADM和ABN中，ADDMAM，ABBNAN，即b12ac，a12bd.2，得b23(2cd)，2，得a23(2dc).AB43d23c，AD43c23d.四、探究与拓展14.已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量m a3b与a(2 m)b共线，则实数m的值为_.答案 1 或 3 15.已知在四边形ABCD中，ABa2b，BC 4ab，CD 5a3b，求证：四边形ABCD为梯形.证明如图所示.ADABBCCD(a2b)(4ab)(5a3b)8a 2b2(4ab)，AD2BC.AD与BC共线，且|AD|2|BC|.又这两个向量所在的直线不重合，ADBC，且AD 2BC.四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形.