2000年高考.上海卷.文科数学试题及答案.pdf

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1、第1页（共 9页）2000 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：本试卷共有22 道试题，满分150 分。一、填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。1已知向量12OA、mOB,3，若ABOA，则m。2函数xxy312log2的定义域为。3圆锥曲线1916)1(22yx的焦点坐标是。4计算：nnnn)2(lim。5已知bxfx2)(的反函数为)(1xf，若)(1xfy的图象经过点)2,5(Q，则b。6根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成GDP（GDP 是指国内生产总值）4

2、035 亿元，2000 年上海市 GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的 2倍，至少需年。（按：1999 年本市常住人口总数约1300 万）7命题 A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。8设函数)(xfv是最小正周期为2 的偶函数，它在区间 0，1上的图象为如图所示的线段 AB，则在区间 1，2上，)(xf=。9在二项式11)1(x的展开式中，系数是小的项的系数为。（结果

3、用数值表示）10有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3 面，在每种颜色的3 面旗帜上分别标上号码1、2 和 3，现任取出3面，它们的颜色与号码不相同的概率是。11图中阴影部分的点满足不等式组0,0625yxyxyx，在这些点中，使目标函数yxk86取得最大值的点的坐标是。12 在等差数列na中，若010a，则有等式),19(192121Nnnaaaaaann成立，类比上述性质，相应地：在等比数列nb中，若19b，则有等式成立。第2页（共 9页）二、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号

4、内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13函数)2,2)(2sin(xxy是（A）增函数（B）减函数（C）偶函数（D）奇函数答（）14设有不同的直线a、b和不同的平面a、，给出下列三个命题：（1）若aa/，ab/，则ba/。（2）若aa/，/a，则/a。（3）若a，则/a。其中正确的个数是（A）0（B）1（C）2（D）3 答（）15若集合TSRxxyyTRxyySx则,1|.3|2是（A）S（B）T（C）（D）有限集答（）16下列命题中正确的命题是（A）若点)0)(2,(aaaP为角a终边上一点，则552sin a。（B）同时满足23cos,

5、21sinaa的角a有且只有一个。（C）当1|a时，)(arcsin atg的值恒正。（D）三角方程3)3(xtg的解集为Zkkxx,|。三、解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤17（本题满分12 分）已知椭圆C 的焦点分别为)0,22(1F和)0,22(2F，长轴长为6，设直线2xy交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段AB 的中点坐标。解 18（本题满分12 分）如图所示四面体ABCD 中，AB、BC、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是 AC 中第3页（共 9页）点，异面直线AD 与 BE 所成的角的大小为1010arccos，求四面体ABC

6、D 的体积。解 19（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 个小题满分6 分，第 2 小题满分8 分。已知函数,1,2)(2xxaxxxf。（1）当21a时，求函数)(xf的最小值。（2）若对任意,1x，0)(xf恒成立，试求实数a的取值范围。解（1）解（2）20（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分10 分。根据指令),(r)180180,0(r，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走距离r。（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下

7、一个指令，使其移动到点（4，4）。（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2 倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。解（1）解（2）21（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分6 分。在XOY平 面 上 有 一 点 列,),(,),(),(222111nnnbaPbaPbaP对 每 个 自 然 数n，点nP位 于 函 数)100()10(2000aayx的图象上，

8、且点nP，点)0,(n与点)0,1(n构成一个以nP为顶点的等腰三角形（1）求点nP的纵坐标nP的表达式；（2）若对每个自然数n，以nb，1nb，2nb为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设)(1Nnbgcnn，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列nc前多少项的和最大？试说明理由。解（1）解（2）第4页（共 9页）解（3）22（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分8 分。已知复数yixzmmiz),0(10和，其中yxyx,均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有iyx0zzw，|2|zw。（1）试求m的值，

9、并分别写出x和y用x、y表示的关系式：（2）将（x、y）用为点P的坐标，(x、y)作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q。已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为)2,3(，试求点P的坐标；（3）若直线kxy上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值。解（1）解（2）解（3）第5页（共 9页）2000 年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准说明1本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照角答中评分标准的精神进行评分。2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现

10、错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后不解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定反面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。3第 17 题至第 22 题中左端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数。给分或扣分均以 1 分为单位。解答一、（第 1 题至第 12 题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。14 2)3,21(3（4，0），（6，0）42e51 69 7侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/8x9 462 1014111（0，5）12),17(172121Nnnbbbbbbnn二

11、、（第 13 题至第 16 题）每一题正确的给4 分。题号13 14 15 16 代号C A A D 三、（第 17 题至第 22 题）17解 设椭圆 C 的方程为12222byax（2 分）由题意3a，22c，于是1b。椭圆 C 的方程为1922yx（4 分）由19222yxxy得02736102xx因为该二次方程的判别0，所以直线与椭圆有两个不同交点。（8 分）设),(),(2211yxByxA则51821xx，第6页（共 9页）故线段 AB 的中点坐标为)51,59(（12 分）18解法一 如图建立空间直角坐标系，（2 分）由题意，有)0,2,0(A，)0,0,2(C，)0,1,1(E设

12、 D 点的坐标为),0,0(z)0(z，则0.1.1BE，zAD,2,0（6 分）则2cos422zBEAD，且BEAD与所成的角的大小为1010arccos。10142cos22z，得4z，故 BD 的长度是4，（10 分）又BDBCABVABCD61，因此四面体ABCD 的体积是38，（12 分）解法二 过 A 引 BE 的平行线，交 CB 的延长线于F，DAF是异面直线BE 与 AD 所成的角。DAF=1010arccos，（4 分）E 是 AC 的中点，B 是 CF 的中点，AF=2BE=22。（6 分）又 BF，BA 分别是 DF，DA 的射影，且BF=BC=BA，DF=DA（8 分

13、）三角形 ADF 是等腰三角形，AD=BDBCABDAFAF61V20cos12ABCD故，（10 分）因此四面体ABCD 的体积是38（12 分）19解（1）当21a时，221)(xxxf，)(xf在区间,1上为增函数，（3 分）第7页（共 9页）)(xf在区间,1上的最小值为27)1(f（6 分）（2）解法一 在区间的,1上，02)(2xaxxxf的恒成立022axx恒成立，（8 分）设,1,22xaxxy，1)1(222axaxxy递增，当1x时，ay3min，（12 分）于是当且仅当03minay时，函数0)(xf恒成立，故3a（14 分）（2）解法二,1.2)(xxaxxf，当0a时

14、，函数)(xf的值恒为正，（8 分）当0a时，函数)(xf递增，故当1x时，03)(minaxf，（12 分）于是当且仅当03)(minaxf时，函数0)(xf恒成立，故3a（14 分）20解（1）24r，45，得指令为)45,24(，（4 分）（2）设机器人最快在点)0,(xP处截住小球（6 分）则因为小球速度是机器人速度的2 倍，所以在相同时间内有,)40()4(2|17|22xx（8 分）即0161232xx得7323xx或。要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7x故机器人最快可在点)0,7(P处截住小球，（10 分）第8页（共 9页）所给的指令为)13.98,5(（14 分

15、）21解（1）由题意，21nan，21)10(2000nnab（4 分）解（2）函数xay)10(2000递减，对每个自然数n，有nb1nb2nb，则以nb，1nb，2nb为边长能构成一个三角形的充要条件是2nb+1nbnb，即01)10()10(2aa，（7 分）解得)15(5)51(5aa或，10)15(5a（10 分）解（3）10)15(5a，7a，21)107(2000nnb，（12 分）于是7.01)21(213)107(2000121gnggcnn,数列nc是一个递减的等差数列。因此，当且仅当0nc，且01nc时，数列nc的前n项的和最大。由07.01)21(213gngcn，得8

16、.20n，20n（16 分）22解（1）由题设，2|,|2|000zzzzzzw，于是由3,0,412mmm得且（3 分）因此由iyxyxyixiiyx)3(3)()31(，第9页（共 9页）yxyyxx33得关系式（5 分）解（2）由题意，有2333yxyx（7 分）41433yx解得，即 P 点的坐标为)41,343(。（10 分）解（3）直线kxy上的任意点P),(yx，其经变换后的点)3,3(yxyxQ仍在该直线上，)3(3yxkyx，即xkyk)3()13(（13 分）解法一 当0k时，0y，xy3不是同一条直线，0k，于是kkk3113，（16 分）即03232kk解得333kk或（18 分）解法二 取直线kxy上的点),1(k。.333,0323,3)13(2kkkkkkk或得即得（16 分）经检验，xyxy333或确实满足条件（18 分）