2017年全国各地高考数学试题及解答分类大全(立体几何).pdf

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1、第 1页（共 24页）2017 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（立体几何）一、选择题1.(2017 北京文)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（A）60（B）30（C）20（D）10【答案】D【解析】试题分析：该几何体是三棱锥，如图：图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是115 341032V，故选 D.【考点】1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.2

2、.(2017 北京理)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）（A）32（B）23（C）22（D）2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图第 2页（共 24页）红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，2222222 3l，故选B.【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.3（2017 全国新课标文）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面 MNQ 不平行的是（）A

3、.B.C.D.【答案】A【解析】对于B，易知 ABMQ，则直线AB平面 MNQ；对于 C，易知 ABMQ，则直线AB平面 MNQ；对于 D，易知 ABNQ，则直线AB平面 MNQ 故排除B，C，D，选 A4（2017 全国新课标理）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A10B12C14D16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122，故选 B.5

4、.（2017 全国新课标文、理）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A.90B63C42D36【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为 4的圆柱，其体积213436V，上半部分是一个底面半径为3，高为 4 的圆柱的一半，其体积22136272V，该组合体的体积为：12362763VVV。故选 B。【考点】三视图；组合体的体积第 3页（共 24页）【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可

5、见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。6.（2017全国新课标理）已知直三棱柱111CC中，C120，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）A32B155C105D33【答案】C7（2017 全国新课标文）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）AB34C2D4【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,

6、2ACAB，所以32rBC，那么圆柱的体积是2233124Vr h，故选 B.【考点】圆柱体积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.8（2017 全国新课标文）在正方体1111ABCDA B C D中，E为棱 CD的中点，则（）A11A EDCB1A EBDC11A EBCD1A EAC【答案】C【考点】线线位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应

7、用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.第 4页（共 24页）9（2017全国新课标理）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）AB34CD4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2213122r，则圆柱体体积234Vr h，故选 B.10（2017 浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是()A12B32C123D323【答案】A【解析】【考点】三视图【名师点睛】

8、思考三视图中华资源%库还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整11（2017 浙江）如图，已知正四面体D ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R 分别为 AB，BC，CA上的点，AP=PB，2BQCRQCRA，分别记二面角DPR Q，DPQ

9、 R，D QRP的平面角为 ，则()A B C D 【答案】B【解析】【考点】空间角（二面角）【名师点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解第 5页（共 24页）二、填空1.(2017 江苏)如图,在圆柱12,O O 内有一个球O,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V,球 O 的体积为2V,则12VV的值是.【答案】32【解析】设球半径为r，

10、则213223423VrrVr故答案为32【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进Z行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解2（2017 全国新课标文）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC是球 O 的直径 若平面 SCA平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球 O 的表面积为 _【答案】36【解析】取SC的中点O，连接,OA OB，因为,SAAC SBBC，所以,OASC OBSC，

11、因为平面SAC平面SBC，所以OA平面SBC，设OAr，则3111123323A SBCSBCVSOArrrr，所以31933rr，所以球的表面积为2436 r.3（2017 全国新课标理）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥.当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为.【答案】4 15第 6页（共 24页）4（2017

12、全国新课标文）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为.【答案】14【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以222232114,414.RSR5（2017全国新课标理）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC所在直线与第 7页（共 24页）中华资源%库a，b 都垂直，斜边AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB 与 a成60角时，AB 与 b 成30角；当直线AB 与 a成60角时，AB 与 b 成60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为60其中正确的是_（填写所有正

13、确结论的编号）【答案】【解析】由题意知，abAC、三条直线两两相互垂直，画出图形如图不妨设图中所示正方体边长为1，故|1AC，2AB，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则A点保持不变，B 点的运动轨中华资源%库迹是以 C 为圆心，1为半径的圆 以 C 为坐标原点，以CD 为 x 轴正方向，CB 为 y 轴正方向，CA为 z 轴正方向建立空间直角坐标系则(1,0,0)D，(0,0,1)A，的方向单位向量(0,1,0)a，|1a点起始坐标为(0,1,0)，的方向单位向量(1,0,0)b，|1b设 B 点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)B，其中为 BC 与 CD 的夹角，0,2)那么A

14、B 在运动过程中的向量(cos,sin,1)AB，|2AB设AB与中华资源%库a所成夹角为0,2，则(cos,sin,1)(0,1,0)22cos|sin|0,22a AB故,4 2，所以 正确，错误 设AB与b所成夹角为0,2，cos(cos,sin,1)(1,0,0)2|cos|2ABbb ABb AB.当AB与a夹角为 60 时，即3，12sin2cos2cos232222cossin1，2|cos|221cos|cos|220,2=3，此时AB与b夹角为 60 正确，错误 6（2017 山东文、理）.由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.第 8页（共

15、24页）【答案】22【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长宽高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2 12 1 121242V.【考点】三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：看视图,明关系；分部分,想整体；综合起来,定整体7.（2017 天津文、理）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_.【答案】92【考点

16、】球与几何体的组合体【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.2.求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体

17、的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.8(2017 上海)已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于_【答案】9【解析】设球的半径为R，则由球的体积为36，可得，解得R=3.该球的主视图是半径为 3 的圆，其面积为【知识点难易度】本题考查球的体积公式和三视图的概念第 9页（共 24页）9.(2017 上海)如图，以长方体 的顶点D 为坐标原点，过D的三条

18、棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量的坐标为（4，3，2），则向量的坐标是 _【答案】(-4,3,2)【解析】由的坐标为（4，3，2），可得A（4，0，0），C(0,3,2)，D1(0,0,2)，则 C1（0，3，2），=（4，3，2）【知识点难易度】本题考查空间向量，属于基础题三、解答题1.(2017北京文)如图，在三棱锥P ABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D 为线段 AC的中点，E为线段 PC上一点（）求证：PABD；（）求证：平面BDE平面 PAC；（）当PA平面 BDE时，求三棱锥E BCD的体积【答案】详见解析第 10页（共 24页）【考点】

19、1.线面垂直的判断和性质；2,。面面垂直的判断和性质；3.几何体的体积.【名师点睛】线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直.2.(2017北京理)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为正方形，平面PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB上，PD/平面 MAC，PA=PD=6，AB=4（I）求证：M 为 PB的中点；（II）求二面角B-PD

20、-A 的大小；（III）求直线MC 与平面 BDP所成角的正弦值【答案】（）详见解析：（）3；（）2 69【解析】试题解析：解：（I）设,AC BD交点为E，连接ME.因为PD平面MAC，平面MAC平面PBDME，所以PDME.因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点.（II）取AD的中点O，连接OP，OE.因为PAPD，所以OPAD.又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD.因为OE平面ABCD，所以OPOE.因为ABCD是正方形，所以OEAD.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,2)P，(2,0,0)D，(2,4,0)B，(4,4,0

21、)BD，(2,0,2)PD.设平面BDP的法向量为(,)x y zn，则00BDPDnn，即440220 xyxz.令1x，则1y，2z.于是(1,1,2)n.平面PAD的法向量为(0,1,0)p，所以1cos,|2n pn pnp.由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为3.（III）由题意知2(1,2,)2M，(2,4,0)D，2(3,2,)2MC.设直线MC与平面BDP所成角为，则|2 6sin|cos,|9|MCMCMCnnn.第 11页（共 24页）所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为269.【考点】1.线线，线面的位置关系；2.向量法.【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面

22、平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.3.(2017 江苏)如图,在三棱锥A-BCD 中,AB AD,BCBD,平面 ABD 平面 BCD,点 E,F(E 与 A,D 不重合)分别在棱AD,BD 上,且 EFAD.求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADAC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD内，因为 AB AD，EFAD，所以EFAB.【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理【名师点睛

23、】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.4.(2017 江苏)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面 ABCD,且 AB=AD=2,AA1=3,120BAD.（1）求异面直线A1B 与 AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A 的正弦值.中华资源%库【答案】（1）17（2）74【解析】解：在平面ABCD 内，过点A 作 AEAD，交 BC 于点 E.第 12页（共 24页）因此异面直线A1B 与 AC1所成角的余弦值为17

24、.(2)平面 A1DA 的一个法向量为(3,0,0)AE.设(,)x y zm为平面 BA1D 的一个法向量，又1(3,1,3),(3,3,0)ABBD，则10,0,A BBDmm即330,330.xyzxy不妨取 x=3，则3,2yz，因此二面角B-A1D-A 的正弦值为74.【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.5（2017 全国新课标文）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD

25、，且90BAPCDP（1）证明：平面PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，90APD，且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积【解析】（1）由已知90BAPCDP，得ABAP，CDPD第 13页（共 24页）由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD6.（2017 全国新课标理）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP.（1）证明：平面PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C 的余弦值.【解析】（1）由已知90BAPCDP，得 ABAP，CD PD.由于 A

26、B/CD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面PAB平面 PAD.（2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F，由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由（1）及已知可得2(,0,0)2A，2(0,0,)2P，2(,1,0)2B，2(,1,0)2C.所以22(,1,)22PC，(2,0,0)CB，22(,0,)22PA，(0,1,0)AB.设(,)x y zn是平面PCB的法向量，则0,0,PCCBnn即220,2220,xyzx可取(0,1,2)n

27、.设(,)x y zm是平面PAB的法向量，则0,0,PAABmm即220,220.xzy可取(1,0,1)m.则3cos,|3n mn mnm，所以二面角APBC的余弦值为33.7（2017 全国新课标文）如图，四棱锥PABCD中，侧面第 14页（共 24页）PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,1,90.2ABBCADBADABC（1）证明：直线BC平面PAD;（2）若PCD的面积为2 7，求四棱锥PABCD的体积.8.（2017 全国新课标理）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，o1,90,2ABBCADBADABCE是 PD的中点。（1）证明：直线

28、/CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为o45，求二面角MABD的余弦值。中华资源%库【答案】(1)证明略；(2)105。（2）由已知得BAAD,以 A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则0,0,0A，1,0,0B，1,1,0C，0,1,3P，(103)PC，,(10 0)AB，设,01Mx y zx则1,1,3BMxy zPMx yz，因为 BM 与底面 ABCD所成的角为45，而0,0,1n是底面 ABCD的法向量，第 15页（共 24页）【考点】判定线面平行；面面角的向量求法【名

29、师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。(2)设 m，n 分别为平面 ，的法向量，则二面角 与互补或相等，故有|cos|cos|=m nm n。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。9（2017 全国新课标文）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知 ACD是直角三角形，AB=BD若 E为棱 BD上与 D 不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【答案】（1）详见解析；（2）1【解析】试题分析：（1）取AC中点O，由等腰

30、三角形及等比三角形性质得ODAC，OBAC，再根据线面垂直判定定理得AC平面OBD，即得 AC BD；（2）先由 AE EC，结合平几知识确定ECAE，再根据锥体体积公式得，两者体积比为1:1.第 16页（共 24页）2ECAE，在ABD中，设xDE，根据余弦定理DEADAEDEADBDADABBDADADB22cos222222xx22222222)22()22(2222222解得2x，点E是BD的中点，则ACEBACEDVV，1ACEBACEDVV.【考点】线面垂直判定及性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线

31、线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.10（2017全国新课标理）如图，四面体ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形ABDCBDD=D，ABBD=（1）证明：平面ACD 平面 ABC；（2）过 AC 的平面交BD 于点 E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分求二面角DAEC-的余弦值【解析】取 AC 中点为 O，连接 BO，DO；ABC 为等边三角形 BOAC ABBCABBCBDBDABDDBCABDCBD.ADCD,即ACD 为等腰直角三角形，ADC 为直角又 O 为底边 AC 中点 DOAC第 17页

32、（共 24页）令ABa，则ABACBCBDa易得：22ODa，32OBa222ODOBBD由勾股定理的逆定理可得2DOB即 ODOBODACODOBACOBOACABCOBABC平面平面ODABC平面又ODADC平面由面面垂直的判定定理可得ADCABC平面平面由题意可知VVDACEBACE即 B,D 到平面 ACE 的距离相等即 E 为 BD 中点以O为原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为 z 轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标系，则0,0,0O，,0,02aA，0,0,2aD，30,02Ba，30,44aEa易得：3,244aaAEa，,0,22aaAD，,0,02aOA设平面

33、 AED 的法向量为1n，平面 AEC 的法向量为2n，则1100AE nADn，解得13,1,3n2200AE nOA n，解得20,1,3n若二面角 DAEC 为，易知为锐角，则12127cos7nnnn11.（2017 山东文）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O 为 AC与 BD 的交点,E为 AD 的中点,A1E平面 ABCD,（）证明：1AO平面 B1CD1;（）设M 是 OD 的中点,证明：平面A1EM平面 B1CD1.【答案】证明见解析.证明见解析.第 18页（共 24页）【解析】所以1/AO平面11B

34、CD,(II)因为ACBD,E，M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,因为ABCD为正方形,所以AOBD,又1A E平面ABCD,BD平面ABCD【考点】空间中的线面位置关系【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平

35、行12.（2017 山东理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点.（）设P是CE上的一点，且APBE，求CBP的大小；（）当3AB，2AD，求二面角EAGC的大小.【答案】（）30CBP.（）60.第 19页（共 24页）据相关数据即得所求的角.思路二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.写出相关点的坐标，求平面AEG的一个法向量111(,)mxy z，平面ACG的一个法向量222(,)nxyz计算1cos,|2m nm nmn即得.取EC的中点H，连接EH，

36、GH，CH.因为120EBC，所以四边形BEHC为菱形，所以223213AEGEACGC.取AG中点M，连接EM，CM，EC.则EMAG，CMAG，所以EMC为所求二面角的平面角.又1AM，所以1312 3EMCM.在BEC中，由于120EBC，由余弦定理得22222222cos12012EC，所以2 3EC，因此EMC为等边三角形，故所求的角为60.解法二：第 20页（共 24页）设222(,)nxyz是平面ACG的一个法向量.由00n AGn CG可得222230,230,xyxz取22z，可得平面ACG的一个法向量(3,3,2)n.所以1cos,|2m nm nmn.因此所求的角为60.

37、【考点】1.垂直关系.2.空间角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力转化与化归思想及基本运算能力等.13.（2017 天津文）如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，1AD，3BC，4CD，2PD.（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD平面PBC；（）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【答案

38、】()55;()55.试题解析：（）解：如图，由已知AD/BC，故DAP 或其补角即为异面直线AP与 BC所成的角.因为 AD平面 PDC，所以 AD PD.在 RtPDA中，由已知，得225APADPD，故5cos5ADDAPAP.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.第 21页（共 24页）（）证明：因为AD平面 PDC，直线 PD平面 PDC，所以 ADPD.又因为 BC/AD，所以 PDBC，又 PDPB，所以 PD平面 PBC.（）解：过点D 作 AB的平行线交BC于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC所成的角等于AB与平面 PBC所成的角.因为 PD平面 PBC，故

39、 PF为 DF在平面 PBC上的射影，所以DFP 为直线 DF和平面 PBC所成的角.由于 AD/BC，DF/AB，故 BF=AD=1，由已知，得CF=BC BF=2.又 AD DC，故 BCDC，在 RtDCF中，可得222 5DFCDCF,在 RtDPF中，可得5sin5PDDFPDF.所以，直线AB与平面 PBC所成角的正弦值为55.【考点】1.异面直线所成的角；2.线面角；3.线面垂直的判断.【名师点睛】线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面

40、垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面，而用几何法求线面角，关键是找到射影，斜线与其射影所成的角，就是线面角.中华资源%库14.（2017 天津理）如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面 ABC，90BAC.点 D，E，N 分别为棱PA，PC，BC的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2.（）求证：MN平面 BDE；（）求二面角C-EM-N 的正弦值；中华资源%库（）已知点H 在棱 PA上，且直线NH 与直线 BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长.【答案】（1）证明见解析（2）10521（3）85或12试题解析：如图，以A 为原点，分别以

41、AB，AC，AP 方向为 x 轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（）证明：DE=（0，2，0），DB=（2，0，2）.设(,)x y zn，为平面BDE的法向量，则00DEDBnn，即20220yxz.不妨设1z，可得(1,0,1)n.又 MN=（1，2，1），可得0MN n.因为 MN平面 BDE，所以 MN/平面 BDE.第 22页（共 24页）（）依题意，设AH=h（04h），则 H（0，0，h），进而可得(1,2,)NHh，(2

42、,2,2)BE.由已知，得2|22|7|cos,|21|52 3NHBEhNH BENHBEh，整理得2102180hh，解得85h，或12h.所以，线段AH 的长为85或12.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.15（2017 浙江）如图，已知四棱锥P ABCD，PAD是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，ADBC/，CD AD，PC=AD=2DC=2CB，E为 P

43、D 的中点（）证明：/CE平面 PAB；（）求直线CE与平面 PBC所成角的正弦值【答案】（）见解析；（）82【解析】第 23页（共 24页）（）如图，设PA中Z点为 F，连结 EF，FB因为 E，F 分别为 PD，PA中点，所以ADEF/且ADEF21，又因为ADBC/，ADBC21，所以BCEF/且BCEF，即四边形BCEF 为平行四边形，所以BFCE/，因此/CE平面 PAB 设 CD=1在 PCD中，由 PC=2，CD=1，PD=2得 CE=2，在 PBN中，由 PN=BN=1，PB=3得 QH=41，在 RtMQH 中，QH=41，MQ=2，所以 sinQMH=82，所以直线 CE与

44、平面 PBC所成角的正弦值是82【考点】证明线面平行，求线面角【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行 利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面本题（1）是就是利用方法 证明的另外，本题也可利用空间向量求解线面角16.(2017 上海)如图，直三棱柱111ABCA B C的底面为直角三角形，两直角边AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱1AA的长为5（1）求三棱柱111ABCA B C的体积；（2）设M 是 BC 中点，求直线1B M与平面ABC所成角的大小.第 24页（共 24页）17.【解析】（1）直三棱柱111ABCA B C的底面为直角三角形，两直角边AB 和 AC 的长分别为4和 2，侧棱AA1的长为5三棱柱111ABCA B C的体积2）连接AM.直三棱柱111ABCA B C，与平面ABC所成角.ABC是直角三角形，两直角边AB 和 AC 的长分别为4 和 2，点M 是 BC 的中点，