2018-2019学年福建省宁德市2018级高一下学期期末考试数学试卷及解析.pdf

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1、2018-2019 学年宁德市 2018 级高一下学期期末考试数学试卷祝考试顺利注意事项：1.本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1 至 2页，第卷 3 至 4 页.2.答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.3.全部答案在答题卷完成，答在本卷上无效.第卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置.1.直线0 xy的倾斜角为（）A.6B.4C.3D.2【答案】B【解析】【分析】1k得到倾斜角为 45.【详解】01tan145xyk故

2、答案选 B 2.某部门为了了解用电量y（单位：度）与气温x（单位：C）之间的关系，随机统计了某 3 天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程$0.8yxa，则$a（）摄氏温度（C）4 6 11 用电量度数10 7 4 A.12.6 B.13.2 C.11.8 D.12.8【答案】A【解析】【分析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案.【详解】461173x，104773y，中心点为(7,7)代入回归方程$0.8yxa$70.8712.6aa故答案选 A 3.若平面和直线a，b 满足 aAI，b，则a与 b的位置关系一定是（）A.相交B.平行C.异面D.相交或异面【答案】D【解析】

3、【分析】当 Ab时a与b 相交，当 Ab时a与b 异面.【详解】当 Ab时a与b 相交，当 Ab时a与 b 异面.故答案为 D 4.在ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sincaC，则ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】sinsinsinsin(sin0)sin190caCCACCAA故答案B 5.圆22132xy被y轴所截得的弦长为（）A.1 B.2C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】先计算圆心到y轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【详解】22132xy，圆心为(1,3)2r圆心到y

4、轴的距离1d弦长2222lrd故答案选 C 6.在ABC中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，45A，30B，2b，则a（）A.2B.63C.2 2D.2 63【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得到答案.【详解】22 2sinsinsin 45sin 30abaaAB故答案选 C 7.在正方体1111ABCDA B C D中，直线1B C与直线11AC所成角是（）A.45B.60C.90D.120【答案】B【解析】【分析】直线1BC与直线11AC所成角为1B CA，1ABC为等边三角形，得到答案.【详解】如图所示：连接1,AC AB易知：直线1BC与直线11AC所成角为1B CA1

5、ABC为等边三角形，夹角为60故答案选 B 8.圆224xy与圆222440 xyxy的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.内含【答案】B【解析】【分析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系.【详解】22222440(1)(2)9xyxyxy圆心距22125d5,1RrRrRrdRr 相交故答案选 B 9.2021 年某省新高考将实行“312”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12 种选课模式.某同学已选了物理，记事件 A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件 A与事件B（）A.是互斥事件，不是对立事件B.是对

6、立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】【分析】事件 A与事件B不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件 A与事件B不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选 A 10.过点1,3且与圆2214xy相切的直线方程为（）A.512310 xyB.3y或 43130 xyC.1x或512310 xyD.1x或 512410 xy【答案】C【解析】【分析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【详解】如图所示：当斜率不存在时：1x当斜率存在时：设2531251231

7、0231112kbkykxbxykbdbk故答案选 C 11.我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体 ABCDEF 是一个刍甍.四边形 ABCD为矩形，ADE与BCF 都是等边三角形，4AB，2ADEF，则此“刍甍”的表面积为（）A.88 3B.873C.85 3D.84 3【答案】A【解析】【分析】分别计算出每个面积，相加得到答案.详解】113222(24)232222488 3222ABEFBCFABCDSSSS故答案选 A 12.定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于180的四边形，在平面凸四边形ABCD 中，30A

8、，135B，3AB，2AD，设CDt，则t的取值范围是（）A.1,33B.1,33C.2,312D.2,312【答案】D【解析】【分析】先利用余弦定理计算1DB，设DCB，将CDt表示为的函数，再求取值范围.【详解】如图所示：2222cos34611BDADABADABABD9045DBADBC在DBC 中，利用正弦定理：22(15135)sin45sinsintBDt当90 时，有最小值为22当15 时，有最大值为31（不能取等号）t的取值范围是2,312故答案选 D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将CDt表示为的函数是解题的关键.第卷（非选择题 90 分）二、填空题：本大题共

9、4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卷的相应位置.13.已知直线1l：230 xy与直线2l：230 xay平行，则a_.【答案】4【解析】【分析】利用直线平行公式得到答案.【详解】直线1l：230 xy与直线2l：230 xay平行44aa故答案为 4 14.如图，为了测量树木 AB 的高度，在C 处测得树顶 A的仰角为 60，在D处测得树顶 A的仰角为30，若10CD米，则树高为 _米.【答案】5 3【解析】【分析】先计算10AC，再计算5 3AB【详解】在 C 处测得树顶 A的仰角为 60，在D处测得树顶 A的仰角为30则3010DCAACDC在ABC中，5 3AB故

10、答案为5 315.在某校举行的歌手大赛中，7 位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_.【答案】2【解析】【分析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.【详解】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26 平均值为：2223242526245方差为：22222(2224)(2324)(2424)(2524)(2624)25故答案为 2 16.已知三棱锥的底面是腰长为2 的等腰直角三角形，侧棱长都等于3，则其外接球的体积为 _.【答案】92【解析】【分析】先判断球心在1PO上，再利用勾股定理得到半径，最后计算

11、体积.【详解】三棱锥底面是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长都等于322AC1O为 AC 中点，1O为ABC 外心，连接1PO，1POAC113,21PAAOPO22211111PBPOBOPOBOPO平面 ABC球心在1PO上设半径为2223349(1)(2)232rrrrVr故答案为92三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.在ABC中，已知点3,2A，AC 边上的中线BM所在直线的方程为340 xy，AB 边上的高所在直线的方程为172yx.（1）求直线 AB 的方程；（2）求点B的坐标.【答案】（1）280 xy（2）4,0【解析】【分析

12、】（1）先计算12ABkk，过点3,2A，得到答案.（2）联立直线方程：280340 xyxy解得答案.【详解】解：（1）由 AB 边上的高所在直线方程为172yx得12k，则12ABkk.又3,2A，直线 AB 的方程为223yx，即280 xy（或28yx）.（2）因为 AC 边上的中线过点B，则联立直线方程：280340 xyxy.解得：40 xy，即点B坐标为4,0.18.在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD是正方形，PD平面 ABCD，且4PDAD，点 E 为线段 PA 的中点.（1）求证：PCP平面 BDE；（2）求三棱锥 EBCD的体积.【答案】（1）见解析（2）163【解

13、析】【分析】（1）证明 EOPCP得到PCP平面 BDE.（2）先证明EF就是三棱锥 EBCD的高，再利用体积公式得到三棱锥EBCD 的体积.【详解】（1）证明：连结 AC 交 BD 于 O，连结 EO.四边形 ABCD 是正方形，在PAC中，O为 AC 中点，又 E为 PA 中点 EOPCP.又 PC平面 BDE，EO平面 BDE.PCP平面 BDE.（2）解：取 AD 中点F，连结EF.则EFPDP且122EFPD.PD平面 ABCD，EF平面 ABCD，EF就是三棱锥 EBCD 的高.在正方形 ABCD 中，21482BCDS.-11168 2333BCDE BCDVSEF三棱锥.19.

14、在ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足222abcbc.（1）求角 A；（2）若2a，34ABCS，求ABC的周长.【答案】（1）3A（2）72【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理得到答案.（2）根据面积公式得到1bc，利用余弦定理得到225bc，计算得到答案.【详解】解：（1）由222abcbc得222bcabc.2221cos222bcabcAbcbc.又0,A，3A.（2）13sin24ABCSbcA，13sin234bc，则1bc.把2a代入222abcbc得2214bc即225bc.2222527bcbcbc，则7bc.ABC的周长为72.20.据某市供电公司数

15、据，2019 年 1 月份市新能源汽车充电量约270 万度，同比2018 年增长220%，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200 个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照50,60，60,70，90,100 分成 5 组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中x的值并估计样本数据的中位数；（2）已知满意度评分值在50,60 内的男女司机人数比为3:2，从中随机抽取 2 人进行座谈，求 2 人均为女司机的概率.【答案】（1）0.025x，中位数的估计值为75（2）110【解析】【

16、分析】（1）根据频率和为 1 计算x，再判断中位数落在第三组70,80 内，再计算中位数.（2）该组男司机 3 人，女司机 2 人.记男司机为：1A，2A，3A，女司机为：1B，2B.排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.【详解】解：（1）根据频率和为 1 得0.00250.0275 0.040.005101x.则0.025x.第一组和第二组的频率和为0.0250.2750.3，则中位数落在第三组70,80内.由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75.（2）设事件 A：随机抽取 2 人进行座谈，2 人均为女司机.50,60的人数为2000.0255人.该组男司机 3 人，

17、女司机 2 人.记男司机为：1A，2A，3A，女司机为：1B，2B.5 人抽取 2 人进行座谈有：12,A A，13,A A，11,A B，12,A B，13,A A，21,A B，22,A B，31,A B，32,A B，12,B B共 10 个基本事件.其中 2 人均为女司机的基本事件为12,B B.110mP An.随机抽取 2 人进行座谈，2 人均为女司机的概率是110.21.如图 1，在 Rt PDC 中，90D，A，B，E分别是PD，PC，CD 中点，4PD，22CD.现将PAB沿 AB折起，如图 2 所示，使二面角 PABC-为120，F是 PC的中点.（1）求证：面PCD面PB

18、C；（2）求直线PB与平面 PCD所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）66【解析】【分析】（1）证明BF面 PCD得到面 PCD面 PBC.（2）先判断BPC为直线PB与平面 PCD所成的角，再计算其正弦值.【详解】（1）证明：法一：由已知得：ABPA且ABAD，PAADA，AB面PAD.ABCD，CD面PAD.PD面PAD，CDPD，又 EFPDP，CDEF，CDBE，BEEBEI，CD面 BEF.BF面BEF，CDBF.又PBBC且F是 PC 中点，PCBF，PCCDCI，BF面 PCD.BF面 PBC，面 PBC面 PCD.法二：同法一得 CD面PAD.又 BEADP，AD面PA

19、D，BE面PAD，BE P面PAD.同理EF P面PAD，BEEFEI，BE面 BEF，EF面 BEF.面PAD P面 BEF.CD面 BEF，BF面 BEF，CDBF.又PBBC且F是 PC 中点，PCBF，PCCDCI，BF面 PCD.BF面 PBC，面 PBC面 PCD.（2）由（1）知BF面 PCD，PF为直线PB在平面 PCD上的射影.BPC为直线PB与平面 PCD所成的角，ABPA且ABAD，二面角 PABC-的平面角是PAD.2PAAD，2 3PD，132EFPD.又BF面 PCD，BFEF.在Rt BFE中，221BFBEEF.在 Rt PDC 中，222 6PCPDCD.在R

20、t PFB中，6sin6BFBPCPB.22.已知过点0,2M且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：2211xy交于A，B两点.（1）求斜率 k 的取值范围；（2）O为坐标原点，求证：直线OA与 OB 的斜率之和为定值.【答案】（1）34k（2）见解析【解析】【分析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.（2）联立直线与圆方程：22211ykxxy.韦达定理得12212242141kxxkxxk计算OAOBkk，化简得到答案.【详解】解：（1）直线 l 的方程为：20yk x即20kxy.由2211xy得圆心1,0C，半径1r.直线与圆相交得 dr，即2211kk.解得34k.所以斜率 k 的取值范围为34k.（2）联立直线与圆方程：22211ykxxy.消去y整理得2214240kxkx.设11,A x y，22,B xy，根据韦达定理得12212242141kxxkxxk.则1212OAOByykkxx21212121212284222()22122241kkxkxxxkkkkxxxxxxk2211kk.直线OA与OB的斜率之和为定值1.