2019-2020学年四川省成都市树德中学高一下学期期中数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12 小题）.1已知 sin cos=-15，则 sin2的值为（）A1225B-2425C2425D-12252下列结论不正确的是（）A若 ab，c0，则 acbcB若 ab，则 acbcC若 ac2bc2，则 abD若 ab，c0，则?3已知等差数列an前 n 项和为 Sn，且 a3+a4 12，S749，则 a1（）A9B10C1D124已知?(?4，?2)，且?(?+?4)=31010，则 tan （）A2B43C3D1255已知实数x，y 满足?-?-?+?-?-?+?，z 4xy 的最小值的是（）A 2B8C 1D26在

2、 ABC 中，若 tanAtan B1，则 ABC 是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定7已知 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，其面积为S，若满足关系式a2+b2c2 4S，则角 C（）A?4B?6C?3D3?48已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a3a112a32，且 S8+S24mS16，则 m（）A 4B4C-83D839九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1 丈见方（即CD10 尺），芦苇生长在水的中央，长出

3、水面的部分为 1 尺将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）试问水深、芦苇的长度各是多少？假设 BAC，现有下述四个结论：水深为 12 尺；芦苇长为15 尺；?2=23；?(?+?4)=-177其中所有正确结论的编号是（）ABCD10已知数列 an的通项公式?=?+100?，则|a1a2|+|a2a3|+|a99a100|（）A150B162C180D210112?48-23?36?36?27 -?27=（）A 22B1C 1D-2212 设数列 an的前 n 项和为 Sn，对任意 n N*总有 2Snan2+n，且 an an+1 若对任意 n N*，R，不等式(?+?+?+?)?（n+

4、2）恒成立，求实数的最小值（）A1+?B2C1D32二、填空题（本大建共4 个小题，每小题5 分，共 20 分，）13 f（x）sin2x-?cos2x 对称轴为14若不等式ax2+2ax 10 解集为 R，则 a 的范围是15已知 Sn是数列 an的前 n 项和，若ansin（?3），则 S2020的值为16如图，平面四边形ABCD 中，AC 与 BD 交于点 P，若 3BPBD，ABAD=?BC，CAD+ACB=56，则?=三、解答题（本大题共6 个小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列 an为等差数列，S20，S6S321（）求数列an的通项公式；（）设b

5、n=1?+1，求数列 bn的前 n 项和 Tn18已知 f（x）=?2+6?+9?+1（x 1）（1）解不等式f（x）9；（2）求 f（x）的最小值19已知函数f（x）sin2xcos2x2?sinxcosx（x R）（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）求函数 f（x）在区间-?6，?3上的最大值和最小值20已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c且满足 4cos2?2-cos2（B+C）=32（1）求角 A；（2）若 ABC 的面积为?，周长为 8，求 a21在数列 an中 a11，an3an1+3n+4（n N*，n 2）（1）证明：数列?+23?为等差数列，并求数列a

6、n的通项公式；（2）求数列 an的前 n 项和 Sn22已知 an，bn，cn都是各项不为零的数列，且满足 a1b1+a2b2+anbncnSn，n N*，其中 Sn是数列 an的前 n 项和，cn是公差为d（d0）的等差数列（1）若数列 an，cn的通项公式分别为an 1，cn 2n1，求数列 bn的通项公式；（2）若 an n（是不为零的常数），求证：数列bn是等差数列；（3）若 a1c1d k（k 为常数，k N*），bncn+k（n2，n N*）对任意 n2，n N*，求出数列?的最大项（用含k 式子表达）参考答案一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出

7、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 sin cos=-15，则 sin2的值为（）A1225B-2425C2425D-1225【分析】把所给的式子平方，利用二倍角的正弦公式求得sin2的值解：sin cos=-15，平方可得1+2sin cos 1+sin2=125，则 sin2=2425，故选：C2下列结论不正确的是（）A若 ab，c0，则 acbcB若 ab，则 acbcC若 ac2bc2，则 abD若 ab，c0，则?【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果解：对于选项A：由于 ab，c 0，则 acbc，故正确对于选项B：由于 ab，则 acbc，故正确对于选项C：由于

8、ac2bc2，则 a b，故正确对于选项D：当 a0，b 1 时，?没有意义，故错误故选：D3已知等差数列an前 n 项和为 Sn，且 a3+a4 12，S749，则 a1（）A9B10C1D12【分析】利用通项公式即可得出解：设等差数列an的公差为d，a3+a412，S749，2a1+5d12，7a1+21d49，解得：a11故选：C4已知?(?4，?2)，且?(?+?4)=31010，则 tan （）A2B43C3D125【分析】由已知可求范围+?4（?2，3?4），利用同角三角函数基本关系式可求cos（+?4），tan（+?4）的值，进而根据两角差的正切函数公式即可求解解：因为?(?4，

9、?2)，所以 +?4（?2，3?4），又?(?+?4)=31010，所以 cos（+?4）=-1010，则 tan（+?4）3，所以 tan tan（+?4-?4）=-3-11-3=2故选：A5已知实数x，y 满足?-?-?+?-?-?+?，z 4xy 的最小值的是（）A 2B8C 1D2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论解：作出实数x，y满足?-?-?+?-?-?+?对应的平面区域如图：由 z4xy 得 y4xz，平移直线y4xz，由图象可知当直线y4xz 经过点 C 时，纵截距最大，此时z最小，由?-?-?=?-?+?=?，解得 A（-67，-107），此时

10、z4（-67）+（-107）2，故选：A6在 ABC 中，若 tanAtan B1，则 ABC 是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定【分析】利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据 A 与 B 的范围以及tan Atan B1，得到 tan A 和 tan B 都大于 0，即可得到A 与 B 都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于 0，得到 A+B 为钝角即C 为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形解：因为A 和 B 都为三角形中的内角，由 tan AtanB1，得到 1tan AtanB0，且得到 tanA0，tanB0，即 A，B 为锐角，所以 tan（A+B）

11、=?+?1-?0，则 A+B（?2，），即 C 都为锐角，所以 ABC 是锐角三角形故选：A7已知 ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，其面积为S，若满足关系式a2+b2c2 4S，则角 C（）A?4B?6C?3D3?4【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可直接求解解：因为a2+b2c24S，所以 2abcosC 2absinC，故 sinC cosC 即 tanC1，因为 C 为三角形的内角，所以C=?4故选：A8已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a3a112a32，且 S8+S24mS16，则 m（）A 4B4C-83D83【分析】利用等比数列an的

12、前 n 项和和通项公式，列出方程组，由此能求出结果解：等比数列an的前 n 项和为 Sn，a3a112a32，且 S8+S24mS16，公比 q1?=?(?)?1(1-?8)1-?+?1(1-?24)1-?=?1(1-?16)1-?，解得 q8 2，m=83故选：D9九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1 丈见方（即CD10 尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为 1 尺将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）试问水深、芦苇的长度各是多少？假设 BAC，现有

13、下述四个结论：水深为 12 尺；芦苇长为15 尺；?2=23；?(?+?4)=-177其中所有正确结论的编号是（）ABCD【分析】如图，设BCx，则 AC x+1，解三角形ABC，再利用二倍角的正切公式以及两角和的正切公式，得出结论解：设 BCx，则 ACx+1，AB5，52+x2（x+1）2，x12，即水深为12 尺，故芦苇长为13 尺?=125，由?=2?21-?2?2，解得?2=23（负根舍去）?=125，?(?+?4)=1+?1-?=-177，故正确结论的偏号为，故选：B10已知数列 an的通项公式?=?+100?，则|a1a2|+|a2a3|+|a99a100|（）A150B162C

14、180D210【分析】判断当1n 10 时，数列 an递减，n11 时，数列 an递增，由裂项相消求和，化简计算可得所求和解：?=?+100?2?100?=20，可得当 1n10 时，数列 an递减，n11 时，数列 an递增，可得|a1 a2|+|a2 a3|+|a99 a100|a1 a2+a2 a3+a9 a10+a11 a10+a12 a11+a100a99a1a10+a100a101+100+100+1 2（10+10）162故选：B112?48-2 3?36?36?27 -?27=（）A 22B1C 1D-22【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解解：2?48-2 3?36

15、?36?27 -?27=2?(90-42 )-3?722(22?27-22?27)=2?42-3?722?(27+45)=2?(72-30 )-3?722?72=2(32?72-12?72 )-3?722?72=-?722?72=-22故选：D12 设数列 an的前 n 项和为 Sn，对任意 n N*总有 2Snan2+n，且 an an+1 若对任意 n N*，R，不等式(?+?+?+?)?（n+2）恒成立，求实数的最小值（）A1+?B2C1D32【分析】先求出 an的通项公式，再依题意知?n N*，(?2?+1+?2?+1)2?+2都成立，然后通过基本不等式化简求解即可解：由 2Snan2

16、+n，可知，当n2 时，2Sn1an12+（n1），得 2anan2 an12+1，故（an1）2 an12，于是 an 1an1或 an1 an1，若 an1 an1，则 an+an1 1，不合题意；于是 an 1an1，即 anan11，即数列 an是公差为1 的等差数列，又a11，an1+（n1）1n故 ann依题意知?n N*，(?2?+1+?2?+1)2?+2都成立，然后通过基本不等式得，(?2?+1+?2?+1)2?+2=?2?+1+2?2?+1?2?+1+?2?+1?+2=?+2+2?2?+1?2?+1?+2?+2+(?2?+1)+(?2?+1)?+2=2(?+2)?+2=2，当

17、且仅当|tan|1 时，取“”，所以(?2?+1+?2?+1)2?+2的最大值为2，所以 2，所以 的最小值为2，故选：B二、填空题（本大建共4 个小题，每小题5 分，共 20 分，）13 f（x）sin2x-?cos2x 对称轴为x=?2+5?12，k Z【分析】由两角差的正弦公式化简解析式可得f（x）2sin（2x-?3），令 2x-?3=k?+?2，k Z，可解得对称轴解：f（x）sin2x-?cos2x2sin（2x-?3）令 2x-?3=k?+?2，k Z，可解得x=?2+5?12，k Zf（x）sin2x-?cos2x 对称轴为x=?2+5?12，k Z故答案为：x=?2+5?12

18、，k Z14若不等式ax2+2ax 10 解集为 R，则 a 的范围是1a 0【分析】讨论a0 和 a0 时，求出不等式ax2+2ax10 解集为 R 时 a 的取值范围解：a0 时，不等式ax2+2ax10 化为 10，解集为R；a 0 时，不等式ax2+2ax10 解集为 R 时，应满足?=?-?(-?)?，解得 1a0；所以实数a 的取值范围是1a0故答案为：1a015已知 Sn是数列 an的前 n 项和，若ansin（?3），则 S2020的值为 32【分析】先求出数列an的前几项，确定数列的周期，再求其前2020 项的和解：由题意得：a1=32，a2=32，a30，a4=-32，a5

19、=-32，a60，a7=32，所以数列 an的周期为6，又 a1+a2+a3+a4+a5+a60，S20203360+a2017+a2018+a2019+a2020a1+a2+a3+a4=32故答案为：3216如图，平面四边形ABCD 中，AC 与 BD 交于点 P，若 3BPBD，ABAD=?BC，CAD+ACB=56，则?=213【分析】延长BC 到 E，使得 BE3BC，连结 DE，则?=3?，根据三角形相似得出P 为 AC 的中点，BD 的三等分点，设AB 1，利用余弦定理求出CD，从而得出结论解：延长BC 到 E，使得 BE3BC，连结 DE，则?+?=3?，又 3?+?=3?，?=

20、3?，DE AC，DE 3AP?=?=?=13，P 是 BD 的三等分点，且APPC分别过 A，C 作 BD 的垂线，垂足为M，N，则 PMPNBM，BC PC，过 C 作 CFAD 交 DE 于 F，则四边形ACFD 是平行四边形，设 BC1，则 ABAD=?，CE2BC2，CFAD=?，DE 3PC3，EF=13DE 1，CE2CF2+EF2，CFDE，四边形ACFD 是矩形，CAD=?2，CD=?+?=?，?=7 3=213故答案为：213一、选择题17已知数列 an为等差数列，S20，S6S321（）求数列an的通项公式；（）设bn=1?+1，求数列 bn的前 n 项和 Tn【分析】（

21、）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式（）利用（）的结论，进一步利用列想想效法求出数列的和解：（）数列an为等差数列，S20，S6S321设数列的首项为a1，公差为d，则：?+?=?+?=?，解得：a1 1，d2，故：an2n 3，（）由于：an2n3，所以：?=1?+1=1(2?-1)(2?-3)=1212?-3-12?-1，所以：?=12（-?-?+?-13+?+12?-3-12?-1），=12(-?-12?-1)，=-?2?-118已知 f（x）=?2+6?+9?+1（x 1）（1）解不等式f（x）9；（2）求 f（x）的最小值【分析】（1）由已知把分式不等式可转化为二次不等式

22、，即可进行求解；（2）由 f（x）=?2+6?+9?+1=(?+3)2?+1=(?+1)+22?+1=x+1+4?+1+4 然后结合基本不等式即可求解解：（1）由 x 1 可得 x+10，故?2+6?+9?+19 可得，x2+6x+99x+9，解可得，1x0 或 x3，故原不等式的解集（1，03，+），（2）由 x 1 可得 x+10，由基本不等式可得，f（x）=?2+6?+9?+1=(?+3)2?+1=(?+1)+22?+1=x+1+4?+1+4，?(?+?)?4?+1+?=8，当且仅当x+1=4?+1集集 x1 时取等号，因此函数f（x）取得最小值819已知函数f（x）sin2xcos2x

23、2?sinxcosx（x R）（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）求函数 f（x）在区间-?6，?3上的最大值和最小值【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步确定最大和最小值解：（1）函数 f（x）sin2xcos2x 2?sinxcosx cos2x-?sin2x 2sin（2x+?6）令?2+?+?6?+3?2（k Z），解得：?6+?+2?3（k Z），故函数的单调递增区间为：?6+?，?+2?3（k Z），（2）由于-?6?3，所以-?6?+?65?6，所以当 x=-?6时，函数的最大

24、值为1，当 x=?6时，函数的最小值为220已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c且满足 4cos2?2-cos2（B+C）=32（1）求角 A；（2）若 ABC 的面积为?，周长为 8，求 a【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos2A2cosA-32=0，解得 cosA 的值，结合范围0A，可求 A 的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc4，由余弦定理可得a2（b+c）24，结合 a+b+c8，即可解得a 的值解：（1）A+B+C，4cos2?2-cos2（B+C）2（1+cosA）cos2A 2cos2A+2cosA+3=32，2cos2A

25、2cosA-32=0，解得 cosA=-12，或32（舍去），0A ，A=2?3（2）由题意可得：12bcsinA=?，可得 bc4，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得 a2（b+c）24，又 a+b+c8，a2（8a）24，解得 a=15421在数列 an中 a11，an3an1+3n+4（n N*，n 2）（1）证明：数列?+23?为等差数列，并求数列an的通项公式；（2）求数列 an的前 n 项和 Sn【分析】（1）由已知an 3an1+3n+4 可得an+23（an1+2）+3n，进而可得?+23?=?-1+23?-1+1，故数列?+23?为等差数列，进而可得数列an的通项公

26、式；（2）令Tn131+2 32+3 33+n 3n，利用错位相减法，Tn=2?-14?+?+34，进而根据SnTn2n 可得数列 an的前 n 项和 Sn【解答】证明：（1）因为 an 3an1+3n+4（n N*，n2）an+23（an1+2）+3n（n N*，n2）?+23?=?-1+23?-1+1所以数列?+23?是公差为1，首项为?1+23=1 的等差数列，所以?+23?=n所以数列 an的通项公式为an n?3n 2解：（2）令 Tn131+232+333+n3n则 3Tn132+233+（n 1）3n+n3n+1 得 2Tnn3n+13（32+33+3n）=(?-12)?+?+3

27、2?所以 Tn=2?-14?+?+34?所以 Sn Tn2n=2?-14?+?+34-2n22已知 an，bn，cn都是各项不为零的数列，且满足 a1b1+a2b2+anbncnSn，n N*，其中 Sn是数列 an的前 n 项和，cn是公差为d（d0）的等差数列（1）若数列 an，cn的通项公式分别为an 1，cn 2n1，求数列 bn的通项公式；（2）若 an n（是不为零的常数），求证：数列bn是等差数列；（3）若 a1c1d k（k 为常数，k N*），bncn+k（n2，n N*）对任意 n2，n N*，求出数列?的最大项（用含k 式子表达）【分析】（1）根据题意得Snn，所以 n（

28、2n1）b1+b2+bn，当 n2 时，（n1）（2n3）b1+b2+bn1，两式做差，可得bn4n3；当 n1 时，b1 1 满足上式，则 bn4n3（2）因为 a1b1+a2b2+anbn cnSn，当 n2 时，a1b1+a2b2+an1bn1cn1Sn1，两式相减得：SncnSn1cn1 anbn，即 Sn1（cncn1）+ancnanbn，即 Sn1d+ncn nbn，又 Sn1=?(?-1)2，代入得?(?-1)?2+?=?，又?-12?+?=?，当n3时，?-22?+?-?=?-?，两式相减得：bnbn1=32?（n3），得数列 bn是从第二项起公差为32?得等差数列当n1 时，

29、得 c1b1，当 n 2 时，由 b2b1+32?，得 b2b1=32?，故数列 bn是公差为32?的等差数列（3）由（2），当 n2 时，得 Sn1d an（bnc），因为bn cn+k，所以 bn cnkd，进而得 Sn1dan?kd，即 Sn1kan，即 an=?+1?-?，故从第二项起数列an是等比数列，得当n2 时，ana2（?+1?）n2，bncn+kk（n+k），由已知条件可得（a1+a2）c2a1b1+a2b2，又 c22k，b1 k，b2k（2+k），所以a21，因而an（?+1?）n2，令 dn=?，则?+1?-1=-?(?+?)(?+1)0，得对任意的n2 时，n N*，

30、?+1?+1恒成立，得n2 时，n N*，?单调递减，进而得?中最大项解：（1）因为 an 1，cn 2n1，所以 Sn n，由 cnSna1b1+a2b2+anbn，得 n（2n1）b1+b2+bn，当 n 2 时，（n1）（2n3）b1+b2+bn1，两式做差，可得bn4n3，当 n 1 时，b11 满足上式，则bn4n3（2）证明：因为a1b1+a2b2+anbncnSn，当 n 2 时，a1b1+a2b2+an1bn1cn1Sn1，两式相减得：SncnSn1cn1anbn，即（Sn1+an）cnSn1cn1anbn，Sn1（cncn1）+ancnanbn，即 Sn1d+ncn nbn，

31、又 Sn1=?(?-1)2，所以?(?-1)?2+?=?，又?-12?+?=?，所以当 n3 时，?-22?+?-?=?-?，两式相减得：bnbn1=32?（n 3），所以数列 bn是从第二项起公差为32?得等差数列又当 n1 时，由 S1c1a1b1，得 c1 b1当 n 2 时，由 b2=2-12?+?=12?+?+?=b1+32?，得 b2b1=32?，故数列 bn是公差为32?的等差数列（3）解：由（2），当 n2 时，Sn1（cncn1）+ancnanbn，即 Sn1dan（bn c），因为 bn cn+k，所以 bn cn+kd，即 bncnkd，所以 Sn1dan?kd，即 Sn1kan，即 an=?+1?-?，故从第二项起数列an是等比数列，所以当 n2 时，an a2（?+1?）n2，bncn+kcn+kdc1+（n1）k+k2k+（n1）k+k2 k（n+k），另外，由已知条件可得（a1+a2）c2a1b1+a2b2，又 c22k，b1k，b2 k（2+k），所以 a2 1，因而 an（?+1?）n2，令 dn=?，则?+1?-1=?+1?+1?-1=(?+?+1)?(?+1)(?+1)-?=-?(?+?)(?+1)0，故对任意的n 2时，n N*，?+1?+1恒成立，所以 n2 时，n N*，?单调递减，?中最大项为?2?2=?(2+?)1=k（2+k）