2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二下学期期中数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共8 小题）.1设 a，b R“a0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2四个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是13，并且各人猜对与否互不影响，那么他们同时猜对的概率为（）A112B181C1681D80813（x2+2?）5的展开式中x4的系数为（）A10B20C40D804设 XN（1，1），YN（2，2），这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）A12，12B12，12C12，12D1 2，125对于不等式?+

2、?n+1（n N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当 n1 时，?+?1+1，不等式成立（2）假设当n k（k N*）时，不等式成立，即?+?k+1，则当n k+1 时，(?+?)?+(?+?)=?+?+?(?+?+?)+(?+?)=(?+?)?=（k+1）+1，当 n k+1 时，不等式成立则上述证法（）A过程全部正确B n1 验得不正确C归纳假设不正确D从 nk 到 nk+1 的推理不正确6为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6 名医生和4 名护士中抽选3 人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求某医生不能去A 地区，则分

3、配方案共有（）A564 种B524 种C450 种D536 种7在(?+?+1?2020)?的展开式中，x2项的系数为（）A10B25C35D668设 F1，F2分别是椭圆?2?2+?2?2=?（ab0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段 PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）A(?，22B(?，33C22，?)D33，?)二、多选题（共4 题，每题5 分，总计20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5 分，部分选对得3 分，有选错的得0 分）9下面是关于复数?=2-1+?（i 为虚数单位）的四个命题：|z|2；z22i；z 的共轭复数为1+i；若|z0

4、 z|1，则|z0|的最大值为?+?其中正确的命题有（）ABCD10如果 是一个随机变量，则下列命题中的真命题有（）A 取每一个可能值的概率都是非负数B 取所有可能值的概率之和是1C 的取值与自然数一一对应D 的取值是实数11（1+ax+by）n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则 a，n 的值可能为（）Aa2，n5Ba1，n6Ca 1，n5Da1，n512在平面直角坐标系xOy 中，双曲线?：?2?2-?2?2=?（a，b0）的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），左顶点为A，左准线为l过 F1作直线交双曲线C 左支于 P，Q 两点，则下列命题正确的是（）A若 PQx 轴

5、，则 PQF2的周长为4?2?B连 PA 交 l 于 D，则必有QDx 轴C若 PQ 中点为 M，则必有PQMF2D连 PO 交双曲线C 右支于点N，则必有PQNF2三、填空题（共4 题，每题 5 分，总计20 分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）13计算：3+4?1-2?=14投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为45，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（用分数表示）15设 x1，x2，x3，x4 1，0，2，那么满足2|x1|+|x2|+|x3|+|x4|4 的所有有序数对（x1，x2，x3，x4）的组数为16设 n

6、 N*，an为（x+4）n（x+1）n的展开式的各项系数之和，bn?15+2?252+?5?（x表示不超过实数x 的最大整数），则(?-?)?+(?-?+?)?（t R）的最小值为四、解答题（共6 题，共计 70 分.评分要求为：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（1）计算：(2-2?)4(1+3?)3（i 为虚数单位）；（2）已知 z 是一个复数，求解关于z的方程 z?-3i?=1+3i（i 为虚数单位）18某产品在37 月份销售量与利润的统计数据如表：月份34567销售量 x（单位：万件）36478利润 y（单位：万元）1934264146（1）从这 5 个月的利润中任选2 个

7、值，分别记为m，n，求事件“m，n 均小于 45”的概率；（2）已知销售量x 与利润 y 大致满足线性相关关系，请根据前4 个月的数据，求出y 关于 x 的线性回归方程?=?+?；（3）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据误差不超过2 万元，则认为得到的利润估计是理想的请用表格中7 月份的数据检验由（2）中回归方程所得的该月的利润的估计数据是否理想？参考公式：?=?=1?-?=1?2-?2，a=?-b?19为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得数据如表（单位：厘米），设茎高大于或等

8、于180 厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（K2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)，其中 na+b+c+d）抗倒伏数据如下：143 147 147 151 153 153 157 159 160 164 166 169 174 175 175 180 188 188 192 195 195 199 203 206 206易倒伏数据如下：151 167 175 178 181 182 186 186 187 190 190

9、 193 194 195 198 199 199 202 202 203（1）完成 22 列联表，并说明抗倒伏是否与玉米矮茎有关？（2）（i）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9 株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X，求 X 的分布列（概率用组合数算式表示）（ii）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50 株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差20已知 n 为给定的正整数，t 为给定的实数，设（t+x）n a0+a1x+a2x2+anxn（1）当 n8 时，若 t1，求 a0+a2+a4+a6+a8的值；若 t=23，求数列 an中的最大值；（2）若

10、 t=23，当 x=13时，求?=?（nk）akxk的值21在平面直角坐标系xOy中，抛物线y24x的焦点为F，抛物线上有三个动点A，B，C（1）若?+?+?=?，求|?|+|?|+|?|；（2）若 FA+FB 4，AB 的垂直平分线经过一个定点Q，求 QAB 面积的最大值22十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加 为了更好的制定2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据

11、与公式?.?.?，若 X?N（，2），则 P（X+）0.6826；P（2 X +2）0.9545；P（3 X +3）0.9973；（1）根据频率分布直方图估计50 位农民的年平均收入?（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N（，2），其中 近似为年平均收入?，2近似为样本方差s2，经计算得；s26.92，利用该正态分布，求：（）在2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要

12、求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民若每个农民的年收入相互独立，问：这1000 位农民中的年收入不少于12.14 千元的人数最有可能是多少？参考答案一、单选题（共 8 题，每题 5 分，总计 40 分，在每小题给出的选项中，只有 1 项符合题意）1设 a，b R“a0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件解：因为a，b R“aO”时“复数a+bi 不一定是纯虚数”“复数 a+bi 是纯虚数”则“a0”一定成立所以 a，b R“aO”是“复数a+bi 是纯虚数”的必要而不充

13、分条件故选：B【点评】本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的掌握程度2四个同学猜同一个谜语，如果每人猜对的概率都是13，并且各人猜对与否互不影响，那么他们同时猜对的概率为（）A112B181C1681D8081【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解解：四个同学猜同一个谜语，每人猜对的概率都是13，各人猜对与否互不影响，他们同时猜对的概率为：P（13）4=181故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（x2+2?）5的展开式中x4的系数为（）A10B20C40D80【分析】由二项式定理得（x

14、2+2?）5的展开式的通项为：Tr+1=?（x2）5r（2?）r=?-?，由 10 3r4，解得 r 2，由此能求出（x2+2?）5的展开式中x4的系数解：由二项式定理得（x2+2?）5的展开式的通项为：Tr+1=?（x2）5r（2?）r=?-?，由 10 3r4，解得 r 2，（x2+2?）5的展开式中x4的系数为?=40故选：C【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4设 XN（1，1），YN（2，2），这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）A12，12B12，12C12，12D1 2

15、，12【分析】由两曲线图象结合与的取值对图象的影响得结论解：由图可知，X 的正态分布曲线的的对称轴小于Y 的正态分布曲线的对称轴，则12；再由正态分布曲线的图象满足方差越小，随机变量的取值越集中，图象越高瘦，方差越大，随机变量的取值越分散，图象越矮胖，可得12，故选：B【点评】本题考查正态分布曲线，明确与的取值对图象的影响是关键，是基础题5对于不等式?+?n+1（n N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当 n1 时，?+?1+1，不等式成立（2）假设当n k（k N*）时，不等式成立，即?+?k+1，则当n k+1 时，(?+?)?+(?+?)=?+?+?(?+?+?)+(?+?)

16、=(?+?)?=（k+1）+1，当 n k+1 时，不等式成立则上述证法（）A过程全部正确B n1 验得不正确C归纳假设不正确D从 nk 到 nk+1 的推理不正确【分析】此证明中，从推出P（k+1）成立中，并没有用到假设P（k）成立的形式，不是数学归纳法解：在 nk+1 时，没有应用nk 时的假设，即从 nk 到 n k+1 的推理不正确故选：D【点评】本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式设 P（n）是关于自然数n 的命题，若1 P（n0）成立（奠基）2假设 P（k）成立（kn0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于 n0的自然数n 都成立6为支援湖北抗击新冠

17、疫情，无锡市某医院欲从6 名医生和4 名护士中抽选3 人（医生和护士均至少有一人）分配到A，B，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求某医生不能去A 地区，则分配方案共有（）A564 种B524 种C450 种D536 种【分析】分有A 参与和没有A 参与，根据分类计数原理可得解：若A 医生不参与，则2 医生 1 护士或则1 医生 2 护士，共有（C52C41+C51C42）A33420 种，若 A 医生参与，若未 2 医生 1 护士时，C51C41C21A2280 种，若 1 医生 2 护士，共有 C42C21A2224 种，有 80+24104 种，根据分类计数原理可得，共有4

18、20+104524 种，故选：B【点评】本题考查了分类和分步计数原理，关键是分步，属于中档题7在(?+?+1?2020)?的展开式中，x2项的系数为（）A10B25C35D66【分析】由题意，两次使用二项展开式的通项公式，求出x2项的系数解：在(?+?+1?2020)?的展开式中，通项公式为Tr+1=?（x+1?2020）r对于（x+1?2020）r，通项公式为Tk+1=?xr2021k，kr，r、k N，r12令 r2021k2，可得 r2+2021k，故 k0，r2，故 x2项的系数为?=66，故选：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中

19、档题8设 F1，F2分别是椭圆?2?2+?2?2=?（ab0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段 PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）A(?，22B(?，33C22，?)D33，?)【分析】根据题意，设 P 的坐标为(?2?，?)，进而可得F1P 的中点 Q 的坐标，结合题意，线段 PF1的中垂线过点F2，可得 y 与 b、c 的关系，又由y2的范围，计算可得答案解：由已知P(?2?，?)，所以 F1P 的中点 Q 的坐标为(?22?，?2)，由?=?2，?=?2-2?2，?=-?，?=?-?4?2?=(?-?)(?-1?2)?(?-1?2)?，?33当?=?时，?不存

20、在，此时 F2为中点，?2?-?=?=33综上得33?故选：D【点评】本题考查椭圆的性质的应用，要牢记椭圆的有关参数，如 a、b、c 之间的关系二、多选题（共4 题，每题5 分，总计20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5 分，部分选对得3 分，有选错的得0 分）9下面是关于复数?=2-1+?（i 为虚数单位）的四个命题：|z|2；z22i；z 的共轭复数为1+i；若|z0 z|1，则|z0|的最大值为?+?其中正确的命题有（）ABCD【分析】求出复数的模，结合复数的乘法，共轭复数，以及复数模的几何意义，判断选项的正误即可解：|z|=|2-1+?|=2(-1)2+12=?2

21、；所以 不正确；z2=4(-1+?)2=4-2?=2i；所以 正确；复数?=2-1+?=2(-1-?)(-1+?)(-1-?)=-1iz 的共轭复数为1+i；所以 不正确；若|z0 z|1，即|z0（1+i）|1，表示复平面内的点与（1，1）距离为 1 的点的轨迹，则|z0|的最大值为?+?正确；正确命题为：故选：BD【点评】本题考查命题的真假，复数的基本运算以及复数的几何意义，是基本知识的考查10如果 是一个随机变量，则下列命题中的真命题有（）A 取每一个可能值的概率都是非负数B 取所有可能值的概率之和是1C 的取值与自然数一一对应D 的取值是实数【分析】根据随机变量及其分布列性质即可判断解

22、：根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数，所以A 正确；取所有可能值的概率之和是1，所以 B 正确；的取值不一定是实数，不一定是自然数，所以C 错误，D 错误故选：AB【点评】本题主要考查随机变量的概念及意义，属于基础题11（1+ax+by）n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则 a，n 的值可能为（）Aa2，n5Ba1，n6Ca 1，n5Da1，n5【分析】据（1+ax+by）n展开式中不含y 的项是 n 个（1+ax+by）都不取 by，即（1+ax+by）n展开式中不含y 的项的系数绝对值的和就是（1+ax）n展开式中系数绝对值的和，进而求得结论解：不含y 的项的系数

23、的绝对值为（1+|a|）n3225，n5，a1 或 1；故选：CD【点评】本题主要考查二项式定理的应用以及分步乘法原理的应用，属于中档题目12在平面直角坐标系xOy 中，双曲线?：?2?2-?2?2=?（a，b0）的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），左顶点为A，左准线为l过 F1作直线交双曲线C 左支于 P，Q 两点，则下列命题正确的是（）A若 PQx 轴，则 PQF2的周长为4?2?B连 PA 交 l 于 D，则必有QDx 轴C若 PQ 中点为 M，则必有PQMF2D连 PO 交双曲线C 右支于点N，则必有PQNF2【分析】结合图象分析当PQx 轴时，求出 PQF2的周长，通过证

24、明四边形PF1NF2为平行四边形，得PQNF2，结合双曲线图象性质判定BC解：如图，若PQ x 轴，则有|?|=2?2?，则 PQF2的周长为4?2?+?=4?2?，所以A 选项正确；连接PA 交 l 于 D，则必有QDx 轴，由图可得选项B 说法错误；若 PQ 中点为 M，则必有PQMF2，假设该命题成立，则MF2是线段的PQ 的垂直平分线，所以|F2P|F2Q|，根据双曲线的对称性可知，当且仅当PQx 轴时成立，所以选项C 错误；PO 连接 OP 交双曲线 C 右支于点 N，则必有 PQNF2，考虑四边形PF1NF2，|OP|ON|，|OF1|OF2|，所以四边形PF1NF2为平行四边形，

25、所以PF1 NF2，所以有 PQNF2 故选项 D 正确故选：AD【点评】本题考查双曲线的图象和性质，根据图象性质判定线段长度关系和位置关系，涉及双曲线的定义的理解，利用定义解决焦点三角形周长关系，综合性强三、填空题（共4 题，每题 5 分，总计20 分，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程）13计算：3+4?1-2?=1+2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解：3+4?1-2?=(3+4?)(1+2?)(1-2?)(1+2?)=-5+10?5=-?+?故答案为：1+2i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题14投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次才能通过测

26、试已知某同学每次投篮投中的概率为45，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为112125（用分数表示）【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式直接求解解：投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次才能通过测试某同学每次投篮投中的概率为45，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为：P（45）3+?(45)?(15)=112125故答案为：112125【点评】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15设 x1，x2，x3，x4 1，0，2，那么满足2|x1|+|x2

27、|+|x3|+|x4|4 的所有有序数对（x1，x2，x3，x4）的组数为45【分析】根据分类计数原理可得解：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|2，0+0+0+2 2，有 4 种，1+0+1+0 2，有 6 种，故有10 组；：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|3，0+1+1+13，有 4 种，0+1+2+03，有 C41C3112 种，故有16 组；：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|4，1+1+1+1 4，有 1种，0+1+1+24，有 C41C3112 种，0+0+2+24，有12C41C316 种，故有 19 组；综上，共45 组，故答案为：45【点评】本题考查了分类计数原

28、理，属于基础题16设 n N*，an为（x+4）n（x+1）n的展开式的各项系数之和，bn?15+2?252+?5?（x表示不超过实数x 的最大整数），则(?-?)?+(?-?+?)?（t R）的最小值为12【分析】令x 1，有 an5n2n，求出 bn，则(?-?)?+(?-?+?)?（t R）的几何意义为点（n，?2-?2）到点（t，2t）的距离的平方，最小值为点（1，0）与（2，1）到直线 y2x 的距离 d 的平方，然后利用点线距离公式求解即可得答案解：令 x1，有 an 5n2n，?5?=n1（25）n，?5?n1，bn?15+2?252+?5?0+1+2+（n1）=?(?-1)2，

29、因此(?-?)?+(?-?+?)?表示点 A（n，?(?-1)2）到直线y2 x 上的点的距离的平方，因为 y=12?(?-?)与 y2x 的交点的横坐标x0（1，2）且 n N*，又点（1，0）与（2，1）距直线y2x 近，故(?-?)?+(?-?+?)?（|1+0-2|2）2=12故答案为：12【点评】本题主要考查了二项式定理的应用、点线距离公式，意在考查学生对这些知识的理解水平和分析推理能力，有一定的难度四、解答题（共6 题，共计 70 分.评分要求为：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（1）计算：(2-2?)4(1+3?)3（i 为虚数单位）；（2）已知 z 是一个复数，求

30、解关于z的方程 z?-3i?=1+3i（i 为虚数单位）【分析】（1）直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）设 za+bi（a，b R），则?=?-?，代入z?-3i?=1+3i，整理后利用复数相等的条件列式求得a 与 b 的值，则答案可求解：（1）(2-2?)4(1+3?)3=16(1-?)4(1+3?)2(1+3?)=-64-2(1-3?)(1+3?)=324=?；（2）设 za+bi（a，b R），则?=?-?，代入 z?-3i?=1+3i，得 a2+b23i（abi）1+3i，即 a2+b23b 3ai1+3i，则?+?-?=?-?=?，解得?=-?=?或?=-?=?则 z

31、1 或 z1+3i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查计算能力，是中档题18某产品在37 月份销售量与利润的统计数据如表：月份34567销售量 x（单位：万件）36478利润 y（单位：万元）1934264146（1）从这 5 个月的利润中任选2 个值，分别记为m，n，求事件“m，n 均小于 45”的概率；（2）已知销售量x 与利润 y 大致满足线性相关关系，请根据前4 个月的数据，求出y 关于 x 的线性回归方程?=?+?；（3）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据误差不超过2 万元，则认为得到的利润估计是理想的请用表格中7 月份的数据检验由（2）中回归

32、方程所得的该月的利润的估计数据是否理想？参考公式：?=?=1?-?=1?2-?2，a=?-b?【分析】（1）写出基本事件总数，选择m，n 均小于 45”的事件数，由古典概型概率计算公式求概率；（2）利用公式求出?与?的值，即可得到y 关于 x 的线性回归方程?=?+?；（3）将第 7 个月的数据带入线性回归方程，计算y 值与真实数据的误差不超过2 万元，即可得结论解：（1）所有的基本事件为（19，34），（19，26），（19，41），（19，46），（34，26），（34，41），（34，46），（26，41），（26，46），（41，46）共 10 个记“m，n 均小于 45”为事件 A，

33、则事件 A 包含的基本事件为（19，34），（19，26），（19，41），（34，26），（34，41），（26，41）共 6 个P（A）=610=35；（2）由前 4 个月的数据可得，?=5，?=30，?=?=652，?=?=110?=6?=3?-4?6?=3?2-4?2=652-4 5 30110-4 52=?.?，?=?-?=?-?.?=?线性回归方程为?=5.2x+4；（3）由题意得，当x 8 时，?=45.6，|45.646|0.42故利用（2）中的回归方程所得的第5 个月的利润估计数据是理想的【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题19为了打好脱贫攻坚战，某贫困

34、县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得数据如表（单位：厘米），设茎高大于或等于180 厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（K2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)，其中 na+b+c+d）抗倒伏数据如下：143 147 147 151 153 153 157 159 160 164 166 169 174 175 175 180 188 188 1

35、92 195 195 199 203 206 206易倒伏数据如下：151 167 175 178 181 182 186 186 187 190 190 193 194 195 198 199 199 202 202 203（1）完成 22 列联表，并说明抗倒伏是否与玉米矮茎有关？（2）（i）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9 株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X，求 X 的分布列（概率用组合数算式表示）（ii）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50 株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差【分析】（1）根据统计数据做出2 2 列联表，求出K27

36、.2876.635，从而可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关（2）（i）按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4 株，则 X 可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列（ii）在抗倒伏的玉米样本中，每次取出的高茎玉米的概率均为25，设取出的高茎玉米的株数为 ，则 B（50，25），由此能求出取出的高茎玉米株数的数学期望和方差解：（1）根据统计数据做出22 列联表如下：抗倒伏易倒伏合计矮茎15419高茎101626合计252045K2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)=45(15 16-10 4)225 20 19 2

37、67.2876.635，可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关（2）（i）按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共92020+25=4 株，抽到抗倒伏玉米共92520+25=5 株，则 X 可能取值为0，1，2，3，4，5，P（X 0）=?164?204，P（X 1）=?41?163?204，P（X 2）=?42?162?204，P（X 3）=?43?161?204，P（X 4）=?44?204，X 的分布列为：X01234P?164?204?41?163?204?42?162?204?43?161?204?44?204（ii）在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10 株，占25

38、，每次取出的高茎玉米的概率均为25，设取出的高茎玉米的株数为，则 B（50，25），取出的高茎玉米株数的数学期望E（）5025=20，取出的高茎玉米株数的方差为D（）=?25(?-25)=?【点评】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查超几何分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20已知 n 为给定的正整数，t 为给定的实数，设（t+x）n a0+a1x+a2x2+anxn（1）当n8 时，若 t1，求 a0+a2+a4+a6+a8的值；若 t=23，求数列 an中的最大值；（2）若 t=23，当 x=13时，求?=?（nk）akxk的值【

39、分析】（1）令（t+x）na0+a1x+a2x2+anxn中的 x 分别等于 1，1，得到两式，两式相加即可求得结果；假设 ak最大，则?+?-?，解出 k 的范围，确定k 的值，代入ak即可求得结果；（2）先求出akxkC?（23）nk（13）k，再利用kC?=nC?-?-?，对?=?（nk）akxk分成 n1 与 n 2 求值即可解：（1）当 n8 时，有（t+x）8a0+a1x+a2x2+anx8 若 t1，则（1+x）8 a0+a1x+a2x2+anx8，令 x1 得 28a0+a1+a2+a3+a8，令 x 1 得 0a0a1+a8，两式相加有282（a0+a2+a4+a6+a8），

40、解得a0+a2+a4+a6+a827128；若 t=23，则（23+x）8a0+a1x+a2x2+anx8，akC?（23）8k，k0，1，8假设 ak最大，则?+?-?，即?(23)?-?+?(23)?-?(23)?-?-?(23)?-?，解之得：225?275，k N，k 5，故数列 an中的最大值 a5 C?（23）3=44827；（2）若 t=23，当 x=13时，有 akxkC?（23）nk（13）k又因为 kC?=k?!?!(?-?)!=n?(?-1)!(?-1)!(?-?)!=nC?-?-?，当 n 1 时，?=?（nk）akxkC?（23）1=23；当 n 2 时，?=?（nk

41、）akxk=?=?（nk）C?（23）nk（13）k=?=?nC?（23）nk（13）k?=?kC?（23）nk（13）kn（23+13）n-?=?nC?-?-?（23）nk（13）kn-?3?=?C?-?-?（23）nk（13）k1 n-13n（23+13）n1=2?3，当 n 1 时，也符合所以?=?（n k）akxk的值为2?3【点评】本题主要考查二项式定理中的通项公式、赋值法，还有组合数的性质与计算，属于中档题21在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y24x 的焦点为F，抛物线上有三个动点A，B，C（1）若?+?+?=?，求|?|+|?|+|?|；（2）若 FA+FB 4，AB 的垂直

42、平分线经过一个定点Q，求 QAB 面积的最大值【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，可设A，B，C 的横坐标分别为x1，x2，x3，由向量的坐标运算和抛物线的定义，即可得到所求和；（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），运用抛物线的定义和中点坐标公式可得AB 的中点D 的横坐标为1，设 D（1，t），则 y1+y22t，求得直线AB 的方程为y=2?x+t-2?，联立抛物线的方程，运用判别式大于0 和韦达定理，以及弦长公式，可得|AB|，求得 AB 的中垂线方程，可得Q（3，0），求得Q 到 AB 的距离d，再由三角形的面积公式，结合换元法和导数，求得面积的最大值解：（1）抛物线y2

43、 4x 的焦点 F（1，0），准线方程为x 1，可设 A，B，C 的横坐标分别为x1，x2，x3，若?+?+?=?，则 x11+x21+x3 11，即 x1+x2+x34，由抛物线的定义可得|?|+|?|+|?|x1+1+x2+1+x3+1x1+x2+x3+37；（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），若 FA+FB 4，可得 x1+1+x2+14，即 x1+x2 2，AB 的中点设为D，可得 D 的横坐标为1，设 D（1，t），则 y1+y22t，由 y12 4x1，y224x2，相减可得（y1y2）（y1+y2）4（x1x2），则 kAB=?1-?2?1-?2=4?1+?2=2?，直

44、线 AB 的方程为y=2?x+t-2?，联立抛物线的方程y24x，可得4?2x2-8?2x+t24+4?2=0，则 x1x2=?44-t2+1，x1+x22，=64?4-16?2（t24+4?2）0，即 2 t2 且 t0，|AB|=?+4?2?|x1x2|=?+4?2?(?+?)?-?=?+4?2?-?+?-?=?+4?2?-?，又 AB 的中垂线方程为yt=-?2（x1），即 y=?2（3 x），可得 Q（3，0），Q 到 AB 的距离为d=|6?+?-2?|1+4?2=|?+4?|1+4?2，则 QAB 面积 S=12|AB|d=12?2+4|?|?|t|?-?=12（4+t2）?-?，

45、设?-?=m（0m4），则 t24 m2，S=12（8m2）m=12（8mm3），S=12（83m2），当 0 m263时，S 0，S=12（8m m3）递增；当2 63m4时，S 0，S=12（8mm3）递减，可得 m=263时，S=12（8mm3）取得最大值，且为1669【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，考查三角形的面积的最值求法，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于难题22十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入

46、也逐年增加 为了更好的制定2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式?.?.?，若 X?N（，2），则 P（X+）0.6826；P（2 X +2）0.9545；P（3 X +3）0.9973；（1）根据频率分布直方图估计50 位农民的年平均收入?（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布N（，2），其中 近似为年平均收入?，2近似为样本方差s2，经计算得；s26.92，利用该正态分布，求：（）在2019 年

47、脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民若每个农民的年收入相互独立，问：这1000 位农民中的年收入不少于12.14 千元的人数最有可能是多少？【分析】（1）直接由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案；（2）（）求出P（X ）0.8414，可得最低年收入大约为 千元；（）利用正态分布的概率求出每个农民的年收入不少于12.14 千元的概率，记1000 位农民的年收入不少于12.14 千元的人数为，则 B（103，p），

48、p0.9773 再由?(?=?)?(?=?-1)1 求解 k 的范围得答案解：（1）?=120.04+140.12+160.28+180.36+200.10+220.06+240.0417.40千克；（2）由题意，X 服从 N（17.4，6.92）（）P（X）=12+0.682620.8414 17.402.6314.77 时，满足题意，即最低年收入为14.77 千元；（）由P（X12.14）P（X 2）0.5+0.954520.9773得每个农民的年收入不少于12.14 千元的事件的概率为0.9773记 1000 位农民的年收入不少于12.14 千元的人数为，则 B（1000，p），p0.9773于是恰好k 个农民的年收入不少于12.14 千元的事件的概率P（k）=?(?-?)?-?从而由?(?=?)?(?=?-1)=(1001-?)?(1-?)1，得 k1001p而 1001p978.2773当 0k978 时，P（k1）P（k），当 979k1000 时，P（k1）P（k）由此可知，在走访的1000 位农民中，年收入不少于12.14 千克的人数最有可能是978 人【点评】本题考查由频率分布直方图求平均值，考查正态分布概率的应用，训练了二项分布及其应用，是中档题