2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(文)(二)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 24 页2020 届百校高考百日冲刺金卷全国卷数学（文）试题一、单选题1已知集合|6Ax x且*Nx，则A的非空真子集的个数为()A30B 31C62D63【答案】A【解析】先化简集合A，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解.【详解】因为集合|6Ax x且*N1,2,3,4,5x，所以A的非空真子集的个数为52230.故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.2复数 z满足113zii，则z（）A2B 4C5D5【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出复数z，再求出模长|z|【详解】13113212iiizii，故5z.故选：C.【点睛】本题考查

2、了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题3在ABCO中，O为原点，1,2A，2,3C，则 B 点坐标为()A3,1B1,5C1,5D3,1【答案】A【解析】设,B x y，根据四边形为平行四边形，则有OBOAOC求解。【详解】设,B x y，因为1,2A，2,3C，第 2 页 共 24 页所以,1,2,2,3OBx yOAOC，又因为四边形为平行四边形，所以OBOAOC，所以31xy，所以3,1B.故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，属于基础题.4袋中有 4 个球，3 个红色，1 个黑色，从中任意摸取2 个，则恰为2 个红球的概率为()A13B23C14D12【答案】D【解析】设

3、3 个红球分别为a，b，c，黑球为m.列举出所有不同的取法，再找出所有 2 个红球的取法，代入古典概型的概率公式求解.【详解】设 3 个红球分别为a，b，c，黑球为m.所有不同的取法有6 种：ab，ac，bc，am，bm，cm，所有 2 个红球的取法有3 种：ab，ac，bc.故所求概率为3162.故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5已知31sin23，则cos（）A13B13C2 23D2 23【答案】B【解析】直接由诱导公式计算即可.【详解】第 3 页 共 24 页由诱导公式可得：3sin21cos3，故1cos3.故选：B.【点睛】本题考查了

4、诱导公式的简单应用，属于基础题.6双曲线1C：222210,0 xyabab的渐近线与圆2C：2221xy相切，则双曲线1C的渐近线方程为()A12yxB13yxC22yxD33yx【答案】D【解析】双曲线1C的一条渐近线方程为0bxay，根据渐近线与圆2C：2221xy相切，则有2221bab求解.【详解】双曲线1C的一条渐近线方程为0bxay，圆心2,0到渐近线的距离为1，即2221bab，得223ab=即33ba.所以双曲线1C的渐近线方程为：33yx故选;D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7已知等差数列na的前n项和nS满足

5、：3723SSa，则60S()A4aB307aC5aD407a第 4 页 共 24 页【答案】B【解析】根据3723242537SSaaa，利用性质可得24377aaa，然后由16060243760302aaSaa求解.【详解】因为3723242537SSaaa，243724371472aaaaa，所以16060243730603027aaSaaa.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式及性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方

6、程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著 测圆海镜 中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到 B 处，甲乙二人共行走1600 步，AB比AC长 80 步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为()A222?xzyB222?xyzC222?yzxD?xy【答案】A【解析】根据题意得，,ACxAByBCz则第 5 页 共 24 页1600,80 x

7、yzyx，所以15202zx，再根据ABC为直角三角形90C求解.【详解】由题意得，,ACxAByBCz则1000,80 xyzyx，所以15202zx，符合程序框图所示:又ABC为直角三角形，且90C，所以222xzy.故选：A【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9已知函数sin06fxx的图象在0,上有且仅有两条对称轴，则的取值范围为()A31,2B4 3,3 2C4 7,3 3D71,3【答案】C【解析】根据正弦函数的对称轴，令62xk，kZ，则3kx，kZ.再根据sin6fxx的图象在0,上有且仅有两条对称轴，令130,30,13,23,kkk

8、k求解.【详解】第 6 页 共 24 页令62xk，kZ，则3kx，kZ.因为sin6fxx的图象在0,上有且仅有两条对称轴，所以130,30,13,23,kkkk则20,310,34,37,3kkkk解得4 7,3 3.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10已知2221,1,1xaxfxxax在R上为增函数.Mfa，44log3 log 5Nf，则M，N的大小关系是()A MN=BMNCMNDM，N大小不能确定【答案】B【解析】根据2221,1,1xaxfxxax在R上为增函数，则有21211aa，解得1a，所以1Mfaf，而2244444lo

9、g 3log 5log 16log 3 log 5122，再根据单调性求解.【详解】第 7 页 共 24 页因为2221,1,1xaxfxxax在R上为增函数所以221211101aaaa，而2244444log 3log 5log 16log 3 log 5122，故441log 3 log 5faff.所以MN故选：B【点睛】本题主要考查实数比较大小，还考查了函数的单调性和基本不等式的应用，属于中档题.11某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（）A2 3B2 2C3D6【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各

10、条棱长即可得出结论【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，画出图形如图所示：第 8 页 共 24 页正方体的棱长为2，A、C为所在棱的中点，则 CD=1，BC=AD=5，BD=BE=CF=2 2，结合图形可得,AEB，AFC，AFD为直角三角形，由勾股定理得AB22=813BEAE，AC=22=5+1=6CFAF，最长的棱为AB=3，故选：C.【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.12已知12,2112,2xxfxfxfxx，则2019f()A1B1C2D2【答案】B【解析】根据12fxfx

11、fx，转化变形推出6fxfx，得到函数fx的周期为6 再求解.【详解】因为12fxfxfx，所以11fxfxfx所以12fxfx所以3fxfx，第 9 页 共 24 页所以6fxfx，所以函数fx的周期为6，故0201963363321101021fffffffff故选：B.【点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了变形转化解决问题的能力，属于中档题.二、填空题13过323yxx上一点(2,4)作曲线的切线，则切线方程为_.【答案】9420 xy或4y【解析】设切点为00,xy，表示出切线方程，再将点(2,4)代入方程，解出02x或012x，即可求出切线方程.【详解】由题可得，236yx

12、x设该切线切点为00,xy，则切线斜率为20036xx，因此切线方程为223200000000036363yxxxxyxxxxxx，又点(2,4)在切线上，2320000036234xxxxx，整理得，2002210 xx，解得02x或012x，代入切线方程，化简得4y或9142yx，整理得，4y或9420 xy，故答案为：9420 xy或4y.【点睛】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题的关第 10 页 共 24 页键在于分清所给点是否为切点，注意区分在某点处和过某点的切线，考查了运算能力，属于基础题.14已知x，y满足线性约束条件20220 xyxkxy

13、目标函数2zxy的最大值为2，则实数k的取值范围是_.【答案】1,2【解析】根据x，y满足线性约束条件20220 xyxkxy，且直线20kxy过定点0,2，将目标函数化为2yxz，平移直线2yx，根据2z时，最优解在直线220 xy上，而0,2在可行域内，且满足220 xy结合图形求解.【详解】x，y满足线性约束条件20220 xyxkxy，直线20kxy，过定点0,2目标函数化为2yxz，平移直线2yx，在 y 轴上截距最大时，目标函数值最大，当2z时，可知：最优解在直线220 xy上，而0,2在可行域内，且满足220 xy.所以最大值点为0,2如图所示：第 11 页 共 24 页所以实数

14、k的取值范围是1,2.故答案为：1,2【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.15已知椭圆C：222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，右焦点2F与抛物线E：220ypx p的焦点重合.椭圆C与抛物线E交于A，B 两点，A，2F，B 三点共线，则椭圆C的离心率为 _.【答案】21【解析】利用椭圆与抛物线的对称性，根据椭圆C与抛物线E交于A，B 两点，A，2F，B 三点共线，则有22bAFpa，122F Fcp，再由221212bAFacFF求解.【详解】因为椭圆C与抛物线E交于A，B 两点，A，2F，B三点共线，所以22bAFpa，122F Fcp

15、，221212bAFacFF，即22bac，所以2220caca，所以2210ee，解得21e.故答案为：21【点睛】本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.第 12 页 共 24 页16数列na满足：121325312nnaaan，且*12Nnaaam m恒成立，则m的最小值为_.【答案】9【解析】先利用数列的通项公式与前n 项和的关系，由121325312nnaaan，求得31,2,25,1,nnnnan，再根据*12Nnaaam m恒成立，利用错位相减法求12naaa，再求其最大值即可。【详解】当2n时，由121325312nnaaan，得：112

16、11325342nnaaan.两式相减得：12312nnann，当1n时，115522aa.31,2,25,1,nnnnan故122358315222nnnaaa.1225314222nn令1212534312222nnnnS，则231125343122222nnnnS.两式相减得：2111131132222nnnS，153522nn3552nnS故12354992nnnaaaS.而当5n时，53 55982，故m的最小值为9.第 13 页 共 24 页【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n 项和的关系以及错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17在ABC中，tan2

17、coscostantanCABAB.（）求角C；（）若3c，求ABC周长的最大值.【答案】（）3；（）3 3.【解析】（）由tan2coscostantanCABAB，得tan2coscostantanCABAB，再切化弦利用两角和的正弦得到1cos2C求解.（）根据（1）利用正弦定理得2sinsinsinabcABC，再角化为边，得到2sin2sin3abcAB，再利用两角和的正弦得到2 3sin36abcA求解.【详解】（）由tan2coscostantanCABAB，得tan2coscostantanCABAB，所以2 sincoscossin2sin2sinABABABC，所以1cos

18、2C.因为0C，所以3C.（）由正弦定理得2sinsinsinabcABC，22sin2sin32sin2sin33abcABAA，312sin2cossin322AAA，第 14 页 共 24 页3sin3cos32 3 sin33 36AAA.当3A时，ABC周长取最大值为3 3.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18如图，在四棱锥PABCD中，2AD，1ABBCCD，/BC AD，90PAD.PBA为锐角，平面PAB平面 PBD.（）证明：PA平面ABCD；（）AD与平面 PBD 所成角的正弦值为24，求三棱锥PABD的表面积.【答案】

19、（）证明见解析；（）3362.【解析】（）作AMPB于M，根据平面PAB平面 PBD得到AM平面 PBD.AMBD，取AD中点为Q，则=BC QD，且/BCQD，得到1BQCDQDQA，有BDAB，由线面垂直的判定定理，得到DB平面PABDBPA，再由PAAD得证.（）由（）知：AM平面 PBD，根据线面角的定义，故ADM即为AD与平面 PBD 所成角，所以有2242AMAMAD，三棱锥的四个面都是直角三角形，由三角形的面积公式求解.【详解】（）如图所示：第 15 页 共 24 页作AMPB于M，因为平面PAB平面 PBD所以AM平面 PBD.所以AMBD取AD中点为Q，则=BC QD，且/B

20、C QD所以1BQCDQDQA所以90ABD，BDAB又PBA为锐角，点M与点 B 不重合.所以DB平面PABDBPA.又PAAD，DB与AD为平面ABCD内两条相交直线，故PA平面ABCD.（）由（）知：AM平面PBD，故ADM即为AD与平面 PBD 所成角，2242AMAMAD.在Rt PAB中，2452AMPBA，故1PA，12PABS，1PADS，322ABDAB BDS.而90PBD，所以236222PBDPB BDS故所求表面积为：13633612222.【点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化和几何体表面积的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

21、19西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300 天需要这种鸡，A饭店每天需要的数量是1418 之间的第 16 页 共 24 页一个随机数，去年A饭店这 300 天里每天需要这种鸡的数量x（单位：只）如下表：x1415161718频数4560756060这 300 天内，假定这7 个饭店的情况一样，只探讨A饭店当天的需求量即可.这 300 天内，鸡厂和这7 个饭店联营，每天出栏鸡是定数71418aa，送到城里的这7 个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是40 元，饭店给鸡厂结算每只70 元，如果7个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量xa时

22、，剩下的鸡只能以每只56a元的价钱处理.（）若15a，求鸡厂当天在A饭店得到的利润y（单位：元）关于A饭店当天需求量x（单位：只，*Nx）的函数解析式；（）若16a，求鸡厂当天在A饭店得到的利润（单位：元）的平均值；（）17a时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479 元的概率.【答案】（）*2915,15N450,15xxyxx；（）465元；（）25.【解析】（）根据每只鸡的成本是40 元，饭店给鸡厂结算每只70 元，如果7 个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量xa时，剩下的鸡只能以每只56a元的价钱处理，建立分段利润函数模型.再将15a代

23、入求解.（）根据（）知，将16a，代入得*30,16N480,16x xyxx，根据表中记录，300 天中，有45 天的利润是420 元/天，有 60 天的利润是450 元/天，有 195 天的利润是 480 元/天，再用平均数公式求解.（）当17a时，*3117,17N510,17xxyxx，令479y得到16x，再从表中记录，根据频率求解概率.【详解】（）当xa时，2704056401416yxaaxa xaa，第 17 页 共 24 页当xa时，30ya，2*1416,N30,a xaaxayxa xa，15a，得：*2915,15N450,15xxyxx.（）由（）知，16a，*30,

24、16N480,16x xyxx，300 天中，有45 天的利润是420 元/天，有 60 天的利润是450 元/天，有 195 天的利润是 480 元/天，所以鸡厂当天在A饭店得到的利润（单位：元）的平均值为14204545060195480465300（元）.（）当17a时，*3117,17N510,17xxyxx，当16x时，鸡厂当天在A饭店得到的利润479y元，所以鸡厂当天在A饭店得到的利润大于479 元的概率为606023003005.【点睛】本题主要考查样本估计总体，还考查了分段函数的应用和运算求解的能力，属于中档题.20已知抛物线220 xpy p上有两点A，B，过A，B 作抛物线

25、的切线交于点2,1Q，且90AQB.（）求p；（）斜率为1 且过焦点的直线交抛物线于M，N两点，直线1yxc c交抛物线于C，D两点，求四边形MNDC面积的最大值.【答案】（）2；（）128 227.【解析】（）根据过A，B 作抛物线的切线交于点2,1Q，且90AQB，设过点Q的直线方程为12yk x，即21ykxk，代入22xpy，得到222210 xpkxpk，根据相切，则由0，得2420pkk，再根据两切线垂直求解.第 18 页 共 24 页（）MNl：1yx与24xy联立，利用弦长公式得到22328MNMNxx.CDl：yx c与24xy，利用弦长公式得到2216164 21CDCDx

26、xcc，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC的高为1122cc，然后由梯形的面积公式求解.【详解】（）过点Q作22xpy的切线，方程为12yk x，即21ykxk，代入22210222xpyxpkkxp，0，化为2420pkk，122112k kpp.（）MNl：1yx与24xy联立，得2440 xx，故22328MNMNxx.CDl：yx c与24xy，得：2440 xxc，2216164 21CDCDxxcc且由16 16011cc，由平行线之间的距离公式可得：梯形MNDC的高为1122cc，故1184 2112 22 122MNDCcSccc，令1ct，则222 220,2MNDCS

27、ttt.2222222226424623Sttttttt.在20,3上，0S，在2,23上，0S.故当23t时，S取最大值为128227.第 19 页 共 24 页【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系和平面几何图形的面积最值问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.21已知函数2()xf xea，()xg xeb，且()f x 与()g x的图象有一个斜率为1的公切线（e为自然对数的底数）.（1）求ba；（2）设函数ln 21()()()22h xf xg xmx，讨论函数()h x的零点个数.【答案】（1）1ln 222ba（2）见解析【解析】（1）由()f x 与()g x的图象有一个

28、斜率为1 的公切线，分别对()f x 与()g x求导并求出切线方程，列出等量关系可得ba；（2）利用换元将2()2xxh xeem转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数()h x的零点个数.【详解】（1）2()2=1xfxe，可得ln 2ln 21,()222xfa.()f x 在ln 2 1(,)22a处的切线方程为1ln 2()22yax，即ln 2122yxa.()1xg xe，0,(0)1xgb.()g x在(0,1)b处的切线方程为(1)ybx，1yxb，故ln 21122ab，可得1ln 222ba.（2）由（1）可得22ln 21()()22x

29、xxxh xeaebmxeemx，2()2xxh xeem，令xte，则22yttm，=1+8m，1m 时，220ttm有两根，12,tt且120tt，第 20 页 共 24 页12()2()()0 xxh xetet，得：2lnxt，在2(ln),t上，()0h x，在2(ln,)t上，()0h x，此时，2(ln)(0)0hth.又x时，(),h xx时，()h x.故在2(ln),t和2(ln,)t上，()h x各有 1 个零点.1m时，1()2()(1)2xxh xee()h x最小值为(0)0h，故()h x仅有 1 个零点.01m时，12()2()()xxh xetet.其中120

30、tt，同1m，()h x在2(ln),t与2(ln,)t上，()h x各有 1 个零点，0m时，2()xxh xee，仅在(0)0h有 1 个零点，108m时，对方程220,180ttmm.方程有两个正根12,t t，12()2()()xxh xetet.在1(,ln)t上，()0h x，在12(ln,ln)tt上，()0h x，在2(ln,)t，()0h x.由1212120tttt，可得1211042tt，故22ln0,(ln)(0)0thth.222111111111(ln)ln(2)lnhtttmtttttt1111(1)(12)lntttt11110,120,ln0ttt，第 21

31、页 共 24 页故1(ln)0ht.故在1(,ln)t上，1()(ln)0h xht，在12(ln,ln)tt上，()0h x，在2(ln,)t上，()h x有 1 个零点：0 x.18m时，2()20 xxh xeem恒成立，()h x为增函数，()h x仅有 1 个零点：0 x.综上，0m或1m时，()h x有 1 个零点，01m或1m 时，()h x有 2 个零点.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2cos1sinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点

32、，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为222483cos4sin.（）当3时，把直线l的参数方程化为普通方程，把椭圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）直线l交椭圆C于A，B两点，且A，B中点为2,1M，求直线l的斜率.【答案】（）312 30 xy，2211612xy；（）32.【解析】（）根据直线l的参数方程为2cos1sinxtyt，且3，消去 t 即可直线的的普通方程.根据椭圆C的极坐标方程222483cos4sin，变形为22223cos4sin48，再利用cos,sinxy求解.（）将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得223sin12cos8sin320

33、tt，利用A，B 中点为2,1M，且直线过第 22 页 共 24 页2,1M，利用参数的几何意义求解.【详解】（）因为直线l的参数方程为2cos1sinxtyt，且3，所以122312xtyt，消去 t 得312 30 xy，所以直线l的普通方程为：312 30 xy；因为椭圆C的极坐标方程为222483cos4sin.所以22223cos4sin48，223448xy，椭圆C的直角坐标方程为：2211612xy.（）将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：223sin12cos8sin320tt，因为A，B 中点为2,1M所以120tt，故312cos8sin0tan2k，所以直线

34、l的斜率为32.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23已知函数2fxxax.（）若3fx恒成立，求实数a的取值范围；（）fxx的解集为2,m，求a和m.【答案】（）5a或1a；（），4a，6m.第 23 页 共 24 页【解析】（）根据绝对值三角不等式，由222xaxxaxa，求得fx最小值，再由23a求解.（）不等式的解集与相应方程根的关系，当2x时，22f，即22a，解得：0a或 4.，再分类求解.【详解】（）因为222xaxxaxa，当且仅当20 xax时取等，故fx最小值为2a-，235aa或1a.（）由不等式解集的意义可知：2x时，22f，即22a，解得：0a或 4.0a时，如图所示：不合题意舍去.4a时，如图所示：由yx与26yx解得：6x，即6m，第 24 页 共 24 页综上，4a，6m.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.