2020年广东省深圳市宝安中学高考(理科)数学(4月份)模拟试卷(解析版).pdf

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1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（4 月份）一、选择题（共12 小题）.1已知集合Ax|x22x 30，Bx|log2x2，则集合AB（）Ax|1x 4Bx|0 x3Cx|0 x2Dx|0 x12设复数z 满足|z+i|1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A（x+1）2+y21B（x1）2+y21Cx2+（y+1）21Dx2+（y1）213已知 a=?12，blo?1312，clog213，则（）AabcBbcaCcbaDba c4已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80 记录为 60，另一个错将70 记录为 90

2、在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为?，方差为s2，则（）A?=70，s275B?=70，s2 75C?70，s275D?70，s2 755函数 f（x）Asin（x+）（A 0，0）的最小正周期为，其图象关于直线x=?3对称，则|的最小值为（）A?12B?6C5?6D5?126意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”，则（a1a3a22）+（a2a4a32）+（a3a5 a42）+（a2013a201

3、5 a20142）（）A1B0C1007D 10067已知变量x，y 满足?-?-?+?-?，则 z 2x+y 的取值范围为（）A2，2B（，2）C（，2D2，+）8 已知三个向量?，?，?共面，且均为单位向量，?=0，则|?+?-?|的取值范围是（）A?-1，?+1B1，?C?，?D?-1，19已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF2分别交双曲线C 左、右支于另一点M，N，|PF1|2|PF2|，且 MF2N60，则双曲线C 的离心率为（）A?B?C?D23310设 f（x）是定义在R 上

4、的偶函数，且当 x0 时，f（x）ex若对任意的x a，a+1，不等式 f（x+a）f2（x）恒成立，则实数a 的最大值是（）A-32B-23C-34D211已知 P，A，B，C 是半径为2 的球面上的点，O 为球心，PAPBPC2，ABC 90，则三棱锥OABC 体积的最大值是（）A?B1C12D 3412已知函数?(?)=?-?+1?-1，对于函数f（x）有下述四个结论：（1）函数 f（x）在其定义域上为增函数；（2）对于任意的a0，a1，都有?(?)=-?(1?)成立；（3）f（x）有且仅有两个零点；（4）若 f（x0）0，则 ylnx 在点（x0，lnx0）处的切线与yex在点(-?，

5、1?0)处的切线为同一直线其中所有正确的结论有（）A（1）（2）（3）B（1）（3）C（2）（3）（4）D（3）（4）二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13在（x1）（x+1）8的展开式中，x5的系数是14记 Sn为等差数列 an的前 n 项和若a10，a23a1，则?10?5=15已知点 A（0，1），B（1，0），C（t，0），点 D 是直线 AC 上的动点，若|?|2|?|恒成立，则最小正整数t16已知点F 是抛物线C：y22px（p0）的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于A，B两点（点A 在 x 轴上方），与y 轴的正半轴相交于点N，点 Q 是抛物线不同于A，B

6、的点，若 2?=?+?，则|BF|：|BA|：|BN|三、解答题：共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分17在 ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知?-2?=2?-?（1）求?的值；（2）若?=14，b2，求 ABC 的面积 S18四棱锥PABCD 的底面 ABCD 是边长为a 的菱形，PA面 ABCD，BAD 120，E，F 分别是 CD，PC 的中点（1）求证：平面AEF 平面 PAB；（2）M 是 PB 上的动点，EM 与平面 PAB

7、所成的最大角为45，求二面角FAED的余弦值19已知椭圆?24+y2 1，P 是椭圆的上顶点，过P 作斜率为k（k0）的直线 l 交椭圆于另一点 A，设点 A 关于原点的对称点为B（1）求 PAB 面积的最大值；（2）设线段 PB 的中垂线与y 轴交于点N，若点 N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围20设函数?(?)=?-?-?2（x R，实数 a 0，+），e2.71828是自然对数的底数，?=?.?）（）若f（x）0 在 x R 上恒成立，求实数a 的取值范围；（）若exlnx+m 对任意 x 0 恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.321某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现

8、有n（n N*）份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k（k N*且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0p1）（）假设有5 份血液样本，其中只有2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的

9、概率（）现取其中k（k N*且 k 2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2（）试运用概率统计的知识，若E1E2，试求 p 关于 k 的函数关系式pf（k）；（）若?=?-1?3，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln51.6094，ln61.7918（二）选考题：共10 分选考 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程?=?+?=?（为参数），以O 为极点，x轴的非负半

10、轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是2 sin（+?3）3?，射线 OM：=?3与圆 C 的交点为O、P，与直线 l 的交点为Q，求线段PQ 的长选考 4-5：不等式选讲23已知定义域在R 上的函数f（x）|x+1|+|x2|的最小值为a（1）求 a 的值；（2）若 p，q，r 为正实数，且p+q+r a，求证：p2+q2+r23参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x22x 30，Bx|log2x2，则集合AB（）Ax|1x 4Bx|0 x3Cx|0 x2D

11、x|0 x1【分析】解不等式求得集合A、B，根据交集的定义写出AB解：集合A x|x22x30 x|1 x3，B x|log2x 2x|0 x4，则集合 ABx|0 x3故选：B2设复数z 满足|z+i|1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A（x+1）2+y21B（x1）2+y21Cx2+（y+1）21Dx2+（y1）21【分析】设zx+yi（x，y R），代入|z+i|1，再由复数模的计算公式求解解：设 zx+yi（x，y R），由|z+i|1，得|x+（y+1）i|1，即?+(?+?)?=?，z 在复平面内对应的点的轨迹为x2+（y+1）21故选：C3已知 a=?12，blo?13

12、12，clog213，则（）AabcBbcaCcbaDba c【分析】分别判断a，b，c 的取值范围即可得到结论解：a=?12=?1，b lo?1312（0，1），clog2130，abc故选：A4已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80 记录为 60，另一个错将70 记录为 90在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为?，方差为s2，则（）A?=70，s275B?=70，s2 75C?70，s275D?70，s2 75【分析】根据题意，分析可得：数据更正前后，数据的总和不变，其波动变小了，结合平均数、方差的定义分析可

13、得结论解：根据题意，两个数据记录有误，一个错将80 记录为 60，另一个错将70 记录为 90，则这些数据的总和不变，则在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为?不变，即?=70，但数据的波动变小了，故s275；故选：A5函数 f（x）Asin（x+）（A 0，0）的最小正周期为，其图象关于直线x=?3对称，则|的最小值为（）A?12B?6C5?6D5?12【分析】利用正弦函数的周期性求得 的值，再利用它的图象的对称性，求得|的最小值解：函数f（x）Asin（x+）（A0，0）的最小正周期为2?=，2根据其图象关于直线x=?3对称，可得2?3+k+?2，k Z，即 k-?6，则|的最小

14、值为?6，故选：B6意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”，则（a1a3a22）+（a2a4a32）+（a3a5 a42）+（a2013a2015 a20142）（）A1B0C1007D 1006【分析】直接利用数列的关系式的应用求出关系式所表现的规律，进一步求出结果解：由于a1a3a221211，a2a4a321322 1，a3a5a4225321所以：（a1a3 a22）+（a2a4a32）+（a3a5a42

15、）+（a2013a2015a20142）1+（1）+1+（1）+11故选：A7已知变量x，y 满足?-?-?+?-?，则 z 2x+y 的取值范围为（）A2，2B（，2）C（，2D2，+）【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过 A 时，最大，从而得出目标函数z 2x+y 的取值范围解：画出变量x，y满足?-?-?+?-?表示的平面区域：将目标函数变形为z 2x+y，作出目标函数对应的直线，直线过 A（0，2）时，直线的纵截距最大，z最大，最大值为2；则目标函数z 2x+y 的取值范围是（，2故选：C8 已知三个向量?，?，?共面，且均为单位向量，?=0，

16、则|?+?-?|的取值范围是（）A?-1，?+1B1，?C?，?D?-1，1【分析】根据题意，可设?=（1，0），?=（0，1），?=（x，y），得|?+?-?|=(?-?)?+(?-?)?，结合图形求出它的最大、最小值解：三个向量?，?，?共面，且均为单位向量，?=0，可设?=（1，0），?=（0，1），?=（x，y），则?+?-?=（1x，1y），|?|=?+?=1；|?+?-?|=(?-?)?+(?-?)?=(?-?)?+(?-?)?，它表示单位圆上的点到定点P（1，1）的距离，其最大值是PN r+|OP|1+?，最小值是|OP|r=?-1，|?+?-?|的取值范围是?-1，?+1故选：

17、A9已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO，PF2分别交双曲线C 左、右支于另一点M，N，|PF1|2|PF2|，且 MF2N60，则双曲线C 的离心率为（）A?B?C?D233【分析】由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，可得|PF1|4a，|PF2|2a，由 MF2N60，可得 F1PF260，由余弦定理可得4c216a2+4a22?4a?2a?cos60，即可求出双曲线C 的离心率解：由题意，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a，M

18、F2N60，F1PF260，由余弦定理可得4c216a2+4a22?4a?2a?cos60，c=?a，e=?=?故选：B10设 f（x）是定义在R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）ex若对任意的x a，a+1，不等式 f（x+a）f2（x）恒成立，则实数a 的最大值是（）A-32B-23C-34D2【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为f（|x+a|）f2（|x|）恒成立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论解：f（x）是定义在R 上的偶函数，不等式f（x+a）f2（x）恒成立等价为f（|x+a|）f2（|x|）恒成立，当 x0 时，f（x）ex不等式等价为e|

19、x+a|（e|x|）2e2|x|恒成立，即|x+a|2|x|在a，a+1上恒成立，平方得 x2+2ax+a2 4x2，即 3x22axa20 在a，a+1上恒成立，设 g（x）3x2 2axa2，则满足?(?)?(?+?)?，?(?)=?-?-?(?+?)=?(?+?)?-?(?+?)-?，即?+?，a-34，故实数 a的最大值是-34故选：C11已知 P，A，B，C 是半径为2 的球面上的点，O 为球心，PAPBPC2，ABC 90，则三棱锥OABC 体积的最大值是（）A?B1C12D34【分析】P 到平面 ABC 上的射影 G 是 ABC 的外心，即 AC 中点，则球的球心在PG 的延长线

20、上，设PGh，则 OG2 h，由 OB2OG2PB2PG2，解得h1，从而AGCGBG=?，三棱锥OABC 体积取最大值时，BGAC，由此能求出三棱锥OABC 体积的最大值解：如图，P，A，B，C 是半径为2 的球面上的点，O 为球心，PAPBPC 2，ABC90，P 到平面 ABC 上的射影G 是 ABC 的外心，即AC 中点，则球的球心在PG 的延长线上，设PGh，则 OG 2 h，OB2OG2PB2PG2，4（2h）24h2，解得 h 1，AGCGBG=?，三棱锥OABC 体积取最大值时，BGAC，三棱锥OABC 体积的最大值为：V=13?=1312?=1故选：B12已知函数?(?)=?

21、-?+1?-1，对于函数f（x）有下述四个结论：（1）函数 f（x）在其定义域上为增函数；（2）对于任意的a0，a1，都有?(?)=-?(1?)成立；（3）f（x）有且仅有两个零点；（4）若 f（x0）0，则 ylnx 在点（x0，lnx0）处的切线与yex在点(-?，1?0)处的切线为同一直线其中所有正确的结论有（）A（1）（2）（3）B（1）（3）C（2）（3）（4）D（3）（4）【分析】求出函数的定义域，判断函数的单调性，函数的值判断等式是否成立，判断函数的零点个数，切线方程判断命题的真假即可解：函数?(?)=?-?+1?-1，定义域为：（0，1）（1，+）（1）f（x）lnx 1+2?

22、-1，f（x）=1?-2(?-1)2=?-(2-3)?-(2+3)?(?-1)，可得函数f（x）在（0，2-?），（2+?，+）上单调递增；在（2-?，1），（1，2+?）上单调递减因此函数f（x）在其定义域上为增函数，不正确；（2）对于任意的a0，a1，f（1?）（ln1?-1?+11?-1）lna-1+?-1=f（a），因此：对于任意的a 0，a1，都有?(?)=-?(1?)成立；正确（3）如图所示，分别画出函数ylnx，y=?+1?-1的图象 f（x）有且仅有两个零点，正确；（4）若 f（x0）0，即 lnx01+2?0-1，ylnx 的导数为：y=1?，在点（x0，lnx0）处的切线的

23、斜率为：1?0，所以切线方程为：ylnx0=1?0（x x0）=1?0?-?，即 y1-2?0-1=1?0?-?，即 y-2?0-1=1?0?，与 yex的导数为：y ex，在点(-?，1?0)处的切线的斜率为：1?0，切线方程为：?-1?0=1?0（x+lnx0），即 y=1?0 x+1?0（1+?0+1?0-1）=1?0 x+2?0-1，为同一直线所以（4）正确；故选：C二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13在（x1）（x+1）8的展开式中，x5的系数是14【分析】将求 x5的系数问题转化为二项式（x+1）8的展开式的x4的系数减去x5的系数，即可求出展开式中x5的系

24、数解：（x1）（x+1）8x（x+1）8（x+1）8（x 1）（x+1）8展开式中x5的系数等于（x+1）8展开式的x4的系数减去x5的系数，（x+1）8展开式的通项为?+?=?展开式中x5的系数是C84 C8514，故答案为：1414记 Sn为等差数列 an的前 n 项和若a10，a23a1，则?10?5=4【分析】根据a23a1，可得公差d2a1，然后利用等差数列的前n 项和公式将?10?5用 a1表示，化简即可解：设等差数列an的公差为d，则由 a10，a23a1可得，d2a1，?10?5=10(?1+?10)5(?1+?5)=2(2?1+9?)2?1+4?=2(2?1+18?1)2?1

25、+8?1=?，故答案为：415已知点 A（0，1），B（1，0），C（t，0），点 D 是直线 AC 上的动点，若|?|2|?|恒成立，则最小正整数t4【分析】先设出D（x，y），得到 AD 的方程为：x+ty t0，由|?|2|?|得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，求出t 的最小值即可解：设 D（x，y），由 D 在 AC 上，得：?+y1，即 x+tyt0，由|?|2|?|，得：（x-43）2+（y+13）289，依题意，线段AD 与圆（x-43）2+（y+13）2=89，至多有一个公共点，|43-43?|1+?289，解得：t2+?，或 t2-?，t 是使|?|2|?|恒成立的最小正

26、整数，t4，故答案为：416已知点F 是抛物线C：y22px（p0）的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于A，B两点（点A 在 x 轴上方），与y 轴的正半轴相交于点N，点 Q 是抛物线不同于A，B 的点，若 2?=?+?，则|BF|：|BA|：|BN|2：3：4【分析】点 F(?2，?)，设直线 AB 的方程为?=?(?-?2)，所以点 N（?，-?2），由 2?=?+?可知点 A 是线段 NF 的中点，所以点A（?4，-?4），联立直线AB 与抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可知，?=?24，xBp，然后利用抛物线的定义逐一用含有p 的式子表示出线段|BF|、|B

27、A|和|BN|的长，即可得解解：由题可知，点F(?2，?)，设直线AB 的方程为?=?(?-?2)，令 x0，则 y=-?2，点 N（?，-?2），2?=?+?，点 A 是线段 NF 的中点，点A（?4，-?4），联立?=?=?(?-?2)，得?-(?+?)?+?2?24=?，?=?24，?=?244?=?，由抛物线的定义可知，|BF|=?+?2=?+?2=32?，|BA|=?+?+?=?4+?+?=94?，|BN|BA|+|AN|BA|+|AF|=94?+?4+?2=?，|BF|：|BA|：|BN|=32?：94?：?=?：?：?故答案为：2：3：4三、解答题：共 70 分.解答题应写出文字

28、说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分17在 ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知?-2?=2?-?（1）求?的值；（2）若?=14，b2，求 ABC 的面积 S【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式，诱导公式化简可得sinC 2sinA，再结合正弦定理即可求解；（2）由已知结合余弦定理可求a，c，然后结合三角形的面积公式即可求解解：（1）由正弦定理可得，?-2?=2?-?=2?-?，整理可得，sinBcosA+sinAcosB2sinCcosB+2sinBcosC

29、，所以 sin（A+B）2sin（B+C），即 sinC 2sinA由正弦定理可得，?=?=2，（2）由余弦定理可得，?=14=?2+4?2-44?2，解可得，a1，c 2，b2，又因为 sinB=?-?=154，所以 ABC 的面积 S=12?=12?154=15418四棱锥PABCD 的底面 ABCD 是边长为a 的菱形，PA面 ABCD，BAD 120，E，F 分别是 CD，PC 的中点（1）求证：平面AEF 平面 PAB；（2）M 是 PB 上的动点，EM 与平面 PAB 所成的最大角为45，求二面角FAED的余弦值【分析】（1）先判断RtADE，AEED，得到 AE平面 PAB，再根

30、据面面垂直的判定定理，证明出即可；（2）连接 AM，则 AME 为直线 EM 与平面 PAB 所成的角，根据题意得到AEAM，求出 PA，以 AB，AE，AP 分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF 的法向量和平面ADE 的法向量，再利用夹角公式求出二面角的余弦值即可解：（1）证明：底面ABCD 是边长为a 的菱形，BAD 120，故 ADE 60，DE=12?，AD a，由 AE2AD2+DE22AD?DE cos60 a2+14?-2a?12?12=34?，所以 AE2+DE2AD2，故 Rt ADE，AEED，又 ABCD，所以 AEAB，又 PA平面 ABCD，AE?平

31、面 ABCD，所以 AEPA，又 ABPAA，所以 AE平面 PAB，又 AE?平面 AEF，故平面 AEF 平面 PAB；（2）连接 AM，则由（1）知，AE平面 PAB，则 AME 为直线 EM 与平面 PAB 所成的角，在 Rt AME 中，tan AME=?，当 AM 最小时，即AM PB 时，AME 取得最大值45，此时 AEAM，设 PAx，则由 PA?ABPB?AM 得，ax=32?+?，解得?=?，根据题意，以AB，AE，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 B（a，0，0），E（0，32?，0），C（?2，32?，0），P（0，0，?），F（?4，3?4，3?2

32、），?=(?，32?，?)，?=(?4，3?4，3?2)，设平面 AEF 的法向量为?=(?，?，?)，由?=32?=?=?4?+32?+32?=?，得?=(-?，?，?)，又平面 AED 的法向量为?=(?，?，?)，由 cos?，?=-23?0+0+113=1313，因为二面角FAED 为钝角，所以二面角FAED 的余弦值为-131319已知椭圆?24+y2 1，P 是椭圆的上顶点，过P 作斜率为k（k0）的直线 l 交椭圆于另一点 A，设点 A 关于原点的对称点为B（1）求 PAB 面积的最大值；（2）设线段 PB 的中垂线与y 轴交于点N，若点 N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围【分

33、析】（1）由题意设直线PA 的方程代入椭圆中，求出A 的坐标，进而由题意得B的坐标，PAB 面积等于12|OP|xAxB|，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值；（2）由（1）得，线段PB 的中垂线过PB 的中点，斜率是PB 的斜率的负倒数，写出中垂线的方程，令x 等于 0 得出 y 值，在椭圆内部，纵坐标的绝对值小于1，可求得k 的取值范围，注意k 不为零解：（1）由题意设直线l 的方程：y kx+1，代入抛物线方程整理得：（1+4k2）x2+8kx0，所以 x=-8?1+4?2，所以 y=1-4?21+4?2所以 A 的坐标（-8?1+4?2，1-4?21+4?2），由题意得B 的

34、坐标（8?1+4?2，4?2-11+4?2），所以三角形PAB 的面积 S=12|OP|?|xAxB|=12|16?1+4?2|因为 k0，所以 SPAB8?|14?+1?|8?12 4=2（当且仅当k=12时取到等号），所以 PAB 面积的最大值为：2；（2）由（1）得：kPB=4?2-11+4?2-18?1+4?2=-14?，且 PB 的中点坐标（4?1+4?2，4?21+4?2），所以线段PB 的中垂线方程为：y-4?21+4?2=4k（x-4?1+4?2），令 x0，得 y=-12?21+4?2，由题意得|y|1，所以12?21+4?21，解得：8k21，所以：-24?24，且 k0，

35、所以斜率的取值范围为（-24，0）（0，24）20设函数?(?)=?-?-?2（x 一、选择题，实数a 0，+），e2.71828是自然对数的底数，?=?.?）（）若f（x）0 在 x R 上恒成立，求实数a 的取值范围；（）若exlnx+m 对任意 x 0 恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3【分析】（）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决；（）构造函数设?(?)=?+?2-?(?)，利用导数求出函数的最值，即可证明解：（）?(?)=?-?-?2，f（x）0 在 x R 上恒成立，a?+12，设 h（x）=?+12，h（x）=?(?-12)(?+12)2，令 h（x）

36、0，解得 x=12，当 x12，即 h（x）0，函数单调递增，当 x12，即 h（x）0，函数单调递减，h（x）minh（12）=?，0a?，故 a 的取值范围为?，?；（）设?(?)=?+?2-?(?)，?(?)=?-1?(?)，g（x）0，可得?1?；g（x）0，可得?1?g（x）在（1?，+）上单调递增；在(?，1?)上单调递减g（x）g（1?）=3+?2，?=?.?，?1.6，g（x）2.3由（）可得ex?x+?2，exlnx 的最小值大于2.3，故若 exlnx+m 对任意 x0 恒成立，则m 的最大值一定大于2.321某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n N*）

37、份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k（k N*且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0p1）（）假设有5 份血液样本，其中只有2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率（）现取其中

38、k（k N*且 k 2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2（）试运用概率统计的知识，若E1E2，试求 p 关于 k 的函数关系式pf（k）；（）若?=?-1?3，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln51.6094，ln61.7918【分析】（）利用古典概率计算公式即可得出（）（）由已知得E1k，2的所有可能取值为1，k+1 可得?(?=?)=(?-?)?，?(?=?+?)=?-(?-?)?，即可得

39、出期望根据E1E2，解得 k（）由题意可知E2E1，得1?(?-?)?，?=?-1?3，1?(1?3)?，可得?13?，设?(?)=?-13?(?)，利用导数研究其单调性即可得出解：（）P=?21?31?32?54=310，恰好经过4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为310?（）（）由已知得E1k，2的所有可能取值为1，k+1?(?=?)=(?-?)?，?(?=?+?)=?-(?-?)?，?=(?-?)?+(?+?)?-(?-?)?=k+1k（1p）k若 E1E2，则 kk+1k（1p）k，k（1p）k 1(?-?)?=1?-?=(1?)1?=?-(1?)1?p 关于 k 的函数关系式

40、?=?-(1?)1?（k N*且 k2）（）由题意可知E2E1，得1?(?-?)?，?=?-1?3，1?(1?3)?，?13?，设?(?)=?-13?(?)?，当 x3 时，f（x）0，即 f（x）在（3，+）上单调递减，又 ln41.3863，43?.?，?43，ln51.6094，53?.?，?53k 的最大值为4（二）选考题：共10 分选考 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程?=?+?=?（为参数），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是2 sin（+?3）3?，射线 OM：=?3与圆

41、 C 的交点为O、P，与直线 l 的交点为Q，求线段PQ 的长【分析】解：（I）利用 cos2+sin2 1，即可把圆C 的参数方程化为直角坐标方程（II）设（1，1）为点 P 的极坐标，由?=?=?3，联立即可解得设（2，2）为点 Q 的极坐标，同理可解得利用|PQ|12|即可得出解：（I）利用cos2+sin2 1，把圆C 的参数方程?=?+?=?(?为参数）化为（x1）2+y21，22 cos 0，即 2cos（II）设（1，1）为点 P 的极坐标，由?=?=?3，解得?=?=?3设（2，2）为点 Q 的极坐标，由?(?+?)=?=?3，解得?=?=?312，|PQ|12|2|PQ|2选

42、考 4-5：不等式选讲23已知定义域在R 上的函数f（x）|x+1|+|x2|的最小值为a（1）求 a 的值；（2）若 p，q，r 为正实数，且p+q+r a，求证：p2+q2+r23【分析】（1）由绝对值不等式|a|+|b|ab|，当且仅当ab0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）（ad+be+cf）2，即可证得【解答】（1）解：|x+1|+|x 2|（x+1）（x2）|3，当且仅当 1x2 时，等号成立，f（x）的最小值为3，即 a3；（2）证明：由（1）知，p+q+r 3，又 p，q，r 为正实数，由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）（p1+q1+r1）2（p+q+r）2329，即 p2+q2+r23