2020年广东省深圳外国语学校高考(文科)数学综合能力测试试卷(解析版).pdf

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1、2020 年深圳外国语学校高考数学综合能力测试试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1已知集合Ax|x22x 30，Bx|，则 AB（）A1，1B1，2）C2，1D1，2）2已知复数z 满足 z+|z|9+3i，则在复平面内，复数z 所对应的点位于第（）象限A一B二C三D四3平面向量与的夹角为60，且|3，为单位向量，则|+2|（）ABC19D24已知圆C：x2+y210y+210 与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）ABCD5某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得

2、到如图饼图：则下面结论中正确的是（）A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了1%C新农村建设后，养殖收入没有增加D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若，则 S3（）ABCD67海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：S，p；它的特点是形式漂亮，便于记忆中国宋代的数学家秦九韶在1247 年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦秦九韶公式现在有周长为10+2的 ABC 满足 sinA：sinB：sinC

3、2：3：，则用以上给出的公式求得ABC的面积为（）ABCD128函数 f（x）（x）的图象大致为（）ABCD9 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ba（cosC+sinC），a2，c，则角 C（）ABCD10 设函数，则使得 f（2x）+f（4x3）0 成立的 x 的取值范围是（）A（1，1）BCD11已知函数，则下列结论正确的是（）A存在，使得 f（x）1 成立B存在，使得 f（x）0 成立C存在 m0，使得 f（x）在（0，m）上单调递减D若存在x0，使得 f（x）1，则必有12在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1中，ACBD O，E 是线段 B1C（含端

4、点）上的一动点，则：OEBD1；OE面 A1C1D；三棱锥 A1BDE 的体积不是定值；OE 与 A1C1所成的最大角为90上述命题中正确的个数是（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.13已知一组数1，2，m，6，7 的平均数为4，则这组数的方差为14已知 x，y 满足，且 z2x|y|的最大值等于15已知函数f（x）exax 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为16已知 F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过点F2且斜率为 k（k0）的直线l 与双曲线的右支交于A，B 两点，AF1F2的内切圆圆心为O1，半径为 r1，BF1F2

5、的内切圆圆心为O2，半径为r2，则直线O1O2的方程为：；若 r13r2，则 k三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 S32a31，（1）求 an的通项公式；（2）记 bnlog2（an?an+1），求数列 bn的前 n 项和为 Tn18如图，三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形，平面 ABC 平面 BCGF，CB2GF 2，BFCF（）求证：ABCG；（）若四边形BCGF 的面积等于，求三棱锥BACE 的体积19十九大报告要求，确保到2020 年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽，解决区域性整体贫困，做到脱真贫、真

6、脱贫某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案：方案一：每台机器售价7000 元，三年内可免费保养2 次，超过2 次每次收取保养费200元；方案二：每台机器售价7050 元，三年内可免费保养3 次，超过3 次每次收取保养费100元扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了50 台这种机器在三年使用期内保养的次数，得表：保养次数012345台数110191442记 x 表示 1 台机器在三年使用期内的保养次数（1）用样本估

7、计总体的思想，求“x 不超过 3”的概率；（2）按照两种销售方案，分别计算这50 台机器三年使用期内的总费用（总费用售价+保养费），以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销售方案购买机器更合算？20已知函数f（x）x+aex+b（a，b R），g（x）x2+（a+1）x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设 h（x）xf（x），当 x0，a1 时，证明：g（x）h（x）21在平面直角坐标系xOy 中，已知 Q（3，2），F（3，0），动点 P 满足|3|（1）求动点 P 的轨迹 E 的方程；（2）若点 M 为（1）中轨迹 E 上一动点，A（a，0）（a0），直线 MA 与 E 的另

8、一个交点为 N；记，若 t 值与点 M 位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”是否存在“稳定点”？若存在，求出该点；若不存在，请说明理由请考生在第22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 4cos（1）求直线 l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求线段A

9、B 的中点 P 到坐标原点O 的距离选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|1x|的最大值为M，（）求M 的值；（）已知a，b，c 为正数，且a+b+cM，证明：?8参考答案一选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合Ax|x22x 30，Bx|，则 AB（）A1，1B1，2）C2，1D1，2）【分析】分别求解二次不等式和分式不等式化简集合A，B，然后直接利用交集运算得答案解：集合 Ax|x22x30（，1 3，+），Bx|2，2），则 AB 2，1，故选：C2已知复数z 满足 z+|z|9+3i，则在复平

10、面内，复数z 所对应的点位于第（）象限A一B二C三D四【分析】设za+bi，根据条件求出a，b即可得到结论解：设复数za+bi（a，b R），则 z+|z|a+bi+（a+）+bi 9+3i，b3且 a+9，故 a4，即 z4+3i 对应的点为（4，3）位于第一象限故选：A3平面向量与的夹角为60，且|3，为单位向量，则|+2|（）ABC19D2【分析】由|+2|，带值计算即可解：平面向量与的夹角为60，且|3，为单位向量，即|1，由|+2|故选：B4已知圆C：x2+y210y+210 与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）ABCD【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切

11、线的距离dr，列方程求出离心率e的值解：双曲线1 的渐近线方程为bxay0，圆 C：x2+y210y+210 化为标准方程是：x2+（y5）24，则圆心 C（0，5）到直线bxay0 的距离为dr；即2，解得，即双曲线的离心率是e故选：C5某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的是（）A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了1%C新农村建设后，养殖收入没有增加D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【分析】设

12、建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2aA 项，种植收入37%2a60%a14%a0，故建设后，种植收入增加，故A 项错误B 项，建设后，其他收入为5%2a10%a，建设前，其他收入为4%a，故 10%a4%a6%1%，故 B 项错误C 项，建设后，养殖收入为30%2a60%a，建设前，养殖收入为30%a，60%a30%a，故 C 项错误D 项，新农村建设后，第三产业收入为28%2a56%50%，故 D 正确故选：D6已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若，则 S3（）ABCD6【分

13、析】首先利用等比数列的定义求出公比，进一步求出数列的和解：设等比数列an的公比为q，由于，则，所以，由于，所以，解得，所以当时，解得q，所以，所以当时，解得，所以，故：故选：A7海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：S，p；它的特点是形式漂亮，便于记忆中国宋代的数学家秦九韶在1247 年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦秦九韶公式现在有周长为10+2的 ABC 满足 sinA：sinB：sinC2：3：，则用以上给出的公式求得ABC的面积为（）ABCD12【分析】由正弦定理得三角

14、形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可解：sinA：sinB：sinC2：3：，a：b：c2：3：，ABC 周长为 10+2，即 a+b+c10+2，a4，b6，c 2，p5+，ABC 的面积 S6故选：C8函数 f（x）（x）的图象大致为（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性排除选项B，通过特殊点的位置排除选项D，利用特殊值的大小，判断选项即可解：函数是奇函数，排除选项B；x时，y0，排除选项D，x时，y，所以排除选项C故选：A9 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ba（cosC+sinC），a2，c，则角 C（）ABCD【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角

15、三角函数基本关系式化简已知等式tanA，结合范围A（0，），可求 sinA 的值，进而根据正弦定理可得sinC 的值，结合大边对大角可求C 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解解：ba（cosC+sinC），由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinA，又 sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC，可得：sinA cosA，可得：tanA，A（0，），A，可得：sinA，又 a2，c，由正弦定理可得：sinC，c a，C 为锐角，C故选：D10 设函数，则使得 f（2x）+f（4x3）0 成立的 x 的取值范围是（）A（1，1）BCD【分析】根据函数奇偶性和单

16、调性之间的关系，即可得到结论解：由0，可得 2x2，因为，所以 f（x）lnx3 lnx3 f（x），故 f（x）为奇函数，由于 y 1在（2，2）上单调递增，根据复合函数的单调性可知，在（2，2）上单调递增，由 f（2x）+f（4x 3）0 可得 f（2x）f（4x3）f（34x），所以 22x34x 2，解得故选：B11已知函数，则下列结论正确的是（）A存在，使得 f（x）1 成立B存在，使得 f（x）0 成立C存在 m0，使得 f（x）在（0，m）上单调递减D若存在x0，使得 f（x）1，则必有【分析】由f（0），解得 ，进而得f（x）sin（x+），再由三角函数性质，逐个加以判断即可得

17、出答案解：因为f（0），且|所以 sin，得 ，所以 f（x）sin（x+），A若 f（x）1，则 sin（x+）1，所以 x+2k，k Z，x，k Z，所以当 k0 时，x最小正数，因为 （0，）时，（，+），故A 错，D 正确B若 f（x）0，则 sin（x+）0，所以 x+k，k Z，x+，k Z，所以当 k1 时，x最小正数，因为 （0，）时，（，+），故B 错，C若 f（x）单调递减，则+2k x+2k，k Z，+x+，k Z，当 k0 时，x，当 k 1 时，x，所以不存在m0，使得 f（x）在（0，m）上单调递减故C 错，故选：D12在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1

18、中，ACBD O，E 是线段 B1C（含端点）上的一动点，则：OEBD1；OE面A1C1D；三棱锥 A1BDE 的体积不是定值；OE 与 A1C1所成的最大角为90上述命题中正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】利用直线与与平面平行，垂直判定定理性质定理，逐一加以判定即可解：利用 BD1平面 AB1C，OE?平面 AB1C，可得 OEBD1，正确 利用平面AB1C平面 A1C1D，OE?平面 AB1C，可得 OE平面 A1C1D，正确 连接 A1B，BE，DE，A1E，VV，底面为定值，B1CA1D，B1C 不在平面A1BD 内，A1D?平面 A1BD，所以 B1C平面 A1BD，所以 B1

19、C 上的 E 到平面 A1BD 为定值，所以三棱锥A1BDE 的体积为定值，错误，E 在 B1处，OE 与 A1C1所成角的最大角为90，正确故选：C二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.13已知一组数1，2，m，6，7 的平均数为4，则这组数的方差为【分析】根据平均数的定义求出m 的值，再计算这组数的方差解：数据1，2，m，6，7 的平均数为4，则（1+2+m+6+7）4，解得 m4，所以这组数的方差为s2（14）2+（24）2+（44）2+（64）2+（74）2故答案为：14已知 x，y 满足，且 z2x|y|的最大值等于1【分析】作出不等式组对应的平面

20、区域，利用z的几何意义进行求解即可解：作出x，y 满足对应的平面区域如图：z2x|y|，由可行域可知y 0，得 y2x z表示，斜率为2 纵截距为 z 的一组平行直线，平移直线y2xz，当直线y2xz 经过点 B 时，直线y 2xz 的截距最小，此时z最大，解得 B（1，1）此时 zmax211故答案为：115已知函数f（x）exax 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（，0）e【分析】函数f（x）ex ax 有且只有一个零点可转化为函数yex与 y ax 的图象有且只有一个交点；作函数图象可知，分相切与不相切讨论即可解：函数f（x）exax 有且只有一个零点，函数 yex与 yax 的

21、图象有且只有一个交点，作函数 yex与 yax 的图象如下，结合图象知，当a0 时成立，当 a0 时，相切时成立，故（ex）ex；故 x1；故 ae；综上所述，实数a 的取值范围为（，0）e故答案为：（，0）e16已知 F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过点F2且斜率为 k（k0）的直线l 与双曲线的右支交于A，B 两点，AF1F2的内切圆圆心为O1，半径为 r1，BF1F2的内切圆圆心为O2，半径为r2，则直线O1O2的方程为：xa；若 r13r2，则 k【分析】利用平面几何图形的性质及双曲线定义可得AF1F2的内切圆圆心为O1与BF1F2的内切圆圆心为O2的横坐标相等则直线O1O2的

22、方程为 xa；在 O1EF2，O2EF2中，运用解直角三角形知识及正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率解：AF1F2的内切圆圆心为O1，边 AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，则|AM|AN|，|F1M|F1E|，|F2N|F2E|，由|AF1|AF2|2a，得|AM|+|MF1|（|AN|+|NF2|）2a，则|MF1|NF2|2a，即|F1E|F2E|2a，记 O1的横坐标为x0，则 E（x0，0），于是 x0+c（cx0）2a，得 x0 a，同理可得内心O2的横坐标也为a，则有直线O1O2的方程为xa；设直线 l 的倾斜角为，则 OF2O2，O1F2O90，在

23、O1EF2中，tanO1F2Otan（90），在 O2EF2中，tanO2F2Otan，由 r13r2，可得 3tantan（90）cot，解得 tan，则直线的斜率为tan k故答案为：a；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 S32a31，（1）求 an的通项公式；（2）记 bnlog2（an?an+1），求数列 bn的前 n 项和为 Tn【分析】（1）判断数列是等比数列，求出通项公式（2）化简数列的通项公式，然后求解数列的和解：（1）由可知数列 an是公比为2 的等比数列，所以q2又因为 S32a31，所以 a1+2a1+4a1

24、8a11，所以 a11所以数列 an的通项公式为（2）由（1）知，所以18如图，三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形，平面 ABC 平面 BCGF，CB2GF 2，BFCF（）求证：ABCG；（）若四边形BCGF 的面积等于，求三棱锥BACE 的体积【分析】（）取BC 的中点为D，连结DF，推导出四边形CDFG 为平行四边形，从而得到 CGDF，再推导出CG平面 ABC，由此能证明CG AB；（）CG平面ABC，三棱锥BACE的体积为解：（）证明：取BC 的中点为D，连结 DF 由 ABC EFG 是三棱台得，平面ABC 平面 EFG，BCFG CB 2GF，四边形CDFG 为平行四边形，C

25、GDF BF CF，D 为 BC 的中点，DF BC，CGBC平面 ABC平面 BCGF，且交线为BC，CG?平面 BCGF，CG平面 ABC，而 AB?平面 ABC，CGAB（）由（）知，CG平面 ABC直角梯形BCGF 的面积等于，三棱锥B ACE 的体积为VBACE VEABCVGABC19十九大报告要求，确保到2020 年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽，解决区域性整体贫困，做到脱真贫、真脱贫某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰农机机器制造商对购买该机器的

26、客户推出了两种销售方案：方案一：每台机器售价7000 元，三年内可免费保养2 次，超过2 次每次收取保养费200元；方案二：每台机器售价7050 元，三年内可免费保养3 次，超过3 次每次收取保养费100元扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了50 台这种机器在三年使用期内保养的次数，得表：保养次数012345台数110191442记 x 表示 1 台机器在三年使用期内的保养次数（1）用样本估计总体的思想，求“x 不超过 3”的概率；（2）按照两种销售方案，分别计算这50 台机器三年使用期内的总费用（总费用售价+保养费），以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销

27、售方案购买机器更合算？【分析】（1）从表中可以看出50 台机器维修次数不超过3 次的台数共44 台，由此能求出“x 不超过 3”的概率（2）在方案一中，求出这 50 台机器售价和保养总费用为355600 元从而每年每台平均费用为元在方案二中，求出这50 台机器售价和保养总费用为353300 元从而每年每台平均费用为元由此求出扶贫办应选择第二种方案更合算解：（1）从上表中可以看出50 台机器维修次数不超过3 次的台数共44 台，故“x 不超过 3”的概率为（2）在方案一中，这50 台机器售价和保养总费用为：507000+14200+42002+22003355600（元）所以每年每台平均费用为元

28、在方案二中，这 50 台机器售价和保养总费用为507050+4100+2002353300（元）所以每年每台平均费用为元因为，所以扶贫办应选择第二种方案更合算20已知函数f（x）x+aex+b（a，b R），g（x）x2+（a+1）x（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设 h（x）xf（x），当 x0，a1 时，证明：g（x）h（x）【分析】（1）对函数f（x）求导，分a0 及 a0 讨论即可得出单调性情况；（2）令 F（x）g（x）h（x），利用导数可知当x0 时，H（x）H（0）0，即x+aaex0，进而可得x0 可得 F（x）x（x+a aex）0，由此得证解：（1）f（x）1+aex

29、，当 a 0 时，f（x）0，则函数f（x）在（，+）上为增函数，当 a0 时，由 f（x）0 可得，由 f（x）0 可得，则函数 f（x）在上为增函数，在上为减函数；（2）证明：令F（x）g（x）h（x）x2+ax axexx（x+aaex），令 H（x）x+aaex，则 H（x）1aex，x0，0ex1，又 a1，1aex1ex0，H（x）在（，0）上为增函数，则H（x）H（0）0，即 x+aaex0，由 x0 可得 F（x）x（x+aaex）0，所以 x2+（a+1）xxf（x），即得证21在平面直角坐标系xOy 中，已知 Q（3，2），F（3，0），动点 P 满足|3|（1）求动点 P

30、 的轨迹 E 的方程；（2）若点 M 为（1）中轨迹 E 上一动点，A（a，0）（a0），直线 MA 与 E 的另一个交点为 N；记，若 t 值与点 M 位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”是否存在“稳定点”？若存在，求出该点；若不存在，请说明理由【分析】（1）设 P 的坐标，由题意可得向量，的坐标表示，再由P 满足的条件可得P 的轨迹方程；（2）设直线 MN 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，及判别式大于0 所得的参数的关系，分 a 的正负讨论，a0 时 t2?（1），不论a 为何值，t 与 m 都有关系，A 不是“稳定点”，当a 0 时，t2?（1+），所以当10，t 与 m 无

31、关，所以A 为“稳定点”解：（1），由满足|3|可知：，化简得y212x，即动点 P 的轨迹 E 的方程为：y212x；（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN 的方程为xmy+a，联立，整理可得y212my12a0 144m2+48a0，即 3m2+a 0，y1+y212m，y1y2 12a由对称性，不妨设m0 当 a0 时，y1y2 12a0，y1y2同号，又 t+（|+|），t2?（1），不论 a 取何值，t 均与 m 有关，即a0 时，A 不是“稳定点”当 a0 时，y1y2 12a0，y1y2异号又 t+（|+|），t2?（1+），当且仅当10，即 a3 时，t 与

32、m 无关，此时的点A（3，0）为“稳定点”请考生在第22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 4cos（1）求直线 l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求线段AB 的中点 P 到坐标原点O 的距离【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极

33、坐标方程之间进行转换（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果解：（1）直线 l 的参数方程为（t 为参数），将 t2y 代入，整理得，所以直线l 的普通方程为由 4cos得 24 cos，将 2x2+y2，cos x 代入 2 4 cos，得 x2+y24x0，即曲线 C 的直角坐标方程为（x2）2+y24（2）设 A，B 的参数分别为t1，t2将直线 l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：，化简得，由韦达定理得：，于是设 P（x0，y0），则则所以点 P 到原点 O 的距离为选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|1x|的最大值为M，（）求M 的值；（）已知a，b，c 为正数，且a+b+cM，证明：?8【分析】（）利用绝对值的几何意义，求解最大值，推出M 即可（）利用基本不等式，通过综合法证明即可【解答】（）解：函数f（x）|x+1|1 x|x+1+1x|2，所以 M2（）证明：由a，b，c 为正数，且a+b+c 2，同理，则?8，即：?8 当且仅当 abc时等号成立