【最新】2019-2020学年黑龙江省鸡西市第一中学高一下学期期末考试数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页2019-2020 学年黑龙江省鸡西市第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1已知集合|3Ax yx，2|760Bx xx，则()RC AB（）A|1 3xxB|1 6xxC|13xxD|16xx【答案】A【解析】要使根式有意义，则需30 x，可求集合A，再求RC A，解二次不等式2760 xx，可求得集合B，从而求得()RC AB即可.【详解】解：|3Ax yx=|30 x x=|3x x，即|3RC Ax x，又2|760Bx xx=|(1)(6)0 xxx=|16xx，即()RC AB|1 3xx，故选 A.【点睛】本题考查了含根式函数的定义域的求法及二次不

2、等式的解法，重点考查了集合的混合运算，属基础题.2直线1l，2l分别过点(1,4)M，(3,1)N，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是（）A5 B 4 C13D3【答案】A【解析】根据题意画出图像，根据图像分析可得直线1l，2l之间的距离的最大值为MN，即可得出结果.【详解】解：根据题意画出图像，如图所示：第 2 页 共 21 页根据图像可得：当12ll/，且1lMN，2lMN时，1l与2l之间的距离为MN；当12ll/，但是1l与MN不垂直，2l与MN不垂直时，过M点向2l引垂线，垂足为P，则1l与2l之间的距离为MP；因为MNMP，所以22max1341

3、5dMN.故选：A.【点睛】本题主要考查数形结合的思想和两平行线间的距离，属于中档题.3 已知数列na为等差数列，若27,aa为函数2914fxxx的两个零点，则45a a（）A14B20C14D9【答案】B【解析】由27,aa为函数2914fxxx的两个零点，求出27,aa的值，从而可求出等差数列na的通项，进而可得45a a的值.【详解】解：因为27,aa为函数2914fxxx的两个零点，所以272,7aa或277,2aa，当272,7aa时，727(2)1725aad，所以2(2)2(2)(1)naandnn，所以454(5)20a a；第 3 页 共 21 页当277,2aa时，722

4、(7)1725aad，所以2(2)7(2)9naandnn，所以45(49)(59)20a a，综上45=20a a.故选：B【点睛】此题考查等差数列的通项公式，属于基础题.4已知向量415 2ab，且abmab，则m（）A1 B1C75D75【答案】C【解析】先求得,ab mab，结合abmab列方程，解方程求得m.【详解】依题意1,1,4,5,245,2abmabmmmm，由于abmab，所以1,145,20mm，即542750mmm，解得75m.故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.5已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若/mn，n，m

5、，则；若，m，nm，则n或n；若 m，/nm，n，n，则/n且/n；若m，mn，n，则/或；其中正确命题的序号是（）第 4 页 共 21 页ABCD【答案】D【解析】对于，根据平面与平面垂直的判定定理可知该命题正确；对于，只有当n或n时，才能得出该命题正确；对于，根据直线与平面平行的判定定理可知该命题正确；对于，与还有可能相交但不垂直.【详解】对于，由/mn，n，得m，又m，所以，故正确；对于，若，m，nm，则当n时，可得n；当n时，可得n；当n且n时，n与和都不垂直，故不正确；对于，根据直线与平面平行的判定定理可知，若 m，/nm，n，n，则/n且/n是正确的；对于，若m，mn，n，则/或或

6、与相交但不垂直，故不正确，故选：D.【点睛】本题考查了空间直线、平面的位置关系，属于基础题.6已知直线:3210pxy，直线:(1)0q axby，且pq，若,a b均为正数，则23ab的最小值是（）A253B83C8 D24【答案】A【解析】先由pq得23(1)ab，即213ab，因此23ab可化为232323ababab，化简后，再利用基本不等式即可求出其最小值.【详解】解：因为直线:3210pxy，直线:(1)0q axby，且pq，所以23(1)ab，即213ab，因为,a b均为正数，第 5 页 共 21 页所以23232422333ababababab，13223baab13221

7、3252=+4=333baab，当且仅当22baab，即35ab时取等号，所以23ab的最小值为253，故选：A【点睛】此题考查了两直线的位置关系，利用基本不等式求最值，属于中档题.7已知01a，实数,x y满足xyaa，则下列不等式一定成立的是（）A11xyxyB33xyCsinsinxyD22ln1ln1xy【答案】B【解析】由条件得xy，然后根据不等式的性质分别进行判断即可【详解】解：因为01a且xyaa，所以xy，对于 A，当1y，0.1x，满足xy，当11xyxx不成立，故A 错误；对于 B，函数3yx是增函数，由xy，所以33xy，故 B 正确；对于 C，当y，0 x，满足xy，但

8、sinsinxy不成立，故C 错误；对于 D，1y，1x，满足xy，22ln1ln1xy不成立，故选：B【点睛】本题主要考查不等式与不等式关系的判断，结合条件利用排除法是解决本题的关键，属第 6 页 共 21 页于基础题8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长的棱长度是（）A2B6C4 D3【答案】D【解析】根据三视图还原原图，并计算出最长的棱长.【详解】根据三视图画出原图如下图所示几何体EABCD，由三视图可知3,2ABCDADBC，1EF，且EF平面ABCD，所以,EFFD EFFC EFFA EFFB，所以22112ED，22215EC，2221126EA，2221223EB，所以最

9、长的棱长为3.故选：D【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，属于基础题.9九章算术 第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”如：甲、乙、丙、丁分别分得100,60,36,21.6，递减的比例为0400，那么“衰分比”就等于0400，今共有粮0a a石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得36石，乙、丁所第 7 页 共 21 页得之和为75石，则“衰分比”与a的值分别是（）A525075,04B525025,04C075,1750D025,1750【答案】D【解析】设“衰分比”为x，乙分得m石，丁分得n石，则7536363

10、6mnnxmxm，解得48270.25mnx，甲分得48640.75石“衰分比”为0250，则643675175a石，故选 D【方法点睛】本题考查等比数列的定义与性质、阅读能力转化与划归思想以及新定义问题属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，一定要有信心，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“衰分比”达到考查等比数列的定

11、义与性质.10已知变量x，y满足约束条件2240240 xyxyxy，若2221zxyx，则z的最小值为（）A10 B92C9 D72【答案】B【解析】先画出可行域，目标函数222221(1)zxyxxy表示可行域中的点(,)P x y到点(1,0)M的距离的平方，由图可知目标函数的最小值就是点(1,0)M到直线2xy距离的平方.【详解】解：二元一次不等式组表示的可行域如图所示，目标函数222221(1)zxyxxy表示可行域中的点(,)P x y到点(1,0)M第 8 页 共 21 页的距离的平方，由图可知点(1,0)M与可行域中的点的距离的最小值为点(1,0)M到直线2xy距离，所以222

12、1zxyx的最小值等于22102922d，故选：B【点睛】此题考查的是求非线性目标函数的最值，利用距离公式，属于基础题.11 在长方体1111ABCDA B C D中，6AB，4BC，12AA，P，Q分别为棱1AA，11C D的中点.则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A3 2B4 2C34D5 2【答案】B【解析】试题分析：如图，P，Q 分别为棱1AA，11C D的中点，问题可转化为从小长方体11PMNGA HQD的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题共有三种剪展方法：第 9 页 共 21 页沿QH剪开再展开，此时最短距离为223144 2l；沿 QN 剪开再展开，此时

13、最短距离为223415 2l；沿 QD1 剪开再展开，此时最短距离为221 4334l 从点 P 出发，沿长方体表面到达点Q 的最短路径的长度为4 2【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题12已知函数()()f x xR是以 4为周期的奇函数，当(0,2)x时，2()lnf xxxb，若数()f x 在区间 2,2上有 5 个零点，则实数b的取值范围是（）A11bB1544bC11b或54bD114b或54b【答案】D【解析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得 0、2 是函数()f x 的零点，将函数()f x在区间 2,2上的零点个数为5，转化为当(0,2)x时，20 xxb恒成立，且2

14、1xxb在(0,2)有一解，由此构造关于b的不等式组，解不等式组可得实数b的取值范围.【详解】解：由题意知，()f x 是定义在R上的奇函数，所以(0)0f，即 0 是函数()f x 的零点，因为()f x 是定义在R上且以4为周期的周期函数，所以(2)(2)ff，且(2)(2)ff，则(2)(2)0ff，即2也是函数()f x 的零点，因为函数()f x 在区间 2,2上的零点个数为5，且当(0,2)x时，2()lnfxxxb，所以当(0,2)x时，20 xxb恒成立，且21xxb在(0,2)有一解，第 10 页 共 21 页即214(1)=011122bb或221 4(1)00010221

15、0bbb，解得114b或54b.故选：D.【点睛】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大.二、填空题13在等差数列na中，0d，nS是它的前n项和，若4122aaa，且2a与6a的等比中项为4，则7S_【答案】35【解析】由条件转化为关于1a和d的方程组，再代入求7S.【详解】由条件可知6216a a，且4122aaa，即1111516322adadadad，解得：113,22ad，或113,22ad（舍）所以717613772135222Sad.故答案为：35【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，重点考查基本公式和计算，属于

16、基础题型.14如图是 AOB 用斜二测画法画出的直观图 A OB，则 AOB 的周长是 _【答案】44 17【解析】根据直观图画出原图，由此计算出 AOB 的周长.第 11 页 共 21 页【详解】根据直观图画出原图如下图所示，根据原图和直观图的关系可知，4,2,8OBODBDAD，所以22282 17OAAB,所以 AOB 的周长是42 17244 17.故答案为：44 17【点睛】本小题主要考查斜二测画法的有关计算，属于基础题.15已知函数2ln11fxxx，5fa，则fa_【答案】-3【解析】先计算()2fxfx，再求结果.【详解】因为22()ln11ln11fxfxxxxx22ln11

17、+2ln1+22xxxx所以2532fafaf a故答案为：3【点睛】本题考查利用函数奇偶性性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.16如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为1，线段11B D上有两个动点,E F，且第 12 页 共 21 页22EF，现有如下四个结论：ACBE；平面 EFC/平面1ABD异面直线,AE BF所成的角为定值；三棱锥ABEF的体积为定值，其中正确结论的序号是_【答案】【解析】通过证明异面直线垂直证得成立，通过证明面面平行证得成立，作出异面直线,AE BF所成的角，由此判断异面直线,AE BF所成的角是否为定值，利用锥体体积公式计算出三棱锥ABEF

18、的体积.【详解】设AC与BD相交与G.根据正方体的性质可知1,ACBD ACBB，而1BDBBB，所以AC平面11BDD B，所以ACBE.故正确.根据正方体的性质可知11/A BD C，1A B平面11B CD，1D C面11B CD，所以1/A B平面11B CD.同理可证/BD平面11B CD，而1A BBDB，所以平面1/A BD平面11B CD，也即平面/EFC平面1A BD.故正确.由于正方体的边长为1，所以1122,2BDB DBG，而22EF，根据正方第 13 页 共 21 页体的性质可知/EFBG，所以四边形BGEF是平行四边形，所以/BFGE，所以AEG是异面直线,AE B

19、F所成的角，所以tanAGAEGGE，其中AG为定值，GE长度不固定，所以AEG不是定值，所以错误.由可知AC平面11BDD B，所以11122113322212A BEFBEFVSAG为定值，所以正确.故答案为：【点睛】本小题主要考查线线、面面的位置关系，考查锥体体积计算，属于中档题.三、解答题17如图，将棱长为2 的正方体1111ABCDA B C D沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11ACB D第 14 页 共 21 页（1）求该四面体的表面积；（2）求该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比【答案】（1）8 3；（2）3 3:1【解析】（1）根据已知条件判断出四面体是正四

20、面体，由正方体的对角线长，求得正四面体的表面积.（2）根据正方体的体对角线长求得正四面体外接球的半径R，正四面体的棱切球也即正方体的内切球，由此求得的棱切球的半径r，进而求得正四面体外接球的体积与棱切球的体积之比.【详解】（1）由已知可知四面体是正四面体，正方体的棱长为2，其对角线长为2 2，也即正四面体的棱长为2 2，所以表面积为2142 2sin608 32.（2）正方体的棱长为2，正方体的体对角线长为2 3，该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线外接球直径22 3R，半径3R，正四面体的棱切球也即正方体的内切球，所以正四面体的棱切球的半径1r，所以3Rr，所以

21、该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比为3333 3Rr.第 15 页 共 21 页所以该四面体外接球的体积与棱切球的体积之比为3 3:1.【点睛】本小题主要考查几何体外接球和内切球有关计算，属于中档题.18已知ABC的三个内角三角形ABC 所对的边分别为a，b，c，向量41m，n=2(cos2A，cos2A-1)，且m n=92（1）求角 A 的大小；（2）若 BC3，试求ABC面积的最大值及此时ABC的形状【答案】（1）60；（2）3 34，等边三角形.【解析】（1）由m n=92得24cos4cos10AA，从而可求出角A 的值；（2）先利用余弦定理得223?bcbc，再利用基本不等式可

22、得3bc，然后代入面积公式中可求得其最大值，同时也可判断出三角形的形状.【详解】（1）因为92m n，由公式可得24cos4cos10AA即可得22cos10A，解得1cos2A，又0,A，A=6（2）因为 BC3，即3a.由余弦定理可得2213cos22bcAbc，化简得223?bcbc即可得2232bcbcbc，3bc，当且仅当bc时取得最大值，60A，故此时ABC为等边三角形.故maxmax1133 3sin32224SAbc，第 16 页 共 21 页此时三角形的形状是等边三角形.【点睛】本题考查余弦的倍角公式，三角形面积的最大值问题，涉及均值不等式的使用，属综合性中档题.19如图，在

23、四棱锥中，底面四边形满足，且，点和分别为棱和的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）先证明平面，平面，进而得到平面平面，然后根据面面平行的性质可得结论成立（2）先证明平面，根据，可得平面，于是可得面面垂直【详解】（1）在底面四边形中，由，可得；又，为的中点，所以，从而四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面由题意，是的中位线，所以，又平面，平面，所以平面又与是平面内两相交直线，所以平面平面；第 17 页 共 21 页因为平面，所以平面（2）由（1）知，因为，所以，又，且是平面内两相交直线，所以平面，从而平面，又平面，所以平面平面

24、【点睛】解答类似问题的关键是根据图形，并结合三种平行（垂直）间的相互转化关系进行求解，解题时注意解题步骤的完整性，特别是定理中的关键性词语，在证题过程中要得到体现，属于基础题20设数列na是等差数列，其前n 项和为*nSnN；数列nb是等比数列，公比大于 0，其前n项和为*nTnN已知11b，322bb，424baa，5162baa（1）求数列na和数列nb的通项公式；（2）124nnnnSTTTab，求正整数n 的值【答案】（1）1nan；12nnb；（2）n的值为 3【解析】(1)根据等比数列nb与等差数列na,分别设公比与公差再用基本量法求解即可.(2)分别利用等差等比数列的求和公式求解

25、得(3)2nnnS与122112nnnT,再代入124nnnnSTTTab整理求解二次方程即可.【详解】解：（1）设等比数列nb的公比为q,由11b,322bb,可得220qq0q,可得2q第 18 页 共 21 页故12nnb；设等差数列na的公差为d,由424baa,得124ad,由5162baa,得131016ad,12,1ad故1nan；（2）由na是等差数列,且1nan,得(3)2nnnS由nb是等比数列,且12nnb,得122112nnnT可得12122(1 2).(222)12nnnTTTnn122nn由12.4nnnnSTTTab,可得11(3)22122nnnnnn,整理得：

26、260nn,解得2n（舍）或3n n的值为 3【点睛】本题主要考查了等比等差数列的基本量法以及的等差等比数列的求和计算.属于中档题.21设直线l的方程为1520axyaaR.（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点,0AA x，0,BBy，当AOB面积最小时，求AOB的周长及此时的直线方程；（3）当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a 也为正整数时，求直线l的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）周长为102 13；直线方程为32120 xy；（3）390 xy.【解析】（1）将直线方程重新整理，转化为求两直线交点，即得证；（2）先求 A

27、,B 坐标且确定a的取值范围，再根据三角形面积公式列函数关系式，根据基本不等式求最值，确定a的值，最后求周长以及直线方程；（3）根据截距均为正整数，利用分离法，结合整除确定a的值，再求直线方程.第 19 页 共 21 页【详解】解：(1)由1520axya得250a xxy，则2050 xxy，解得23xy，所以不论a为何值，直线l必过一定点2,3P；(2)由1520axya得，当0 x时，52Bya，当0y时，521Aaxa，又由5205201BAyaaxa，得1a，1191941+1224112122212152521AOBaaaSaaaa，当且仅当9411aa，即12a时，取等号.4,0

28、A，0,6B，AOB的周长为224646102 13OAOBAB；直线方程为32120 xy.(3)直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即52a，521aa均为正整数，而a 也为正整数，5232211aaaa所以直线l的方程为390 xy.【点睛】本题考查直线恒过定点问题、利用基本不等式求最值、直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值、分离法求正整数解，考查综合分析求解能力，属中档题.22已知二次函数2,fxaxbxc a b cR的最小值为-1，且关于x的方程0fx的两根为0 和-2.（1）求函数fx的解析式；（2）设3F xtfxx其中0t，求函数F x在3,22x时的最大值第 20 页 共

29、21 页H t；（3）若g xfxk+（k为实数），对任意0,m，总存在0,n使得g mH n成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）22fxxx；（2）33204252855ttHttt；（3）95k【解析】（1）根据方程的根，以及二次函数的性质即可求函数()yf x的解析式（2）求出F x的表达式，结合二次函数的图象和性质，即可求函数F x在3,22x时的最大值H t（3）求出函数()H x的值域，利用函数与方程之间的关系即可得到结论【详解】（1）0，2 是方程20axbxc的两根，00fc，2420fab，又fx最小值即214ba，1a，2b，0c，所以22fxxx.（2）2223213

30、F xt xxxtxtx，0t.分以下情况讨论F x，3,22x的最大值H t.（1）当0t时，3F xx在3,22x上是减函数，max3322H tFxF.（2）当0t时，F x的图像关于直线211122txtt对称，321224，故只需比较112t与14的大小.第 21 页 共 21 页当11124t时，即25t时，322FF，max285F xH tFt.当11124t时，即05t时，322FF，max333242FxHtFt；综上所得33204252855ttHttt.（3）33204252855ttHttt，函数H t的值域为9,5，22g xxxk在区间0,上单调递增，故值域为k,，对任意0,m，总存在0,n使得g mh n成立，即9,5k，解得95k.【点睛】本题主要考查二次函数的解析式及单调性，以及函数存在性与任意性问题，注意要对t进行分类讨论，考查学生的计算能力，属于难题